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Capıtulo 3

Tecnicas de Realce de Imagenes

3.0.1 Realce de la Imagen

El objetivo principal de las tecnicas que se explicaran es procesar una imagen de forma tal queresulte mas adecuada que la imagen original para una aplicacion especıfica.

Se pueden clasificar estas tecnicas en dos grupos perfectamente diferenciados:

• Metodos en el dominio del espacio.

• Metodos en el dominio de la frecuencia.

Metodos en el Dominio del Espacio

Los metodos en el dominio del espacio se basan en la manipulacion directa de los pixeles de laimagen. Mientras que los metodos en el dominio de la frecuencia se basa en la modificacion de latransformada de Fourier de una imagen.

Los metodos en el dominio espacial son procedimientos que operan directamente sobre los pixeles dela imagen. Las funciones de procesamiento de la imagen en el dominio espacial pueden expresarsecomo

g(x, y) = T [f(x, y)]

donde f(x, y) es la imagen de entrada y g(x, y) es la imagen de salida. T es un operador que actuasobre f definido sobre algun entorno de (x, y).

Los entornos generalmente son definidos como subimagenes cuadradas o rectangulares centradasen el pixel (x, y). La forma mas simple de T corresponde a un entorno de 1 × 1. En este caso gdepende solo del valor de f en el punto (x, y), y T se convierte en una funcion de transformaciondel nivel de gris de la forma,

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92 CAPITULO 3. TECNICAS DE REALCE DE IMAGENES

Figura 3.1: Funcion para obtenber el negativo de una imagen.

s = T (r)

donde r y s son variables que indican el nivel de gris de f(x, y) y de g(x, y).

Negativo de Imagenes

Los negativos de imagenes digitalizadas son utiles en la representacion de imagenes medicas. Elnegativo de una imagen se obtiene empleando la funcion de transformacion que se muestra en lafigura 3.1, en las figuras 3.2 y 3.3 se puede observar los efectos de la utilizacion de esta funcion.

Aumento de Contraste

La imagenes con poco contraste se deben a muchas causas, como iluminacion deficiente, falta derango dinamico del sensor o incorrecta seleccion de la apertura de diafragma en el momento dela captacion. La idea principal para un aumento de contraste consiste en incrementar el rangodinamico de los niveles de gris de la imagen. Una transformacion tıpica empleada para la mejorade contraste se muestra en la figura 3.4. La ubicacion de los puntos (r1, s1) y (r2, s2) controla laforma de la funcion de transformacion. Por ejemplo, si r1 = s1 y r2 = s2 se genera una funcionlineal que no produce cambios en los niveles de gris. Si por el contrario r1 = r2, s1 = 0 y s2 = L−1la transformacion se convierte en una funcion umbral (Thershold) que genera una imagen binaria.Se supone que r1 <= r2 y s1 <= s2 de tal forma que la funcion sea de valor unico y monotonamentecreciente. La figura 3.5 muestra una imagen con bajo contraste y la aplicacion de la funcion de lafigura 3.4 con dos valores diferentes.

Compresion del rango dinamico

Como se menciono anteriormente se utiliza esta tecnica cuando una imagen procesada excede am-pliamente la capacidad del dispositivo de presentacion (por ejemplo una transformada de Fourier).Esto se puede expresar por la ecuacion,

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Figura 3.2: Imagen y su negativo.

Figura 3.3: Imagen y su negativo.


Figura 3.4: Funciones de aumento de contraste.

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Figura 3.5: Imagen original con bajo contraste y la aplicacion de dos instancias de la funcion deaumento de contraste.


Figura 3.6: Otras funciones de punto.

s = c log(1 + |r|)

Otras funciones de punto

La figura 3.6 muestra otras posibles funciones de punto, la primera permite umbralizar undeterminado rango de grises y la segunda funcion permite dejar la imagen tal como la originalexcepto un rango de niveles de grises que adquieren el valor blanco.

Fraccionamiento del nivel de gris

A menudo se desea destacar un rango especificado de niveles de gris de una imagen. Entre estasaplicaciones se pueden mencionar la mejora de rangos como las masas de agua en las imagenessatelitales o imagenes de rayos X con defectos. Se utilizan dos ideas basicas para esto: La primeraes asignar un valor alto al rango de interes y bajo a lo restante. La segunda es similar excepto quese preserva el fondo de la imagen.

Fraccionamiento de Planos de Bits

Como se analizo anteriormente, una imagen digital esta representada como una matriz de numerosbinarios. A veces es deseable destacar la contribucion que realizan a la imagen total determinadosbits especıficos, como se muestra en las figuras 3.7 y 3.8.

3.0.2 Histogramas

El histograma de una imagen digital con niveles de gris en el rango [0, L−1] es una funcion discreta,

p(rk) =nk

n

donde rk es el k–esimo nivel de gris. nk es el numero de pixeles con el nivel de gris rk y n es elnumero total de pixeles en la imagen.

De forma general se pude decir que el histograma presenta la probabilidad de distribucion p(rk) delas diferentes amplitudes o niveles de gris de la imagen.

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Figura 3.7: Imagen original y contribucion de algunos bits.

Figura 3.8: Contribucion a la imagen total de algunos bits.


Figura 3.9: Imagen y su histograma.

Figura 3.10: Imagen de un buzo con poca iluminacion, bajo contraste y su histograma.

La forma del histograma permite evidenciar ciertas particularidades de la imagen, como lo son eltipo de fondo, el contraste y en general si los valores de los niveles de gris estan homogeneamentedistribuidos o no. En la figura 3.9 se muestra una imagen y su histograma. Los ejemplos de lasfiguras 3.10, 3.11, 3.12 y 3.13 subrayan algunas de estas caracterısticas.

