TAREA  II      1.-­‐    a)  Encuentra  las  relaciones  entre  A  y  B  donde  A= !  y  B= 1,2                b)  Encuentra  el  dominio  y  el  imagen  de  cada  relación  y  de  las  relaciones  .                c)  ¿Cuál  coincide  su  imagen  con  su  codominio?                    2.-­‐Para  las  siguientes  relaciones  binarias    de  ! = −3,−1,0,1,4,9  en  B= 0,1,2,3,4,5,6,7  ,  encuentra  su  dominio  e  imagen.      a)  ! = !,! !    !×!   ∕  ! = ! .                                                                b)  ! = !,! !  !×!   ∕ !   ≤ ! .                                                                                                                                        c)  ! = !,! !  !×!   ∕ ! = 2! + 4 .                                                                                                              !)  ! = !,! !  !×!   ∕  !! + !! ≤ 10 .                                        !)  ! = !,! !  !×! ! − 2 ≤  ! ≤ ! + 1 .              3.-­‐  Decida  cuál  de  los  siguientes  conjuntos  de  pares  ordenados  son  funciones  de  !  !"  !.    Si  es  función  encuentre  su  imagen.  a)  ! = !,! !  !×! 2! + 4! = 6 .  b)  M= !,! !  !×!    /      !! = !! .  c)  ! = !,! !  !×!      /      ! = !! .    d)  ! = !,! !    !×!   ∕  ! = ! .  f)    !)  ! = !,! !  !×! ! − 2 ≤  ! ≤ ! + 1 .        4.-­‐  Explique  por  qué  cada  una  de  las  siguientes  “funciones“    está  mal  definida.        a)  Sea    !:  !×!  como   c)  Sea    !:  !×!  como      ! ! = −!!  !"  ! > −1

!  !"  ! ≤ 1.     ! ! = ! + 3  !"  ! > 1

2!  !"  ! ≤ 0.    b)  Sea        g:!×!    !"#"  ! ! = !

!!!                                                                            

5.-­‐  Para  cada  pareja  de  funciones  diga  si  son  iguales  o  no.  a)  Sean    !:  !×!      y      !:  !×!    dadas  por                                        ! ! = !! − 1                    y                  ! ! = !! − 1.  b)      !:  ! → !    y  !:! → !    6.-­‐  Sean  !,!, ℎ:! → !  !"#$%$!&'  !"#  ! ! = ! − 1,! ! = 3!,                                                                                              ℎ ! = 1  !"  ! > 0

!!  !"  ! ≤ 0            Determine:  ! ∘ !  ,  ! ∘ !,! ∘ ℎ    , ! ∘ !, (! ∘ !) ∘ ℎ      7.-­‐    Sean  ! = !, !, !,! ,      ! = 1,2,3,4,5    ℎ:! → !  la  función  ℎ = !, 1 , !, 3 , !, 2 , !, 2  es  una  función  y  sea  ! = !, !  !    ! = !, !,!  entonces  determina  la  imagen  directa    ℎ ! ,    la  imagen  inversa    ℎ!! !    !  !"    ! = 5    encuentra  la  imagen  inversa  ℎ!! ! .      8.-­‐a)  Dé  una  función  de  !:  ! → !    que  sea  inyectiva  pero  no  suprayectiva.  

           b)  Dé  una  función  !:  ! → !  que  sea  suprayectiva  pero  no  inyectiva.              c)  Dé  una  función  !:  ! → !    que  no  sea  suprayectiva    y  que  no  sea  inyectiva                d)  Dé  una  función  !:  ! → !    que  sea  biyectiva.  9.-­‐  Determine  cuál  de  las  siguientes  funciones  son  inyectivas,  suprayectivas  o  biyectivas  .              a)  !:! → !, ! ! = 3! + 5.              b)  !:! → !, ! ! = ! .              c)  !:! → !, ! ! = !"#.  10.-­‐Para  las  siguientes  funciones  muestre  que  son  biyectivas  y  encuentre  su  inversa.                a)  !:! → !,                                                                                                    ! ! = 1− !                    !"  ! ≥ 0

(1− !)!            !"    ! < 0  

                                         b)  !:! → !,      ! ! = 3! + 5.    11.-­‐Demuestra  si  f  tiene  inverso  derecho  !!  e  inverso  izquierdo    !!  ,  entonces    !! =    !!    y  f  es  invertible    12.-­‐  Demuestra  que    si  ! ∘ !  es  inyectiva  entonces  f  es  inyectiva.  13.-­‐  Demuestra  si  f  y  g  son  suprayectivas,  entonces  ! ∘ !  es  suprayectiva.  14.-­‐  Una  función  !:! → !  es  biyectiva  si  y  sólo  si  es  invertible.