tecsup c64

7/23/2019 TECSUP C64

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TECSUP - PFR Matemática I

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UUNNIIDD A ADD II V V

LL A A LLÍÍNNEE A A R R EECCTT A A

Todos tenemos la idea intuitiva de los que es una recta. Las propiedadesfundamentales de la recta de acuerdo a los axiomas de Euclides son:

1. Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta.

2. Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o son paralelas.

1. LA PENDIENTE DE UNA RECTA

La inclinación de una recta que interseca el eje X es el menor ángulo, mayor oigual que 0°, que forma la recta con la dirección positiva del eje X.

La inclinación de una recta horizontal es 0.

De acuerdo con esta definición, la inclinación θ de una recta es tal que:

0 180θ ° ≤ < °

, o , en radianes, 0 θ π ≤ <

En la siguiente figura, la inclinación de la recta L se indica mediante flechascurvadas. MX es el lado inicial y ML es el lado terminal.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, es un númeroque mide que tan inclinada está la recta y hacia dónde está inclinada.

X

Y

O

L

θ

M X

Y

O

L

θ

M

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Matemática I TECSUP - PFR

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Usualmente se denota con la letra m a la pendiente; para encontrar la pendientede una recta no vertical tomamos dos puntos 1 1( ; )P x y y 2 2( ; )Q x y de la recta

y calculamos el cociente:

Si la recta es vertical, todos los puntos de la recta tienen la misma primeracoordenada, entonces el denominador de la expresión anterior vale cero y por lotanto, no puede evaluarse m , así que las rectas verticales no tienen pendiente.

OBSERVACIONES

• La pendiente es positiva cuando la recta está inclinada hacia la derecha.

• La pendiente es cero cuando la recta es horizontal.

• La pendiente es negativa cuando la recta está inclinada hacia la izquierda.

• Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta esta másinclinada.

• Una recta vertical no tiene pendiente.

Ejemplo: Observe las siguientes rectas y sus pendientes.

7 3 4

2 ( 1) 3m

−= =

− −

4 26

2 1m

− −= = −

−

3 ( 3)0

2 1m

− − −= =

− −

2 1

2 1

y y m

x x

−=

−

X

Y

P (2;7)

Q (-1;3) X

Y

P (2;-4)

Q (1;2)

X

Y

P (-2;-3) Q (1;-3)

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RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

a) Si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales.

b) Si dos rectas L 1 y L 2 son perpendiculares la pendiente de una de ellas esigual al reciproco (inversa) de la pendiente de la otra con signo contrario.

Esto es, si m1 es la pendiente de la recta L 1 y m 2 es la pendiente de la recta L 2 entonces:

1 1 2

2

1o bién 1m m m

m

−= × = −

Es la condición para que sean perpendiculares.

2. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LA PENDIENTE Y UN PUNTO DEELLA

Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical L quepasa por un punto 1 1( ; )P x y y tiene pendiente “m”.

Si ( ; )Q x y es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer: 1

1

y y m

x x

−=

−

Luego: (1)L

Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de larecta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, yrecíprocamente si vemos una ecuación de ese tipo, podemos saber por qué

punto pasa la recta y qué pendiente tiene.

X

Y

P(x 1;y 1)

Q(x ; y )

1 1( )y y m x x − = −

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Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (4; 1)− y tiene pendiente -2

Resolución:

1 12 ( ; ) (4; 1)m x y = − = −

( 1) ( 2)( 4)y x − − = − −

si queremos simplificarla:

1 2 8y x + = − + 2 7y x = − +

Podemos escribir la ecuación de una recta de varias maneras, dependiendo delos datos que sepamos de ella, y recíprocamente, si tenemos la ecuación de unarecta, podemos llevarla a distintas formas, y obtener de esas expresionesdistintas informaciones acerca de la recta.

3. ECUACIÓN PENDIENTE - ORDENADA AL ORIGEN

Es cuando conocemos la pendiente m y el punto donde corta al eje Y , queusualmente se denota con la letra b y se llama ordenada al origen.

Tomando el punto (0; )P b y la pendiente dada, sustituimos en la ecuación (1) y

obtenemos:

( 0)y b m x − = −

que también puede escribirse como (2)L

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y que corta al eje Y en elpunto – 1.

