tema 1 funciones reales de una variable realel dominio de f, d, son los puntos en los que está...

Tema 1

Funciones reales de una variable real

1.1. Concepto de función

Definición 1.1 Una función (real de variable real) es una correspondencia (o regla), f , que a cada número

x le asigna un único valor f (x). ♣

Definición 1.2 Sea f : D ⊆ R −→ R una función

El dominio de f , D, son los puntos en los que está definida

Dom( f ) = {x ∈ R/∃ f (x)}.

La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R

Im( f ) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f (x) = y}.

La gráfica de f es su representación en el plano formada por el conjunto de puntos

Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/ f (x) = y}. ♣

17

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Ejemplo 1.3

La función f (x) = c está definida para todo número y sólo tiene un resultado. Por tanto, su dominio

está formado por todos los números reales y su imagen por el número c. Su gráfica son los puntos del

plano que verifican la ecuación y = c:

Dom( f ) = R Im( f ) = {c} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = c}.

La función f (x) = x está definida para todo número y todo número es un resultado. Por tanto, su

dominio y su imagen están formados por todos los números reales. Su gráfica son los puntos del

plano que verifican la ecuación y = x (la bisectriz del primer cuadrante):

Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x}.

La función f (x) = x2 está definida para todo número y todo número positivo es el cuadrado de un

número. Por tanto, su dominio está formado por los números reales y su imagen por los números

reales positivos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x2:

Dom( f ) = R Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x2}.

La función f (x) = x3 que a cada número le asigna su cubo está definida para todo número y todo

número es el cubo de algún número. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los

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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

números reales. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x3:

Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x3}. ♣

Ejemplo 1.4

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

f HxL= x

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

f HxL= - x

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

1

2

x=y2

La función f (x) =√

x está definida para todo número positivo y su resultado es el número positivo del

que es cuadrado. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los números positivos.

Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y =√

x:

Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y =√

x}.

La función f (x) = −√

x está definida para todo número positivo y su resultado es el número negativo

del que es cuadrado. Por tanto, su dominio está formado por todos los números positivos y su imagen

están formado por todos los números negativos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la

ecuación y = −√

x:

Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≤ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = −√

x}.

La función f (x) =√

x y la función f (x) = −√

x verifican la ecuación implícita x = y2, que no define

una función pero une en la misma gráfica las gráficas de ambas funciones. ♣

Página 19 PROYECTO MATECO 3.1416



Nota La función f es par si f (−x) = f (x) en su dominio e impar si f (−x) = − f (x). En el primer caso es

simétrica con respecto al eje OY y en el segundo con respecto al origen. Por ejemplo, la función f (x) = x2

es par, f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), y la función f (x) = x3 es impar, f (−x) = (−x)3 = −x3 = − f (x). Sin

embargo, la función f (x) =√

x no es ni par ni impar y, de hecho, no está definida para valores negativos. ♣

Nota (Funciones lineales) Una función lineal se puede escribir como f (x) = mx + b donde m y b son

constantes reales y su gráfica es la recta y = m x + b. Está definida en todo R y su imagen es también todo

R (salvo para m = 0 que es una función constante).

m=tangHΘL

b

Θ

-2 -1 1 2 3 4

La constante b es la altura del corte de la función con el eje

OY y determina su desplazamiento con respecto al origen, hacia

arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa. La constante

m es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje

OX, [m = tan(θ)], recibe el nombre de pendiente y determina la

inclinación de la recta.

En una función lineal cuando la variable pasa de un valor inicial

x0 a un valor x el aumento que experimentan los valores de la

función, que denotamos por 4y, es proporcional al incremento

de la variable, que denotamos por 4x. Por tanto, la pendiente

es la constante de proporcionalidad (4y = m4x) y representa

el aumento que experimentan los valores de la función cuando

aumentamos la variable x en una unidad.

Dy=mDx

Dx

Obsérvese que si m > 0 la recta es una función creciente y si m < 0 decreciente. ♣

Ejemplo 1.5 (leyes de la oferta y la demanda)

� La ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre la cantidad demandada de un bien

y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes, cuando el

precio de un producto aumenta la cantidad demandada baja y cuando el precio baja la cantidad demandada




aumenta (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad demandada del bien, d, y el

precio al que se demanda, p, se escribe como d = D(p) y recibe el nombre de curva de demanda. Cuando

consideramos que la demanda depende linealmente del precio tenemos D(p) = a − bp con a, b > 0

b representa la sensibilidad de los demandantes al precio (pendiente de la recta negativa).

� La ley de la oferta, contrariamente, establece que existe una relación directa entre la cantidad ofertada

de un bien y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes,

cuando el precio de un producto aumenta la cantidad ofertada también aumenta y cuando el precio baja

también baja (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad ofertada del bien, s, y el

precio al que se demanda, p, se escribe como s = S (p) y recibe el nombre de curva de oferta. Cuando

consideramos que la oferta depende linealmente del precio tenemos S (p) = c + dp con c, d > 0

d representa la sensibilidad de los oferentes al precio (pendiente de la recta positiva). ♣

En general una función f es creciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2) (estrictamente si

f (x1) < f (x2)). Es decreciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2) (estrictamente si f (x1) > f (x2)). Si

cumple alguno de los casos anteriores decimos que f es monótona.

Observación Estas propiedades son propiedad globales de la función y cuando decimos que una función

es monótona lo que en realidad queremos decir es que es monótona en su dominio. De la misma forma,

cuando decimos que una función es monótona en un punto lo que en realidad queremos decir es que es

monótona en un entorno del punto. ♣

Nota Si denotamos y0 = f (x0) e y = f (x) tenemos la ecuación punto-pendiente de la recta

y − y0 = m(x − x0)

en la que dados dos puntos obtenemos la pendiente como la relación entre los incrementos m =y1−y0x1−x0

.




Esto permite escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos como

x − x0

x1 − x0=

y − y0

y1 − y0♣

Observación Sólo para b = 0 la función f (x) = mx + b es realmente una aplicación lineal que tiene unas

propiedades especiales que estudiaremos dentro del bloque de Álgebra; lo que hace que a veces se distinga

entre función afín (b , 0) y función lineal (b = 0). ♣

Nota (Polinomios) Las funciones polinómicas están definidas en todo R y para n natural son funciones

de la forma

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn con a0, a1, . . . , an ∈ R.

Cuando el grado del polinomio es dos, p(x) = ax2 + bx + c, tenemos una parábola vertical con vértice

V(−

b2a, p

(− b

2a

))

Este vértice es un mínimo si a > 0 (parábola convexa) y un máximo si a < 0 (parábola cóncava).

a > 0V

X

YfHxL=ax2

+bx+c

a < 0V

X

YfHxL=ax2

+bx+c

Puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX que se obtienen mediante la fórmula

ax2 + bx + c = 0 =⇒ x =−b ±

√b2 − 4ac

2a♣




Nota (Funciones inversas) Para definir la inversa de una función ésta debe ser inyectiva (elementos dis-

tintos tienen imágenes distintas), en este caso asocia a cada x ∈ Im( f ) el único y tal que f (y) = x

f −1(x) = y⇔ f (y) = x

Cuando la función es sobreyectiva (todo elemento del espacio final es imagen de algún elemento) la inversa

está definida siempre. Cuando es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) la inversa también lo es. En todos los

casos, la gráfica de f −1 es la imagen simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante de la gráfica de f

(el dominio de f −1 es la imagen de f y su imagen es el dominio de f ).

Las funciones estrictamente monótonas son inyectivas y, por tanto, siempre admiten inversa. Por ejem-

plo, f (x) = x3 es estrictamente creciente en su dominio y admite inversa. Aunque f (x) = x2 no es ni

creciente ni decreciente en su dominio, sí es creciente en [0,+∞) y admite inversa en dicho intervalo. ♣

Nota (Funciones potencia)

� Las potencias de exponente natural, n, se definen para todo x ∈ R como f (x) = xn

Cuando tomamos valores crecientes de x hacia +∞ la función xn crece más rápido cuanto más grande es

el exponente n y cuando nos acercamos a cero los valores de la función se acercan a cero tanto más rápido

cuanto más grande es el exponente n

x4

x3

x2

x

0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

5

x4x3x2

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

� Las potencias de exponente negativo, n = −m con m ∈ N, se definen para x , 0 como f (x) = x−m =1xm

Cuando tomamos valores crecientes de x hacia +∞ las potencias de exponente negativo x−m (m > 0) se




acercan a cero tanto más rápido cuanto más grande es m y cuando nos acercamos a cero crecen hacia +∞

tanto más rápido cuanto más grande es m

x-4 x-3x-2

x-1

1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x-4

x-3

x-2

x-1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20

5

10

15

20

25

� Las raíces n-ésimas f (x) = n√

x son las funciones inversas de las potencias de exponente natural.

Así, la función f (x) = 3√

x es la función inversa de f (x) = x3 en todo su dominio, pero la función

f (x) =√

x es la función inversa de f (x) = x2 para x ≥ 0 y para definirla consideramos como dominio el

intervalo [0,+∞).

y � x3y � x

y � x3

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4 y � x2

y � x

y � x

1 2 3 4

1

2

3

4

� Las potencias de exponente racional están definidas para x > 0 y x = 0 si pq > 0 como f (x) = x

pq =

q√xp

� Las potencias de exponente real están definidas para x > 0 como f (x) = lı́mq→x xq con q ∈ Q. ♣

Ejercicio 1.6 Determinar el dominio de las siguientes funciones

(a) f (x) =√

x2 + x +√

x − 3 (b) f (x) =1

3√x + 6(c) f (x) =

14√x + 6




Maxima 1.7 Determinar el dominio de las siguientes funciones:

(a) f (x) =√

x2 − 3x + 2 (b) g(x) =1

√x2 − 3

Solución Para determinar el dominio de la función necesitamos ayudar al programa indicando las condi-

ciones que tiene que cumplir la función mediante desigualdades que se descomponen mediante los coman-

dos fourier_elim y solve_rat_ineq (tenemos que cargar previamente el paquete del mismo nombre).

En el primer caso imponemos que el argumento de la raíz sea mayor o igual que cero y en el segundo

que sea estrictamente mayor que cero (está dividiendo).