Distintas imagenes pueden presentar distribuciones de los niveles de gris que esten lejos de serideales. Ejemplos tıpicos son imagenes adquiridas bajo malas condiciones de iluminacion, dondeexiste un exceso de sombras o al contrario, demasiados niveles de blanco. La imagen de la figura3.14 es una fotografıa que se presenta tal y como se capturo (en este caso el fotografo se preocupomas por tomar la fotografıa antes de que salieran los animales del campo visual, que por el ajustedel equipo). Se puede ver claramente que la distribucion de los niveles de gris esta lejos de seraceptable. En este caso, es claro que los colores de las cebras deberıan verse mucho mas claramentecontrastados. Si se grafica el histograma, se puede observar que este no muestra una distribucionhomogenea, sino que muestra una distribucion bimodal, es decir, que existen muchos niveles degrises oscuros y muchos niveles claros, con una deficiencia de niveles a la mitad del rango y en losniveles mas altos.

En ocasiones es deseable contar con un algoritmo que proporcione automaticamente resultadosreproducibles y de buena calidad. El algoritmo mas empleado para estos casos es la ecualizaciono igualacion del histograma. Si se trata de efectuar una distribucion lo mas uniforme posible, se

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Figura 3.11: Imagen de un caracol y su histograma uniforme.

Figura 3.12: Imagen de un cangrejo arana y su histograma.

Figura 3.13: Imagen de antılopesdemasiada clara, bajo contraste y su histograma.


Figura 3.14: Imagen de cebras y su histograma.

Figura 3.15: Imagen de cebras ecualizada.

obtendra una imagen ”ecualizada” o igualada, que no siempre se aproxima a la imagen como debiode verse originalmente. La imagen de la figura 3.15 muestra la imagen original despues de haberseguido un procedimiento de igualacion a 64 niveles. Si se observa el histograma, se ve que se pudomejorar la distribucion de los niveles de gris, pero esto no necesariamente significa que el resultadosea plano, aunque en una gran cantidad de casos los resultados se aproximan bastante bien adistribuciones ideales. En particular en este caso aun cuando la piel de las cebras se representaadecuadamente, se pierde informacion interesante acerca de los matorrales que se encuentran en elfondo de la imagen.

Finalmente en la figura 3.16 se presenta una imagen en la que el histograma se especifico de unamanera particular y que proporciona resultados mas agradables a la vista. Es importante recordaraquı que el juez final acerca de la calidad de este tipo de procesos que sufre la imagen, es elobservador humano. Asimismo, se puede ver en el histograma, que no se tiene una distribucionhomogenea, pero que los resultados son satisfactorios. En particular se debe hacer notar que eneste caso, se forzo a la distribucion a tomar los valores que justamente habıan sido omitidos porel histograma original. En general, se puede decir que al tomar una fotografıa con un fotometroconvencional, se tiende hacia la obtencion de un nivel de gris medio, y como en el fondo de laimagen original se presenta mucha luz, el fotometro trata de conservar este valor promedio, y alhacerlo, se representan las imagenes sombrıas con valores mas oscuros de lo que realmente deberıanser. La aplicacion de una distribucion particular presenta resultados satisfactorios.

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Figura 3.16: Imagen de cebras con especificacion de histograma.

3.0.3 Equalizacion de Histograma

El principio basico de este tipo de operaciones es la redistribucion de los niveles de gris de la imagenoriginal sobre todos los niveles disponibles en el sistema, siguiendo una ley particular que determinael tipo de modificacion .Sea r una variable que represente los niveles de gris de la imagen a mejorar. Suponga que quela intensidad de los pixeles son cantidades continuas que han sido normalizadas en el rango [0, 1],donde r = 0 es negro y r = 1 representa el blanco. Sea la transformacion, s = T (r).

Condiciones:

1. T (r) es de valor unico y monotonamente creciente en el intervalo 0 ≤ r ≤ 1.

2. 0 ≤ T (r) ≤ 1 para 0 ≤ r ≤ 1.

La condicion a) preserva el orden entre el negro y el blanco de la escala de grises. La condicion b)garantiza una aplicacion que es coherente con el rango de valores permitidos para la intensidad delos pixeles. La funcion de transformacion inversa de s a r se indica por,

r = T−1(s) para 0 ≤ s ≤ 1

Se asume que r y s son variables aleatorias continuas en el rango [0, 1]. Los niveles de gris originalesy su transformada se pueden caracterizar por sus funciones de densidad de probabilidad pr(r) yps(s). De la teorıa elemental de probabilidades, si pr(r) y T (r) son conocidas y T−1(s) verifica lacondicion a), entonces la funcion de distribucion de probabilidad de los niveles de gris transformadoses,

ps(s) = [pr(r)dr

ds]r = T−1(s)

Considerese la funcion de transformacion,


s = T (r) =∫ r

0[pr(w)]dw

que se denomina funcion de distribucion acumulada r. De esta ecuacion, la derivada de s respectode r es,

ds

dr= pr(r)

y sustituyendo en la primera se obtiene,

ps(s) = [pr(r)dr

ds]r = T−1(s) = 1

que da una densidad uniforme en el intervalo de definicion de la variable s. Esto significa quecuando se emplee una funcion de transformacion igual a la funcion de distribucion acumulada seproduce una imagen con niveles de gris uniformemente distribuidos.

Para poder ser aplicado en el procesamiento digital de imagenes los conceptos antes vistos debenser expresados en forma discreta.Para los niveles de gris que constituyen los valores discretos se tienen las probabilidades:

pr(rk) =nk

npara 0 ≤ rk ≤ 1 y k = 0, 1, . . . , L− 1

La representacion grafica de pr(rk) en funcion de r se denomina histograma. Para la ecualizaciondel histograma de una imagen la relacion continua antes vista se expresa como,

sk = T (rk) =k∑

j=0

[nj

n] =

k∑

j=0

[pr(rj)]

la funcion inversa se indica por, rk = T−1(sk).

En la aproximacion discreta se puede observar que existe una redistribucion de los niveles de grises,lo cual no significa que el histograma deba ser plano, es decir uniforme como se observa en la figura3.17.

Sea la imagen de la figura 3.18 y su histograma,

El procedimiento de ecualizacion conduce a la imagen de la figura 3.19,

Considere el Monumento Scott en Edimburgo, como se muestra en la figura 3.20.

