DE

Enero 2009

Luis Acosta Romero

Sergio Yansen Núñez

TÉCNICAS

CONTEO

Principios fundamentales de conteo

En esta clase se mostrarán y ejemplificarán los principios básicos que rigen las técnicas de conteo, las cuales son los puntos de partida de técnicas más específicas como la combinatoria y la permutación.

Estos principios tienen importancia no sólo a nivel teórico, como fundamento de nuevos conceptos, sino también a nivel operacional, pues su utilización práctica ayuda a complementar otras técnicas.

Principio de la suma

Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda tarea se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos tareas simultáneamente, entonces el número de maneras en que se pueden realizar una tarea o la otra es nm +

Ejemplos a desarrollar en clases por el profesor:

1. La biblioteca de una Universidad tiene 43 libros de Administración y 82 libros de Matemática ¿De cuántas maneras un estudiante puede elegir un texto en alguno de los temas?

Solución:

Usando el principio de la suma: 43+82=125

Por lo tanto, un estudiante puede elegir un texto en alguno de los temas de 125 maneras.

2. Se lanzan dos dados simultáneamente (los dados no se pueden distinguir entre sí) ¿cuántos resultados hay?

Solución:

Esquematizando las posibilidades:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

Note que ij significa que en un dado se obtuvo i y en el otro j.

Contaremos aquellas duplas de números iguales: 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66. 6 posibilidades

Quedan 36-6=30 posibilidades:

12 13 14 15 16

21 23 24 25 26

31 32 34 35 36

41 42 43 45 46

51 52 53 54 56

61 62 63 64 65

De estas 30 posibilidades, se tiene que los 15 pares superiores a la diagonal, son equivalentes a los pares inferiores a la diagonal. Por tanto, contaremos 15 posibilidades más.

Luego, por el principio de la suma se tiene que hay 6+15 resultados, o sea 21.

3. ¿Cuántas ensaladas pueden prepararse con lechuga, repollo y apio?

Solución:

Contaremos:

Ensaladas que se pueden formar con sólo una verdura: 3 posibilidades (lechuga – repollo – apio)

Ensaladas que se pueden formar con sólo dos verduras: 3 posibilidades (lechuga-repollo , lechuga-apio , repollo-apio)

Ensaladas que se pueden formar con las tres verduras: 1 posibilidad

Luego, por el principio de la suma se tiene que se pueden preparar 3+3+1 ensaladas, o sea 7.

Principio de la multiplicación

Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar de nm ⋅ maneras.

Ejemplos a desarrollar en clases por el profesor:

1. El director de teatro de una escuela debe seleccionar a una dama y a un varón para la obra final de temporada, y escogerá de un grupo constituido por 5 mujeres y 3 hombres que han cumplido todas las exigencias ¿De cuántas maneras podrá escoger una mujer y un hombre para que interpreten los roles protagónicos?

Solución:

Sean M1 , M2 , M3 , M4, M5 las mujeres y H1, H2 , H3 los hombres

En el gráfico siguiente se muestran las posibilidades:

Por principio multiplicativo, se tiene que hay 35 ⋅ , o sea 15

parejas .

2. Se lanzan tres dados de distinto color simultáneamente ¿cuántos resultados posibles hay?

Solución:

Por el principio multiplicativo, se tiene que hay 666 ⋅⋅

resultados posibles, o sea 216.

3. Un hombre tiene que ir tres días a una estación de ferrocarril y puede elegir entre cinco medios de transporte diferentes, ¿de cuántas formas puede hacer los tres viajes?

Solución:

Por el principio multiplicativo se tiene que, el número de formas en que se puede hacer los tres viajes es 555 ⋅⋅ , o sea

125 maneras.

4. Determine la cantidad de palabras de tres letras que se pueden formar con las letras: a, b, c, d, e, f , que contengan la letra e y sin repetición de letras.

En este ejemplo, se utilizarán los principios de la suma y de la multiplicación.

Solución:

Se formarán palabras de 3 letras que deben contener la letra e, está puede aparecer como primera letra, segunda o tercera.

Palabras que comiencen con la e:

Por el principio multiplicativo se tiene que el número de palabras de tres letras que empiecen con e es: 45 ⋅ , o sea 20.

Palabras que tengan la e en el medio

Por el principio multiplicativo se tiene que el número de palabras de tres letras que tienen la e en medio es: 45 ⋅ , o sea 20.

Palabras que terminen con e:

Por el principio multiplicativo se tiene que el número de palabras de tres letras que terminan con e es: 45 ⋅ , o sea 20.

Por el principio de la suma se tiene que la cantidad de palabras de tres letras que se pueden formar que contengan la letra e y sin repetición de las letras a, b, c, d, f es:

202020 ++ o sea 60 palabras.

Guía de ejercicios

1. ¿De cuántas formas pueden sentarse seis hombres y siete mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los sitios impares?

2. Dadas las letras: A , B , C , D , E , F , G , L , a) ¿Cuántas palabras de 9 letras se pueden formar?b) ¿Cuántas palabras de 9 letras se pueden formar, si las vocales deben quedar juntas?

3. Dadas la letras de la palabra CONSTRUCCIONa) ¿Cuántas palabras de 12 letras se pueden formar?b) ¿Cuántas palabras de 12 letras se pueden formar, si las

vocales deben quedar juntas?

4. Dadas las letras de la palabra CONSTITUCION ¿Cuántas palabras diferentes de 12 letras se pueden formar, si las consonantes deben quedar juntas?

5. Dadas las letras A , A , A , B , C , D , N , N , P , Pa) ¿Cuántas palabras diferentes de 10 letras se pueden

formar?b) ¿Cuántas palabras diferentes de 10 letras se pueden

formar, si las letras iguales deben quedar juntas?

6. ¿De cuántas maneras se puede elegir una comisión de seis personas de entre diez personas?

7. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité, compuesto de tres hombres y dos mujeres, de un grupo de siete hombres y cinco mujeres?

8. Un alumno debe responder un Examen de 10 preguntas. Él aprueba el Examen si responde, correctamente, al menos 6 preguntas. ¿De cuántas maneras puede el estudiante responder el Examen, para aprobarlo?

9. De un total de cinco matemáticos y siete físicos, se forma un comité de dos matemáticos y tres físicos, ¿de cuántas formas puede formarse, sia) puede pertenecer a él cualquier matemático o físico?b) un físico determinado debe pertenecer al comité?c) dos matemáticos determinados no pueden estar en el

comité?

10. Dadas consonantes (distintas) y vocales (distintas). ¿Cuántas palabras pueden formarse con dos vocales y seis consonantes?