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INTRODUCCIÓN

La obtención de imágenes de satélite adquiridasen diversos rangos de frecuencias nos permite acce-der a estimaciones razonables del valor de determi-nadas variables intensivas (como la temperaturasuperficial del mar –SST–) sobre áreas determina-das por la capacidad resolutiva de la malla de cap-tores utilizada. Estas variables proporcionan infor-mación sobre el estado termodinámico del mar,pero no dan información directa sobre el movi-miento de las masas de agua. Sin embargo, laestructura y distribución de estas variables no escompletamente aleatoria, sino que viene determina-da por la evolución pasada y movimiento presentedel océano, ya que se comportan como trazadoresmás o menos pasivos. Con todo, extraer el campode velocidades a partir de estas variables es un pro-blema inverso muy complejo e irresoluble en lapráctica sin las aproximaciones convenientes.

La estimación más directa del campo de veloci-dades es conseguida por los satélites altimétricos,los cuales nos proporcionan mediciones del nivel deelevación del mar, a partir del cual se puede dedu-cir el campo de corrientes en la aproximación geos-trófica. Sin embargo, los satélites altimétricos sóloproporcionan información a lo largo de la traza delsatélite, así que se debe combinar la información dediversas trazas por medio de técnicas de análisisobjetivo (LeTraon et al., 1998) para obtener verda-deros mapas de altimetría. Dado que las trazas sonadquiridas de modo no simultáneo, los mapas asíconstruidos sólo podrán considerarse sinópticos aescalas suficientemente grandes. En latitudesmedias y con la red actual de satélites altimétricosse puede conseguir construir mapas de resoluciónrazonable para el tamaño de la mesoescala (~30Km) cada 10 días, aproximadamente.

Aún cuando la resolución espacial y temporalde los mapas altimétricos es adecuada para el

Revista de Teledetección. 2006. Número Especial: 134-138

Técnicas multifractales para la extracción de lafunción de corriente a partir de imágenes de la superficie del mar

A. Turiel, V. Nieves y E. García-Ladona{turiel,vnieves,emilio}@icm.csic.es

Institut de Ciències del Mar (CSIC). Passeig Marítim de la Barcelonesa 37-49. 08003 Barcelona

RESUMEN

Uno de los grandes retos de la teledetección oceá-nica es la obtención de magnitudes dinámicas rele-vantes a partir de imágenes de satélite de trazadoresde diversos tipos (e.g. temperatura superficial, con-centración de clorofila, etc). En este artículo discuti-mos cómo el uso de nuevas técnicas de análisis desingularidades permiten recuperar las principaleslíneas de corriente instantáneas, y cómo éstas puedenser usadas, dentro de la aproximación geostrófica,para deducir la función de corriente asociada, conmejor resolución espacio-temporal que otras técnicassimilares. Así mismo, discutiremos algunas otras apli-caciones potenciales de este método.

PALABRAS CLAVE: análisis de singularidades,detección de estructuras, estimación del movimiento,multifractalidad.

ABSTRACT

One of the greatest challenges in the remote sen-sing of the ocean is the obtention of relevant dynami-cal quantities from satellite images of different tracers(e.g., SST, chlorophyll concentration, etc). In thispaper we will discuss how the use of new techniqueson singularity analysis allow to retrieve the main ins-tantaneous stream lines, and how these can be used, inthe context of the geostrophic approximation, todeduce the associated stream function, with betterspatial and temporal resolution than other methods.Besides, we will discuss some of the potential appli-cations of this method.

KEY WORDS: singularity analysis, pattern recogni-tion, motion estimation, multifractality.

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estudio de muchos fenómenos de interés oceano-gráfico, ésta dista mucho de lo que sería deseablepara aplicaciones más operacionales. Hace yamás de 20 años se han propuesto múltiples apro-ximaciones para extraer el campo de velocidadesdirectamente de las imágenes de trazadores.Todos los métodos se basan en el seguimiento deestructuras observables en los trazadores a travésde secuencias de imágenes; citemos aquí el méto-do MCC (Emery et al., 1986; García y Robinson,1989) y el Optical Flow (OF) (Béréziat y Berroir,2000). Estos métodos implican una pérdida enresolución espacial y temporal, lo que conduce acampos de velocidad resueltos sólo ligeramentemejor que los altimétricos.

Recientemente, se ha propuesto un nuevo méto-do –denominado Método de la Función deCorriente Máximo Singular, FCMS– para la eva-luación de la función de corriente a partir de imá-genes de trazadores (Turiel et al., 2005). Dichométodo se basa en las propiedades de multifracta-lidad inducidas en el trazador por la estructuraturbulenta del campo de velocidades subyacente.El método permite hacer una obtención muy finade estructuras y garantiza la mejor resoluciónespacial y temporal posible: los campos de velo-cidad tienen la resolución espacial de las imáge-nes de partida, y son instantáneos. Sin embargo,los campos necesitan ser re-calibrados localmen-te, ya que el método sólo proporciona velocida-des adimensionalizadas.

