2014-2

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Ingeniería

Tarea #3: Posición de Robot Puma y Newton-Raphson Multivariable

Materia: Robótica

Profesor: M.I. Erik Peña Medina

Grupo: 2

Fecha de Entrega: Lunes 17-02-14

Alumno: Martínez Ordaz Mario Oscar

1. Posición Robot Puma

Solución en Mathematica 7:

Anexo a este archivo se envía el programa en Mathematica ya que la matriz T0 es muy larga para ser vista en la imagen anterior.

2. Newton-Raphson Multivariable

Este método numérico funciona para obtener la solución de sistemas de ecuaciones no lineales.

Para deducir las ecuaciones de Newton Raphson multivariable, considere el caso particular de dos variables y dos ecuaciones (n=2):

f1(x1, x2 ) = 0f2(x1, x2 ) = 0

Si todas las n-ésimas derivadas parciales de f(x1, x2) son contínuas en una región cerrada y si las (n+1)-ésimas derivadas parciales existen en la región abierta, se tiene:

donde Rn es:

aplicando este resultado tanto a f1 como a f2 en el punto base (x1k, x2k) y con incrementos h1 = (k) (k)x1k+1 - x1k en la dirección x1 y h2 = x2k+1 - x2k en la dirección x2 :

donde las derivadas parciales son evaluadas es el punto base xk.Si suponemos que xk+1 tiende a x es razonable también suponer que f1(x1k+1, x2k) tiende a 0 y f2(x1k+1, x2k) tiende a cero. Si además xk+1 tiende a xk, entonces (x1k+1- x1k)j tiende a 0 y (x2k+1 - x2k)j tiende a 0 para j = 2,3,4, ...Después de estas suposiciones las ecuaciones anteriores se simplifican considerablemente:

Como x1k+1 - x1k = h1 y x2k+1 – x2k = h2, entonces:

Estas últimas ecuaciones definen un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (h1 y h2). Resuelto este, la nueva aproximación xk+1 se calcula mediante:

Las fórmulas obtenidas arriba se pueden generalizar fácilmente para el caso de n variables:

Esta última ecuación es la del método de Newton Raphson multivariable. En ella, J es la matriz Jacobiana del sistema de ecuaciones y se define por:

mientras que h = [h1, h2, h3, ..., hn]T y f = [f1, f2, f3, ..., fn]T.

Por lo tanto, en cada iteración de Newton Raphson multivariable será necesario resolver un sistema lineal de n ecuaciones y n incógnitas. Si la matriz jacobiana es singular, entonces el sistema J(xk) h = - f(xk) no tiene solución única y por lo tanto Newton Raphson falla en la búsqueda de una raíz x.

En el caso multivariable, Newton Raphson también presenta convergencia cuadrática, es decir, su orden de convergencia es 2. Sin embargo, se requiere partir de una estimación inicial cercana a la raíz, para que el método funcione adecuadamente.

Bibliografía y Mesografía

[1] Apuntes de Dinámica de Maquinaria del Dr. Francisco Cuenca Jiménez [2012]. [2] Apuntes de Métodos Numéricos del Ing. Arturo J. López García [2009]. [3] Open Methods.

[Online] http://epoch.uwaterloo.ca/~ponnu/syde312/open_methods/page3.htmVisitada el 15-02-14