Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Mecánica

Tarea 4: Mecanismo de yugo escocés

Alumno: Felipe Ligeti

Profesor: Claudio García

Fecha: 08-01-2016

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Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 3

Desarrollo ............................................................................................................................................ 4

Grados de libertad con criterio de Grübler ..................................................................................... 4

Condiciones de restricción para coordenadas naturales ................................................................ 5

Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la resolución analítica con

métodos tradicionales ..................................................................................................................... 7

Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la simulación con

SolidWorks ...................................................................................................................................... 9

Comparación de resultados con software SolidWorks y resolución analítica mediante MathCad 9

Desplazamiento ........................................................................................................................... 9

Velocidad ................................................................................................................................... 10

Aceleración ................................................................................................................................ 10

Conclusión y comentarios personales ............................................................................................... 11

Bibliografía ........................................................................................................................................ 11

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Introducción

En la actualidad muchas máquinas están basadas en el principio de las transmisiones de

movimiento y la transformación del mismo, por lo mismo, la importancia que conlleva la

implementación de estos mecanismos es muy amplia que incluso se remonta a tiempos

inmemorables con la invención de la rueda, la cual se ha convertido en una pieza

fundamental en toda maquinaria de hoy en día.

El mecanismo de yugo escocés tiene algunas ventajas con respecto a otros sistemas

como el de biela-manivela, por ejemplo, requiere de menos piezas móviles y tiene

funcionamientos más suaves (aceleraciones más pequeñas). Entre las aplicaciones que

utilizan este sistema, se pueden mencionar los motores de combustión interna y también

en motores neumáticos.

El principal objetivo de este trabajo consiste en simular mediante el software SolidWorks

el mecanismo de yugo escocés con el fin de estudiar la evolución del desplazamiento,

velocidad y aceleración de un punto en específico de un elemento del sistema. Para ello

es necesario encontrar el grado de libertad utilizando el criterio de Grübler. Se aplicaran

las condiciones de restricciones para coordenadas naturales del problema que definirán el

comportamiento de este para finalmente realizar la comparación de los gráficos obtenidos

con la solución analítica por medio de los métodos tradicionales de mecánica.

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Desarrollo

El esquema del problema se representa en la imagen a continuación:

Donde:

P es el punto donde se realiza el estudio de movimiento.

Se pide determinar para el mecanismo:

Numero de grados de libertad mediante el criterio de Grübler.

Condiciones de restricción en coordenadas naturales

Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la resolución analítica

con métodos tradicionales

Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la simulación con

SolidWorks

Grados de libertad con criterio de Grübler

El criterio de Grübler permite obtener el grado de movilidad de un mecanismo. Consiste

simplemente en realizar una diferencia entre los grados de libertad de los eslabones del

mecanismo y las restricciones impuestas por los pares cinemáticos.

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En este problema se establece un mecanismo plano con un eslabón fijo, por lo tanto, la

fórmula resultante para obtener el grado de movilidad es la siguiente:

𝑚 = 3 ∙ (𝑛 − 1) − 2 ∙ 𝑗1 − 𝑗2

Donde:

m=Grados de libertad

n=Número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc.) del mecanismo

𝑗1=Número de uniones de 1 grado de libertad

𝑗2=Número de uniones de 2 grados de libertad

Considerando que el mecanismo de yugo escocés propuesto posee 4 elementos, 4

uniones de 1 grado de libertad y 0 uniones de 2 grados de libertad, la expresión para

encontrar el grado de movilidad es:

𝑚 = 3 ∙ (4 − 1) − 2 ∙ 4 − 0 = 1

Por consiguiente, el problema posee un grado de libertad, es decir, el movimiento de todo

el sistema se logra solamente con la manipulación de un solo elemento. Para la

simulación con SolidWorks basta con agregar un motor en la manivela que se encuentra

sujeta a la articulación fija en el extremo izquierdo para establecer todo el movimiento.

