Anlisis Numrico I perodo 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMADE HONDURASFacultad de Ciencias - Escuela de Matemtica

Tarea #3 de Anlisis Numrico

Problema 1 Sea f (x) = tan(x) y usando h = 0.1, 0.0001

a) Calcule aproximaciones a f (0.8) usando f (x) f (x+h)2 f (x)+ f (xh)h2 , use 6 cifras decimalessignificativas.

b) Calcule aproximaciones a f (0.8) usando f (x) 2 f (x)5 f (x+h)+4 f (x+2h) f (x+3h)h2 , use 6 cifrasdecimales significativas.

c) Calcule aproximaciones a f (0.8) usando f (x) 2 f (x)5 f (xh)+4 f (x2h) f (x3h)h2 , use 6 cifrasdecimales significativas.

d) Determine el error real para los resultados obtenidos en a), b) y c).

Problema 2 Deduzca las frmulas presentadas en el ejercicio anterior con su respectivo trminode error.

Problema 3 Adapte la frmula

f (x) f (x+ h) f (x h)2h

Para calcular las derivadas parciales fx(x, y) y fy(x, y) . Sea f (x, y) =xyx+y y usando h = 0.1, 0.01.

a) Calcule aproximaciones a fx(2, 3) y fy(2, 3) usando ambas frmulas.

Problema 4 Usando la frmula de Taylor para f (x + h), f (x h), f (x + 2h), f (x 2h), deduzcala frmula de diferencias centradas:

f (4)(x) f (x+ 2h) 4 f (x+ h) + 6 f (x) 4 f (x h) + f (x 2h)h4

Lic. Angel Rivera

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Problema 5 Aproxime las siguientes integrales aplicando la regla del trapecio, simpson y puntomedio.

a) 1

0x4dx

b) pi/4

0x sen xdx

Obtenga una cota del error para cada frmula de cuadratura y comprela con el error real.

Problema 6 Obtenga el grado de precisin de la frmula de cuadratura

11

f (x)dx = f

(3

3

)+ f

(3

3

)

Problema 7 Determine los valores de n y h que se requieren para aproximar 2

0 e2x sen 3xdx con

una exactitud de 104. Usando

a) La regla compuesta del trapecio

b) La regla compuesta de Simpson

Problema 8 La masa total de una barra de densidad variable est dada por

m = L

0(x)A(x)dx

Donde m es la masa, (x) la densidad, A(x) rea de la seccin transversal, x la distancia a lo largode la barra. Se midieron los siguientes datos para una barra de 12m de longitud. Determine lamasa en kilogramos usando la regla compuesta de Simpson.

x(m) 0 2 4 6 8 10 12

(g/cm3) 4.00 3.95 3.89 3.60 3.41 3.30 3.20

A(cm2) 100 103 110 120 133 150 160

Lic. Angel Rivera

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Problema 9 Las reas de seccin transversal (A) son requeridas para diferentes tareas en la ingenierade abastecimiento de aguas; entre otras, pronsticos de inundacin y diseo de reservorios. Unejemplo de una corriente comn con su seccin transversal se muestra en la figura. Los puntosrepresentan ubicaciones donde se ancl un bote y tom lecturas a diferentes profundidades.

Estime el rea de la seccin transversal a partir de estos datos utlizando:

a) Regla compuesta del trapecio con h = 2 m y h = 4 m.

Problema 10 Determine las constantes a, b, c y d que producirn una frmula de cuadratura 11

f (x)dx = a f (1) + b f (1) + c f (1) + d f (1)

cuyo grado de precisin es 3.

Problema 11 Aproxime las siguientes integrales usando la cuadratura gaussiana con n = 2 yobtenga el error real.

a) 1.5

1x2 ln xdx.

Problema 12 Utilice la transformacin t = x1 y use la cuadratura gaussiana para aproximar lassiguientes integrales con n = 3.

a)

1

1x2 + 9

dx

b)

1x4 sen

(1x

)dx.

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Problema 13 La integral impropia

0 f (x)dx no puede convertirse en una integral con lmitesfinitos por medio de la sustitucin t = x1 porque el lmite en cero se vuelve infinito. El problemase resuelve escribiendo primero

0 f (x)dx =

10 f (x)dx+

1 f (x)dx. Aplique este mtodo para

aproximar las siguientes integrales usando la cuadratura gaussiana con n = 3:

a)

0

11 + x4

dx.

b)

0

1(1 + x2)3

dx.

Problema 14 La velocidad hacia arriba de un cohete se puede calcular con la siguiente frmula:

v = u ln

(m0

m0 qt

) gt

donde v = velocidad hacia arriba, u = velocidad a la cual se expulsa el combustible relativo alcohete, m0 = masa inicial del cohete en el tiempo t = 0, q = razn de consumo de combustibley g = aceleracin hacia abajo debido a la gravedad (se supone constante e igual a 9.8 m/s2). Siu = 2000 m/s, m0 = 150000 kg y q = 2600 kg/s. Use la cuadratura gaussiana con 3 puntos paradeterminar que tan alto volar el cohete en 30 segundos.

Lic. Angel Rivera