TECNICAS DE RESOLUCIÓN DE SUDOKUS

NIVEL MEDIO

“LINEAS DE CANDIDATOS”

Ésta es la primera técnica que no nos dice realmente dónde poner un número, pero, en lugar de esto, nos ayuda a determinar los lugares en los que no podemos emplazarlo. Si usamos marcas de lápiz, esto nos ayudará a eliminar candidatos y, a partir de esto, podremos colocar algunos números.

Si miramos en un recuadro y vemos que todas los lugares en los que podemos colocar un número se encuentran en una sola línea, podremos asegurar que pongamos donde pongamos ese número en dicho recuadro, será en esa línea.

Incluso si no sabemos dónde poner dicho número, podremos utilizar dicho conocimiento, ya que sabremos que en ninguna otra posición dentro de dicha línea (y contenida en los otros recuadros) podrá contener ese número, de forma que podemos eliminar dichos candidatos.

Aquí hay un ejemplo. Echemos un vistazo al recuadro de abajo a la derecha (recuadro número 9).

Sólo hay dos lugares en los que puede ir el 4, y se encuentran en la misma línea (columna).

Esto significa que los 4 de dicha línea deben estar en este recuadro, y no pueden estar en ningún otro lugar de la línea.

Si miramos el resto de posibles lugares para el 4 en la columna...

El resultado es que podemos eliminarlos y dejar el 2 sólo, de forma que podemos rellenar otro valor.

“PAREJAS DOBLES”

Esta técnica consiste en encontrar dos parejas de candidatos para un valor y utilizar esta técnica para eliminar candidatos de otros recuadros.

Echad un vistazo a los lugares en los que podemos colocar un 2 para la segunda columna de bloques

Aquí los tenemos resaltados:

Podemos ver que se encuentran en dos líneas (columnas 4 y 6).

Debido a que los 2s están limitados a estas posiciones en los bloques de arriba, las columnas 4 y 6 se encuentran "cogidas" para este valor. Esto significa que cualquiera de los candidatos para el 2 en el bloque de abajo se puede eliminar de cualquiera de dichas columnas (se ha forzado el 2 en el bloque de abajo en la columna del medio). Podemos eliminar dichos candidatos.

De nuevo esto nos deja un candidato único, el 7, que podemos rellenar.

Esta es una sencilla técnica debido a que sólo necesitamos ver los candidatos en dos bloques.

“LÍNEAS MÚLTIPLES”

Esta técnica es muy similar a la de las Dobles Parejas, pero es un poco más difícil de encontrar. Funciona de la misma manera, pero los candidatos que ocupan las líneas se deben encontrar en dos bloques y podrán haber varios candidatos en cada línea.

Echemos un vistazo a estos dos bloques de 3x3 y veamos donde están los candidatos para el 5

Hemos resaltado los lugares para que sea más sencillo de ver, y, como podréis observar, los candidatos se encuentran sólo en las dos primeras columnas.

Esto significa que las columnas 1 y 2 ya están tomadas para candidatos del 5, dejando el recuadro del medio con sólo la columna 3 para sus 5s.

Esto no nos permite colocar ningún valor, pero por lo menos nos permite eliminar candidatos para el 5 de la columna del medio en el recuadro del medio.

Seguro que esto nos ayuda posteriormente en la resolución del Sudoku.

Esta técnica es un poco más complicada de utilizar debido a que habrá más de dos parejas, pero seguro que nos ayudará a progresar.

NIVEL AVANZADO

“PAREJAS/TRÍOS DESNUDOS”

Esta es una de las técnicas más inteligentes. Consiste en marcar grupos de parejas (o tríos, o incluso cuartetos) en un área. El área puede ser una fila, columna o grupo, ya que la técnica es la misma en todos.

Observad la última fila del sudoku, que ya se ha ido completando.

Podemos describir el contenido del área en términos de un sólo valor o un grupo de candidatos, con el contenido de cada celda entre corchetes {}. De esta forma, la última fila tendría un aspecto como este:

{1369} {15} {4} {369} {8} {7} {15} {16} {2}

No tenemos que preocuparnos por las celdas que ya tienen un valor fijado, de forma que podemos quedarnos sólo con las que tienen varios candidatos:

{1369} {15} {369} {15} {16}

En la fila del final, encontramos la pareja {15} en dos lugares.

No sabemos en cual de las dos celdas va el 1 y en cual va el 5, pero podemos asegurar que el 1 y el 5 van seguro en una de esas dos celdas.

Esto puede no parecer mucho hasta que nos damos cuenta que si esas celdas contienen el 1 y el 5, ninguna de las otras celdas de este área (en este caso la fila) pueden contenerlos, de forma que podemos eliminar el 1 y el 5 como candidatos de todas las otras celdas del área.

Observad como hemos podido eliminar dos 1s como candidatos de otras celdas, lo cual nos ha dejado el 6 como un único candidato. Así facilitamos la resolución del sudoku.

Marcar estas parejas es bastante sencillo, pero la misma técnica se puede aplicar a grupos mayores, trios y cuartetos. También podemos encontrar esta técnica con la denominación de "Subgrupos Disjuntos" (Disjoint Subsets).