Mientras la ecualizacion de histograma ha mejorado el contraste de la region del cielo, la imagenparece ahora mas artificial debido a que hay muy poca variedad de niveles de gris medios, figura 3.21.Esto ocurre pues la funcion de transferencia esta basada en la pendiente de la funcion acumulativa.

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Figura 3.17: Histograma original y ecualizado.

Figura 3.18: Imagen de una porcion de la luna y su histograma.


Figura 3.19: Imagen de una porcion de la luna y su histograma ecualizado.

Figura 3.20: Imagen del Monumento Scott en Edimburgo y su histograma.

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Figura 3.21: Imagen del Monumento Scott en Edimburgo y su histograma ecualizado.

Se puede mejorar el resultado anterior si se define un mapeo basado en una subseccion de la imagenque contenga una mejor distribucion de densidades de intensidad de niveles de gris bajos, medios yaltos. Si se recorta la imagen original para aislar una region se obtiene la imagen de la figura 3.22.

3.0.4 Especificacion de Histograma

La ecualizacion de histograma esta limitada en que es capaz de producir solo un resultado: unaimagen con una distribucion de intensidades uniforme. Algunas veces es deseable controlar la formadel histograma de la imagen de salida para resaltar ciertos niveles de gris. Esto se puede hacer atraves de una tecnica conocida como especificacion de histograma.

Otra vez se hara el estudio en el espacio continuo y luego se extenderan los resultados al discreto.Sean pr(r) y pz(z) las funciones de probabilidad original y deseada, respectivamente. Supongaseque se hace una ecualizacion del histograma de la imagen original a traves de,

s = T (r) =∫ r

0[pr(w)]dw

Si la imagen deseada estuviera disponible, sus niveles de gris tambien podrıan ser ecualizadosempleando la ecuacion,

v = G(z) =∫ z

0[pz(w)]dw

El proceso inverso, z = G−1(v), proporcionarıa los niveles de z de la imagen deseada. Desde luego


Figura 3.22: Imagen del Monumento Scott en Edimburgo y su funcion de distribucion acumulativaobtenido con una porcion de la imagen original.

Figura 3.23: Imagen mejorada con la tecnica de la figura 3.22.

3.1. MEJORA LOCAL 107

esta transformacion es hipotetica puesto que son los z niveles de gris los que se estan buscando.Como, ps(s) y pv(v) corresponden a densidades de probabilidad uniformes identicas, entonces sepodrıan sustituir los niveles de v y de s, o lo que es lo mismo, z = G−1(s), que darıa la funcion dedensidad de probabilidad deseada.

Procedimiento (valido si G−1(s) posee valor unico).

• Ecualizar los niveles de la imagen original.

• Especificar la funcion de densidad deseada y obtener la funcion G(z).

• Aplicar la funcion de transformacion inversa, z = G−1(s) a los niveles obtenidos en la etapa1.

El metodo explicado para variables continuas posee el problema de expresar la funcion inversaen terminos analıticos. En el caso discreto se soluciona a traves de metodos numericos. En lapractica, a menudo la transformacion de s a z no es de valor unico, esto sucede cuando en elhistograma especificado quedan niveles de gris sin llenar (la funcion de distribucion acumulada esconstante en estos intervalos), o en el proceso de redondeo de G−1(s) al nivel de gris mas proximo.Generalmente la solucion mas sencilla es asignar los niveles de forma tal que se ajusten lo masposible al histograma.

3.1 Mejora Local

Los metodos de procesamiento de histogramas discutidos hasta aquı son globales en el sentido queaplican una funcion de transformacion cuya forma esta basada en la distribucion de los niveles deintensidad de una imagen completa. Aunque este metodo puede mejorar el contraste total y elrango dinamico de una imagen, existen casos en donde se desea la mejora de detalles sobre regionespequenas (es decir areas cuya contribucion total de pixeles al numero total de pixeles de la imagentiene influencia despreciable sobre la transformada total). La solucion en este caso es derivar unatransformacion basada sobre la distribucion de intensidades en la vecindad local de todo pixel enla imagen.

La tecnicas de procesamiento de histograma descriptas anteriormente se pueden adaptar paramejora local. El procedimiento involucra la definicion de una vecindad alrededor de cada pixely usando las caracterısticas del histograma de esa vecindad derivar una funcion de transferenciaque produzca el nivel de gris de la imagen de salida.

En lugar de emplear la tecnica del histograma se pueden utilizar propiedades relativas a las inten-sidades de los pixeles en un entorno. El valor medio (medida del brillo) y la varianza (medida delcontraste) son propiedades utiles. Una transformacion local general basada en estas propiedadesaplica la intensidad de una imagen de entrada f(x, y) en una nueva imagen g(x, y) con la siguientetransformacion para cada pixel,

g(x, y) = A(x, y)[f(x, y)−m(x, y)] + f(x, y)


Figura 3.24: Imagen original con gradiente de iluminacion, imagen de un papel bajo las mismascondiciones de iluminacion y resultado de la sustracci’on.

con A(x, y) = k(M/σ(x, y)) y donde 0 < k < 1, m(x, y) y σ(x, y) representan la media y ladesviacion estandar de los niveles de gris calculados en un entorno cerrado. M es la media globalde f(x, y) y k es una constante.

3.2 Sustraccion de Imagenes

La diferencia entre dos imagenes f(x, y) y g(x, y) expresada como,

h(x, y) = f(x, y)− g(x, y)

es una herramienta muy util en la etapa de segmentacion y en la de mejora de una imagen. Lafigura 3.24 muestra el resultado de la sustraccion para la eliminacion del gradiente de iluiminacionsobre la hoja de papel.

