Telecomunicaciones

Definición.- (International Telecommunication Union) es toda emisión, transmisión y recepción de signos, señales, escritos e imágenes, sonidos e informaciones de cualquier naturaleza, por hilo, radioelectricidad, medios ópticos u otros sistemas electromagnéticos.

Telecomunicaciones

Temario Trigonometría. Álgebra vectorial. Funciones Cálculo diferencial. Cálculo integral.

Criterios de valuación

Unidades I, II, III, IV.

Asistencia 10% Participación 10% Quiz 10% Examen 70% 100%

Nota: 10 minutos de tolerancia.

Criterios de valuación

Unidad V

Asistencia 10%Participación 10%Tarea Integradora 30%Examen 50% 100%Nota: 10 minutos de tolerancia.

Examen diagnostico

a) -19+12

b) -16 -15c)

d) (- 15)*(3)

e) f) 180 – 37g) 57 + x = 180h) 55 + x + 55 + x =

360

Examen diagnostico

a) -19+12 = -7b) = c) = d) -16 -15 = -31e) =

f) (- 15)*(3)= -45

g) = h) 180 – 37= 143i) 57 + x = 180

x=123j) 55 + x + 55 + x =

360 x=125

ÁNGULO

DEFINICIÓN. Se le denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que parten de un punto llamado “Vértice” y las semirectas reciben el nombre de “lados del ángulo”.

yz

x

ANGULO

VérticeLado yz

Nomenclatura de Ángulo

a) Una letra mayúscula situada en el vértice.

Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

V

Ángulo cuyo vértice es V

Nomenclatura de Ángulo

Colocando una letra minúscula dentro del ángulo generalmente se emplea una letra del alfabeto griego.

“Ángulo cuyo valor es ”

𝛂 𝛂

Radianes

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Sexagesimal

Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. Están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).

1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12°34′34″ 13°3′23,8″ 124°45′34,70″ -2°34′10″

Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que:

1’ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígitos)

1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0,00027778°

Así 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°

Clasificación de ángulos según su medida

Un ángulo agudo tiene menos de 90°.

𝛂V

Clasificación de ángulos según su medida

Un ángulo obtuso tiene más de 90°, pero menos de 180°.

𝛂V

En función de su posición, se denominan: Ángulos adyacentes, los que tienen un

vértice y un lado común, los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.

Ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común.

Ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

Ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan: Ángulos congruentes, aquellos que

tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.

Ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.

Ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.

Ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Clasificación de ángulos según su medida

Ejercicios

Ejercicios

Radianes a grados

Si la circunferencia tiene una longitud de  2πr, entonces el ángulo que forma  mide  2πr = 360°. 

Si r = 1, entonces π = 180°.    π = 3.1416 entonces,      

 1 radián = 57º 17’ 45’’ = 57.29583º 

Radianes a grados

   rad convertirlo a grados

360° x

x =

Grados a radianes

   128º Convertirlos a radianes

360° x 128°

x = =

Ejercicios

1) 25º a radianes. 2) 5/3 π rad a grados.  3) 125º a radianes. 4) 7/6 π rad a grados.  5) 2,054º a radianes.  6) 19/2 π rad a grados.  7) 23º25’12’’ a radianes.  8) 12.85 π rad a grados.  9) 1,256º12’’ a radianes.  10) 7/4 π rad a grados. 

Ejercicios

Convertir a radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales:

1) 95 grados 2) 200 grados 3) 250 grados 4) 15 grados 5) 330 grados 6) 240 grados 7) 180 grados 8) 30 grados 9) 45 grados 10) 210 grados 11) 270 grados 12) 320 grados

Ejercicios

3π/5 radianes 11π/6 radianes 7π/3 radianes 2 π/3 radianes π/43 radianes

Quiz

1. Dar la definición de ángulo.2. ¿Cuántos segundos tiene un grado?3. ¿Cuánto mide un ángulo agudo, en radianes?4. Definir ángulos suplementarios5. Consideremos un cable utp de de largo, ¿Cuántas vueltas le daremos al carrete de radio uno? Y un carrete de radio 2?