( % i1) load(fourier_elim)$ ( % i2) load(solve_rat_ineq)$

( % i3) f(x):=sqrt(xˆ2-3*x+2)$ ( % i4) ineq1:xˆ2-3*x+2>=0$

( % i5) fourier_elim([ineq1],[x]);

[x = 1]or[x = 2]or[2 < x]or[x < 1]

( % o5)

( % i6) solve_rat_ineq(ineq1);

[[x<=1], [x>=2]] ( % o6)

( % i7) g(x):=1/sqrt(xˆ2-3)$ ( % i8) ineq2:xˆ2-3>0$

( % i9) fourier_elim(ineq2,[x]);

[x2 − 3 > 0] ( % o9)

( % i10) solve_rat_ineq(ineq2);

[[x < −√

3], [x >√

3]] ( % o10)

1.2. Continuidad de funciones de una variable

Definición 1.8 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, x0 ∈ [a, b].

f es continua en x0 si el límite de f (x) cuando x tiende a x0 es el valor de la función en x0

lı́mx→x0

f (x) = f (x0)

donde el límite es l si ∀ε > 0 ∃δ > 0/x ∈ [a, b] y 0 < |x − x0| < δ =⇒ | f (x) − l| < ε.

f es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en a el límite por la derecha es f (a)

y en b el límite por la izquierda es f (b). ♣


http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_77.html#IDX2823



Observación Una función es discontinua en un punto si no es continua en el punto pero es continua en

un entorno reducido (no estamos interesados en los distintos tipos de discontinuidad). ♣

-0.5 0.5 1.0 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.5 0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4

2

4

6

8

1 2 3 4

1

2

3

Funciones discontinuas en un punto

Nota Los polinomios son funciones continuas en todo R. El producto de un número por una función

continua, la suma de funciones continuas, el producto de funciones continuas y la composición de funciones

continuas son funciones continuas. Sin embargo, el cociente de funciones continuas sólo es una función

continua en los puntos en los que no se anula el denominador. ♣

Nota Las funciones racionales se expresan como cociente de dos funciones polinómicas,

f (x) =P(X)Q(X)

Sólo están definidas cuando el denominador, Q(x), no se anula. Su dominio es el conjunto de los números

reales menos el conjunto de raíces del denominador y en este dominio la función es continua.

Ejercicio 1.9 Estudiar la continuidad de f (x) =−3x + 5

x2 − 3x + 2

SoluciónIgualamos a cero el denominador

x2 − 3x + 2 = 0⇔ x =3 ±√

32 − 4 · 22

=

2

1

-10 -5 5 10X

-4

-2

2

4

Y

La función es continua en su dominio, que es Dom( f ) = {x ∈ R/x , 1, 2} = R \ {1, 2}. ♣




Nota El comportamiento en el infinito de una función racional depende de los términos de mayor grado de

numerador y denominador. Así, cuando los términos de mayor grado son positivos si el grado del numerador

es mayor que el grado del denominador crecen a infinito y si el grado del denominador es mayor que el grado

del numerador decrecen a cero con el eje OX como asíntota. Cuando los grados son iguales se acercan a un

valor constante (acercándose según una asíntota horizontal). ♣

Ejercicio 1.10 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f (x) =x2 + xx − 3

(b) f (x) =x2 − 1

x2 + 3x + 2(c) f (x) =

√x + 1x − 1

(d) f (x) =

√x2 − 2x + 1

3√x2 − 1

(e) f (x) =x

x2 + 1(f) f (x) =

4√x + 6

Proposición 1.11 (Teoremas clásicos) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] entonces

(Teorema de Bolzano). Si f (a) y f (b) tienen distinto signo existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0.

(Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c1, c2 ∈ [a, b] con c1 < c2 y f (c1) , f (c2), f

alcanza cualquier valor entre f (c1) y f (c2).

(Teorema de Weierstrass) f tiene máximo y mínimo absoluto en algún punto de [a, b]. ♣

1.3. Derivada de funciones de una variable

1.3.1. La derivada como tasa de variación

El valor de la derivada en un punto marcará el ritmo del cambio que experimenta el valor de una variable

cuando se produce un cambio infinitesimal en el valor de la variable de la que depende. Para analizar cómo

responde la variable a este cambio consideramos una función que las relaciona, y = f (x).

Así, partimos de un valor x0 para la variable independiente, al que le corresponde un valor f (x0), y

tomamos otro valor x1, al que le corresponde un valor f (x1).




El incremento de la variable independiente es 4x = x1 − x0 y

el incremento de la variable dependiente 4y = f (x1) − f (x0) (el

valor x1 se escribe como x1 = x0 + 4x).P

Q

Dy

Dx

x0 x0+Dx

f Hx0L

f Hx0+DxL

La tasa media de variación de y con respecto a x nos indica la variación relativa de una variable con

respecto a la otra:

4y4x

=f (x1) − f (x0)

x1 − x0=

f (x0 + 4x) − f (x0)4x

.

Para estudiar como varía la variable dependiente con respecto a

la variable independiente cerca del punto en el que nos encontra-

mos buscamos que la diferencia con el otro punto sea cada vez

más pequeña y calculamos el límite de la tasa media de varia-

ción.

Dy

Dx

Dy

Dy

Dy

x0

f Hx0L

De este modo, obtenemos la tasa instantánea de variación de y con respecto a x en x0, que recibe el

nombre de derivada de la función en x0 y se denota por f ′(x0).

Definición 1.12 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).

La derivada de f en x0

f ′(x0) = lı́m4x→0

f (x0 + 4x) − f (x0)4x

= lı́mx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

.

f es derivable en x0 si este límite existe.

f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntos del conjunto. ♣

Nota (Interpretación geométrica de la derivada) La tasa media de variación entre los puntos P y Q corres-

ponde a la pendiente de la recta que corta a la gráfica y = f (x) en estos puntos.




P

Q

Dy

Dx

x0 x0+Dx

f Hx0L

f Hx0+DxL

P

Q

P

Q

P

Q

x0

Cuando 4x tiende a cero, el punto Q se mueve sobre la gráfica acercándose a P y la pendiente de la recta

secante se aproxima a la pendiente de la recta tangente, de forma que la derivada de la función en x0 es la

pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto P(x0, f (x0)). ♣

Nota (Interpretación económica de la derivada) En Economía la tasa instantánea de variación también

recibe el nombre de tasa marginal de variación pues se interpreta como el incremento en el valor de la

función cuando la variable dependiente se incrementa en una unidad. Sin embargo, aunque el incremento

que marca la derivada es relativo y por unidad, ambos conceptos solo coinciden si el incremento de una

unidad es relativamente pequeño con respecto a las unidades en las que medimos la variable. ♣

Ejemplo 1.13 (Coste marginal) Cuando se producen muchas unidades del producto podemos considerar

que un incremento de una unidad es un incremento pequeño y podemos escribir

C′(x0) = lı́m4x→0

C(x0 + 4x) −C(x0)4x

≈C(x0 + 1) −C(x0)

1= C(x0 + 1) −C(x0),

con lo que la derivada en x0 (tasa instantánea de variación del coste con respecto al número de unidades

producidas) es aproximadamente el coste adicional de producir una unidad más de producto cuando ya se

han producido x0 unidades del mismo o coste marginal.

Así, si el coste de producir x kilogramos de un determinado producto medido en euros viene dado por

la función C(x) = x2 + 3x + 100 y estamos produciendo 100 kilogramos del producto el coste adicional que




hay que soportar para producir la unidad ciento uno es C(101) − C(100) = 10.604 − 10.400 = 204 y la

derivada de la función es

C′(100) = lı́m4x→0

C(100 + 4x) −C(100)4x

= lı́m4x→0

(100 + 4x)2 + 3(100 + 4x) + 100 − 104004x

= 203

Como el incremento de una unidad es un incremento pequeño en relación a las 100 unidades producidas

la derivada de la función, es una aproximación bastante buena del coste marginal real. En este caso la

derivada es 203 euros/kilo y el coste marginal real es de 204 euros/kilo. ♣

I La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variable dependiente cuando se produce

un cambio en la variable independiente y cuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio que

experimenta la variable dependiente.

I Si la derivada es positiva a un aumento de la variable independiente le corresponde un aumento

de la variable dependiente y si es negativa a un aumento de la variable independiente le corresponde una

disminución de la variable dependiente.

1.3.2. La función derivada y las reglas de derivación

Definición 1.14 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R.

Si f es derivable en (a, b) la función derivada de f asocia a cada x su derivada

f ′ : x ∈ (a, b) −→ f ′(x) ∈ R. ♣

Nota Las distintas notaciones que se usan para la función derivada de una función y = f (x) son:

y′ o f ′(x), cuyo valor en un punto x0 se escribe como y′(x0) o f ′(x0);

dydx

od fdx

, cuyo valor en un punto x0 se escribe comodydx

∣∣∣∣∣x0

od fdx

∣∣∣∣∣x0

♣




Para obtener el valor de la derivada de una función en un punto sin tener que aplicar la definición, que a

veces es bastante complicado, se pueden combinar las reglas de derivación y las derivadas de las funciones

elementales.

Proposición 1.15 (Reglas de derivación) Sean f , g : [a, b] ⊆ R −→ R derivables en x ∈ (a, b).

1. Regla del múltiplo constante (k ∈ R): (k f )′(x) = k f ′(x).

2. Regla de la suma: ( f + g)′ (x) = f ′(x) + g′(x).

3. Regla del producto: ( f · g)′ (x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).

4. Regla del cociente:(

fg

)′(x) =

f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)g2(x)

siempre y cuando g(x) , 0. ♣

Derivadas de las funciones elementalesf (x) f ′(x) f (x) f ′(x)xa axa−1 x ∈ R a ∈ R n

√x 1

nn√

xn−1x > 0 n ∈ N

ex ex x ∈ R ax ax ln a x ∈ R a > 0

ln x1x

x > 0 loga x1

x ln ax > 0 a > 0

sen x cos x x ∈ R arc sen x1

√1 − x2

−1 ≤ x ≤ 1

cos x − sen x x ∈ R arc cos x−1√

1 − x2−1 ≤ x ≤ 1

tan x 1 + tan2 x x , π2 ± nπ (n ∈ N) arctan x

11 + x2 x ∈ R

Maxima 1.16 En el ejemplo 1.13 utilizamos la definición para calcular la derivada de la función de costes.

Si utilizamos las reglas de derivación se tiene: C′(x) = 2x + 3, con C′(100) = 2(100) + 3 = 203

En Maxima utilizamos el comando diff, con distintas opciones para sustituir en un punto.

( % i1) f(x):=xˆ2+3*x+100;

f(x) := x2 + 3 ∗ x + 100

( % o1)

( % i2) diff(f(x),x);

2 ∗ x + 3 ( % o2)

( % i3) ev( %,x=100);

203 ( % o3)





( % i4) at( %th(2),x=100);

203 ( % o4)

( % i5) ev(”(diff(f(x),x)),x=100);

203 ( % o5)

( % i6) at(diff(f(x),x),x=100);

203 ( % o6)

Proposición 1.17 (Regla de la cadena) Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, g : [c, d) ⊆ R −→ R.

Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) y g es derivable en f (x0) ∈ (c, d) entonces g ◦ f es derivable en x0

(g ◦ f )′(x0) = g′( f (x0)) f ′(x0) ♣

Nota (Interpretación económica) Si y = y(x) y x = x(t) se tiene y = y(t) y la tasa de variación de y respecto

a t es producto de la tasa de variación de y respecto a x por la tasa de variación de x respecto a t

dydx

∣∣∣∣∣t=

dydx

∣∣∣∣∣x(t)

dxdt

∣∣∣∣∣t

♣

Maxima 1.18 Sea f (x) =√

x donde x = k0 + k1t + k2ea t.

Calcular la derivada de f con respecto a t componiendo la función y aplicando la regla de la cadena.

( % i2) f(x):=sqrt(x);

g(t):=k0+k1*t+k2* %eˆ(a*t);

f(x) :=√

x ( % o1)

g(t) := k0 + k1t + k2 %eat ( % o2)

( % i3) at(diff(f(x),x),x=g(t))*diff(g(t),t); /*Regla de la cadena*/

a k2 %eat + k1

2√

k2 %eat + k1t + k0( % o3)

( % i4) diff(f(g(t)),t); /* Composición */

a k2 %eat + k1

2√

k2 %eat + k1t + k0( % o4)




Proposición 1.19 (función inversa) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua e inyectiva en [a, b].

Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) con f ′(x0) , 0 entonces f −1 es derivable en y0 = f (x0) con

( f −1)′(y0) =1

f ′(x0). ♣

Nota (Interpretación económica) Si y = y(x) y la tasa de variación de y respecto a x es no nula entonces

x = x(y) y la tasa de variación de x respecto a y es la inversa de la tasa de variación de y respecto a x. ♣

Ejercicio 1.20 Obtener el dominio, estudiar la continuidad y calcular la derivada de las siguientes funcio-

nes determinando las condiciones que deben verificarse para que la derivada esté definida.

(a) f (x) = x + 3x2 − 5x3 − x4 (b) f (x) =√

2x2 + 3x − 1 (c) f (x) =x − 1

x2 − 5x + 6

(d) f (x) = x3√

2x + 1 (e) f (x) = x2 3√x (f) f (x) =1

x3 + 1

(g) f (x) =

√2x − 3√

2x + 1(h)

√2x − 32x + 1 ♣

1.3.3. Consecuencias de la derivabilidad

Hasta ahora hemos estado suponiendo que ante una variación infinitesimal en la variable independiente

se produce una variación infinitesimal en la variable independiente, de forma que está implícita la hipótesis

de que la función que relaciona estas variables es continua.

Proposición 1.21 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).

Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0. ♣

Ejemplo 1.22 Una función puede ser continua sin que exista su derivada. Así, una función continua que

tenga tangente vertical no es derivable, ya que el cambio de valor de la función es demasiado brusco.

Una función continua que presente “picos” tampoco es derivable, ya que aunque el cambio de valor de la

función no es brusco, sí lo es el cambio de dirección.




-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

fHxL= x3

-2 -1 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

fHxL=ÈxÈ

I La función f (x) = 3√

x es continua enR y no es derivable en cero (su tangente es vertical y su derivada

en cero diverge a infinito)

f ′(0) = lı́m4x→0

f (0 + 4x) − f (0)4x

= lı́m4x→0

3√4x4x

= ∞.

I La función valor absoluto, f (x) = |x|, es continua en todo R pero no es derivable en cero, ya que si

calculamos su derivada como f (x) = x para x ≥ 0 y f (x) = −x para x ≤ 0 el límite por la izquierda y el

límite por la derecha son distintos

f ′(0) = lı́m4x→0

f (0 + 4x) − f (0)4x

= lı́m4x→0

|4x|4x

=

lı́m4x→0−

−4x4x

= −1

lı́m4x→0+

4x4x

= 1

. Obsérvese que podemos definir la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una función en

un punto considerando los límites laterales (cuando tienen sentido). En este caso, la función valor absoluto

tendría en cero derivada por la izquierda -1 y por la derecha 1. ♣

Proposición 1.23 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces

f es creciente en (a, b) si y sólo si f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).

f es decreciente en (a, b) si y sólo si f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣




Ejemplo 1.24 (leyes de la oferta y la demanda).

Como la ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre la cantidad demandada de un

bien y su precio la derivada de la curva de demanda D(p) es negativa, D′(p) < 0. Contrariamente, como la

ley de la oferta establece una relación directa entre la cantidad ofertada de un bien y su precio la derivada

de la curva de oferta S (p) es positiva, S ′(p) > 0. ♣

Cuando una función f (x) es derivable en un inter-

valo que contiene a cierto punto, podemos aproximar

la función en un entorno del punto por la recta tan-

gente a la gráfica en dicho punto si en vez de los va-

lores reales de la función consideramos los valores

correspondientes a la recta tangente.

Cuando consideramos los valores correspondientes a la recta tangente obtenemos la aproximación

lineal o aproximación de Taylor de orden uno

f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0).

Maxima 1.25 Si la función de demanda es Q(p)=1500-20p-pˆ2 y el precio actual es de 10 euros

Representar la función de demanda y su recta tangente en el precio actual.

Determinar la demanda mediante la aproximación lineal si el precio sube 2 céntimos. ¿Cuál es el

valor exacto?.

( % i1) Q(p):=1500-20*p-pˆ2$




( % i5) /* recta tangente*/

p0:10$

q0:Q(p0)$

m:at(diff(Q(p),p),p=p0)$

define(g(p),q0+m*(p-p0));

g(p) := 1200 − 40 (p − 10) ( % o5)

( % i6) wxplot2d([Q(p),g(p)], [p,0,20])$

( % t6)

( % i9) q0+m*0.02 /*Aproximación lineal con ∆q=m*∆p*/

Q(10.02); /* Demanda exacta */

1199.2 ( % o8)

1199.1996 ( % o9)

Ejercicio 1.26 Calcular la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado y representarlas junto

la correspondiente aproximación lineal (recta tangente en el punto).

(a) f (x) = 2x ln(x) en x0 = 1 (b) f (x) = ln(2x + 32x + 1

)en x0 = 1/2 (c) f (x) =

ex − 3e2x

1 + ex en x0 = 0. ♣




Proposición 1.27 (Teoremas clásicos) f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b)

(Teorema de Rolle) Si f (a) = f (b) existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = 0.

(Teorema del valor medio o de los incrementos finitos) Existe c ∈ (a, b) con f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a.

(Teorema de los valores intermedios para derivadas) Si c1, c2 ∈ (a, b) con f ′(c1) , f ′(c2)

la derivada alcanza cualquier valor entre f ′(c1) y f ′(c2). ♣

1.3.4. Elasticidad de una función

Nota (Elasticidad de una función) La derivada es una medida de la respuesta de la función a los cam-

bios en la variable dependiente que depende de las unidades en las que medimos ambos factores. Como

medida relativa del grado de respuesta de la demanda se considera la variación porcentual en la función

ante variaciones porcentuales en la variable, que recibe el nombre de elasticidad y cuando los cambios son

infinitesimales es

E(x) = lı́m4x→0

4y4xyx

=f ′(x)

f (x)x

=x f ′(x)

f (x)

Ejemplo 1.28 Obtener las elasticidades de f (x) = ln(x2 + 1) y g(x) =√

x − 2. ♣

Ejemplo 1.29 ¿Hay alguna relación entre las elasticidades de la función f (x) = u(x)v(x) y las elasticida-

des de las funciones u(x) y v(x)?. ♣

Ejemplo 1.30 (Elasticidad precio de la demanda) La elasticidad precio de la demanda mide el grado de

respuesta de la demanda considerando la variación porcentual en la demanda ante variaciones porcentua-

les en el precio. Se suele tomar en valor absoluto (es negativa para bienes que se ajustan a la ley de la

demanda) y permite clasificar los bienes en función del grado de respuesta de la demanda:




la demanda es relativamente inelástica si el efecto es relativamente pequeño y su elasticidad es menor

que uno, de forma que el cambio porcentual en la cantidad demandada es menor que el cambio

porcentual en el precio (si su elasticidad es cero la demanda es perfectamente inelástica)

la demanda es de elasticidad unitaria si su elasticidad es igual a uno y el cambio porcentual en la

cantidad demandada es igual que el cambio porcentual en el precio.

la demanda es relativamente elástica si el efecto es relativamente grande y su elasticidad es mayor

que uno, de forma que el cambio porcentual en la cantidad demandada es mayor que el cambio

porcentual en el precio (si su elasticidad es infinita la demanda es perfectamente elástica). ♣

Maxima 1.31 Si la función de demanda es Q(p) = 1500 − 20p − p2 y el precio actual es de 10e:

a) Determinar la elasticidad de la función de demanda al precio actual.

b) Determinar para qué rango de precios la función de demanda es elástica y para cuáles inelástica. ♣

Solución

( % i1) Q(p):=1500-20*p-pˆ2;

Q(p) := 1500 − 20p − p2 ( % o1)

( % i2) define(elas(p),expand(p*diff(Q(p),p,1))/Q(p));

elas(p) :=−2p2 − 20p

−p2 − 20p + 1500( % o2)

( % i3) elas(10);

−13

( % o3)




( % i4) load(fourier_elim)$

( % i5) fourier_elim([elas(p)<-1],[p]);

[503<p, p<30]or[−50<p, p< − 30] ( % o5)

( % i6) fourier_elim([elas(p)>-1],[p]);

[30<p]or[−30<p, p<503

]or[p< − 50] ( % o6)

( % i7) fourier_elim([elas(p)=-1],[p]);

[p =503

]or[p = −30] ( % o7)

( % i8) fourier_elim([elas(p)=0],[p]);

[p = −10]or[p = 0] ( % o8)

( % i9) fourier_elim([denom(elas(p))=0],[p]);

[p = −50]or[p = 30] ( % o9)

1.3.5. Derivadas sucesivas

Si una función definida en un intervalo es derivable en este intervalo su función derivada asocia a cada

punto su derivada. Si esta derivada es derivable en el intervalo podemos calcular su derivada y definir su

derivada segunda. Este planteamiento se puede repetir de nuevo con su derivada segunda.




Definición 1.32 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R derivable en (a, b).

Si la función derivada de f es derivable en (a, b) decimos que f es dos veces derivable en (a, b) y que

la función que asocia a cada x ∈ (a, b) la derivada de f ′ es la función derivada segunda de f , f ′′

f ′′ : x ∈ (a, b) −→ ( f ′)′(x) ∈ R.