3.3 Promediado de Imagenes

Considerese una imagen g(x, y) formada por la suma de una imagen original f(x, y) y de unafuncion de ruido n(x, y) con media cero y varianza σ2(x, y), es decir,

g(x, y) = f(x, y) + n(x, y)

El objetivo de esta tecnica es reducir la influencia del ruido a traves de la promediacion de un

3.3. PROMEDIADO DE IMAGENES 109

Figura 3.25: Diagramna en bloques de un filtro.

conjunto {gi(x, y)} de imagenes ruidosas. La promediacion de este conjunto de imagenes se calculapor,

g(x, y) =1M

M∑

j=1

[gi(x, y)]

entonces se tiene,

E{g(x, y)} ⇒ f(x, y)σ2[g(x, y)] = 1

M σ2[n(x, y)]

3.3.1 Filtrado Espacial

El empleo de mascaras espaciales para el procesamiento de imagenes se denomina frecuentementecomo filtrado espacial, y las mascaras utilizadas se denominan filtros espaciales.

Muchas operaciones de realce de imagenes se hacen sobre vecindades de los pixeles o regiones deinteres (ROI). Esto se debe a que las regiones cercanas al pixel en cuestion pueden proporcionarinformacion valiosa acerca de los niveles de iluminacion y los detalles de la escena. El uso de estainformacion de los pixeles adyacentes esta ligada al concepto del filtrado espacial. La figura 3.25muestra un modelo del proceso de filtrado.

La entrada al sistema es la imagen a filtrar, determinado por f(x, y), la funcion de transferenciadel filtro es h(x, y) (funcion impulsiva) y la salida sera g(x, y), y la relacion que define al filtradoes:

g(x, y) = f(x, y) ∗ h(x, y).

Existen muchas clases de filtros, pero una clasificacion se puede pensar en terminos de,

Filtros Pasa Bajo Atenuan las altas frecuencias (ruido).

Filtros Pasa Alto Atenuan las bajas frecuencias (realzan detalles).

Filtros Pasa Banda Atenuan bajas y altas frecuencias.

Filtros Rechaza banda Atenuan una banda especıfica de frecuencias.


Figura 3.26: Secciones transversales de los tipos de filtros.

En la figura 3.26 se muestran las secciones transversales de los filtros mencionados anteriormente,en el dominio de la frecuencia y en el espacio. La utilizacion de estos filtros en el dominio espacialse basan en uso de las mascaras espaciales apropiadas. Por ejemplo, si la mascara es de 3 × 3elementos con coeficientes wi entonces la respuesta para el pixel central se obtiene,

R = w1z1 + w2z2 + . . . + w9z9

Filtro Espacial Pasa Bajo

La idea del filtro pasa bajos o filtro promediador es simplemente reemplazar el valor de cada pixelen una imagen con el valor promedio (a veces pesado) de sus vecinos, incluyendose el mismo. Estoposee el efecto de eliminar valores de pixeles los cuales son poco representativos de sus vecinos.Este tipo de filtros tambien se pueden expresar como la convolucion de la imagen con una mascaraque representa la forma y el tamano de la vecindad a tener en cuenta. Frecuentemente se utilizauna mascara cuadrada de 3× 3 elementos, aunque mascaras mas grandes (por ejemplo 5× 5, 7× 7)tambien se pueden utilizar para lograr un alisamiento mas severo.

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1 1 11 1 11 1 1

125

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

Las figuras 3.27, 3.28, 3.29, y 3.30 ejemplifican el uso de estos filtros. Ademas estas figuras muestrandos problemas potenciales de este tipo de filtros.


Figura 3.27: Imagen original e imagen con ruido gaussiano.

Figura 3.28: Imagen Filtrada con filtro pasa bajos de 3× 3 elementos e Imagen Filtrada con filtropasa bajos de 5× 5 elementos.


Figura 3.29: Imagen con mayor cantidad de ruido gaussiano e Imagen filtrada con filtro pasa bajosde 3× 3 elementos.

Figura 3.30: Imagen con ruido sal y pimienta e Imagen filtrada con filtro pasa bajos de 3 × 3elementos.


Figura 3.31: Imagen Original e Imagen fitrada con mascara de 3× 3 elementos.

• Un pixel con un nivel poco representativo puede afectar significativamente el valor medio detodos los pixeles en la vecindad.

• Cuando el filtro encuentra un limite de objeto, se interpola a nuevos valores desdibujando elcontorno.

Considerese ahora la imagen de la figura 3.31a la cual muestra una escena que posee un rango masamplio de frecuencias (detalles). Despues de suavizar la imagen con una mascara de 3×3 elementosse obtiene la imagen de la figura 3.31b y 3.32.

3.3.2 Filtro Gaussiano Pasa Bajo

El filtro gaussiano pasa bajos es un operador bidimensional de convolucion que se utiliza paraeliminar ruido y suavizar bordes. En este sentido es similar al filtro promediador pero utiliza unamascara diferente que representa la forma de una campana gaussiana, como se muestra en la figura3.33. Esta mascara pose algunas propiedades interesantes.

La idea del suavizado gaussiano es utilizar la distribucion gaussiana 2D como una funcion dedesviacion puntual (point–spread), lo que se logra con la convolucion. Debido a que la imagenes almacenada como un conjunto de pixeles discretos se necesita producir una version discretaaproximada de la funcion gaussiana. En teorıa, la distribucion gaussiana es distinta de cero siempre,lo cual requerirıa una mascara de convolucion infinita, pero en la practica podemos suponer que seanula a 3 veces la desviacion estandar y truncar en ese lugar.


Figura 3.32: Imagen fitrada con mascara de 7× 7 elementos e imagen fitrada con mascara de 3× 3elementos 3 veces.

Figura 3.33: Campana Gaussiana y su ecuacion.


Figura 3.34: Respuesta en frecuencia de: filtro de media (7× 7) y filtro Gaussiano con desviacionestandar 3.

1115

2 4 5 4 24 9 12 9 45 12 15 12 54 9 12 9 42 4 5 4 2

, σ = 1.4

El efecto del suavizado gaussiano es desdibujar una imagen, como lo hace el filtro de media yavisto. El grado de suavizado se determina a traves del valor de la desviacion estandar (mientrasmas grande la desviacion requiere una mascara de mayor tamao).

La salida de este filtro es un promedio pesado de cada pixel y su vecindad, siendo el de mayorpeso el pixel central. Esto lo diferencia del filtro de media donde todos los pesos son iguales a 1/9.Debido a esto, con este tipo de filtro se obtienen mejores resultados.