Resolución 3 1m b = = − = + − ⇒ = −3 ( 1) 3 1y x y x

y mx b = +

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BLOQUE I

1.-

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados

a) −( 9 ; 0) y (0 ; 3) b) − − −

−3 1 8

( ; ) y ( ; 4)2 2 3

c) (3 ; 2) y (6 ; 2) d) − − −( 5 ; 3) y (4 ; 7)

e) −(5 ; 2) y ( 1 ; 4) f) (2 2 ; 3 2) y (4 2 ; 2)

g) (2 ; 2) y (1 ; 6) h) −( 5 ; 5) y (1 ; 1)

i) (1 / 4 ; 1 /2) y (3 ; 5 /2) j) −( 5 ; 5) y (1 ; 1)

2.- Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente “m” y que corta al eje Y enel punto dado.

a) = =3 5m b b) = − =6 2m b

c) = =0 5m b d) −

= =2

73

m b

e) = =1 9m b f) = = −5 4m b

g) = = −4

85

m b h) −

= − =3

124

m b

i) = =1 6

2 7m b j) = =

916

8m b

3.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene pendiente “m”

a) = −(2 ; 3) y 1m b) − − =( 1 ; 5) y 0m

c) = −(0 ; 4) y 2 /3m d) − =(8 ; 4) y 2m

e) − − =4

( 3 ; 7) y7

m f) =(2 ; 7) y 5m

g) π =(2 ; 0) y m h) − − = −( 5 ; 5) y 1 /2m

i) π =(1 ; ) y 5 /3m j) =(0 ; 0) y 3m

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4. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS DE ELLA

Veamos ahora como encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

1 1 2 2( ; ) y ( ; )P x y Q x y dados.

Conociendo dos puntos de la recta, podemos encontrar su pendiente:

−=

−

2 1

2 1

y y m

x x

Ahora, tomando como punto fijo cualquiera de los dos que conocemos, podemossustituir en la ecuación (1) y obtener:

(3)L

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos −(4; 1) y (8;3)P Q

Resolución Hallemos− − −

= = =− −

1 3 41

4 8 4m

Luego: − − = − ⇒ = −( 1) 1( 4) 5y x y x

5. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La ecuación general de la recta se obtiene pasando todos los términos de laecuación a un solo miembro de manera que este quede igualado a cero.

(4)L

Ejemplo:

Escribir = +4 5y x en la forma general

Resolución:

Hacemos la transposición respectiva y obtenemos: − + =4 5 0x y

−− = −

−

2 11 1

2 1

( )y y

y y x x x x

+ + = 0 Ax By C

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6. RECTAS VERTICALES

Las ecuaciones anteriores sirven para representar cualquier recta excepto a las

rectas verticales ya que estas no tienen pendiente.

Sin embargo, las ecuaciones para las rectas verticales son muy sencillas, ya quetodos los puntos de ella tienen la misma coordenada X o abscisa

Así la ecuación de la recta vertical que pasa por el punto ( ; )h k es x = h

Ejemplo:

La recta vertical que pasa por (3 ; 2) tiene por ecuación: x = 3

7.

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Consideremos dos rectas que se cortan en el punto A como se observa en lafigura.

En el triángulo ABC α θ α + =1 2 θ α α ⇒ = −1 2 1

Así que para encontrar el ángulo formado por las dos rectas, restamos losángulos que forman ellos con la parte positiva del eje X .

Podemos también expresar a la tangente de θ directamente en términos de laspendientes de las rectas 1 2L y L

X

Y

O

L 1

θ

A

2α 1

α

L 2

α α θ α α

α α

− −= − = =

+ +

2 1 2 12 1

2 1 2 1

tan tantan tan( )

1 tan .tan 1 .

m m

m m

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BLOQUE II

1.-

En cada caso escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.

a) − −( 6 ; 2) y (3 ; 1) b) − −(2 ; 0) y ( 2 ; 1)

c) −(3 ; 4) y (2 ; 2) d) (5 ; 3) y (5 ; 8)

e) 1 5

( ; 5) y (2 ; )6 2

f) −(0 ; 25) y ( 25 ; 6)

g) (7 ; 2) y (2 ; 7) h) − −(1 ; 1) y ( 2 ; 2)

2.- Di en cada caso, qué información inmediata te proporciona cada ecuación:

a) = +3

85

y x b) + = −9

1 ( 3)8

y x

c) − + =6 9 7 0x y d) − =3 0x

e) −

− = −−

3 22 ( 6)

4 6y x f) = − +7( 1)y x

g) + =9 0y h) − + =5 8 3 0x y

i) + = − +4

4( 3)5

y x j) + − =3

5 12 04

x y

3.- Los vértices de un triángulo son − −( 5 ; 3) ; (1 ; 3) y ( 1 ; 6) A B C dibujarlo y

encuentra las ecuaciones de sus lados.