Un ejemplo de Trios Desnudos podría ser:

{1578} {4} {569} {569} {25} {1589} {569} {27} {3}

Podemos observar como {569} se da tres veces. Esto significa que los valores 5, 6 y 9 existen sólo en dichas celdas, y no pueden existir en ninguna otra. Después de eliminar los candidatos de las otras celdas, obtenemos:

{1578} {4} {569} {569} {25} {1589} {569} {27} {3}

Lo cual acaba como:

{178} {4} {569} {569} {2} {189} {569} {27} {3}

Así obtenemos un candidato único, el 2.

Yendo un poco más lejos

Un poco más complicado es aplicar esta misma técnica a trios, lo cual podemos hacer bastantes veces, aunque no sea muy evidente.Observad este área resaltada:

En realidad hay un trío con el que podemos trabajar, aunque no aparezca completo. Observad los 1s, 3s y 8s.

Si lo escribieramos a parte, nos encontraríamos lo siguiente:{149} {18} {1589} {38} {45} {7} {138} {6} {2}El truco está en buscar celdas que sólo contengan valores con dichos candidatos (en este caso 1,3 y 8).{149} {18} {1589} {38} {45} {7} {138} {6} {2}Lo que tenemos son tres celdas entre las cuales deben contener el 1, el 3 y el 8, y ningún otro. Debido a esto, podemos eliminar estos números como candidatos de las otras filas:{149} {18} {1589} {38} {45} {7} {138} {6} {2}

Truco: Muchas veces encontramos en los sudokus tres celdas que contienen dos valores cada una, por ejemplo {24} {47} {27}. De nuevo tenemos tres valores compartidos entre tres celdas, de forma que podemos eliminarlos de cualquier otra celda del área.

¿Por qué se llaman "Desnudos"? Se llaman así porque contienen el grupo que estamos buscando, y éste no se encuentra escondido entre otros candidatos. En el ejemplo de arriba, el 1, el 3 y el 8 eran los únicos números contenidos en las celdas, y no había ningún otro que los escondiera.

¿Podéis encontrar los trios en estos sudokus?

¿Y los Cuartetos?

Los cuartetos son mucho más difíciles de encontrar, ya que cada celda del cuarteto puede tener 2, 3 o 4 candidatos del cuarteto. Cuesta bastante tiempo encontrarlos a ojo y, en general, los encontrareis en sudokus que hayais "trabajado" mucho.

¿Podéis encontrar un cuarteto de 1, 3, 5 y 7 en este sudoku?

“PAREJAS O TRIPLETAS ESCONDIDAS”

Afortunadamente tenemos la oportunidad de encontrar Parejas o Tripletas escondidas. Si no, practicad buscándolos antes de intentar encontrar el equivalente escondido.

Las parejas o tripletas escondidas son un poco más dificiles de encontrar (después de todo están escondidas).

Observemos el área resaltada:

Observad que en realidad hay dos lugares en los que puedan ir el 1 y el 3. Los veriais como dos parejas si una de ellas no estuviera escondida tras un 2 extra.

Utilizando la misma notación que antes, si nos fijamos a las celdas que no hemos llenado:

{46} {24} {13} {26} {123}

Debido a que el 1 y el 3 sólo pueden existir en dos de esas celdas podemos asegurar que deben ir en ellas, dejando fuera a cualquier otro número. Incluso sin saber en cuál va el 1 y en cuál el 3 podemos asegurar que el 2 no va en ninguna de ellas, de forma que lo podemos eliminar como candidato de la última celda.

(Los más avispados habréis notado que podríamos haber llegado al mismo resultado mirando al triple desnudo {46} {24} {26})

Buscando Grupos Ocultos

Recordad que estamos buscando un grupo de números que esten limitados a un reducido grupo de celdas. Si buscamos parejas ocultas, buscamos dos números que sólo existen en dos celdas de un área (incluso si hay otros candidatos en la misma celda escondiéndolos).Para tripletas buscaremos en tres casillas, y así sucesivamente.

Marcad la pareja oculta en este sudoku:

Más difícil...

Esto se pone más complicado con las tripletas y cuartetos ocultos, ya que, de la misma forma que en las tripletas y cuartetos desnudos, cada celda no tiene por qué tener todo el grupo de números que buscamos.Buscad la tripleta oculta de 3, 4 y 7 en este sudoku:

Deberíamos poder eliminar el 1 como candidato de la celda de arriba, pero hacerlo es un reto!

¿Podéis encontrar las tripletas escondidas en estas líneas?

¿El escurridizo Cuarteto Oculto?

Afortunadamente muy pocos Sudokus requieren encontrar un cuarteto oculto para resolverlos, porque son particularmente difíciles de encontrar y endemodiadamente difíciles de solucionar.

Incluso con el resaltado para ayudarnos a saber dónde mirar, nos puede llevar un rato encontrar el cuarteto.

NIVEL MAESTRO

“X-WINGS”

Los X-Wings son fáciles de resolver, pero un poco más difíciles de entender que otras técnicas. Al igual que otras, utiliza las posiciones de las marcas para deducir lo suficiente como para permitirte eliminar algunos candidatos.Los X-Wings suceden cuando hay dos líneas, cada una de las cuales tiene las mismas dos posiciones para un número.

Fíjate en el siguiente sudoku:

Una vez llegas a la conclusión de que no existen métodos fáciles que puedas aplicar para continuar, fíjate en las posiciones posibles para el 6, en las filas 4 y 9.

El truco para entender X-Wings es imaginar qué pasaría si eligieras una de las posiciones solamente. ¿Qué le haría esto a las otras?Imagina que haces que la celda de arriba a la izquierda contenga el 6. Descartaría el otro candidato de esa fila, y también descartaría el candidato de abajo a la izquierda (las flechas rojas).