Una de las principales justificaciones para utilizar un filtro gaussiano es su respuesta en frecuencia,lo que se puede apreciar en la figura 3.34.

Las imagenes de la figura 3.35 muestran la aplicacion de un filtro gaussiano con diferentestamanos de mascaras. Observe el profundo efecto que este tipo de mascaras posee a medida que eltamano aumenta. La figura 3.36 muestra otro ejemplo de aplicacion de este filtro. Observe en lafigura 3.37 la pobre respuesta de este filtro a un ruido del tipo sal y pimienta.

3.3.3 Otros ejemplos

Otras mascaras de convolucion

a)15

0 1 01 1 10 1 0

b)1

9

1 1 11 1 11 1 1

c) 1

16

1 2 12 4 21 2 1

La figura 3.38 muestra el resultado de la aplicacion de estas mascaras.


Figura 3.35: Imagenes: Original, Filtradas con mascara 5 × 5 (σ = 1), 9 × 9 (σ = 2), 15 × 15(σ = 4).

Figura 3.36: Imagen con ruido gaussiano. Imagen filtrada con mascara gaussiana de 5× 5.


Figura 3.37: Imagen con ruido sal y pimienta. Imagen filtrada con mascara gaussiana de 5× 5.

Figura 3.38: Imagen Original y filtrada con mascaras a, b y c.


Figura 3.39: Ejemplo de calculo del filtro de mediana.

3.3.4 Filtrado de Mediana

Como el filtro promediador, el filtro de mediana en lugar de promediar el pixel con sus vecinos loreemplaza con la mediana de estos valores. La mediana se calcula primero ordenando todos losvalores de los pixeles en la vecindad y luego se reemplaza el nivel de gris del pixel central por elvalor del pixel del medio (Si la vecindad contiene un numero par de elementos se reemplaza el pixelcentral por el promedio de los dos pixeles del medio), como se muestra en la figura 3.39.

El filtro de la mediana tiene dos ventajas respecto al filtro de media:

• La mediana es un promedio mas robusto que la media y por lo tanto un pixel poco represen-tativo no afecta el valor de la mediana significativamente.

• Debido a que el valor de la mediana es el nivel de gris de uno de los pixeles en la vecindad, elfiltro no crea nuevos valores poco realistas. Por esta razon este tipo de filtros conserva muchomejor las formas abruptas de los bordes.

Las imagenes de las figuras 3.40, 3.41 y 3.42 muestran diferentes aplicaciones del filtrado de mediana.

3.3.5 Comparacion entre filtro promediador y de mediana

Las imagenes de las figuras 3.43, 3.44, 3.45 y 3.46 permiten comparar los filtros de media (prome-diador) y mediana para diferentes condiciones de ruido en las imagenes originales.

3.3.6 Filtrado de Alisado Conservativo

El suavizado conservativo es una tecnica de reduccion de ruido que deriva su nombre del hecho queemplea un simple pero rapido algoritmo que sacrifica potencia de supresion de ruido para preservarlos detalles de las frecuencias espaciales altas en una imagen. Esta explıcitamente disenado pararemover picos de ruido y por lo tanto es menos efectivo para remover ruido del tipo aditivo. Comola mayorıa de los filtros para supresion de ruido, este filtro supone que el ruido posee una frecuenciaespacial elevada. Por lo tanto se puede atenuar por operacion local lo cual hace que la intensidad


Figura 3.40: Imagen original, imagen con ruido gaussiano e imagen filtrada por la mediana convecindad de 3× 3.

Figura 3.41: Imagen con ruido sal y pimienta, imagen filtrada con la mediana 3× 3.


Figura 3.42: Imagen original, con ruido sal y pimienta, filtro de mediana de 7× 7.

Figura 3.43: Imagen original e Imagen con ruido impulsivo.

Figura 3.44: Mascara de madiana 3× 3, Mascara de media 3× 3.


Figura 3.45: Imagen original e Imagen corrupta con ruido gaussiano.

Figura 3.46: Mascara de media 3× 3 y Mascara de mediana 3× 3.


Figura 3.47: .

Figura 3.48: Imagen con ruido gaussiano e imagen filtrada.

de cada pixel sea bastante consistente con el de sus vecinos. El suavizado conservativo asegura quela intensidad del pixel esta acotado dentro del rango de valores definidos por sus vecinos. Esto estaacompanado por un procedimiento el cual primero encuentra los valores maximos y mınimos detodos los pixeles dentro de una ventana alrededor del pixel en cuestion.

Si la intensidad del pixel central yace dentro del rango de intensidades definido por sus vecinos, elvalor del pixel no se altera. Si por el contrario, la intensidad del pixel central es mas grande que elmaximo, se coloca el valor del maximo. Lo mismo para el mınimo. Ver figura 3.47.

Las imagenes de las figuras 3.48, 3.49 y 3.50 muestran el comportamiento de este filtro frente adiferentes condicones de ruido.


Figura 3.49: Imagen con ruido impulsivo e imagen filtrada

Figura 3.50: Imagen con ruido impulsivo con mas de un pixel corrupto en la vecindad e ImagenFiltrada


Figura 3.51: Imagen original, fltrada con mascara a.

3.3.7 Filtro Espacial Pasa Alto

El objetivo principal de las operaciones de realce es destacar los detalles finos de una imagen ointensificar detalles que han sido difuminados, por error o por efecto natural del metodo de capturade la imagen. El perfil de la respuesta a un impulso indica que este debe poseer coeficientes positivoscerca de su centro y negativos en la periferia. Por ejemplo,

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−1 −1 −1−1 −8 −1−1 −1 −1

Otros ejemplos de mascaras son,

a)

0 −1 0−1 5 −10 −1 0

b)

−1 −1 −1−1 9 −1−1 −1 −1

c)

−1 −2 −1−2 5 −2−1 −2 −1

Las imagenes de las figuras 3.51 y 3.52 muestran el resultado de la aplicacion del filtro pasa alto.