En general, f es k veces derivable en (a, b) si f , f ′, . . . , f ′(k−1) son derivables ∀x ∈ (a, b) y la función

derivada k-ésima de f , f ′(k), es la función que asocia a cada x ∈ (a, b) la derivada de f ′(k−1). ♣

1.3.6. Convexidad y concavidad

Definición 1.33 Sea f : I ⊆ R −→ R con I un intervalo.

f es convexa si para cada par de elementos a, b ∈ I el segmento

que une los correspondientes puntos de su gráfica está por enci-

ma de la gráfica de la función entre estos dos puntos:

∀λ ∈ (0, 1) f (λa + (1 − λ)b) ≤ λ f (a) + (1 − λ) f (b)

f es cóncava si para cada par de elementos a, b ∈ I el segmento

que une los correspondientes puntos de su gráfica está por debajo

de la gráfica de la función entre estos dos puntos:

∀λ ∈ (0, 1) f (λa + (1 − λ)b) ≥ λ f (a) + (1 − λ) f (b) ♣

Nota f es convexa si y sólo si − f es cóncava y f es cóncava si y sólo si − f es convexa. ♣

Ejemplo 1.34




a) f (x) = eax es convexa en R para a ∈ R

b) f (x) = ln(ax) es cóncava en (0,+∞) para a > 0

c) f (x) = xa es convexa en (0,+∞) para a ≤ 0 y a ≥ 0 y cóncava para 0 ≤ a ≤ 1.

Las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea cóncava o convexa dependen del

orden de derivabilidad de la función. Así, una función derivable es convexa en un intervalo sí y sólo si su

derivada es monótonamente creciente en ese intervalo. Si además es derivable con continuidad la función

es convexa si y sólo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes. Si es dos veces derivable

es convexa si y sólo si su segunda derivada es no negativa en el intervalo.

Proposición 1.35 (condición necesaria y suficiente de convexidad y concavidad con derivabilidad)

Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R derivable en (a, b) con continuidad.

f es convexa en (a, b) si y sólo si f (y) ≥ f (x) + f ′(x)(y − x) ∀x, y ∈ (a, b).

f es cóncava en (a, b) si y sólo si f (y) ≤ f (x) + f ′(x)(y − x) ∀x, y ∈ (a, b). ♣

Proposición 1.36 (condición necesaria y suficiente de convexidad y concavidad con derivabilidad de orden

dos) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R dos veces derivable en (a, b).

f es convexa en (a, b) si y sólo si f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).

f es cóncava en (a, b) si y sólo si f ′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣

Nota La concavidad y la convexidad son propiedades globales y si decimos que una función es cóncava

o convexa en un punto queremos decir que es cóncava o convexa en un entorno del punto. ♣

Definición 1.37 Sea f : I ⊆ R −→ R con I un intervalo.

f tiene un punto de inflexión en x0 ∈ I si cambia de cóncava a convexa o viceversa. ♣




Ejemplo 1.38fHxL=x2 fHxL=-x2 fHxL=x3

La función x2 es convexa (en su dominio) y la función −x2 cóncava (en su dominio). La función x3 es

convexa en (−∞, 0) y cóncava en [0,+∞), como cambia de convexa a cóncava en x = 0 en este punto tiene

un punto de inflexión. ♣

Proposición 1.39 (condiciones para punto de inflexión) Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R derivable suficiente-

mente en un entorno de x0

(necesaria) Si f tiene un punto de inflexión en x0 entonces f ′′(x0) = 0 (no implica f ′(x0) = 0).

(suficiente) Si f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) , 0 entonces f tiene un punto de inflexión en x0. ♣

Ejemplo 1.40 Los costes de producción de una empresa normalmente dependen solo de la producción de

la propia empresa, q, y vienen dados por una función C(q), cuya derivada representa el coste marginal de

la producción correspondiente y cumple C(q) ≥ 0 (ejercicio 1.13).

Como la derivada de la función de costes es la función de costes marginales, la derivada de la función

de costes marginales es la derivada segunda de la función de costes. Así, cuando la función de costes

es cóncava su derivada segunda es positiva y los costes marginales son crecientes. Análogamente si la

función de costes es convexa su derivada segunda es negativa y los costes marginales son decrecientes.

Si la derivada segunda es cero en un punto es un punto de inflexión (si es idénticamente cero los costes

marginales son constantes y la función de costes es lineal). ♣

Maxima 1.41 Representar las funciones de costes total y marginal y relacionar la forma de la función con

el comportamiento de los costes marginales y el signo de la derivada segunda para C(x) = 2x2−0.01x3+100




( % i1) C(x):=2*xˆ2-0.01*xˆ3+100$

( % i3) define(g(x),diff(C(x),x));

define(h(x),diff(C(x),x,2));

g(x) := 4x − 0.03x2 ( % o2)

h(x) := 4 − 0.06x ( % o3)

( % i5) sol:solve(h(x));

x0:rhs(sol[1])$

[x =2003

] (sol)

( % i9) opt:[point_size=3, point_type=asterisk,key_pos = top_left]$

punto:[color=red,key= "punto de inflexión",points([[x0,C(x0)]])]$

graf:[color=blue,key= çostes totales",explicit(C(x),x,0,120)]$

wxdraw2d(append(opt,punto,graf))$

( % i12) punto:[color=red,key= "punto",points([[x0,g(x0)]])]$

graf:[color=blue,key= çostes marginales",explicit(g(x),x,0,150)]$





( % i15) punto:[color=red,key= "punto",points([[x0,h(x0)]])]$

graf:[color=blue,key= "derivada segunda",explicit(h(x),x,0,120)]$


La función tiene un punto de inflexión en x = 66, 67 donde la segunda derivada se anula. Hasta el punto

de inflexión la segunda derivada es positiva, la función es convexa y los costes marginales son crecientes.

En el punto de inflexión la función cambia de forma, pasando de convexa a cóncava, los costes marginales

cambian de crecientes a decrecientes y la segunda derivada es negativa a partir de él. ♣

Ejemplo 1.42 Estudiar la concavidad y convexidad de f (x) =x2 − 2x + 1

2x + 1

Solución

f (x) =x2 − 2x + 1

2x + 1=⇒ f ′(x) =

2x2 + 2x − 4(2x + 1)2 =⇒ f ′′(x) =

18(2x + 1)3

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

∗ f ′′(x) ≤ 0 en (−∞,−12 ) =⇒ f es cóncava en (−∞,−1

2 ).

∗ f ′′(x) ≥ 0 en (−12 ,+∞) =⇒ f es convexa en (−1

2 ,+∞).

Aunque esta función cambia de cóncava a convexa en x = −12 no tiene un punto de inflexión ya que este

punto no está en su dominio. ♣

Ejemplo 1.43 En general una función de utilidad mide la utilidad del consumo de ciertas cantidades de

bienes y una función de utilidad monetaria mide numéricamente la utilidad que le supone a cierto agente




económico el uso o tenencia de cierta cantidad monetaria o riqueza, U(w), y permite modelar la toma de

decisiones de este agente suponiendo que en sus acciones trata de maximizar la utilidad obtenida.

Una condición básica de una función de utilidad es que crezca a medida que crece la riqueza, por lo

que imponemos U′(w) > 0. También suponemos que tiene al menos dos derivadas continuas, ya que la

segunda derivada permite caracterizar las distintas actitudes ante el riesgo.

Así, un inversor puede tener que optar entre una cuenta bancaria con una tasa de interés baja pero

garantizada y una acción que puede tener un alto rendimiento pero que puede perder su valor o una parte

de él. Dependiendo de la opción que preferiría cuando ambas tienen el mismo pago esperado distinguimos

tres comportamientos ante la incertidumbre del pago a recibir:

Aversión al riesgo: corresponde al comportamiento de los agentes que intentan reducir la incerti-

dumbre y prefieren aceptar un pago cierto menor que el pago esperado (mayor pero incierto). En

este caso la utilidad marginal es decreciente y se tiene U′′(w) < 0, con lo que la función es cóncava.

Propensión al riesgo: corresponde al comportamiento contrario y en este caso la utilidad marginal

es creciente y se tiene U′′(w) > 0, con lo que la función es convexa.

Neutralidad ante el riesgo corresponde al comportamiento de los agentes a los que les es indiferente

entre un pago cierto y un pago esperado del mismo valor y en este caso la utilidad marginal es

constante y se tiene U′′(w) = 0, con lo que la función es una recta.

Ejercicio 1.44 Determinar si las siguientes funciones pueden ser funciones de utilidad monetaria y, en

este caso, determinar a qué tipo de agente corresponden y representar las correspondientes funciones de

utilidad y de utilidad marginal comentando la relación entre la utilidad marginal y el tipo de agente.

(a) U(w) = ln(w2 + 4) (b) u(w) =√

w + 1 (c) u(w) =√

w3 + 1 (d) u(w) = w2 + 1. ♣




1.4. Funciones elementales

1.4.1. Funciones exponenciales y logarítmicas

I Las funciones exponenciales, f (x) = ax (a > 0) son las funciones en las que al aumentar en una

unidad la variable x el aumento que experimentan los valores de la función es proporcional al valor de la

función con factor de proporcionalidad a, que siempre es positivo:

f (x + 1) = ax+1 = a · ax = a · f (x)

Entre ellas está la función exponencial de base el número e (exponencial natural) f (x) = ex = exp(x).

0<a<1 a>1

1X

Y

Las funciones exponenciales están definidas en

todo R y sus valores son siempre positivos. Son

crecientes para a > 1 y decrecientes para a < 1.

4xã

x 2x

1x

1X

Y Las funciones exponenciales en el infinito cre-

cen o decrecen dependiendo del signo del infini-

to y el aumento, o disminución, que experimen-

tan es más rápido que el de cualquier función

potencia.

Proposición 1.45 Sean a, b > 0 y x, y ∈ R

(a) a0 = 1 (b) ax+y = axay (c) (ab)x = axbx (d) (ax)y = axy ♣

I Las funciones logarítmicas f (x) = loga(x) son las inversas de las funciones exponenciales y, por

tanto, verifican

y = loga(x)⇔ ay = x




Sólo están definidas para números estrictamente positivos, por tanto,

su dominio es (0,+∞). Toman cualquier valor, por tanto, su imagen es

todo R. Son crecientes para a > 1 y decrecientes para a < 1. La más

utilizada es la de base e o logaritmo neperiano, ln(x) = loge(x).

y � ãx

y � x

y � logHxL

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4


(a) loga 1 = 0 (b) loga a = 1 (c) loga ax = x

(d) aloga(x) = x (e) ax = ex ln a (f) loga x =ln xln a

(g) loga(xy) = loga x + loga y (h) loga

(xy

)= loga x − loga y (i) loga(xn) = n loga x ♣

Ejercicio 1.47 Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico. >Qué condiciones

debe verificar este punto para que la derivada esté definida?