Y, por tanto, esto forzaría a poner un 6 en la última celda (la flecha verde)

Así que el 6 arriba a la izquierda, fuerza un 6 abajo a la derecha:

Utilizando la misma lógica, un 6 arriba a la derecha, fuerza un 6 abajo a la izquierda.

¿Te das cuenta de la forma en X que fuerzan estas líneas? De ahí surgió el nombre de la técnica.

El nombre está claro pero, ¿en qué me ayuda la técnica?

Si lo piensas, cualquier posición que ocupe el 6 en la fila de arriba, fuerza a ocupar la opuesta en la de abajo.Ahora viene la gracia: a pesar de no saber qué fila tiene el 6 a la izquierda y qué fila lo tiene a la derecha, sabes que seguro las dos estarán ocupadas.Y como sabes que el 6 estará en esas dos columnas, puedes mirar en ambas para eliminar cualquier otro candidato.

No podemos quitar ningún 6 de la columna de la izquierda en este caso, pero hay dos en la de la derecha que podemos eliminar, y uno de ellos nos deja con un 8 como candidato único.

Lo nuevo de esta técnica es que, el conocimiento de 2 filas parecidas te permite eliminar elementos de columnas. Ni que decir tiene que esto funciona al contrario, si consigues encontrar columnas parecidas.A menudo resolveras X-Wings. Son bastante comunes, pero no siempre te llevan a eliminar candidatos.

Consejo: El truco para resolver X-Wings es buscar rectángulos con posibles candidatos. Si encuentras 4 candidatos en las esquinas de un rectángulo, comprueba si pueden ser un X-Wing en fila y columna. Con esto ahorrarás tiempo.

Algún ejemplo más

X-Wing en filas para el 8.

X-Wing en filas para el 9.

X-Wing en columnas para el 7.

X-Wing en columnas para el 4.

“SWORDFISH”

Esta técnica es muy parecida a la X-Wings, por lo que te permitirá utilizar tu conocimiento acerca de las filas para eliminar candidatos de las columnas, y viceversa.Asegúrate de que entiendes el funcionamiento de X-Wings antes de probar con Swordfish.

La complejidad en este caso radica en que estás utilizando el conocimiento de 3 filas al mismo tiempo, y eso es lo que las hace difíciles de resolver. Al contrario que en X-Wings, no forman un rectángulo simple.Este sudoku está casi resuelto, pero hemos llegado a un punto en el que los métodos más simples ya no nos ayudan.

Existe un Swordfish en los 4s de este sudoku, así que explicaremos lo que es y cómo funciona.Para empezar, señalando todas las casillas donde el 4 es candidato ayudará a facilitar las cosas.

Lo que buscamos son conjuntos de valores que podamos utilizar para hacer una cadena. Así como en un X-Wing necesitaba una cadena cerrada de cuatro valores, un Swordfish necesita una cadena de 6 (o más) valores.

El Swordfish aquí está en 3 filas (3,5 y 8). Quitaremos los otros valores por ahora para hacerlo un poco más claro.

Igual que en ejemplo de X-Wing, un valor en una posición determinada fuerza al otro que esté en la misma fila a no tener ese mismo valor.

Vamos a dibujar unas flechas para que se vea mejor. ¿Te das cuenta de que cada flecha acaba en una columna que coincide con una de las otras filas?

Esto crea una cadena cerrada bastante maja. Esto significa que podemos estar seguros de que cada una de esas columnas está ocupada. Para mostrar los enlaces, aquí están las flechas.

En realidad, sólo hay dos posibilidades para las posiciones de los 4s en esta cadena:

De cualquiera de las formas en las que se coloquen estos valores, se puede ver que estas tres columnas están ocupadas con el contenido de esas tres filas.

De nuevo, marcando las columnas, sabes que puedes eliminar candidatos para el 4 de cualquiera de esas columnas que no sean las tres filas Swordfish.

Es mucho trabajo para quitar un solo candidato, pero cualquier progreso es bueno cuando estás en los sudokus más difíciles.

Consejo: Esto sólo funciona cuando la cadena es cerrada. Esto hace que sea más fácil de encontrar, porque sabes que si sigues una cadena y llegas de nuevo al principio, es una cadena cerrada. De todas formas, puede que no llegues a quitar ningún candidato siempre, por lo que deberías seguir buscando.

Aquí tenemos otro ejemplo. Hay un Swordfish en filas para los 1s:

¿Y esto funciona para cualquier cadena cerrada?

Sí. Y además no se limita a líneas. Es posible conectar valores que comparten la misma caja, pero se complica demasiado. Es probable que encuentres un método más simple que te ayude.

¿Y X-Wing no es ya una cadena cerrada?

Otra vez, sí. Un X-Wing y un Swordfish son en realidad lo mismo: un X-Wing con 2 filas y columnas y un Swordfish con 3 filas y columnas. Si intuyes por dónde van los tiros... exacto, es posible que haya un Swordfish-4, lo cual significa que utiliza conexiones entre 4 líneas (a veces, esto se llama Jellyfish). Estos son muy raros, además de que, normalmente, habrá otra técnica que funcione sin que tengas que depender de estas.

“CADENAS FORZADAS”

Esta técnica es bastante fácil de comprender, pero puede ser complicada de aplicar en un sudoku. Es una técnica para la que viene muy bien tener una copia aparte o una plantilla en papel, porque apuntarás muchas cosas.