3.3.8 Filtro High-Boost

Se puede filtrar una imagen con un filtro pasa alto como la diferencia entre la imagen original yuna version suavizada ( pasa bajo) de la misma. De esta manera se mejoran los bordes y otrosdetalles de alta frecuencia. Este tipo de tecnica se utiliza muy a menudo en fotografıa e imprentaspara remarcar los bordes, figura 3.53.


Figura 3.52: Imagen fltrada con mascara b y c.

Figura 3.53: Diagrama en bloques de un filtro pasa alto.

g(x, y) = f(x, y)− fsuave(x, y)

Se puede comprender mejor la operacion de este filtro examinando las caracterısticas de las senales.Supongase la senal mostrada en en la figura 3.54(a), si le restamos las componentes de baja fre-cuencia 3.54(b) conduce a la senal de alta frecuencia 3.54(c).

Si se suma la senal filtrada pasa alto a la senal original se obtiene la senal de la figura 3.55. Eldiagrama en bloques de esta operacion se muestra en la figura 3.56.

Se puede combinar lo anterior para ser aplicado a imagenes de acuerdo a la ecuacion,

Fpa(x, y) = f(x, y) + k ∗ g(x, y)

donde k es una constante de escala. Valores tıpicos de k varıan desde 0.2 a 0.7 en donde los valoresmas grandes proveen cantidades mayores de filtrado.

Otra formulacion encontrada en los libros es,

fpa(x, y) = (A− 1)f(x, y) + g(x, y)


Figura 3.54: Proceso de filtrado pasa alto.

Figura 3.55: Perfil de la senal original con el agregado de la senal filtrada.

Figura 3.56: Diagrama en bloques del fltro con el agregado de la imagen original.


Figura 3.57: Imagen original y filtrado pasa alto.

Figura 3.58: Imagen con bordes resaltados.

donde A es el factor de escala. Si A = 1 se obtiene un filtro pasa alto convencional. Si A > 1 seobtiene el filtro High Boost.

La implementacion de este filtro se hace en base a la eleccion apropiada del filtro pasa bajos, luegose resta pixel a pixel de la imagen original para producir el filtro pasa alto. Consideremos la imagende la figura 3.57,

cuyos bordes abruptos han sido suavizados por desenfoque de la camara. Para extraer los bordesse alisa la imagen con una filtro de media (3x3) y luego se resta de la original.

Debido a que se han restado todas las componentes de baja frecuencia de la imagen original, seha dejado solo la informacion relativa al contorno. A veces es deseable tener la imagen originalcon el contorno mejorado o resaltado. Para lograr este efecto se le suma una porcion de la imagenanterior (k = 0.7) a la imagen original, figura 3.58.

Una forma mas comun de implementar este filtro es a traves del uso del operador Laplacianonegativo para extraer la informacion pasa alto directamente, figura 3.59.

Algunas mascaras para producir aproximaciones discretas al filtro Laplaciano son,


Figura 3.59: Diagrama en bloques del filtro pasa alto Laplaciano.

Figura 3.60: Imagenes original, high boost Laplaciano 3x3 y 7x7.

a)

0 −1 0−1 4 −10 −1 0

b)

−1 −1 −1−1 8 −1−1 −1 −1

c)

1 −2 1−2 4 −21 −2 1

Despues de convolucionar una imagen con una mascara como las anteriores solo se debe escalar ysumar a la imagen original para producir el efecto deseado, figura 3.60.

3.3.9 Filtrado en el dominio de la Frecuencia

Los filtros frecuenciales procesan la imagen en el dominio de la frecuencia. Primero se debe obtenerla Transformada de Fourier de la imagen, se multiplica por la funcion del filtro y luego se anti-transforma para obtener la imagen filtrada en el dominio espacial. Todos los filtros frecuencialesse pueden implementar en el dominio espacial siempre y cuando exista un kernel de convolucionsimple. Siempre es conveniente trabajar en el dominio espacial pues es computacionalmente mejor.Estos filtros se utilizan cuando es muy complejo obtener la mascara espacial y tambien puede sermas eficiente.

Los filtros espaciales estan basados en la Transformada de Fourier. El operador usualmente tomauna imagen y la funcion de un filtro en el dominio de Fourier, luego son multiplicadas pixel a pixel,es decir,


Figura 3.61:

G(u, v) = F (u, v)H(u, v)

donde F (u, v) es la transformada de Fourier de la imagen de entrada, H(u, v) es la funcion delfiltro en el dominio de Fourier y G(u, v) es la transformada de Fourier de la imagen filtrada. Paraobtener la imagen resultante en el dominio espacial, G(u, v) debe ser transformada utilizando latransformada inversa de Fourier.

Debido a que el producto en el dominio frecuencial es identico a la convolucion en el dominio espa-cial, en teorıa todos los filtros frecuenciales pueden ser implementados como mascaras espaciales.Sin embargo en la practica la funcion del filtro en la frecuencia solo puede aproximarse por el kernelde filtrado en el dominio espacial.

La forma de la funcion del filtro determina el efecto del operador. Como sabemos existen basicamentetres tipos de filtros, pasa bajos, pasa altos y pasa banda.

Filtro Ideal

El filtro pasa bajo mas simple es el filtro pasa bajos ideal, figura 3.61. Suprime todas las frecuenciasmas altas que la frecuencia de corte Do y no modifica las frecuencias bajas.

H(u, v) =1 si

√u2 + v2 ≤ Do

0 si√

u2 + v2 ≥ Do

En la practica Do se especifica como una fraccion de la frecuencia mas alta representada en eldominio de Fourier. La desventaja de este filtro es un efecto de ringing que ocurre a lo largo de loscontornos de la imagen en el dominio espacial. La figura 3.62 muestra la respuesta en frecuenciay espacial del filtro ideal para dos frecuencias de corte distintas, tambien se observa el efecto deringing. La forma del filtro 2D se obtiene rotando la funcion 1D alrededor del eje y.

La figura 3.63 muestra el aporte de energıa a la imagen de cada frecuencia de corte.