(a) f (x) = 2x ln(x) (b) f (x) = x2 ln3(x) (c) f (x) = x ln(x3)

(d) f (x) = ln(2x + 32x + 1

)(e) f (x) =

ex − 3e2x

1 + ex

Ejemplo 1.48 (Derivación logarítmica) Obtener la derivada de y(x) = u(x)v(x)

Solución Recibe el nombre de derivación logarítmica pues en primer lugar tomamos logaritmos

ln y(x) = ln u(x)v(x) = v(x) ln u(x)

A continuación derivamos esta expresión

y′(x)y(x)

= v′(x) ln u(x) + v(x)u′(x)u(x)

Luego despejamos y′(x) y sustituimos y(x) por su valor

y′(x) =

(v′(x) ln u(x) + v(x)

u′(x)u(x)

)y(x) =

(v′(x) ln u(x) + v(x)

u′(x)u(x)

)u(x)v(x) =⇒




y′(x) =(v(x)u(x)v(x)−1

)u′(x) +

(u(x)v(x) ln[u(x)]

)v′(x)

Esta expresión corresponde a la derivada respecto de u por la derivada de u más la derivada respecto

de v por la derivada de v, de forma que la variación total de una función exponencial de base variable refleja

las variaciones correspondientes a los cambios tanto en la base como en el exponente. ♣

Ejemplo 1.49 f (x) = xx (sólo la consideramos definida cuando la base es estrictamente positiva). Podemos

derivarla considerando que su derivada es la suma de dos derivadas de forma que en la primera se toma

el exponente como una constante y en la segunda lo que se toma como constante es la base

f ′(x) = xx ln x + xxx−1 con x > 0 ♣

Ejercicio 1.50 Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico.

(a) (2x + 1)6 (b) 35x−1 (c) (2x + 1)5x−1 (d) (3x2 − 1)5x3−4

1.4.2. Funciones trigonométricas

En un triángulo rectángulo el lado que está frente al ángulo recto

es el más grande y se le denomina hipotenusa (h). A los otros

dos lados se les llama catetos (c, c′). Α

h

c

c'

Las razones trigonométricas correspondientes a un ángulo agudo del triángulo son las razones obtenidas

en la comparación por cociente de las longitudes de estos lados, que, al ser magnitudes de la misma especie,

dan como resultado un número abstracto. Considerando uno de los ángulos agudos del triángulo se pueden

obtener seis razones distintas, aunque aquí nos vamos a centrar en tres (seno, coseno y tangente).

I Seno: cateto opuesto entre hipotenusa

senα =c′

h




I Coseno: cateto contiguo entre hipotenusa

cosα =ch

I Tangente: cateto opuesto entre cateto contiguo, que corresponde al cociente del seno y el coseno:

tanα =c′

c=

senαcosα

Para extender estas funciones a todos los números reales consideramos la circunferencia de centro el

origen y radio 1. Desde el punto de corte de la circunferencia con la parte positiva del eje de abscisas,

para cada x y con la misma unidad de longitud que el radio, medimos un arco de longitud |x| sobre la

circunferencia, en el sentido contrario a las agujas del reloj si x es positivo y en el sentido de las agujas

del reloj si es negativo. Si denotamos por (u, v) las coordenadas del punto final del arco y trazamos la

perpendicular al eje de abscisas que pasa por el punto final obtenemos un triángulo rectángulo.

En este triángulo un ángulo correspondiente al primer cuadrante

tiene como seno la coordenada v y como coseno la coordenada

u. Esta idea permite extender las funciones a cualquier número

x definiendo el seno como la coordenada v y el coseno como la

coordenada u.

Θ

cos x

sen x

Hu,vL

x

-1 1

-1

Cuando x crece y el punto final del arco recorre la circunferencia unidad los valores del seno y coseno

oscilan. Como la circunferencia tiene longitud 2π el final del arco pasa por puntos en los que había estado

antes y hace que los valores se repitan cada 2π, por lo que son funciones periódicas1 de periodo 2π.

1Una función f (x) es periódica de periodo τ si ∃τ > 0/ f (x + τ) = f (x) ∀x ∈ D (su gráfica se repite cada τ)




Las funciones seno y coseno están siempre definidas y su dominio es todo R, recorriendo su imagen

todo el intervalo [−1, 1]. Por tanto, están acotadas2. El seno es una función impar mientras que el coseno es

par. Además, si desplazamos sus gráficas a izquierda y derecha podemos superponer una sobre la otra.

-2 Π ΠΠ

2Π

3 Π

22 Π 3 Π 4 Π

-1

1

fHxL=senHxL

-2 Π ΠΠ

2Π

3 Π

22 Π 3 Π 4 Π

-1

1

fHxL=cosHxL


(a) sen(−x) = − sen x (b) cos(−x) = cos x

(c) sen(x + π2 ) = cos x (d) cos(x − π

2 ) = sen x

(e) sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y (f) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y

(g) sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y (h) cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y

(i) sen2x + cos2 x = 1 (fórmula fundamental de la trigonometría)

Nota (Medida de un ángulo en radianes) La construcción de las funciones seno y coseno hace que mida-

mos los ángulos en radianes considerando el número de radios que mide el arco (la longitud de la circunfe-

rencia es proporcional al radio). Como la longitud de la circunferencia es 2πr y su ángulo es de 360 grados

para convertir grados a radianes, y viceversa, utilizamos la equivalencia

360 grados ≡ 2π radianes ♣

2Una función f (x) está acotada superiormente si existe M ∈ R tal que f (x) ≤ M ∀x ∈ Dom( f ) y acotada inferiormentesi existe m ∈ R tal que f (x) ≥ m ∀x ∈ Dom( f ). Decimos que está acotada si está acotada superior e inferiormente (existe unK ∈ R tal que | f (x)| ≤ K ∀x ∈ Dom( f ))




Medida de ciertos ángulos y sus senos y cosenosGrados Radianes Seno Coseno Grados Radianes Seno Coseno

0 0 0 1 90 π2 1 0

30 π6

12

√3

2 180 π 0 −145 π

4

√2

2

√2

2 270 3π2 −1 0

60 π3

√3

212 360 2π 0 1

-2 Π ΠΠ

2Π

3 Π

22 Π-1

1

fHxL=tgHxL La función tangente se define como el cociente entre seno y co-

seno y no está definida en los puntos donde se anula el coseno

(es impar y periódica de periodo π):

tan x =sen xcos x

con x ,π

2± kπ para k = 0, 1, 2, . . . ♣

Ejercicio 1.52 Obtener la derivada de la función tangente.

Solución

Aplicamos la regla del cociente a f (x) = tan x =sen xcos x

De esta forma, para cos x , 0 (x , π2 ± nπ, n ∈ N) se tiene

f ′(x) =sen′ x cos x − sen x cos′ x

cos2 x=

cos x cos x − sen x(− sen x)cos2 x

=cos2 x + sen 2 x

cos2 x,

que se puede escribir tanto como f ′(x) =1

cos2 xcomo f ′(x) = 1 + tan2 x. ♣

Ejercicio 1.53 Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico. >Qué condiciones

debe verificar este punto para que la derivada esté definida?

(a) f (x) = exsen(5x + 1) (b) f (x) = x2cos2(x) (c) f (x) = sen2(x)cos4(x)

(d) f (x) =sen(15x)cos(2x)

(e) f (x) = sen(15x) cos(2x) (f) f (x) =cos(x)

1 + sen2(x)

(g) f (x) = xcos(x) (h) f (x) = (sen x)x (i) f (x) =x√

tg(x)




1.4.3. Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas o funciones arco son las inversas de las funciones trigonométri-

cas, aunque no en sentido estricto, ya que las funciones trigonométricas no son inyectivas y para definir sus

inversas se consideran sólo intervalos en los que sean inyectivas y recorran toda la imagen de la función.

La inversa de la función seno es la función arcoseno y se define

considerando el seno en el intervalo [−π/2, π/2]

arc sen : x ∈ [−1, 1] −→ arc sen x ∈ [−π/2, π/2]

arc sen x = y⇔ sen y = x

-12

2 1

-

Π

2

-

Π

4

Π

4

Π

2

fHxL=arcsenHxL

La inversa de la función coseno es la función arcocoseno y se

define considerando el coseno en el intervalo [0, π]:

arc cos : x ∈ [−1, 1] −→ arc cos x ∈ [0, π]

arc cos x = y⇔ cos y = x0

2

2 1

Π

4

Π

2

Π

fHxL=arccosHxL

La inversa de la función tangente es la función arcotangente y

se define considerando la tangente en (−π/2, π/2):

arctan : x ∈ [−∞,∞] −→ arctan x ∈ (−π/2, π/2)

arctan x = y⇔ tan y = x

-2 -1 1 2

-

Π

2

-

Π

4

Π

4

Π

2

fHxL=arctgHxL

La función arcoseno es estrictamente creciente e impar, la función arcocoseno estrictamente decreciente

y la función arcocotangente estrictamente creciente e impar (todas están acotadas). Verifican respectiva-

mente las ecuaciones sen y = x, cos y = x y tan y = x, pero las ecuaciones no definen las funciones ya que

incluyen valores que no corresponden a los dominios considerados.

Ejercicio 1.54 Obtener la derivada de la función arcotangente.




Solución

Como y = arctan x es la inversa de la función x = tan y, cuya derivada esdxdy

= 1 + tan2 y, la derivada de

la función y = arctan x es

dydx

=1

dxdy

=1

1 + tan2 y=

11 + tan2(arctan x)

=1

1 + x2 . ♣

Ejercicio 1.55 Calcula las derivadas de las siguientes funciones especificando su dominio y los puntos en

los que son continuas y derivables (a, b > 0).

(a) f (x) = x arc tg(x2 + 1

)(b) f (x) =

1arc tg (ax − b)

(c) f (x) = ex arc tg(ax2 + b

)

1.5. Aproximación lineal y diferencial

Cuando la función f (x) es derivable en x0, la relación entre la derivada y la pendiente de la recta tangente

nos ha permitido obtener la recta tangente a la gráfica y = f (x) en (x0, f (x0)), que es:

y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0) (1.1)

Como la gráfica y = f (x) y la recta tangente en (x0, f (x0)) son

“parecidas” para valores de x cercanos a x0, podemos aproximar en

un entorno de x0 la función por una función lineal tomando, en vez

de los valores reales de la función, los valores correspondientes a la

recta tangente, obteniendo la aproximación lineal o aproximación

de Taylor de orden uno.

f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0)⇐⇒ 4y ≈ f ′(x0)4x con 4y = f (x0 + 4x) − f (x0)

Maxima 1.56 Calcular 4.12 mediante la aproximación lineal de f (x) = x2 en x = 4.




Solución Podemos construir la aproximación lineal u obtenerla directamente con el comando taylor

( % i1) f(x):=xˆ2;

f(x) := x2 ( % o1)

( % i2) diff(f(x),x);

2x ( % o2)

( % i3) at(diff(f(x),x),x=4);

8 ( % o3)

( % i4) define(g(x),f(4)+at(diff(f(x),x),x=4)*(x-4));

g(x) := 8 (x − 4) + 16 ( % o4)

( % i5) define(h1(x), taylor(f(x),x,4,1));

h1(x) := 16 + 8 (x − 4) + ...