En este artículo haremos una revisión de estemétodo y discutiremos sus aplicaciones potencialesy extensiones futuras

MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE CO-RRIENTE MÁXIMO SINGULAR

Análisis de singularidades

El análisis de singularidades se basa en que, enun fluido turbulento, todas las variables domina-das por la mecánica del fluido acaban siendodominadas por la intermitencia. Esto implica quesus valores, aún cuando son extremadamente caó-ticos, han de seguir una estadística caracterizadapor una distribución infinitamente divisible, conmodas pequeñas y colas largas y pesadas (elevadacurtosis) (Dubrulle 1994). Esto implica, en añadi-dura, que la relevancia de una estructura en laorganización del fluido es local y por tanto no se

han de buscar umbrales globales, sino locales yadaptados al seguimiento de la cascada multipli-cativa predicha por la teoría estándar de la Turbu-lencia Completamente Desarrollada. Esta relevan-cia local de cada punto viene medida por elexponente de singularidad local, h(x), que se cal-cula por proyección de wavelets a diversas esca-las. Si la señal a analizar es s(x), dada una wave-let (para nosotros, función escalable) F(x),definimos la proyección de s sobre F a la escala ry el punto x ∈ R2 como:

TF s(x,r) = r2 ∫dy F((x-y)/r) s(y)

La proyección en wavelets permite hacer unzoom local –regulado por el parámetro de escala r-sobre el comportamiento de s alrededor del puntox, y por eso es útil para determinar su estructura.En sistemas dominados por la turbulencia del flui-do subyacente se ha podido comprobar (Frisch1995; Arnéodo et al., 1995) que las proyeccionesen wavelet del gradiente de la señal dependen delparámetro de escala r como una ley de potencias,esto es,

TF |∇s| (x,r) = a(x) rh(x)

El exponente de singularidad local h(x), que nodepende de la wavelet (Arneodo et al., 1995), nospermite caracterizar localmente la regularidad oirregularidad de la función en ese punto; valoresmenores de h(x) (típicamente negativos) indican uncomportamiento más irregular y singular, mientrasque a medida que h(x) crece la función se vuelvemás suave y se aproxima más a su desarrollo deTaylor. Una señal que posee exponentes de singula-ridad en todos sus puntos se dice multifractal, debi-do a que los conjuntos asociados a cada valor delexponente se organizan como fractales de diferen-tes dimensiones (Frisch 1995). Los escalares en elocéano suelen presentar estructura multifractal(Figura 1).

Construcción de la FCMS

Indicios teóricos y experimentales de datos oceá-nicos (Abraham y Bowen, 2002) y resultados teóri-cos recientes (sin publicar) muestran que las singu-laridades son advectadas por el fluido. Lainterpretación física de esta conservación es que,cuando la turbulencia está completamente desarro-llada, las singularidades h(x) están en equilibrio

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dinámico con el campo de velocidades. Podemosusar esta propiedad para derivar un campo de velo-cidades 2D, lo que puede aplicarse también en elcaso del océano cuando la hipótesis cuasi-geostró-fica es válida. Diseñamos a este fin un algoritmo

que se basa en construir la función de corriente Y apartir de información sobre las líneas de corrienteprincipales. Turiel y del Pozo (2002) demostraronque se puede reconstruir una señal multifractal apartir de su gradiente restringido a un subconjuntofractal particular, la llamada Variedad Más Singular(VMS en lo que sigue). El algoritmo para la gene-ración de la función de corriente (Función deCorriente Máximo Singular (FCMS), denotada porΨM) procede en dos pasos:

1. Se calculan los exponentes de singularidad detodos los puntos, y se separan aquellos asocia-dos al valor más singular (con cierta dispersiónexperimental). Esto determina la VMS (líneasde corriente principales; ver Figura 2).

2. Se asigna un valor consistente al gradiente deΨM sobre la VMS. Como YM es una funciónde corriente, ∇ΨM ha de ser perpendicular alas líneas de corriente de la VMS; pero nosfalta determinar su módulo y sentido. Comocarecemos de esta información dinámica,tomamos ∇ΨM de módulo constante, adi-mensional, y con el mismo sentido del gra-diente de la señal original, ∇s. A contiua-ción, reconstruímos como en Turiel et al.(2002); ver Figura 3.

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Figura 2. Variedad Más Singular, derivada de una imagende SST analizada del 14 de Abril de 2006 (Fuente:http://www.ifremer.fr/las/servlets/dataset).

*Figura 1. Arriba: Imagen de concentración de clorofila enniveles de gris en escala logarítmica, obtenida del satéliteSeaWiFS (procesamiento OC4). Abajo: Singularidadeslocales obtenidas; los colores más brillantes correspondena exponentes más singulares. Las líneas de costa y transi-ciones océano-nube son muy singulares, así como las líne-as frontales; sin embargo, otras estructuras más sutiles,corrientes y meandros también aparecen destacados.