Condiciones de restricción para coordenadas naturales

Como este problema es un caso plano, las coordenadas naturales son coordenadas

cartesianas de puntos de sólidos del mecanismo, denominados puntos básicos, en los

cuales se deben cumplir las siguientes características:

Cada sólido rígido debe contener, al menos, dos puntos de sólidos, ya que en

caso contrario no queda su posición definida

En cada articulación debe situarse un punto básico. De esta forma, los dos sólidos

que se unen en el par comparten un punto, quedando así automáticamente

impuesta la condición de par de revolución

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Pueden utilizarse más puntos básicos por conveniencia: definición de ángulos o

distancias, puntos concretos de interés, etc.

La imagen a continuación muestra los puntos del esquema del mecanismo.

Luego las condiciones de restricción para coordenadas naturales son:

Manivela:

(𝑋𝐵 − 𝑋𝑂)2 − (𝑌𝐵 − 𝑌𝑂)2 − 𝐿12 = 0

Biela:

(𝑋𝑃 − 𝑋𝐵)2 − (𝑌𝑃 − 𝑌𝐵)2 − 𝐿22 = 0

Deslizadera horizontal:

(𝑋𝑃 − 𝑋𝐹) ∙ (𝑌𝐹 − 𝑌𝐸) − (𝑋𝐹 − 𝑋𝐸) ∙ (𝑌𝑃 − 𝑌𝐹) = 0

Deslizadera vertical:

(𝑋𝐴 − 𝑋𝐷) ∙ (𝑌𝐷 − 𝑋𝐶) − (𝑋𝐷 − 𝑋𝐶) ∙ (𝑌𝐴 − 𝑌𝐶) = 0

Ángulo:

(𝑋𝐵 − 𝑋𝑂) − 𝐿1 ∙ cos(𝑎1) = 0

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Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la

resolución analítica con métodos tradicionales

Para encontrar la evolución de la posición, velocidad y aceleración del punto P, se utiliza

el método de las restricciones, para ello se observa la siguiente imagen:

L1 y L2 son 140 y 170 [mm] respectivamente.

Las ecuaciones de restricción que se desprenden de la geometría del problema son:

𝐿1 sin(𝑎1) = ℎ 𝑦 𝐿2 sin(𝑎2) = ℎ

entonces

𝐿1 sin(𝑎1) = 𝐿2 sin(𝑎2) (∗)

La ecuación (∗), es la primera restricción.

Por otro lado, la distancia X desde la articulación fija hasta el punto P se obtiene de la

suma de los cosenos de cada ángulo a1 y a2, es decir:

𝑋 = 𝐿1 cos(𝑎1) + 𝐿2 cos(𝑎2) (∗∗)

La ecuación (∗∗), es la segunda restricción.

Para encontrar la variación de X mientras varia el ángulo es necesario dejar la expresión

(∗∗) en función solo de a1, para ello se utiliza el teorema del seno, por lo tanto:

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sin (𝑎1)

𝐿2=

sin (𝑎2)

𝐿1

𝑎2 = asin (𝐿1 sin(𝑎1)

𝐿2)

Luego

𝑋 = 𝐿1 cos(𝑎1) + 𝐿2 cos (asin (𝐿1sin (𝑎1)

𝐿2)) (∗∗)

Finalmente se indica que la velocidad de rotación es de 10rpm, por lo tanto el ángulo a1

varía según:

𝜋

4− 10 ∙

2𝜋

60∙ 𝑡

Donde las rpm se expresan en vuelta (2𝜋) por minuto (60segundos) y t es el tiempo. Notar

que 𝜋

4 expresa que la posición inicial de la manivela se encuentra a 45 grados con

respecto a la horizontal.

Conocida la posición X del punto P, basta con derivar una vez esta expresión para

encontrar la velocidad y derivar por segunda vez para obtener la aceleración del punto P.

Las otras restricciones son las derivadas primera y segunda de las ecuaciones (∗), y (∗∗).