( % o5)/T)

( % i6) f(4.1);

16.81 ( % o6)

( % i7) g(4.1);

16.8 ( % o7)

( % i8) h1(4.1);

16.8 ( % o8)

Ejercicio 1.57 Calcular la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado y representarlas junto

la correspondiente aproximación lineal (recta tangente en el punto).

(a) f (x) = 2x ln(x) en x0 = 1 (b) f (x) = ln(2x + 32x + 1

)en x0 = 1/2 (c) f (x) =

ex − 3e2x

1 + ex en x0 = 0. ♣

La diferencial de f en x0 es una aplicación que utiliza los valores que se obtiene mediante la aproxi-

mación lineal para asociar al incremento de la variable independiente, “dx”, el incremento aproximado que

tendría si siguiera variando a la misma tasa instantánea de variación , “dy” (dx es la variable de la aplica-

ción diferencial y sólo se sustituye por el incremento de la variable dx = 4x cuando queremos obtener el

incremento aproximado de la función).

Cuando tomamos dx = 4x como incremento de

la variable independiente, la diferencia entre el in-

cremento real de la función, 4y, y el incremento

aproximado que se obtiene mediante la diferencial,

“dy”, se comete un error,

Dy

Dx = dx

dy

rHDxL

x0 x0+Dx

f Hx0L

f Hx0+DxL

rx0(4x) =

4y︷︸︸︷f (x0 + 4x) − f (x0) −

dy︷︸︸︷f ′(x0)4x .





rHDxL

rHDxL

rHDxL

x0

f Hx0L

De la magnitud del error que se comete depende

que podamos utilizar la diferencial para aproximar

la función y sólo es posible si este error tiende a

cero más rápido que el incremento de la variable

independiente, es decir, si

lı́m4x→0

rx0(4x)4x

= 0.

Definición 1.58 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).

La diferencial de f en x0 es la función D f (x0) : R −→ R tal que:

D f (x0)[dx] = f ′(x0)dx.

f es diferenciable en x0 si

lı́m4x→0

f (x0 + 4x) − f (x0) − D f (x0)(4x)4x

= 0. ♣

Observación La aproximación lineal corresponde a la fórmula de Taylor de primer orden

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + rx0(x − x0) ♣

Proposición 1.59 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).

f es diferenciable en x0 si y sólo si f es derivable en x0 ♣

Observación Esta proposición sólo se verifica para funciones de una variable. ♣

Definición 1.60 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R diferenciable ∀x ∈ (a, b).

La aplicación que a cada x ∈ (a, b) le asocia la diferencial de f en x también recibe el nombre de diferencial




de f y para cada x ∈ (a, b) se tiene

D f (x) : dx ∈ R −→ dy = D f (x)[dx] = f ′(x) dx ∈ R. ♣

Nota Para cada x tenemos una aproximación lineal de la función en un entorno del punto y para referirnos

a la diferencial de una función y = f (x) escribiremos

dy = f ′(x) dx ♣

Ejercicio 1.61 Calcular la diferencial de las siguientes funciones en un punto genérico y si es posible, en

el punto x0 que se indica, especificando el dominio de existencia de la función y el conjunto de puntos en

los que la función es diferenciable (si es distinto al dominio).

(a) f (x) =e2x + x

e2x x0 = 1 (b) f (x) = (x2 + x) sen(x2)e2x x0 = 0

(c) f (x) = x2 tg2(πx2) x0 = 1 (d) f (x) = (4x2 + 1)2x x0 = 1/2

1.6. Aproximación no lineal y fórmula de Taylor

La aproximación no lineal de una función por un polinomio de grado superior recibe el nombre de

polinomio de Taylor y exige que el error que se comete tienda a cero más rápido que el incremento de la

variable independiente elevado al grado del polinomio con el que la aproximamos. De esta forma, a medida

que aumente el grado del polinomio con el que aproximamos la función disminuirá el error que cometemos

en la aproximación.

El polinomio de Taylor de grado n de una función n veces derivable en x0 ∈ R es:

Pn(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)2 + · · · +

f (n(x0)n!

(x − x0)n.




La diferencia entre el polinomio de Taylor, Pn(x), y la función, f (x), recibe el nombre de resto,

Rn(x) = f (x) − Pn(x), y permite escribir (además de x y de n el error depende de f y x0)

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)2 + · · · +

f (n(x0)n!

(x − x0)n + Rn(x)

El teorema de Taylor afirma que si f es de clase Cn en un entorno de x0 se tiene

lı́mx→x0

Rn(x)(x − x0)n = 0.

De este modo, el teorema garantiza que si la función es de clase Cn en un entorno del punto el error que

cometemos tiende a cero más rápido que el incremento de la variable independiente elevado a n, de forma

que cuantas más veces sea derivable la función mejor aproximación podremos hacer.

Una de las ventajas de la aproximación mediante la fórmula de Taylor es que existe una expresión

explícita para el resto que permite acotar el error que se comete en cada aproximación. El análisis de este

error y el desarrollo general de una función se verá en la sección 14.1, ya que para las aplicaciones que

vamos a ver es suficiente con el desarrollo de orden dos.

1.7. Extremos de funciones reales de una variable real

Definición 1.62 El problema de optimizar una función f : [a, b] ⊆ R −→ R consiste en encontrar un punto

x0 ∈ [a, b] en el que la función alcance su valor máximo o mínimo y en él, el dominio recibe el nombre de

conjunto factible y la función el de función objetivo.

x0 es un máximo absoluto si f (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ [a, b]

x0 es un mínimo absoluto si f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ [a, b]




En ambos casos decimos que x0 es un óptimo global o extremo absoluto (estricto si las desigualdades son

estrictas para x , x0).

x0 es un máximo local si existe δ > 0 tal que f (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b]

x0 es un mínimo local si existe δ > 0 tal que f (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b]

En ambos casos decimos que x0 es un óptimo local o extremo relativo (estricto si las desigualdades son

estrictas para x , x0). ♣

Nota Nos referimos como problema (?) al problema de encontrar un punto del conjunto factible en el que

la función objetivo alcance su valor máximo/mínimo (en general se buscan óptimos globales). ♣

Proposición 1.63 (condición necesaria de óptimo local) Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R derivable en (a, b) y

x0∈ (a, b).

Si f tiene un extremo relativo en x0 entonces f ′(x0) = 0. ♣

Nota Un punto en el que la derivada es cero recibe el nombre de punto crítico y en un punto crítico la

recta tangente a la curva y = f (x) es paralela al eje X. Si f es derivable un extremo relativo siempre es un

punto crítico, pero no todo punto crítico es un extremo relativo (puede ser un máximo relativo, un mínimo

relativo o un punto de inflexión). ♣

Ejemplo 1.64 La parábola f (x) = x2 y la función f (x) = x3 tienen un punto crítico en el origen.

-2 -1 1 2

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

f HxL=x2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

f HxL=x3

En ambos casos la recta tangente a la curva y = f (x)

en x = 0 es el eje OX. La parábola tiene un mínimo,

pero f (x) = x3 no tiene ni un máximo ni un mínimo

(tiene es un punto de inflexión).




Proposición 1.65 (condición suficiente de óptimo local) Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R dos veces derivable en

(a, b) y x0 ∈ (a, b) un punto crítico de f .

Si f ′′(x0) > 0 x0 es un mínimo relativo estricto.

Si f ′′(x0) < 0 x0 es un máximo relativo estricto.

Si f ′′(x0) = 0 no podemos afirmar nada.

Nota (extensión de la condición suficiente de óptimo local) Si f es n veces derivable en (a, b) con

f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 y f (n)(x0) , 0 se tiene:

Si n es par y

f (n)(x0) > 0 f tiene un mínimo relativo estricto en x0

f (n)(x0) < 0 f tiene un máximo relativo estricto en x0

Si n es impar f tiene un punto de inflexión en x0. ♣

Ejercicio 1.66 Comprobar que f (x) = x3 tiene punto de inflexión, f (x) = x4 un mínimo y f (x) = −x4 un

máximo. ♣

Proposición 1.67 (Teorema de Weierstrass) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R.

Si f es continua en [a, b] tiene un máximo y un mínimo absoluto en algún punto de [a, b]. ♣

Nota El teorema de Weierstrass garantiza que una función continua dentro de un intervalo cerrado y

acotado [a, b] alcanza su máximo y su mínimo absoluto. Esto no quiere decir que la función tenga un

máximo y un mínimo absoluto. Sólo implica que dentro de cada intervalo la función tiene máximo y mínimo

absolutos. Estos óptimos pueden ser óptimos relativos del intervalo abierto (punto críticos), uno de los dos

extremos del intervalo o puntos en los que la función no es derivable. ♣

Ejemplo 1.68 Estudiar los óptimos de las funciones

(a) f (x) =x

x2 + 1(b) g(x) =

9 + 12x + 7x2 + x3

1 + x2




Solución

En primer lugar determinamos los puntos en los que la derivada de f (x) es cero (puntos críticos):

f ′(x) =1 − x2(1 + x2)2 = 0 =⇒ 1 − x2 = 0 =⇒

x = 1

x = −1

A continuación calculamos su derivada segunda y estudiamos qué tipo de puntos son

f ′′(x) =2x

(−3 + x2

)(1 + x2)3 =⇒

f ′′(1) = −1

2 < 0 máximo con f (1) = 12

f ′′(−1) = 12 > 0 mínimo con f (−1) = −1

2

Por tanto, un máximo y un mínimo relativos son los puntos (1, 12 ) y (−1,−1

2 ) respectivamente.

En el caso de la función g(x) también calculamos los puntos críticos:

g′(x) =(2 + x)2

(3 − 4x + x2

)(1 + x2)2 = 0 =⇒

x = 3

x = 1

x = −2

Para estudiar qué tipo de puntos son calculamos su derivada segunda:

g′′(x) =−4 − 66x + 12x2 + 22x3(

1 + x2)3 =⇒

g′′(3) = 12 < 0 mínimo con g(3) = 27

2

g′′(1) = −92 < 0 máximo con g(1) = 29

2

g′′(−2) = 0 punto de inflexión pues g′′′(−2) , 0

Por tanto, un mínimo y un máximo relativos son los puntos (3, 272 ) y (1, 29

2 ) respectivamente.




