tasa de variación

ESCUELA TÉCNICA ORT

MATEMÁTICA 6º B.T.O. T. P. Nro 1 : DERIVADA S Año: 2006

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Introdu cc ión a derivadas: Tasas de variación

1) Un conductor sale, en su camión, de Capital Federal y se dirige hacia la ciudad Tandil, situada a 350 Km. Cuando ha recorrido 180 km, se para a descargar mercadería en Las Flores, en lo que invierte 50 minutos; dichos 180 km los recorrió a una velocidad media de 60 km/h. Los 170 km que separan a Las Flores de Tandil tardó en recorrerlos 1h 50min. Al llegar a Tandil descubre que ha dejado sus documentos en Las Flores y, sin detenerse, da media vuelta y se dirige a buscarlos. A causa del tráfico, en el recorrido de vuelta, tardó 20 min más de lo que tardó a la ida. Halla: a) Las velocidades medias con las que el conductor realizó los recorridos de Las Flores a Tandil y viceversa. b) La velocidad media que alcanzó en el recorrido de Cap. Fed. a Tandil. c) Suponiendo que las arrancadas y las paradas las realizó rapidísimamente y que circuló siempre a la velocidad

media correspondiente, representa gráficamente la distancia recorrida en función del tiempo. 2) El efecto de una anestesia “t” horas después de ser suministrada viene dado por la expresión:

( )4t con;t

)t(A ≤−

=16

216. Encuentra:

a) El cambio medio del efecto durante la primer hora. b) El cambio medio en el intervalo de tiempo: [ ]522 ,; . c) ¿Qué ocurre con el efecto de la anestesia en la medida que transcurre el tiempo?

3) Tras la aparición de una determinada enfermedad contagiosa, el Ministerio de Salud calculó que el número de

personas infectadas, por día, se puede determinar mediante la fórmula: 3233 dd)d(n −= , siendo “d” el número de días, desde el primer día. a) ¿Cuántos enfermos hubo el primer día? b) ¿Dentro de cuentos días desaparecerá la enfermedad? c) Representa gráficamente la función que permite calcular número total de enfermos por día, indicando el

dominio y la imagen ajustado al problema. d) ¿Cuál es la velocidad media de propagación entre los días 2 y 4? e) ¿A qué velocidad se está propagando el día 10? f) ¿Cuándo se estará propagando a razón de 120 personas por día? g) ¿Cuánto tiempo tardará en dejar de propagarse?

4) Una población de 300 bacterias se introduce en un cultivo. Si su número crece según la expresión:

)t()t(N 1300 2 += , siendo “t” el tiempo en horas, calcula: a) El número de bacterias y la tasa de crecimiento de las mismas al cabo de 5 hs. b) El instante en el que la velocidad de crecimiento es de 300 bacterias por hora.


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Síntesis:

Tasa de variación : es el cociente entre las variaciones o incremento entre dos variables. Si f(x) es una función entonces: ��Variación absoluta o incremento de f(x) en el intervalo [a, b] esta dado por: )a(f)b(ff −=∆ , ��tasa de variación media en el intervalo [a, b] (o velocidad media de cambio), será:

xf

m ∆∆=ν donde x∆ = b - a

��tasa de variación instantánea de f(x) en x = a (o velocidad de cambio instantáneo de f(x) en x = a), es:

( )( )

abaf)b(f

limabai −

−=ν→

o bien ( )( )

xaf)xa(f

lim0xai ∆

−∆+=ν→∆

Derivada de una función en un pun to El concepto de tasa de variación instantánea da lugar a la definición de derivada de una función en un pun to x = a,

que representaremos: :(a)´f

La derivada de una función )x(fy = en x = a es, si es que existe:

x

)a(f)xa(f

ax

)a(f)x(f)a(

oxax

' limlimf∆

−∆+

−

−→∆→

==

Observaciones: f(x) es derivable en x = a si:

• existen las derivadas laterales y éstas coinciden. Es decir:

( )+=− a)a( 'f'f

• ( )a'f es un número real.