Una cadena forzada simple se tiene cuando tienes muchas celdas con sólo 2 candidatos. Y cualquiera de los valores que pudieras elegir para una celda fuerza la otra a contener uno de sus 2 valores. (Será más fácil con un ejemplo).

La primera elección

Fíjate en este sudoku, que contiene un ejemplo de cadena forzada.

No importa qué valor (1 o 2) había en la celda de arriba (coordenada C3,F1). Fuerzan un 5 en la otra celda (C1,F4).

Antes de empezar, es necesario comentar que algunas de estas cadenas pueden ser cortas, pero otras pueden ser bastante largas. Este ejemplo tiene una de cada.

Primero, imagina que la celda de arriba tiene un 1. Esto forzaría a la {14} de un poco más abajo a tener un 4, y así sucesivamente. ¿Sigues la cadena?

La segunda elección

Ahora empieza otra vez, pero en vez del 1, esta vez pon un 2 en la celda de arriba.De nuevo, tachando los valores que sobran. Ves que es una cadena muy larga.

Así queda con flechas...

Las dos cadenas tienen diferentes caminos, empezando con cada uno de los valores para la primera celda, pero cualquiera de ellos hace que haya un 5 en la segunda celda.

En cuanto te encuentres en una situación así, a pesar de que no sepas lo que vaya en la primera celda, seguro que aciertas lo que va en la segunda, así que escríbelo.

¿Esto es igual que la adivinación?

No exactamente. Lo que haces es, simultáneamente, mirar las implicaciones de las dos opciones, y comprobando si cualquiera de las otras celdas adquiere el mismo valor cualquiera que fuera la opción inicial. Si hubieras adivinado una, y trabajado a partir de ello, habrías llegado al mismo resultado en la segunda celda, pero dependiendo de haber adivinado correctamente, podrías haber cometido muchos errores en el camino.

¿Se puede complicar mucho esta técnica?

Lo que complica este método es que a lo mejor has tenido que seguir cadenas muy largas, y entonces, tendrás muchas cosas que comprobar. Las cadenas más largas no lo complican conceptualmente, pero hace que sea más posible cometer errores a lo largo del camino.

Si te ciñes a trabajar solamente con parejas, no se complica demasiado, pero no hay nada que te evite considerar los efectos de triples o otras técnicas a lo largo de la resolución.

Consejo: Cuando utilizas una plantilla (papel de calco o una plantilla en el ordenador), aquí hay un método que hace la búsqueda de cadenas un poco más fácil. Elige la celda de inicio, y haz una pequeña forma u debajo de la primera marca. A partir de ahí, mira alrededor, pero en vez de tachar marcas (si no, se vuelve un lío), cuando encuentres un valor que fuerza otra celda, pon la misma forma debajo del valor forzado. Ignora los que eliminó la primera opción, porque a lo mejor las necesitas más tarde.

Continúa haciendo esto hasta que no puedas forzar más con el método "u".Ahora elige el segundo valor en tu celda original. Ahora pon una pequeña "n" (u al revés) encima de la segunda marca. Como antes, mira las implicaciones y valores forzados que esto conlleva, continuando hasta que no puedas encontrar más.

Si hay una cadena forzada, en algún momento encontrarás una marca con ambos símbolos "u" y "n" en ella (en cuyo caso casi coinciden). Cuando veas esto, seguro que, con cualquiera de los candidatos que elegiste en la primera celda, has encontrado el valor correcto en la segunda celda. Rellénala con ese valor, porque significa que no tienes que buscar más.

Hay gente que utiliza colores para facilitarse esto, pero no es esencial.

Técnicas intermedias para resolver un Sudoku

Candidatos

Para resolver sudokus de cierto nivel de dificultad es esencial conocer el sistema de candidatos.

Un número candidato es aquel posible para una determinada casilla teniendo en cuenta el resto de números que ya se encuentran en su misma fila, columna o región.

Aislando esta región concreta observamos que los números que faltan son el 1, 3, 4 y 5, por lo tanto esos número son los candidatos para las casillas vacías.

Para descartar más candidatos en alguna de las casillas vacías sería necesario observar también las filas y columnas correspondientes.

Único oculto (Hidden single)

Si una casilla tiene un conjunto de candidatos de los cuales existe uno que solo es candidato para esa casilla y ninguna más dentro de su misma fila, columna o región, ese número es la solución para dicha casilla.

En la región 6 observamos que solo existe una casilla que tenga como candidato el número 7, I6, por lo tanto, y aunque tenga más candidatos, podemos afirmar que el número 7 es la solución para esa casilla.

Intersección

Si en una región se encuentra un candidato solamente en las casillas de una determinada fila o columna, se descarta ese número como candidato en el resto de dicha fila o columna. De la misma manera si un candidato aparece en las casillas de una misma fila o columna solamente dentro de una región, se descarta ese número como candidato del resto de casillas de esa región.

Si observamos la región 5 vemos que el candidato 4 aparece solamente en las casillas de la columna E, por lo tanto una de esas 2 casillas tendrá como solución el número 4, lo que implica que el resto de esa columna ya no podrá tener como solución el número 4 y lo podemos descartar como candidato en el resto de casillas que lo tenían, E2 y E8.

Par/Trío/Cuarteto desnudo (Naked pair/triple/quad)

Si 2 casillas dentro de una misma fila, columna o región tienen solo 2 candidatos y además resultan ser los mismos, se descartan esos 2 números como candidatos del resto de fila, columna o región.