-10 -5 5 10

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-10 -5 5 10

5

10

15

Al observar las gráficas de las funciones vemos que en el primer caso la función f (x) tiene como valor

máximo 12 y como valor mínimo −1

2 . En el segundo caso, la función g(x) no está acotada y no tiene máximo

ni mínimo. Por tanto, los óptimos de f (x) son un máximo y un mínimo absolutos y los óptimos de g(x) son

un máximo y un mínimo relativos. ♣

Ejemplo 1.69 Determinar los óptimos de f (x) =x2 − 2x + 1

2x + 1

Solución Determinamos los puntos críticos y estudiamos si son máximos y/o mínimos relativos:

f ′(x) =2x2 + 2x − 4

(2x + 1)2 = 0 =⇒

x = −2

x = 1

∗ f tiene un máximo relativo en (−2,−3)(

f ′′(−2) = −23 < 0 y f (−2) = −3

)∗ f tiene un mínimo relativo en (1, 0)

(f ′′(1) = 2

3 > 0 y f (1) = 0)

Para determinar si los óptimos relativos son o no absolutos vamos a representar la función. Aunque

en general un simple bosquejo permite responder a la cuestión, en este ejemplo, aunque no es necesario,

se realizará el procedimiento general para representar una función mostrando como se realiza el estudio

sistemático de la misma (que se compone de distintos pasos más o menos estándares).

Determinación de su dominio: 2x + 1 = 0⇔ x = −12 =⇒ está definida para x , −1

2

Cortes con los ejes y valores particulares de la función:




• f (x) =x2 − 2x + 1

2x + 1= 0 =⇒ x = 1 =⇒ Corta al eje OX en (1, 0)

• f (0) = 1 =⇒ Corta al eje OY en (0, 1)

Simplificación del estudio (paridad, simetrías, periodicidad,. . . ): No presenta nada especial.

Asíntotas verticales en los puntos singulares que no estén en el dominio:

En x = −12 tiene una asíntota vertical

lı́mx→− 1

2−

x2 − 2x + 12x + 1

= −∞ lı́mx→− 1

2+

x2 − 2x + 12x + 1

= +∞

Comportamiento en el infinito (asíntotas horizontales y oblicuas):

No tiene asíntotas horizontales

lı́mx→−∞

x2 − 2x + 12x + 1

= −∞ lı́mx→+∞

x2 − 2x + 12x + 1

= +∞

Tiene asíntota oblicua y = mx + b con

m = lı́mx→±∞

x2−2x+12x+1

x=

12

b = lı́mx→±∞

[x2 − 2x + 1

2x + 1− mx

]= −

54

Determinación de los puntos con tangente vertical (puntos del dominio donde la derivada es infinita)

y puntos críticos (ya realizado)

f ′(x) =2x2 + 2x − 4

(2x + 1)2

Estudio del signo de la derivada (crecimiento y decrecimiento):

• f ′(x) ≥ 0 en (−∞,−2] =⇒ f es creciente en (−∞,−2].




• f ′(x) ≤ 0 en [−2,−12 ) =⇒ f es decreciente en [−2,−1

2 ).

• f ′(x) ≤ 0 en (−12 , 1] =⇒ f es decreciente en (−1

2 , 1].

• f ′(x) ≥ 0 en [1,+∞) =⇒ f es creciente en [1,+∞).

Estudio de la derivada segunda convexidad, concavidad y puntos de inflexión

f ′′(x) =18

(2x + 1)3 =⇒

En (−∞,−1

2 ) f ′′(x) ≤ 0 =⇒ f es cóncava

En (−12 ,+∞) f ′′(x) ≥ 0 =⇒ f es convexa

No tiene puntos de inflexión, ya que la derivada segunda no se anula.

Si representamos las asíntotas y los puntos clave sólo queda tener en cuenta los datos sobre crecimiento

y concavidad para tener una buena aproximación de la función que nos permite determinar que los óptimos

que estamos estudiando son óptimos relativos.

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

Ejercicio 1.70 Hallar los máximos y mínimos de f : R −→ R definida por:

(a) f (x) = sen x 0 ≤ x ≤ 2π (b) f (x) = cos x 0 ≤ x ≤ 2π

(c) f (x) = sen2(x2 − 1) −2 ≤ x ≤ 2 (d) f (x) = (x + 90)(450 − 3x) x ≥ 0 ♣




Ejercicios del tema

Ejercicio 1.71 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y calcular su derivada en un punto

genérico (especificando el dominio de existencia de la función y, si es distinto al de la función, especificando

también el dominio de existencia de la derivada).

(a) f (x) = x3ex (b) f (x) = ex sen(2x) (c) f (x) = x cos2(3x − π)

(d) f (x) = sen2(x) cos4(x) (e) f (x) = sen(15x) cos(2x) (f) f (x) =3√

(x + 2)2 −√

x + 2

(g) f (x) =2x3 + 3x2 − x − 1

x2 + 3x + 2(h) f (x) =

ex − 3e2x

1 + ex (i) f (x) = ln(

x2 − 4x + 5x2 − 1

)(j) f (x) =

√x + 1x − 1

(k) f (x) =3

√5x + 6

7(l) f (x) =

4

√3x − 12x + 5

(m) f (x) = 2xex2+1 (n) ln(x3 + x) (ñ) f (x) = x ln(x2 + 1

)(o) f (x) =

cos(x)1 + sen2(x)

(p) f (x) = arctan( x

x + 1

)(q) f (x) = arc cos(2x − 1)

(r) f (x) = x√

x (s) f (x) = xcos(x) (t) f (x) = (sen x)x

Solución

(a) f (x) = x3ex es continua y derivable siempre con f ′(x) = exx2(x + 3)

(b) f (x) = ex sen(2x) es continua y derivable siempre con f ′(x) = ex(sin(2x) + 2 cos(2x))

(c) f (x) = x cos2(3x − π) es continua y derivable siempre con

f ′(x) = cos2(3x − π) − 6 cos(3x − π) sen(3x − π)

(d) f (x) = sen2(x) cos4(x) es continua y derivable siempre con

f ′(x) = 2 sin(x) cos5(x) − 4 sin3(x) cos3(x)




(e) f (x) = sen(15x) cos(2x) es continua y derivable siempre con

f ′(x) = 15 cos(2x) cos(15x) − 2 sin(2x) sin(15x)

(f) f (x) =3√

(x + 2)2 −√

x + 2 es continua si el argumento de la raíz de índice par es no negativo

Dom( f ) = {x ∈ R /x + 2 ≥ 0 } = {x ∈ R /x ≥ −2 } = [−2,+∞)

sin embargo, no es derivable en todo su dominio, ya que se anula el denominador en x = −2

f ′(x) =2(x + 2)

3 3√

(x + 2)4−

1

2√

x + 2con Dom( f ′) = {x ∈ R /x > −2 } = (−2,+∞)

(g) f (x) =2x3 + 3x2 − x − 1

x2 + 3x + 2es continua y derivable si el denominador no se anula

f ′(x) =2x4 + 12x3 + 22x2 + 14x + 1(

x2 + 3x + 2)2 con Dom( f ) = {x ∈ R /x , −2,−1 }

(h) f (x) =ex − 3e2x

1 + ex es continua y derivable siempre ya que no se anula el denominador con

f ′(x) = 2ex2+1(2x2 + 1

)

(i) ln(

x2 − 4x + 5x2 − 1

)= ln

(x2 − 4x + 5

)− ln

(x2 − 1

)es continua y derivable en los puntos en los que el

argumento del logaritmo es positivo

f ′(x) =2x − 4

x2 − 4x + 5−

2xx2 − 1

=4(x2 − 3x + 1

)(x2 − 1

) (x2 − 4x + 5

)Página 65 PROYECTO MATECO 3.1416



con Dom( f ) ={x ∈ R

/x2−4x+1

x2−1 > 0}

= (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

Obsérvese que el dominio de la función simplificada es el mismo que el de la función, al ser x2 −

4x + 5 positivo (no tiene raíces reales). En general, la simplificación sólo es válida si numerador y

denominador son positivos o si escribimos los argumentos de los logaritmos en la simplificación en

valor absoluto.

(j) f (x) =

√x + 1x − 1

es continua si el argumento de la raíz es no negativo y el denominador no se anula

Dom( f ) = {x ∈ R/

x + 1x − 1

≥ 0, x − 1 , 0 } = (−∞,−1] ∪ (1,+∞)

no es derivable en todo su dominio, ya que el denominador de su derivada se anula en x = −2

f ′(x) = −1

(x − 1)2√

x+1x−1

con Dom( f ′) = {x ∈ R/

x + 1x − 1

> 0, x − 1 , 0 } = (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

(k) f (x) =3

√5x + 6

7está definida y es continua siempre pero no es derivable en todo su dominio, ya que

se anula el denominador de su derivada en x = −65 por tanto

f ′(x) =5

3 3√7 3√

(5x + 6)2con Dom( f ′) = {x ∈ R/x , −6

5 }

(l) f (x) =4

√3x − 12x + 5

es continua si el argumento de la raíz es no negativo y el denominador no se anula

Dom( f ) =

{x ∈ R

/3x − 12x + 5

≥ 0, 2x + 5 , 0}

=(−∞,−5

2

)∪

[13 ,+∞

)PROYECTO MATECO 3.1416 Página 66



sin embargo, no es derivable en todo su dominio, ya que en x = 1/3 se anula el denominador

f ′(x) =17

4(2x + 5)2 4√(

3x−12x+5

)3

con Dom( f ′) =

{x ∈ R

/3x − 12x + 5

> 0, 2x + 5 , 0}

=(−∞,−5

2

)∪

(13 ,+∞

)

(m) f (x) = 2xex2+1 es continua y derivable siempre con f ′(x) = 2ex2+1(2x2 + 1

)

(n) f (x) = ln(x3 + x) es continua y derivable si el argumento del logaritmo es positivo

f ′(x) =3x2 + 1x3 + x

con Dom( f ) = {x ∈ R/x3 + x > 0 } = {x ∈ R /x > 0 } = (0,+∞)

(ñ) f (x) = x ln(x2 + 1

)es continua y derivable pues el argumento del logaritmo es positivo

f ′(x) =2x2

x2 + 1+ ln

(x2 + 1

)

(o) f (x) =cos(x)

1 + sen2(x)es continua y derivable siempre pues el denominador no de anula

f ′(x) = −sin(x)

(sin2(x) + 2 cos2(x) + 1

)(sin2(x) + 1

)2

(p) f (x) = arctan( x

x + 1

)es continua y derivable siempre que no se anule el denominador

f ′(x) =1

2x2 + 2x + 1con Dom( f ) = {x ∈ R /x + 1 , 0 } = {x ∈ R /x , −1 }




(q) f (x) = arc cos(2x − 1) es continua si el argumento del arcocoseno está entre -1 y 1