Las imagenes de las figuras 3.64, 3.65, 3.66 y 3.67 muestran el efectro del ringing.


Figura 3.62:

Figura 3.63: Imagen y su Transformada de Fourier. Los cırculos corresponden a 90,93,95,99,99.5%de la energıa de la imagen. (radios 8, 18, 43, 78, 152).

Figura 3.64: Imagen contaminada con ruido gaussiano σ = 8 y el espectro de Fourier.


Figura 3.65: Imagenes filtras con filtro ideal, Do = 1/3 y 1/2, efecto de ringing.

Figura 3.66: Imagen Original y filtrada con filtro ideal Do = 2/3.


Figura 3.67: Imagen filtrada anterior con ecualizacion de histograma. Imagen filtrada con Do = 1/3Notar el efecto de rinnging.

3.3.10 Filtros Pasa Bajos No Ideales

Se pueden lograr mejores resultados con una funcion filtro de forma gaussiana. La ventaja de estefiltro es que posee la misma forma en el dominio espacial y en el frecuencial. Una aproximaciondiscreta a la forma gaussiana es el filtro de Butterworth. Aplicando este filtro en el dominiofrecuencial muestra un resultado similar al filtrado suavizante de un filtro gaussiano. Una diferenciaes que el costo computacional del filtro espacial se incrementa con la desviacion estandar (el tamanode la mascara), mientras que el costo computacional del filtro frecuencial es independiente de lafuncion del filtro. De aquı que, el filtro espacial gaussiano es mas apropiado para filtros pasa bajosestrechos, mientras que el de Butterworth es mejor implementarlo para filtros pasa bajos con muchoancho de banda.

Filtro Pasa Bajo de Butterworth

La funcion de transferencia frecuencial del filtro de orden n esta dado por la ecuacion, figura 3.68:

H(u, v) =1

1 + [√

u2+v2

Do]2n

Las imagenes de las figuras 3.69 y 3.70 muestran el resultado de la aplicacion de este filtro comparadocon el filtro ideal.

La funcion del filtro pasa bajos de Butterworth carece de una discontinuidad brusca que establezcaun corte claro entre la banda de paso y la de rechazo. Para este tipo de filtros es comun definirla frecuencia de corte Do, a partir del lugar en el cual H(u, v) corresponde a una determinadafraccion de su valor maximo. Para la definicion dada esto se obtiene cuando H(u, v) = 0.5. Otro


Figura 3.68: Espectro de Fourier del Filtro de Butterworth.

Figura 3.69: Imagen con ruido gaussiano. Filtro ideal Do = 1/3. Filtro de Butterworth Do = 1/3.

Figura 3.70: Imagen filtrada con filtro ideal y con filtro de Butterworth,Do=1/3.


Figura 3.71:

Figura 3.72: Imagen de un camaleon y su espectro de Fourier.

valor utilizado es H(u, v) = 1/√

2.

3.3.11 Filtro Pasa Alto

Se pueden atenuar la bajas frecuencias de una imagen a traves de un filtro pasa alto especificado enla frecuencia. Para esto se debe multiplicar la transformada de Fourier de la imagen con la funciondel filtro y luego aplicar al resultado la transformada inversa de Fourier para obtener la imagen enel dominio espacial filtrada.

Filtro Pasa Alto Ideal

Un filtro pasa alto ideal como el mostrado en la figura 3.71, posee la funcion,

H(u, v) =0 si

√u2 + v2 < Do

1 si√

u2 + v2 ≥ Do

Las imagenes de las figuras 3.72, 3.73 y 3.74 muestran la aplicacion de este tipo de filtro. Observartambien el fenomeno de Gibbs (similar al ringing).


Figura 3.73: Imagen filtrada y espectro con bajas frecuencias eliminadas.

Figura 3.74: Existe un fenomeno de oscilacion que se puede ver a las orillas de la imagen delcamaleon y mas particularmente cerca de la rama donde esta sostenido. Esta oscilacion se conocecomo ”fenomeno de Gibbs” y es debido al filtrado por medio de una ventana rectangular.


Filtro Pasa Alto de Butterworth

La funcion de transferencia de un filtro pasa alto de Butterworth de orden n y con frecuencia decorte ubicada a la distancia Do del origen se define por la relacion,

H(u, v) =1

1 + [ Do√u2+v2

]2n

Note que cuando√

u2 + v2 = Do la funcion cae a la mitad de su valor maximo. Como para elcaso del filtro pasa bajo de Butterworth es practica comun seleccionar la ubicacion de la frecuenciade corte en un punto para el cual H(u, v) sea 1/

√2 de su maximo valor. Para este caso se puede

modificar la ecuacion anterior para que satisfaga esta restriccion.

H(u, v) =1

1 + [(√

2− 1) Do√u2+v2

]2n

Filtro Homomorfico

El principio basico de este tipo de filtrado es el de utilizar el modelo iluminacion - reflectancia vistoen capıtulos anteriores. Una imagen f(x, y) puede describirse en terminos de sus componentes deiluminacion y de reflectancia: f(x, y) = i(x, y)r(x, y). Resulta que la transformada de Fourier delproducto de estas dos funciones no es separable, ası que para poder trabajar independientementecon los dos componentes es necesario efectuar una transformacion logarıtmica, es decir:

z(x, y) = ln[f(x, y)] = ln[i(x, y)] + ln[r(x, y)].

Aplicando ahora sı la transformada de Fourier a la ecuacion se obtiene:

Z(u, v) = I(u, v) + R(u, v).