4.- Los vértices de un cuadrilátero son:− − − −(5 ; 2) ; (4 ; 4) ; ( 1 ; 2) y ( 2 ; 2) A B C D dibujarlo; encuentra las

ecuaciones de sus lados y hallar la ubicación del punto de corte de las diagonales.

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5.- Encuentre el ángulo formado por la recta dada con el eje X .

a) + + =2 6 0x y b) − − =3 2 5 0x y

c) − + =2 3 0x y d) + + =4 0x y

e) + − =5 6 12 0x y f) − + =7 3 6 0x y

6.- Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto P y forma el

ángulo α dado con el eje X

a) α − − = °( 2 ; 1) ; 120P b) α − = °(4 ; 3) ; 45P

c) α = °(5 ; 8) ; 30P d) α = °(3 ; 5) ; 75P

e) α − − = °( 1 ; 5) ; 60P

En los ejercicios 7 al 16, encuentre el punto de intersección del par de rectas de cadaproblema.

7.- − = + =2 5 20, 3 2 11x y x y 8.- − = + =2 3 6, 3x y x y

9.- + = − =4 3 28, 2 3 5x y x y 10.- − = − =5 4 7, 3 2 4x y x y

11.-

+ = − = −3 2 30, 3 5 19x y x y 12.-

− = + = −3 6 13, 4 3 1x y x y

13.- + = − =2 3 8, 2 3 4x y x y 14.- − = + = −4 3 8, 2 6 1x y x y

15.- + = − =3 5 6, 5 10x y x y 16.- + = − =5 4 50, 5 4 50x y x y

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17.- Encuentre el ángulo formado por las rectas:

a) + = − + =3 0 ; 5 0x y x y b) + − = − − =5 6 7 0 ; 4 3 11 0x y x y

c) − − = − + =2 1 0 ; 1 0x y x y d) + − + = − + − =3 2 0 ; 3 2 1 0x y x y

e) − + + = + − =5 2 4 0 ; 6 0x y x y f) + − + = − + − =3 3 4 0 ; 3 3 4 0x y x y

18.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y es perpendiculara la recta dada.

a) − + − =( 3 ; 1) ; 5 6 13 0P x y b) −

− + =1 1

( ; ) ; 8 02 2

P x y

c) − + − =( 2 ; 4) ; 7 3 1 0P x y d) − − =(0 ; 3) ; 5 3 0P x y

e) + =(0 ; 0) ; 0P x y f) =(2 ; 2) ; 1P y

g) − − + =( 9 ; 12) ; 2 9 0P x y h) + + =(7 ; 0) ; 4 7 21 0P x y

19.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y es paralela a larecta dada.

a) − = +3

( 2 ; 3) ; 44

P y x b) + − =(0 ; 0) ; 5 12 0P x y

c) − = +( 2 ; 1) ; 5P x y d) − = −

5( ; 4) ; 22P y

e) =(5 ; 5) ; 3P x f) + =(3 ; 4) ; 2 0P x y

g) − + =(0 ; 8) ; 11 5 7 0P x y h) − − =(3 ; 3) ; 0P x y

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20.- Encuentra la ecuación de un bisector perpendicular de la recta que une los puntos A y B en los siguientes ejercicios.

a) −(6;4), (4; 2) A B b) − −( 1; 3), (3;5) A B

c) −(0; 4), (4;6) A B d) − −( 1;12), ( 1;4) A B

21.- Sea r la recta que pasa por los puntos −(2;1) y (4; 3) A B . ¿Cuál es la pendiente

de una recta L tal que el ángulo entre r y L es 45°?

22.- Dados dos vértices opuestos de un cuadrado −(2;2) y ( 5;3) A B . Hallar los otros

dos vértices.

23.- Dado el triángulo − − − −( 2;3), ( 4; 4) y (3; 2) A B C , hallar el ángulo que forman la

mediatriz del lado AB con la mediana trazada desde C .

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ANOTACIONES:

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