Dom( f ) = {x ∈ R /−1 ≤ 2x − 1 ≤ 1 } = [0, 1]

pero no es derivable si el argumento del arcoseno es 1 o -1 con

f ′(x) =−2√

1 − (2x − 1)2=

−1√

x − x2con Dom( f ′) = {x ∈ R /−1 < 2x − 1 < 1 } = (0, 1)

(r) f (x) = x√

x = x1x sólo se considera definida cuando la base es positiva

Dom( f ) = {x ∈ R /x > 0 }

Para derivarla aplicamos la regla de la cadena (su derivada es la suma de dos derivadas, en la primera

se toma el exponente como una constante y en la segunda lo que se toma como constante es la base)

f ′(x) =1x

x1x−1 + x

1x ln(x)

(− 1

x2

)=

x√

x (1 − ln x)x2

(s) f (x) = xcos(x) sólo se considera definida cuando la base es positiva Dom( f ) = {x ∈ R /x > 0 }

Para derivarla aplicamos la regla de la cadena

f ′(x) = cos(x)xcos(x)−1 − xcos(x) ln(x) sen(x)

(t) f (x) = (sen x)x está definida sólo cuando la base es positiva Dom( f ) = {x ∈ R /sen x > 0 }




Para derivarla aplicamos la regla de la cadena

f ′(x) = x(sen x)x−1 cos x + (sen x)x ln(sen x)

Obsérvese que hay infinitos intervalos en los que la función no esta definida, ya que el seno es pe-

riódico de periodo 2π y toma tanto valores positivos como negativos (en el intervalo [0, 2π] solo esta

definida en (0, π) donde el seno es positivo y la situación se repite en cada periodo. ♣

Ejercicio 1.72 Calcula las derivadas de las siguientes funciones especificando su dominio y los puntos en

los que son continuas y derivables (a, b > 0).

(a) f (x) =√

ax2 − 2x (b) f (x) =3√

x2 − a (c) f (x) =

√ax2 − 2xx + 2

(d) f (x) = (bx + 1)eax2+1 (e) f (x) =eax + 1x2 − 1

(f) f (x) = ln(ax + bax − b

)(g) f (x) = sen(ax) cos(ax) (h) f (x) =

sen(ax)cos(bx)

(i) f (x) = x arc tg(ax2 + b

)Solución

(a) f (x) =√

ax2 − 2x es continua si el argumento de la raíz es positivo o nulo

Dom( f ) = {x ∈ R/ax2 − 2x ≥ 0 }

La función no es derivable en todo su dominio pues no lo es donde se anula el argumento:

f ′(x) =ax − 1√

ax2 − 2xcon x ∈ (−∞, 0) ∪

(2a ,+∞

)

(b) f (x) =3√

x2 − a es continua siempre pero no es derivable si se anula el argumento de la raíz:

f ′(x) =2x

3√

(x2 − a)2con x , ±a




(c) f (x) =

√ax2 − 2xx + 2

es continua en su dominio pero no es derivable si se anula el argumento de la raíz

Dom( f ) = {x ∈ R/ax2 − 2x ≥ 0, x , −2 } = (−∞,−2) ∪ (−2, 0] ∪

[2a ,+∞

)

f ′(x) =2ax + x − 2

(x + 2)2√

ax2 − 2xcon x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2, 0) ∪

(2a ,+∞

)

(d) f (x) = (bx + 1)eax2+1 es continua y derivable CON f ′(x) = eax2+1(2abx2 + 2ax + b

)(e) f (x) =

eax + 1x2 − 1

es continua y derivable si el denominador no se anula

f ′(x) =ax2eax − 2xeax − aeax − 2x(

x2 − 1)2 con Dom( f ) = {x ∈ R /x , ±1 }

(f) f (x) = ln(ax + bax − b

)es continua y derivable si el argumento del logaritmo es positivo

f ′(x) =−2ab

(ax + b)(ax − b)con Dom( f ) =

{x ∈ R

/ax + bax − b

> 0}

= (−∞,−ba ) ∪ ( b

a ,+∞)

(g) f (x) = sen(ax) cos(ax) es continua y derivable con f ′(x) = a cos2(ax) − a sen2(ax)

(h) f (x) =sen(ax)cos(bx)

es continua y derivable si el denominador no se anule

f ′(x) =a cos(ax) cos(bx) + b sen(ax) sen(bx)

cos2(bx)con Dom( f ) = {x ∈ R /cos(bx) , 0 }

Obsérvese que dentro de[0, 2π

b

]hay dos puntos en los que no está definida (x = π

2b , x = 3π2b ). Esta

situación se repite en cada periodo ya que la función cos(bx) es periódica de periodo 2πb .

(i) f (x) = x arc tg(ax2 + b

)es continua y derivable siempre

f ′(x) =2ax2(

ax2 + b)2

+ 1+ arc tg

(ax2 + b

)♣




Maxima 1.73 La compañía Refresquillos S.A. compra agua tratada para su produción de refrescos con un

coste estimado en miles de euros al comprar x hectómetros cúbicos que viene dado por la función

C(x) = ln(x2 − 4)

a) Representar la función de costes y determinar los valores de la variable para los que tiene sentido.

b) Determinar sus derivadas de primer y segundo orden, indicando donde tienen sentido.

c) Determinar su diferencial en x = 4 y la correspondiente aproximación lineal en torno al punto.

d) Determinar una aproximación no lineal en torno a x = 4 mediante el polinomio de Taylor de orden

dos.

e) Estudiar la convexidad y concavidad de la función.

f) Si actualmente la empresa compra 4 hm3 de agua, ¿cuál es el coste que soporta la empresa?. ¿En que

proporción aumentaría este coste si se produjera un pequeño incremento en la cantidad comprada?.

Solución El primer paso es definir la función:

( % i1) C(x):=log(xˆ2-4);

C(x) := log(x2 − 4

)( % o1)

Utilizamos el comando wxplot2d para representar la función, lo que nos permite visualizar su comporta-

miento y, en particular, su dominio ylos valores para los que tiene sentido económico.

( % i2) wxplot2d(C(x),[x,0,10])$

plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.




( % t2)

a) Para determinar el dominio de la función y los valores de la variable para los que tiene sentido económico

necesitamos ayudar al programa indicando las condiciones que tiene que cumplir la función mediante de-

sigualdades (solo trabaja bien con desigualdades lineales). Así, para determinar el dominio imponemos que

el argumento del logaritmo sea positivo y para determinar los valores para los que la función tiene sentido

económico imponemos que el argumento del logaritmo sea mayor o igual que uno y que la variable sea

positiva.

( % i3) ineq1:xˆ2-4>0$

( % i4) ineq2:xˆ2-4>=1$

Utilizaremos el comando fourier_elim para lo que tenemos que cargar el paquete del mismo nombre

(no siempre obtenemos respuestas útiles). Otras opciones son el comando solve_rat_ineq del paquete del

mismo nombre (puede dar mejor resultado pero solo se puede utilizar si tenemos una única desigualdad)

y %solve del paquete to_poly_solve (es equivalente y unicamente difiere en el formato de la respuesta).

( % i5) load(fourier_elim)$

( % i6) fourier_elim([ineq1],[x]);

[2 < x]or[x < −2] ( % o6)




( % i7) fourier_elim([ineq2,x>=0],[x]);

[x = 0,−5 = 0]or[x = 0,−5 > 0]or[0 < x, x2 − 5 = 0]or[0 < x, x2 − 5 > 0] ( % o7)

b) Para calcular las derivadas de la función en un punto genérico utilizamos el comando diff y para cal-

cular su valor en un punto concreto loscomandos ev y at que permiten sustituir variables por números. La

diferencia entre ambos comandos se aprecia al sustituir en ciertas expresiones, ya que el comando ev rea-

liza la sustitución antes de evaluar la expresión y el comando at después. Para obligar a que se realice la

evaluación previamente a la sustitución cuando utilizamos el comando ev anteponemos dos apostrofes a la

expresión, cuya misión es forzar la evaluación (para que no se evalue se antepone un único apostrofe):

( % i8) diff(C(x),x);

2xx2 − 4

( % o8)

( % i12) ev( %,x=4);

/* Alternativas */

at( %th(2),x=4)$

ev(”(diff(C(x),x)),x=4)$

at(diff(C(x),x),x=4)$

23

( % o9)

Las derivadas sucesivas se obtienen también con el comando diff




( % i13) diff(C(x),x,1);

2xx2 − 4

( % o13)

( % i14) diff(C(x),x,2);

2x2 − 4

−4x2(

x2 − 4)2 ( % o14)

c) La diferencial se obtiene también con el comando diff y para definir la aproximación lineal correspon-

diente a la recta tangente vamos autilizar el comando define, que evalúa previamente su expresión.

( % i15) diff(C(x));

2x del(x)x2 − 4

( % o15)

( % i16) at(diff(C(x)),x=4);

2 del(x)3

( % o16)

( % i17) subst((x-4),del(x),at(diff(C(x)),x=4));

2 (x − 4)3

( % o17)

( % i18) define(g(x), C(4)+subst((x-4),del(x),at(diff(C(x)),x=4)));

g(x) :=2 (x − 4)

3+ log (12) ( % o18)




( % i19) wxplot2d([C(x),g(x)], [x,0,10])$

( % t19)

d) Como aproximación no lineal en x=4 tomamos el polinomio de Taylor de orden dos en torno al punto,

que se puede definir análogamentea la recta tangente o directamente con el comando taylor

( % i20) define(h(x), taylor(C(x),x,4,2));

h(x) := log (12) +2 (x − 4)

3−

5(x − 4)2

36+ ... ( % o20)/T)

( % i21) wxplot2d([C(x),g(x),h(x)], [x,0,10])$

( % t21)




e) Para determinar la convexidad y concavidad analizamos el signo de la derivada segunda.

( % i22) fourier_elim(diff(C(x),x,2)>=0,[x]);

emptyset ( % o22)

( % i23) fourier_elim(diff(C(x),x,2)<=0,[x]);

universalset ( % o23)Es cóncava ya que siempre es negativa (si imponemos que existan tanto la función como la derivada y

que tenga sentido económico no obtenemos información útil):

( % i24) fourier_elim([diff(C(x),x,2)<=0,ineq1,ineq2, x>=0],[x]);

[2 < x, x2 − 5 = 0]or[2 < x, x2 − 5 > 0] ( % o24)

f) El coste actual corresponde al valor de la función en el punto, C(4), y la proporción con la que aumentan

los costes cuando se produce unpequeño incremento en la compra de agua corresponde a la derivada de la

función en x=4, C’(4).

( % i26) C(4);

float( %);

log (12) ( % o25)

2.484906649788 ( % o26)

( % i28) at(diff(C(x),x),x=4);

float( %);

23

( % o27)

0.6666666666666666 ( % o28)



tema 1 funciones reales de una variable realel dominio de f, d, son los puntos en los que está...

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