También es aplicable a tríos de candidatos, con la particularidad de que los 3 candidatos no tienen que coincidir exactamente en las 3 casillas sino que hay ciertas combinaciones, y cuartetos.

Combinaciones posibles para un trío desnudo:

· [123] [123] [123]· [123] [123] [12]

· [123] [12] [23] · [12] [23] [13]

Si observamos la columna C vemos que los candidatos 3 y 6 aparecen como únicos candidatos en las casillas C1 y C9, por lo tanto esas 2 casillas se repartirán esos 2 números como soluciones, lo que implica que en el resto de casillas de la columna podemos descartar los números 3 y 6 como candidatos, en este caso de la casilla C4.

Par/Trío oculto (Hidden pair/triple)

Si 2 casillas dentro de una misma fila, columna o región tienen 2 de sus candidatos iguales y estos 2 números no aparecen en el resto de casillas de esa fila, columna o región como candidatos, se descartan el resto de candidatos de esas 2 casillas.

Si observamos la columna C vemos que los candidatos 4 y 8 solo aprecen en las casillas C4 y C6, por lo tanto esas 2 casillas se repartirán esos 2 números como soluciones, lo que implica que podemos descartar los números 3 y 6 como candidatos de la casilla C4.

Técnicas avanzadas para resolver un Sudoku

X-wing

Si un candidato aparece solamente en 2 casillas en una fila, y además ese mismo candidato aparece en solamente 2 casillas de otra fila, de manera que estén situadas en las 2 mismas columnas formando un hipotético rectángulo, se puede descartar ese candidato del resto de casillas de las 2 columnas. De la misma manera se puede proceder por columnas.

Si observamos la fila 2 vemos que solo hay 2 casillas con el candidato 2, A2 y B2, ahora si observamos la fila 7, vemos que solo hay 2 casillas con el candidato 2, A7 y B7. Como A2 y A7, y B2 y B7 comparten columna respectivamente, podemos descartar el candidato 2 del resto de casillas de ambas columnas, eliminando el candidato de las casillas A4, A8, B3 y B9.

Pez espada (Sword-fish)

Utilizando la misma técnica que en X-Wing pero extendiendo su concepto a 3 filas, de manera que el candidato aparezca solamente en 2 o 3 casillas por fila, y que estén situadas en las mismas 3 columnas, siempre que coincidan un mínimo de 2 casillas por columna.

Si observamos la fila 1 vemos que el candidato 1 aparece solamente en 3 casillas, A1, C1 y G1. En la fila 2 el candidato se repite en las casillas A2 y G2, mientras que la fila 8 las casillas que contienen el candidato 1 son A1 y C1. Como todas estas casillas están repartidas solamente en 3 columnas, A, C y G, de manera que hay un mínimo de 2 casillas por columna, podemos descartar el número 1 como candidato en el resto de casillas de estas 3 columnas. Por lo tanto eliminamos el candidato de las casillas A7 y G6.

Subconjuntos desnudos

Hasta ahora solo se ha trabajado con un solo candidato, los métodos siguientes trabajan con grupos de 2 o más candidatos.

Un subconjunto contiene un cierto número de candidatos y el mismo número de casillas que pertenecen a un único grupo.En un subconjunto desnudo las casillas que pertenecen al grupo solo permiten a los candidatos del subconjunto. Por lo tanto los candidatos del subconjunto pueden ser eliminados de todas las casillas del grupo fuera del subconjunto.

Par desnudo

Si dos casillas de un grupo contienen a un par idéntico de candidatos y únicamente esos dos candidatos, ninguna otra casilla de ese grupo podría tener esos valores, ya que un candidato tendrá que ir como valor en una casilla y el otro candidato deberá ir en la otra casilla. Por lo tanto esos dos candidatos pueden ser eliminados de las restantes casillas del grupo.

Par desnudo en una región. Aquí se puede apreciar que en la región R6 hay dos casillas, G5 y I6 que tienen un par de candidatos iguales, estos son el 5 y 9. Estos forman un par desnudo, por lo tanto se puede eliminar con seguridad el candidato 5 de las casillas H5 y I4.

Par desnudo en una columna. En la columna G se puede ver que existen dos pares de números (5 y 6), en G5 y G8. Por lo tanto, se pueden eliminar los candidatos 5 y 6 de G6, y el 6 de G4.

Trío desnudo

Consiste en tres casillas en un grupo que contienen los mismos tres candidatos. Los candidatos del trío que se encuentran en otras casillas del grupo pueden ser eliminados. Las casillas que componen el trío no necesariamente deben tener a los tres candidatos del trío. Por ejemplo, si un trío está compuesto por los candidatos 1, 2 y 3, las combinaciones válidas para ese trío serían:

Casilla A Casilla B Casilla C

123 123 123

123 123 12

123 123 13

123 123 23

123 12 13

123 12 23

123 13 23

12 13 23

Trío desnudo en una región. En las casillas A9, B9 y C9 de la región R7, puede verse el trío 3, 5 y 9. Por lo tanto pueden eliminarse con seguridad los candidatos 3 y 5 de A8, 5 y 9 de C7 y 3 y 5 de C8

Trío desnudo en una fila. En las casillas C1, D1 y E1 de la fila 1, puede verse el trío 3, 4 y 9. Por lo tanto pueden eliminarse con seguridad los candidatos 3, 4 y 9 de A1, 4 de F1 y 4 y 9 de I1.