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Ejercitación: 1) Calcula, aplicando la definición, la derivada de f(x) en los puntos que se indican.

a) 1 a en xx)x(f =+−= 2425

b) 4 a en x)x(f ==

c) 2- a en x

)x(f ==1

d) 3 a en x

)x(f =+

=1

1

e) 2- a en x)x(f == 32

f) 1- a en x33x)x(f =+−=

g) a x en xx)x(f =+−= 132

Interpretación g eométrica de la derivada

Si la recta “s” pasa por los puntos P y P´ es una recta secante al gráfico de f(x). La pendiente “m” de esa recta es:

Cuando 0→∆x ,

��el punto P’ se acerca hacia P, ��la recta secante tiende a ser la recta tangente a la

gráfica de f(x) en el punto P de abscisa x = a (recta t) ��la pendiente de la recta tangente es:

es decir: geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese pun to

xy

ax)a(f)x(f

tgm∆∆=

−−=α=

ax)a(f)x(f

lim)a(fax

'

−−=

→

s

x

αα


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Ejercitación

1) Encuentra las pendientes de las rectas tangentes trazadas en cada una des gráficas y completa lo pedido.

f ’(2)=....... f ’(-1)=....... h’(1/2)=.......

2) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función ( )22−= x)x(f en el punto de abscisa x = 2.

3) Averigua en qué punto la recta tangente a x)x(h = tiene pendiente ¼ . ¿Cuál es la ecuación de dicha recta?

4) ¿Para qué valor del dominio de la función x2xf(x) +−= la pendiente de la recta tangente es –3?

5) Encuentra los puntos (x; y) donde la recta tangente al gráfico de 323 +−= xx)x(f es: a) Paralela a la recta: 9−= xy

b) Perpendicular a la recta: 52

3+−= xy

c) horizontal 6) Una recta paralela a la bisectriz del primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas, es tangente a la

función 2x)x(g = . Halla el punto de tangencia

7) Halla los puntos de la gráfica en los cuales la tangente a 21

)(x

xxf

−= tiene una inclinación de 45º.

8) Se ha trazado una recta tangente a una parábola de la forma 12

xf(x) −= cuya pendiente es 4 y pasa por el punto (1; -1). Encuentra el punto de tangencia de dos maneras distintas y verifícalo gráficamente.

9) Determina para qué valores de la abscisa x, la pendiente de la recta tangente vale 5 si xxxf += 3)(

10) Dibuja la parábola: 6t2th(t) −−= . ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante?

11) Encuentra la recta tangente a la función: 2x

4f(x)

−= en x = -2

12) ¿Para que valor de “r” la recta 33xf(x) += es tangente a la curva 13x rf(x) += en x = -1?

13) Si la recta tangente al gráfico 1x

1r(x)

−= en el punto (a; r(a)), con a > 0, es perpendicular a la recta: 24xf(x) −= ,

entonces, es a =......

a) b) c)


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14) Calcula el valor de la constante “a” para que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de a2xf(x) += en el

punto P ( 0; f(0)) sea 2

15) Dada la función: xxxxf 42)( 23 ++= , halla la ecuación de la recta tangente a f(x) que es paralela a la recta

tangente de la función: xxxg += 2)( en x = 1.

18) Dada 3)( xxf −= calcula el área del triángulo determinado por el eje x y las rectas tangente y normal a la curva

en: 10 =x . Graficar.

19) Indica si hay algún punto en el gráfico de x

xxf1

)( 3 −= en el cual la recta tangente forme un ángulo de 60º con el

eje positivo de abscisas.

20) Halla, si existe, un punto Q tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de 1)( 23 +−= xxxf en el punto Q

sea 118 −= xy

21) La recta tangente a la gráfica de 2)( xxf = en el punto P = ( a; b ) corta al eje x en 7. Halla los valores de a y b.

tasa de variación

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