Quiz Definir ángulos complementarios Encontrar la medida del ángulo

adyacente, en radianes.

Decir que tipo de ángulo es el anterior. Convertir a grados 2π/3 radianes Dar el radio que necesita medir un

carrete para que un cable utp le de 7 vueltas completas 154π radianes

30°

Preguntas de repaso

Nombres de los sistemas empleados para medir ángulos.

¿Cuántos minutos son 13 grados? ¿A cuántos segundos sexagesimales

equivalen 48°59’? ¿A cuántos grados y minutos

sexagesimales equivalen 94380”? La longitud de cualquier circunferencia,

a cuántos radianes equivale?

Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulosa) 5.63 rad ______________

b) 2.49 rad ______________ c) 7.81 rad ______________ d) 9.4248 rad ______________Expresa los siguientes ángulos en radianes a) 38° _______________ b) 147° _______________ c) 255° _______________ d) 660° _______________

Expresa en grados, minutos y segundos sexagesimales los siguientes ángulos

a) 0.79483 rad _______________ b) 1.25869 rad _______________ c) 2.96571 rad _______________ d) 3.54209 rad _______________Expresa en radianes los siguientes ángulos a) 41°20’54” ________________ b) 171°29’43” ________________ c) 219°05’36” ________________ d) 327°53’12” ________________

Si KOL=2x, LOM=6x y MON=x, ¿Cuánto mide cada ángulo?

M

ON

L

Kx

6x

2x

¿Cuánto mide un ángulo recto? ¿Dos ángulos rectos dan lugar a un

ángulo? ¿Cuánto mide un ángulo completo? Defina dos ángulos consecutivos. ¿Qué son ángulos adyacentes? ¿A qué se le llama ángulos opuestos

por el vértice? ¿Qué son ángulos conjugados? ¿Qué son ángulos suplementarios? ¿Qué son ángulos complementarios?

• Un ángulo ______________________ equivale a dos rectos.

• Un ángulo completo equivale a ______________________ rectos.

Encuentra, los ángulos complementarios y suplementarios.

Calcula la medida del ángulo complementario en cada caso.

Triángulo

Es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

AFIRMACIÓN.-

En cualquier triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos.

AFIRMACIÓN.-

En cualquier triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos.

¿Qué es un triángulo rectángulo?

¿Son triángulos rectángulos?

Triángulos rectángulos

Características de los triángulos rectángulos.

En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados.

AC

B

b

ca

Teorema de Pitágoras

En los triángulos rectángulos el cuadra- do del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Encontrar el valor de x

3 cm

4 cm

x

Encontrar el valor de x

8 cm

6 cm x

Ejercicio

Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado.

EjercicioLa sombra de un pino de 1.56 m de altura es de 1.2 m; en ese mismo momento, otro pino proyecta una sombra de 1.83 m. Encuentre su altura.

Una repisa está sostenida por un soporte de metal, como se muestra en la figura. Si A = 7 cm, obtén el valor de la longitud L de la repisa. L

23 cm

A

32 cm

Encontrar el valor de x , el valor de y.

Un globo de aire caliente se encuentra a una altura de 300 metros sobre un punto A en el Valle de Acapulco. A una distancia de 500 metros (en el mismo valle) se encuentra el punto B. Determinar la distancia d entre el globo y el punto B.

La distancia entre el extremo superior de una torre de comunicaciones y el extremo de su sombra es 85 metros. La longitud de la sombra de la torre es 80 metros.

a) Determinar la altura de la torre.

b) Al otro lado hay un cable de 60 metros que ayuda a sostener la torre. Si el cable va desde el extremo superior de la torre hasta un punto A en el suelo, determinar la distancia entre A y la base de la torre.

Cateto adyacente

𝛂

Cate

to o

pu

esto

Razones trigonométricas

=

Quiz

Da la razón entre cateto adyacente sobre hipotenusa.

Da la razón entre cateto opuesto sobre hipotenusa

Da la razón entre hipotenusa sobre cateto opuesto.