Cuarteto desnudo

Consiste en cuatro casillas en un grupo que contienen los mismos cuatro candidatos. Los candidatos del cuarteto que se encuentran en otras casillas del grupo pueden ser eliminados. Las casillas que componen el cuarteto no necesariamente deben tener a los cuatro candidatos del cuarteto.

Cuarteto desnudo en una columna. En las casillas D4, D5, D7 y D8 de la columna D, puede verse el cuarteto 5, 6, 8 y 9. Por lo tanto pueden eliminarse con seguridad los candidatos: 6 de D1, 6 de D3 y 6 y 9 de D6

Cuarteto desnudo en una fila. En las casillas A9, E9, G9 y H9 de la fila 9, puede verse el cuarteto 3, 5, 6 y 7. Por lo tanto pueden eliminarse con seguridad los candidatos: 7 de B9 y 5 y 7 de F9.

Subconjuntos ocultos

Un subconjunto contiene un cierto número de candidatos y el mismo número de casillas que pertenecen a un único grupo.

En un subconjunto oculto las casillas que pertenecen al grupo tienen a los candidatos del subconjunto y a otros candidatos, pero los candidatos del subconjunto no pueden estar en las otras casillas del grupo. Por lo tanto en casillas del subconjunto pueden eliminarse todos los candidatos que no pertenecen al subconjunto.

Par oculto

Si dos casillas de un grupo contienen un par idéntico de candidatos que no aparecen en ninguna otra casilla de ese grupo, entonces los demás candidatos de esas dos casillas pueden ser eliminados con seguridad.

Par oculto en una región. En las casillas H1 y I1 de la región R3 hay un par idéntico de números, estos son el 1 y 4. Por lo tanto se pueden eliminar con seguridad los candidatos 2, 6, 7 y 8 de H1 y los candidatos 2, 3, 6, 8 y 9 de I1.

Par oculto en una fila. La fila 8 tiene dos casillas (B8 y E8) con un par idéntico cada una, éste par es el 1 y 3. Se pueden eliminar con seguridad los candidatos 4, 5 y 7 de B8 y los candidatos 4, 5, 8 y 9 de E8.

Trío oculto

Si tres candidatos están restringidos a tres casillas de un determinado grupo, entonces todos los demás candidatos de esas tres casillas pueden ser eliminados. Las casillas que componen el trío no necesariamente deben tener a los tres candidatos del trío. Por ejemplo, si un trío está compuesto por los candidatos 1, 2 y 3, las combinaciones válidas para ese trío serían:

Casilla A Casilla B Casilla C

123 123 123

123 123 12

123 123 13

123 123 23

123 12 13

123 12 23

123 13 23

12 13 23

Trío oculto en una región. En la región R2 puede verse que hay un trío oculto en las casillas D2 (candidatos 2, 3 y 4), E2 (candidatos 3 y 4) y F2 (candidatos 2, 3 y 4), por lo tanto en esas casillas pueden eliminarse con seguridad los restantes candidatos. En D2 se eliminan el 8 y 9, en E2 se eliminan el 8 y 9, y en F2 se eliminan el 5 y 9.

Trío oculto en una columna. En la columna D puede verse que hay un trío oculto en las casillas D3 (candidatos 1 y 2), D5 (candidatos 1 y 9) y D6 (candidatos 2 y 9), por lo tanto en esas casillas pueden eliminarse con seguridad los restantes candidatos. En D3 se eliminan el 4, 5 y 7, en D5 se eliminan el 5 y 7, y en D6 se elimina el 4.

Intersección Fila-Columna

En los últimos métodos vistos se trabajaba con grupos de candidatos. Ahora volvemos a trabajar con un solo candidato.

Cuando un candidato está N veces en N columnas (o filas) y también se encuentra en N filas (o columnas), ese candidato puede ser eliminado de todas las casillas vacías de las N filas (o columnas) a excepción de las casillas comunes a las N columnas (o filas).

X-wing

Dado un candidato determinado, en este método se requiere que dos filas (o dos columnas) que contengan cada una dos casillas y sólo dos casillas con ese candidato, y dichas casillas deben compartir las mismas dos columnas (o dos filas) formando un rectángulo. Estas cuatro casillas son las únicas posibles para ese candidato dentro de esas dos filas (o dos columnas). Entonces ese candidato puede ser eliminado de cualquier casilla de las dos columnas (o dos filas) a excepción de las casillas comunes con las dos filas (o dos columnas).

X-wing fila/columna. En el ejemplo puede verse que para la fila 4, casillas C4 y H4, debe ir obligadamente un 4 en una de esas dos casillas, lo mismo ocurre para la fila 8, casillas C8 y H8, por ese motivo en el resto de las casillas de las columnas C y H puede eliminarse el candidato 4, más precisamente de las casillas C7, H7 y H2.

X-wing columna/fila. En el ejemplo puede verse que para la columna E, casillas E2 y E9, debe ir obligadamente un 5 en una de esas dos casillas, lo mismo ocurre para la columna G, casillas G2 y G9, por ese motivo en el resto de las casillas de las filas 2 y 9 puede eliminarse el candidato 5, más precisamente de las casillas D2, B9, F9 y H9.