Es decir:

�̇� = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = −𝐿1𝑎1̇ sin(𝑎1) − 𝐿2 a2̇sin(𝑎2)

�̈� = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = −𝐿1𝑎1̈ sin(𝑎1) − 𝐿1 a1̇2cos(𝑎1) −𝐿2𝑎2̈ sin(𝑎2) − 𝐿2 a2̇2cos(𝑎2)

Pero como la velocidad angular es constante e igual a 10 rpm, la aceleración angular y

por ende 𝑎1̈ es 0. Luego la expresión para la aceleración es:

�̈� = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = −𝐿1 a1̇2cos(𝑎1) −𝐿2𝑎2̈ sin(𝑎2) − 𝐿2 a2̇2cos(𝑎2)

Posteriormente estas ecuaciones se grafican en el software MathCad para encontrar los

gráficos correspondiente a la evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P.

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Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la

simulación con SolidWorks

A continuación se presenta la modelación en SolidWorks del mecanismo.

Está compuesto por 4 piezas que conforman el sistema y luego se realiza el ensamble

completo de estas. Una de las características que posee SolidWorks es que ofrece un

estudio de movimiento, el cual entrega todos los datos que se puedan necesitar por medio

de gráficos. Una vez impuesta las condiciones de relación geométrica e implementando el

motor que gira horariamente a 10rpm, el software arroja los resultados correspondiente

para posición, velocidad y aceleración del punto P.

Comparación de resultados con software SolidWorks y resolución

analítica mediante MathCad

Desplazamiento

10

Velocidad

Aceleración

Los gráficos con líneas azules representan la solución entregada por SolidWorks mediante la

simulación. Por otro lado, los de color rojo representan la solución analítica graficada por medio

de MathCad. Se observa que las curvas de desplazamiento, velocidad y aceleración cumplen con

un comportamiento bastante similar, esto significa que los resultados simulados y analíticos son

correctos y reflejan de buena manera los movimientos del mecanismo de yugo escocés.

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Conclusión y comentarios personales

La importancia de simular el comportamiento del mecanismo de yugo escocés queda de

manifiesto al realizar la simulación por medio de SolidWorks, pues se demuestra como un

movimiento rotacional puede ser transformado en un movimiento trasnacional o al revés si

se quisiera, consecuencia relevante si se considera que este análisis ha sido de gran

ayuda para el funcionamiento de por ejemplo, motores de combustión interna o

neumáticos.

Cuando se determina que el grado de libertad, utilizando el criterio de Grübler, es 1,

significa que el mecanismo solo con un motor logra simular todo el movimiento. Esto se

refleja al momento de realizar el estudio en SolidWorks, pues el mecanismo se logra

controlar solo con la implementación de un motor, que gira en 10rpm, en la pieza sujeta a

la articulación fija.

Realizado el estudio de movimiento, los gráficos entregados de desplazamiento, velocidad

y aceleración del punto P son semejantes a los gráficos obtenidos de manera analítica,

esto indica que los resultados son confiables y que la simulación cumple

satisfactoriamente con el análisis, pues el comportamiento de las curvas es el mismo.

Cabe destacar que el yugo escocés se diferencia de la manivela simple porque el

movimiento de salida lineal describe una trayectoria senoidal como se aprecia en los

resultados obtenidos.

En otras palabras, el trabajo cumple con la finalidad de comprender la importancia que

adquiere la simulación de movimientos mediante el software SolidWorks, demuestra ser

un programa eficaz y útil para realizar distintas operaciones que se encuentren

relacionadas al área de la ingeniería, lo que lo convierte en una herramienta potente para

los ingenieros.

Bibliografía

Modelación de sistemas mecánicos [en línea]. [Consulta: 05-01-2016].

Disponible en: < http://lim.ii.udc.es/docencia/phd-meccomp/capitulo1.pdf>

Asignatura de sistemas mecánicos. Mecanismos 1 [en línea]. [Consulta: 05-01-2016].

Disponible en:

<https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2012/448/42437/1/Documento1.pdf>