Da la razón entre hipotenusa sobre cateto adyacente.

Da la razón entre cateto adyacente sobre cateto opuesto.

ejemplo:

𝛂

3

4

5

Sen = cos = tg =

𝛂

4

3

5

Sen = cos = tg =

Sec = cotg = cosec =

Encontrar los siguientes valores:

𝛂3

4

x��

Encontrar los siguientes valores:

𝛂x

4

9𝛃

Encontrar los siguientes valores:

𝛂70

96

x𝛃

Encontrar los siguientes valores:

37 °y

6.4 m

x𝛃

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado en la figura

𝛃 6 m

8 m

10 m

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado en la figura

22 cm

35 cm

41.34 cm𝛃

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones

trigonométricas del ángulo señalado en la figura

𝛃3 cm5 cm

2 cm

𝛂

Dados los valores de las siguientes funciones trigonométricas, determinar el valor de las demás funciones, indicando en un triángulo rectángulo la longitud faltante

Sen =

tg =

cosec = cotg =

cos =

Sec =

Un albañil tiene que construir una escalera de 18 m; ¿Qué ángulo debe hacerle formar con el piso, si tiene que alcanzar una altura de 8m?

El pie de una escalera de 12 m, apoya-da contra una pared, queda a 5 m de esta, suponiendo que el suelo es hori-zontal, ¿Qué ángulo forma la escalera y el suelo?

Cálculo Vectorial

Existen dos formas de sumar vectores:

Regla del paralelogramo.

Suma por componentes.

Regla del paralelogramoconsiste en colocar uno de ellos y en el extremo de éste se coloca el origen del otro siendo el vector resultante aquel que tiene de origen el del primero y de extremo el del segundo.

Propiedades de los vectores

Conmutativa A + B = B +A

Asociativa (A + B) + C = A + (B + C)

La resta de vectores A y B es (A-B) es igual a la suma de A con el opuesto de B, es decir [ A + (-B)].

Suma por componentes

Dados dos vectores U y V de , se define la suma de U y V como sigue:

U + V= ( , + )

Análogamente para vectores U y V en :U + V= ( , + , + )

Ejemplos:

Dados los vectores U=(2, 4, 8) y V=(1, -3, 1). U + V 3U + V V – 4U V – 4U – (2U + 8V) U + ( U + V)

Función

Definición. f es una función del conjunto A en el conjunto B si a todo elemento de A se le asocia solo un elemento de B.

De aquí para adelante solo definiremos funciones de los números reales a números reales.

Ejemplos:

f(x)= x f(x)= x + 3 f(x)= x – 5 f(x)= 3x f(x)= 2x + 5 f(x)= f(x)=

Operaciones con funciones

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por 

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces:( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)= 2x + 1 + |x|

( h + f )(2) = h(2) + f(2) = |2|+ 2( 2 ) + 1= 7

Función Diferencia Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por

( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x2 entonces: ( f - g )( x ) = f(x) - g(x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2

( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = - 2

Función Producto Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por 

( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Si g (x) = x2 y h (x) = x - 2 entonces:

( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2

(h•g )(5) = h(5) •g(5) =( 5 - 2 )( 5 )2 =3(25)= 75

Función Cociente Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por 

Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 , entonces:=

Composición de funciones

Sean f(x) y g(x) son dos funciones con sus dominios , entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por:

(f○g) (x)= f(g(x))

Ejemplo:

Sea f(x)=3x-1 y g(x)=x+5, entonces:

(f○g) (x)= f(g(x))=f(x+5)= 3(x+5) -1= 3x + 14

(g○f) (x)= g(f(x))=g(3x-1)= (3x -1) +5= 3x + 4

Sea f(x)= 1-x, g(x)= h(x)= , j(x)= , halla las funciones indicadas e identifica el Dominio de cada una de ellas. ( f + g ) (x) ( g – f ) ( x ) (g-f)(2) (j· f )(x) ( j· f )( -1 ) (g/f)(x) (f(j(x)) j○f(x)) h○(j(x))