Pez espada

Es como el X-wing pero con tres líneas (filas o columnas), es decir, tres filas (o columnas) que contienen cada una de ellas no más de tres casillas, con un candidato determinado, y compartiendo todas ellas no más de tres columnas (o filas). Estas forman una cuadrícula de hasta nueve casillas que son las únicas posibles para el candidato en esas tres filas (o columnas). Cualquier candidato que esté dentro de esas tres columnas (o filas), a excepción de las casillas de la cuadrícula, puede ser eliminado.

Pez espada fila/columna. En el ejemplo puede verse que para la fila 2, casillas B2 y G2, debe ir obligadamente un 2 en una de esas dos casillas, lo mismo ocurre para la fila 3, casillas B3 y D3, y la fila 4, casillas D4 y G4, por ese motivo en el resto de las casillas de las columnas B, D y G puede eliminarse el candidato 2, más precisamente de las casillas D7, D9, G5 y G6.

Pez espada columna/fila. En el ejemplo puede verse que para la columna B, casillas B4 y B7, debe ir obligadamente un 9 en una de esas dos casillas, lo mismo ocurre para la columna D, casillas D1 y D4, y la columna H, casillas H1 y H7, por ese motivo en el resto de las casillas de las filas 1, 4 y 7 puede eliminarse el candidato 9, más precisamente de las casillas C7 y F4.

Medusa

Es como el Pez espada pero con cuatro líneas (filas o columnas), es decir, cuatro filas (o columnas) que contienen cada una de ellas no más de cuatro casillas, con un candidato determinado, y compartiendo todas ellas no más de cuatro columnas (o filas). Estas forman una cuadrícula de hasta dieciséis casillas que son las únicas posibles para el candidato en esas cuatro filas (o columnas). Cualquier candidato que esté dentro de esas cuatro columnas (o filas), a excepción de las casillas de la cuadrícula, puede ser eliminado.

Medusa columna/fila. En el ejemplo puede verse que para la columna A, casillas A1, A2 y A7, debe ir obligadamente un 3 en una de esas tres casillas, lo mismo ocurre para la columna B, casillas B2, B5 y B7, para la columna E, casillas E1 y E5, y la columna G, casillas G2, G5 y G7, por ese motivo en el resto de las casillas de las filas 1, 2, 5 y 7 puede eliminarse el candidato 3, más precisamente de las casillas I1 y H7.

Cadenas coloreadas

Para aclarar este concepto primero veamos la siguiente definición:

Par conjugado: es cuando un número está como candidato en solo dos casillas dentro de un grupo (fila, columna o región). Ese número irá como valor en una de las dos casillas, pero no se sabe en cual de las dos.De forma indistinta, uno será llamado conjugado positivo y el otro conjugado negativo (paridad).

Cadenas coloreadas es cuando los pares conjugados (para un mismo candidato) se conectan entre sí. Hay que tener en cuenta que los conjugados de igual paridad (positiva o negativa) tienen el mismo estado (verdadero o falso).Es muy útil usar dos colores, uno para marcar el conjugado positivo y otro para marcar el conjugado negativo.

Hay dos tipos de eliminación de candidatos para cadenas coloreadas:

Tipo 1

Si una casilla fuera de la cadena de paridad comparte un grupo (fila, columna o región) con un conjugado positivo y además comparte otro grupo con un conjugado negativo, el candidato para esa casilla puede ser eliminado.

Cadena coloreada Tipo 1. En este ejemplo puede verse una cadena de pares conjugados para el candidato 8, las casillas de color celeste representan el conjugado positivo y las de color beige el conjugado negativo, las líneas verdes marcan la relación entre los pares conjugados.Hay que prestar atención a las casillas E2 y C5, estas tienen paridad opuesta. La casilla C2 comparte grupo

con estas dos casillas (Fila 2 y Columna C), por lo tanto de esta casilla puede eliminarse con seguridad el candidato 8.

Tipo 2

Si un conjugado comparte un grupo con otro conjugado de la misma paridad, el candidato puede ser eliminado de todas las casillas conjugadas de esa paridad.

Cadena coloreada Tipo 2. Aquí la cadena de pares conjugados es para el candidato 9, las casillas de color celeste representan el conjugado positivo y las de color beige el conjugado negativo, las líneas verdes marcan la relación entre los pares conjugados.Hay que prestar atención a las casillas I6 y H5, estas comparten el grupo (región R6) y además tienen igual paridad, por lo tanto de todas las casillas de paridad negativa (marcadas con un círculo rojo) puede eliminarse con seguridad el candidato 9.También puede apreciarse que ocurre lo mismo con la columna G y las casillas G1 y G9.

Par remoto

Para aclarar este concepto primero veamos la siguiente definición:

En esencia, este método consiste en una cadena de pares desnudos conectados entre sí. Por grupo solo hay dos casillas con un par desnudo cada una, por lo tanto, entre ellas se establece una relación de casillas conjugadas, es decir en una casilla irá como valor uno de los candidatos y en la otra casilla irá el otro candidato, pero no se sabe cual candidato irá en cual casilla. Una casilla será el conjugado positivo y la otra el conjugado negativo (paridad).

Si una casilla comparte un grupo con dos casillas conjugadas de diferente paridad, los candidatos del par desnudo pueden ser eliminados de esa casilla.

Veamos un ejemplo:

Par remoto. Aquí vemos un formación de pares desnudos (candidatos 2 y 3) encadenados, la paridad positiva está marcada con beige y la negativa con celeste, las líneas verdes marcan la relación entre las casillas.Si prestamos atención, la casilla A6 comparte grupo con las casillas G6 y A1 (Fila 6 y Columna A), y además la paridad de esas casillas es opuesta, por lo tanto en A6 se puede eliminar el 3 como candidato.

