FACULTAD CS. FISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE

Profesor: Williams Calderon. Auxiliar: Rodrigo Soto.

Tarea 3 Y 4ME78B METODOS NUMERICOS EN SISTEMAS MECANICOS

PRIMAVERA 2015

09 Noviembre

P1. Upwind ModificadoEn 1978, Leonard (Num. Meth. Laminar Turbulent Flow, 1978, p.807 ) propuso una modificacion al bienconocido esquema Upwind. Con esta modificacion el error de truncacion de este metodo explcito llego a ser

O(x2). La discretizacion propuesta para una ecuacion de la forma ft + ufx = D

2fx2 es la siguiente:

fn+1i fnit

+ u

(2fni+1 + 3f

ni 6fni1 + fni26x

)= D

(fni+1 2fni + fni1

x2

) (30 %) Use el analisis de von Neumann para chequear la estabilidad de este esquema (encuentre ). (70 %) Use el esquema de Leonard para resolver la ecuacion de Burger viscosa:

u

t+ (1 u)u

x= 103

2u

x2, u(x, 0) = 1 sin

(pix5

), 0 x 10

Grafique la solucion a t = 0,005, t = 0,05, t = 0,5 y t = 5. Discuta sus resultados.P2. Revision Matlab e Integracion

Con el fin de dar un repaso por las aplicaciones de archivos, datos e integracion en matlab, se entrega una carpetacon datos experimentales de aceleracion ([ms2 ]) en formato .ASC, podra encontrar la carpeta en material docente:Datos P2 T3.rarla informacion contiene 4 dimensiones. Cada archivo .ASC, contiene 3 columnas (Y), con diferentes cantidadde filas (X), ademas cada archivo cambia Z y W en el formato fZLWD.ASC, ah las 4 dimensiones. Puedeconsultar la imagen Cantidad de Datos experimentales.jpg en material docente para entender mejor la formade los datos. Se pide:

(a) (10 %) Normalice los datos, para que todos posean la misma cantidad de filas (X) (utilice el largo de lamenor).

(b) (30 %) Se le pide ordenar de alguna manera los datos para posteriormente ocuparlos dentro del programa,explicite en su informe como carga los datos al ordenador.

(c) (30 %) Obtenga la velocidad a partir de una integracion numerica.

(d) (30 %) Obtenga el desplazamiento a partir de una integracion numerica.

Cada alumno debe utilizar un metodo de integracion diferente, exponga en el foro su decision de maneraque no se repita con sus companeros. Obtener velocidad y desplazamiento, significa graficar en una figura(subplot(3, 1, x)), aceleracion, velocidad y desplazamiento (debera tener 9x4 figuras, i.e. utilice solo una colum-na(por ejemplo Y=1)), puede incluirlas en su informe (Anexo) o un programa que las plotee.Discuta sus resultados.

Bonus: Realice el mismo problema pero previo a la integracion, realice el siguiente ajuste sobre la aceleracion

Elimine la parte continua que contiene. (A(t) = Ac +A0sin(wt+ ) = A(t) = A0sin(wt+ )). Utilice un filtro pasa bajo sobre la curva anteriormente ajustada, verifique la frecuencia de corte del filtro

a usar, realizando una inspeccion a la transformada de Fourier de cada caso.

(Este bonus reemplaza su peor pregunta en Tareas)

1

P3. Problema de Conveccion-DifusionResuelva la ecuacion de conveccion-difusion expuesta a continuacion:

2u

x2 ux

= sin(x)cos(t)

con las condiciones de borde u(0, t) = U0 y u(L, t) = Umax. Encuentre la solucion analtica. Encuentre lasolucion numerica usando un esquema de diferencias finitas central. Grafique y compare ambas soluciones.Para la obtencion de la solucion numerica, usted es libre de escojer los valores de las constantes k, U0, L y Umaxcomo sea de su interes (Modelar algun problema real).Discuta sus resultados.

P4. Metodo Espectral

(40 %) Investigue extensamente acerca del metodo espectral y pseudoespectral, describa similitudes y dife-rencias. Ademas describa como estos metodos son usados para resolver ecuaciones diferenciales, mencioneventajas y desventajas de ambos metodos con respecto a los metodos de diferencias finitas.

(60 %) Aplique el metodo pseudoespectral, en particular use los polinomios de Chebyshev, para resolverla siguiente EDP:

2u

x2+2u

y2= 10sin(8x(y 1)); 1 < x < 1,1 < y < 1

u(1, ) = u(,1) = u(1, ) = u(, 1) = 0Discuta sus resultados.

P5. Metodo de Reduccion de grado.Dada la siguiente ecuacion diferencial para x(t), con t [0, 20]:

2x

t2= (1 x2)x

t xsin(t)

donde: x(0) = 0,02, y xt = 0 en t = 0.

(10 %) Escriba la ecuacion como un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal de primer orden. (90 %) Resuelva numericamente usando Runge-Kutta de 2o orden sobre el sistema. Grafique y discuta.

2

P6. Metodo de Lattice BoltzmannEn esta pregunta usted debera manipular el codigo Metodo Lattice Boltzmann.txt adjunto en material docente.El archivo contiene un codigo ya operacional de modo que usted debe aprender a manipular su informacion (elcodigo esta en .txt y es ejecutable como un archivo .m para matlab).

(a) ( 0 %) Ejecute el programa en matlab para comprobar su funcionalidad.

(b) (10 %) Cambie la escala de colores del problema a una a eleccion, incluya un color constante y distintivoen el obstaculo.

(c) (10 %) Extreme los valores del programa hasta que falle (Velocidad inicial, radio del cilindro, etc), expongaestos valores.

(d) (40 %) Agregue un cilindro (colineal al primero) al programa, cada alumno debe escoger una distanciaL fija entre cilindros (L = ND, N 2 = 2D, 3D, 4D, etc), exponga en el foro su decision demanera que no se repita con sus companeros. Guarde los valores en de velocidad (ux, y uy) para algunaiteracion no divergente en un archivo de salida(Velocidad.txt) en los tres lugares expuestos en la Figurade material Docente Velocidades de estudio.jpg y en su informe exponga los graficos de estas. Repita estopara al menos 5 valores del numero de Reynolds que barran su rango de estabilidad del paso anterior.

(e) (40 %) Repita la parte (e) para un cilindro de mayor y menor dimension al de aguas arriba (por ejemplo0,5D y 1,5D).

Bonus: Realice el mismo problema cambiando la condicion de borde superior a una placa movil de velocidadconstante a su criterio. (Este bonus reemplaza su peor pregunta en Tareas)

P7. Ecuacion de DuffingSe pide analizar la ecuacion de Duffing para distintos casos.

x+ kx x+ x3 = cost

Para los valores fijos de k = 0,3 y = 1,2, condiciones iniciales nulas, con = 0,2, 0,28, 0,29 en el rango0 < t < 32pi . Luego = 0,5 en el rango 0 < t