Todas las figuras precedidas de asterisco se incluyen en el cuadernillo anexo de color

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Esta construcción nos permite obtener una fun-ción de corriente adimensional que posee propie-dades importantes; en particular, posee las mis-mas líneas de corriente de la función de corrienteoriginal si las singularidades son advectadas.Comparaciones directas con mapas de altimetríamuestran una buena correspondencia en la mesos-cala (ver Figura 4). Sin embargo, para poder darun uso operacional a la FCMS, ésta ha de ser cali-brada para retornar valores de velocidad condimensiones adecuadas. Además, la hipótesis deceleridad constante sobre la VMS puede fallarlocalmente y, lo que se muestra como más impor-tante en los experimentos, el sentido puede estarinvertido si el gradiente del escalar original noapunta en la misma dirección del gradiente dedensidad.

EXTENSIONES Y LÍNEAS FUTURAS

Calibración de la FCMS

El mayor punto débil de la FCMS son las hipóte-sis de celeridad constante y co-alineación con elgradiente de la señal. Sin embargo, si alguna infor-mación dinámica adicional está accesible es muysencillo implementarla en la construcción: simple-mente, se sustituye ∇ΨM en la VMS por el valorapropiado y se reconstruye de la misma manera queantes. Resultados preliminares integrando datosaltimétricos muestran una gran calidad y buenacorrespondencia con la función de corriente real(Isern-Fontanet et al., 2006).

Detección de estructuras oceánicas

El análisis de singularidades en sí mismo es unapoderosa herramienta para la extracción de estruc-turas, dado que los exponentes h(x) permiten detec-tar transiciones que son localmente importantesaunque sean globalmente irrelevantes; además, porconstrucción, estos exponentes proporcionan unamedida que es invariante de escala, por lo que no seprefija el tamaño de la detección. Como un casoparticular de interés oceanográfico, recientementese ha aplicado esta técnica a imágenes del satéliteMeteoSat para detectar frentes de ondas internas devarios cientos de kilómetros propagándose en marabierto cerca de la Cresta de Mascarene (Turiel etal., 2006); ver Figura 5. El interés de este trabajo esque permitiría reanalizar bases de datos de imáge-nes buscando indicios semejantes; se ha de notarque la presencia de estos frentes de ondas internas

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Figura 3. Función de corriente máximo singular derivada.

Figura 5. Izquierda: Singularidades de una imagen delMeteoSat del 26 de Diciembre de 2004, en la cresta deMascarene (NE de Madagascar; el área mostrada va de57.50 E a 62.50 E en longitud, y de 14.750 S a 8.250 S enlatitud). Las singularides frontales del centro de la imagenson frentes coherentes de ondas internas. Derecha:Superposición de los frentes sobre la batimetría. El frentese amplifica en el canal entre mesetas.

Figura 4. Superposición de las curvas de nivel de unmapa altimétrico sobre la FCMS derivada de SST anali-zada en la zona de cabo Hatteras. La imagen de SST ori-ginal fue obtenida el 31 de Diciembre de 2003.

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era desconocida en la zona observada, ya que sepensaba que la cresta actuaba como un muralla y nohabía propagación al lado oeste.

CONCLUSIONES

En este artículo hemos visto que la técnica delanálisis de singularidades para el tratamiento dedatos en teledetección oceánica es una herramientaprimordial para la obtención de magnitudes física-mente significativas. El análisis de singularidadesresulta especialmente apropiado ya que los datosposeen una estructura caótica determinada por laturbulencia de alto número de Reynolds del océano,y por tanto toda la teoría de turbulencia es aplicable.Es precisamente esta teoría la que predice la orga-nización del fluido en frentes de singularidad, loscuales forman variedades materiales y por tantoconservadas por la evolución.

Gracias a esas propiedades de conservación,hemos visto que se pueden derivar fácilmente apro-ximaciones instantáneas de la función de corrientegeostrófica. Además, el método es fácilmente esca-lable para integrar información dinámica adicionalcuando ésta está disponible.

La técnica de clasificación de singularidades,aunque adaptada para el tratamiento de variablestermodinámicas donde la advección domina, estambién de utilidad para el tratamiento de imagenen general, y así su enorme sensibilidad (ya que sebasa en una caracterización local e independientede la escala) la hace apropiada para detectar ondasque modulan sólo sutilmente la señal percibida porel satélite; así, hemos visto que se puede usar análi-sis de la singularidad para detectar ondas internasen imágenes del espectro visible.

AGRADECIMIENTOS

A. Turiel disfruta de un contrato Ramón y Cajalfinanciado por el MEC. Este trabajo es una contri-bución a los proyectos ESEOO (VEM2003-20577-C14-10) y MERSEA (EU AIP3-CT-2003-502885).

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