XY-wing

Dadas tres casillas con solo dos candidatos cada una:

la casilla 1 (c1) contiene un candidato llamado 'x' y el otro llamado 'y',la casilla 2 (c2) contiene un candidato llamado 'x' y el otro llamado 'z',la casilla 3 (c3) contiene un candidato llamado 'y' y el otro llamado 'z',

además hay una relación de par conjugado entre las casillas c1 y c2 con el candidato 'x', ytambién hay una relación de par conjugado entre las casillas c1 y c3 con el candidato 'y',

entonces en las casillas (a excepción de c1) que compartan simultáneamente un grupo con las casillas c2 y c3, se podrá eliminar el candidato 'z'.

Veamos un ejemplo:

XY-wing. La casilla B8 tiene una relación de par conjugado con A7 para el candidato 8, y también tiene una relación de par conjugado con E8 para el candidato 2. Como la casilla F7 tiene un grupo en común con A7 y E8 (Fila 7 y Región R8), el candidato 7 (es el candidato común a estas dos casillas) puede ser eliminado de F7.Esto se ve claramente analizándolo así:Si B8 es un 8, A7 es un 7, entonces F7 NO puede ser 7.Si B8 es un 2, E8 es un 7, entonces F7 NO puede ser 7.En los dos casos F7 NO puede ser 7, con lo que puede ser eliminado como candidato.

XYZ-wing

Dadas tres casillas, una con tres candidatos y las otras con dos:

la casilla 1 (c1) contiene un candidato llamado 'x', otro llamado 'y' y el último llamado 'z',la casilla 2 (c2) contiene un candidato llamado 'x' y el otro llamado 'z',la casilla 3 (c3) contiene un candidato llamado 'y' y el otro llamado 'z',

además hay una relación de par conjugado entre las casillas c1 y c2 con el candidato 'x', ytambién hay una relación de par conjugado entre las casillas c1 y c3 con el candidato 'y',

entonces en las casillas que compartan simultáneamente un grupo con las casillas c1, c2 y c3, se podrá eliminar el candidato 'z'.

Veamos un ejemplo:

XYZ-wing. La casilla G1 tiene una relación de par conjugado con E1 para el candidato 5, y también tiene una relación de par conjugado con G2 para el candidato 7. Como la casilla H1 tiene un grupo en común con G1, E1 y G2 (Fila 1 y Región R3), el candidato 8 (es el candidato común a estas tres casillas) puede ser eliminado de H1.Esto se ve claramente analizándolo así:Si G1 es un 8, entonces H1 NO puede ser 8.Si G1 es un 5, E1 es un 8, entonces H1 NO puede ser 8.Si G1 es un 7, G2 es un 8, entonces H1 NO puede ser 8.En los tres casos H1 NO puede ser 8, con lo que puede ser eliminado como candidato.

Cadena XY

Es una cadena compuesta de pares desnudos, donde cada grupo contiene un par conjugado con solo uno de los candidatos, además, la casilla inicial y final de la cadena (llamadas extremos) tienen un candidato en común, llamado 'z'. Si una casilla fuera de la cadena comparte simultáneamente un grupo con las casillas extremos, el candidato 'z' puede ser eliminado de dicha casilla.

Veamos un ejemplo:

Cadena XY. La cadena comienza en G4, que tiene una relación de par conjugado con G9 para el candidato 7. Esta casilla a su vez tiene una relación de par conjugado con A9 para el candidato 9. Y esta tiene una relación de par conjugado con A6 con el candidato 2.Los extremos de la cadena son las casillas G4 y A6 que tienen en común el candidato 5.Como la casilla A4 tiene un grupo en común con los dos extremos (fila 4 y región 4), el candidato 5 se puede eliminar de esta casilla.Esto se ve claramente analizándolo así:Si G4 es 5, entonces A4 NO puede ser 5.Si G4 es 7, G9 es 9, A9 es 2, A6 es 5, entonces A4 NO puede ser 5.En los dos casos A4 NO puede ser 5, con lo que puede ser eliminado como candidato.

Rectángulo de unicidad

Primero recordemos que un sudoku válido tiene solución única. Definiremos ahora:

Patrón de unicidad: es cuando dos pares desnudos, formando un rectángulo, comparten exactamente dos filas, dos columnas y dos regiones. Se llama patrón de unicidad ya que esta figura tiene más de una solución, es decir forma un sudoku inválido.

El rectángulo de unicidad es un patrón de unicidad con candidatos extras en algunas de las cuatro casillas.

Tipo 1

Es un rectángulo de unicidad con candidatos extras en solo una de las cuatro casillas. Si estos candidatos extras se eliminaran quedaría formado un patrón de unicidad, es decir estos candidatos extras son obligatorios, por lo tanto los dos candidatos del rectángulo, de esa casilla, pueden ser eliminados.

Rectángulo de unicidad Tipo 1. En este ejemplo puede verse la formación de un rectángulo de unicidad (figura en color rojo), que está formado por las casillas D2, D3, A2 y A3, si el candidato 2 se eliminara de A3 quedaría formado un patrón de unicidad, con lo cual quedaría un sudoku con más de una solución, de ello se desprende que el candidato 2 es obligatorio para esa casilla. Entonces se pueden eliminar los candidatos 6 y 9 de A3, quedando el 2 como valor.