S(x, y) = H(u, v)Z(u, v) = H(u, v)I(u, v) + H(u, v)R(u, v)

Aplicando Transformada de Fourier inversa se obtiene,

s(x, y) = F−1[S(u, v)] = F−1[H(u, v)I(u, v)] + F−1[H(u, v)R(u, v)]

s(x, y) = i′(x, y) + r′(x, y)

Como z(x, y) se tomo en base al logaritmo entonces el proceso inverso es,

g(x, y) = e[s(x,y)] = e[i′(x,y)+r′(x,y)]

g(x, y) = e[i′(x,y)]e[r′(x,y)]


Figura 3.75: Imagen original e imagen ecualizada.

g(x, y) = io(x, y)ro(x, y)

El primer componente contiene en general la informacion sobre el nivel de gris promedio, mientrasque el segundo varıa abruptamente, sobre todo en las vecindades de bordes y fronteras entre objetos.Normalmente se asocia a las bajas frecuencias de la transformada de Fourier del logaritmo dela imagen a la iluminacion, mientras que las altas frecuencias se asocian a la reflectancia. Lailuminacion proporciona el rango dinamico que se aplica en la imagen, mientras que el contrastedepende de las caracterısticas de la imagen y mas particularmente, de su capacidad de reflejar laluz.

Al emplear un filtro homomorfico, se define una funcion de transferencia de un filtro H(u, v) queopera sobre los componentes de alta y baja frecuencia de manera diferente entre ellos. Esta funciontiende a disminuir las bajas frecuencias y a realzar las altas. El resultado final sera una compresiondel rango dinamico acompanado de un realce del contraste:

Entonces, la secuencia de operaciones para el filtro homomorfico es,

f(x, y) → 〈ln〉 → 〈FFT 〉 → 〈H(u, v)〉 → 〈FFTinv〉 → 〈exp〉 → g(x, y)

las imagenes de las figuras 3.75, 3.76 y 3.77 ejemplifican el uso de este filtro.

Una posible funcion para el filtro homomorfico se muestra en la figura 3.78.

Algunas de las aplicaciones de este tipo de filtrado es para imagenes que tienen ruido de ”speckle”,semejante a la textura caracterıstica en las imagenes de ultrasonido medico. En el caso de imagenescon bajo contraste, este tipo de ruido reduce su resolucion significativamente, de tal manera que lasupresion de este tipo de ruido es importante. El problema de reduccion de este ruido es diferenteen general de otros tipos, ya que no es un ruido aditivo, sino multiplicativo.

Para este tipo de imagenes se puede efectuar una combinacion entre el filtrado homomorfico conven-cional y un filtrado de Wiener para producir el filtrado homomorfico de Wiener [Jain, 1989]. Al ten-erse un ruido multiplicativo, parte de la solucion puede darse por una transformacion logarıtmica,seguida por un filtrado de Wiener y una transformacion final exponencial. Las imagenes de lasfiguras 3.79, 3.80 y 3.81 ejemplifican el uso de este filtro.


Figura 3.76: Aplicacion del Logaritmo Natural. Espectro de Fourier al que se aplico una ventana.

Figura 3.77: Despues de la aplicacion de la transformada inversa Despues de la aplicacion de laexponencial. (Compresion de rango dinamico, realce del contraste)

Figura 3.78:

3.4. MASCARAS ESPACIALES 139

Figura 3.79: Imagen original, imagen con ruido multiplicativo.

3.4 Mascaras Espaciales

3.4.1 Generacion de mascaras especiales mediante especificaciones en el do-minio de la frecuencia

La tecnica que se desarrollara permitira construir mascaras de filtros espaciales que aproximan undeterminado filtro frecuencial. El proceso de filtrado en la frecuencia esta basado en la ecuacionG(u, v) = H(u, v)F (u, v) donde H(u, v) es la funcion de transferencia del filtro. Por el teorema deconvolucion esto se puede implementar en el dominio espacial por,

g(x, y) =N−1∑

i=0

N−1∑

k=0

h(x− i, y − k)f(i, k)

por simplicidad se suponen imagenes cuadradas y que las funciones han sido extendidas seguncorresponde.

Como h de N ×N es la mascara de convolucion espacial su transformada de Fourier es,


Figura 3.80: Imagen despues de una transformacion logarıtmica. Imagen despues del filtrado deWiener.

3.4. MASCARAS ESPACIALES 141

Figura 3.81: Imagen despues de una transformacion exponencial e imagen original.

H(u, v) =1N

N−1∑

x=0

N−1∑

y=0

h(x, y)e−j2π(ux+vy)

N

Sin embargo suponemos que h(x, y) esta restringido a cero para valores de x > n y de y > n conn < N . Esto da por resultado una mascara de convolucion de n × n elementos y por lo tanto seobtiene una cuya transformada de Fourier es,

ˆH(u, v) =1N

N−1∑

x=0

N−1∑

y=0

ˆh(x, y)e−j2π(ux+vy)

N

El objetivo que se persigue es encontrar los coeficientes de de forma tal que el error,

e2 =N−1∑

u=0

N−1∑

v=0

|H(u, v)− ˆH(u, v)|2

sea mınimo.

La transformada de Fourier se puede expresar matricialmente de la forma,


H = Ch

donde H es un vector columna de N2 elementos y h es un vector columna de n2 elementos. C esuna matriz de N2×n2 de terminos exponenciales cuyas posiciones estan determinados por el ordende H y h.

Un procedimiento simple para generar los vectores a partir de las matrices es considerar,

ˆH(u, v) ⇒ H(i), i = uN + vˆh(u, v) ⇒ h(k), k = xn + y

Finalmente, los elementos de la matriz C indicados por (i, k) se generan por los terminos exponen-ciales,

1N

e−j2π(ux+vy)

N ⇒ C(i, k), i = uN + v, k = xn + y

En notacion matricial la ecuacion del error se escribe como,

e2 = (H −H)∗(H −H) = ‖H −H‖2 = ‖Ch−H‖2

Calculando la derivada parcial del error respecto de la mascara espacial e igualando a cero se obtieneel mınimo de error, es decir,

∂e2

∂h= 2C∗(ch−H) = 0

despejando de esta ecuacion la mascara espacial se obtiene,

h = (C∗C)−1C∗H

donde la matriz C∗C)−1C∗ se denomina inversa generalizada. En general los elementos de lamascara espacial seran cantidades complejas. Sin embargo si la funcion del filtro en el dominiofrecuencial es real y simetrica entonces la mascara poseera coeficientes reales y simetricos.

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