7/26/2019 tarea3-015-sem1-2016

http://slidepdf.com/reader/full/tarea3-015-sem1-2016 1/2

Universidad Tecnica

Federico Santa Marıa

Departamento de Matematica

Casa Central - Valparaıso

Matematica V (Mat-015)Tarea #3

Analisis de FourierFecha de Entrega: 01/06/2016

1. Considere la funcion  f (x) = x  + 1 definida en 0 ≤  x  ≤  π.

(i) Encuentre la serie de Fourier de la funcion  f (x) en 0 ≤  x  ≤  π.

(ii) Realice una extension impar de la funcion al intervalo  −π ≤  x  ≤  0 y determine el desarrollo en series de

Fourier para la extension impar.(iii) Realice una extension par de la funcion al intervalo  −π  ≤   x  ≤   0 y determine el desarrollo en series de

Fourier para la extension par.

(iv) Grafique los desarrollos en series de Fourier para todos los casos anteriores, considere  x  ∈  [−5π, 5π].

(v) Usando un desarrollo en series de Fourier encontrar una solucion particular periodica para la ecuaciondiferencial no homogenea

y(x) + 3y(x) = f (x)

2. Se define la funcion periodica  f (x) como

f (x) = 1 si   − 2 < x < −1−1 si   − 1 < x < 1

1 si 1 < x < 2

(i) Obtenga el desarrollo en serie de Fourier, es decir, escriba f (x) como

f (x) = a0 +

∞k=1

ak cos kπx

2  + bk sin

 kπx

2  ,

(ii) Defina

f n(x) = a0 +

nk=1

ak cos kπx

2  + bk sin

 kπx

2  ,

y grafique  f 1(x)  f 5(x) y   f 10(x). Comente que sucede a medida que  n   aumenta y analice la convergencia

de la serie en los puntos donde la funcion es discontinua.

3. Para  f (x) una funcion integrable en [a, b] y  w =  2π

b − a

(i) Determine a0, ak  y  bk  tal que

f n(x) = a0 +

nk=1

bk sin kwx  + ak cos kwx,

minimice el error cuadratico medio, definido como

EC M  =  1

2    1

0

(f (x) − f n(x))2dx

(ii) Calcular el error cuadratico mınimo para  f (x) = x  si  n  = 1 y  n = 3.

4. Considere la familia de funciones Φ =  {f n(x), gm(x)}∞n,m=0, donde

f n(x) = e−λx sinπnx

2

  y   gm(x) = e−λx cos

πmx

2

y  λ  es una constante positiva. Si se define el producto interno

f (x), g(x) =

   40

f (x)g(x)e2λx dx

(i) Pruebe que la familia Φ es ortogonal respecto a dicho producto interno.

GCP

7/26/2019 tarea3-015-sem1-2016

http://slidepdf.com/reader/full/tarea3-015-sem1-2016 2/2

(ii) Represente la funcion

f (x) =

  xe−λx ,   si 0 < x < 2

e−λx ,   si 2 < x < 4

en serie de Fourier respecto a la base ortogonal Φ. ¿A cuanto converge la serie en  x = 2?

5. Considere la familia de funciones

Φ =

1, x, 3x2 − 12

  , 5x3 − 3x2

,

y el producto interno interno:

f (x), g(x) =

   1−1

f (x)g(x) dx

(i) Pruebe que la familia Φ es ortogonal respecto a dicho producto interno.

(ii) Represente la funcion  f (x) = ex en serie de Fourier respecto a la base ortogonal Φ.

(iii) Grafique la funcion  f  y la serie de Fourier.

6. Considere el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales: Hallar  u =  u(x, t) tal que

∂ 2u

∂x2 + u   =

  ∂u

∂t  t > 0,   −π < x < π,

u(−π, t) =   u(π, t)   t > 0,

∂u

∂x(−π, t) =

  ∂u

∂x(π, t)   t > 0.

(i) Demuestre que la solucion de la ecuacion anterior es

u(x, t) =∞k=0

ake(1−k2)t sin kx + bke(1−k

2)t cos kx.

Observaci´ on: Asuma las hip´ otesis necesarias para la derivaci´ on de la serie.

(ii) Suponga que la solucion  u(x, t) de la ecuacion anterior satisface la condicion inicial

u(x, 0) = f (x)   − π < x < π.

Encuentre los coeficientes  ak   y  bk  de la solucion  u(x, t) en terminos de  f (x).

(iii) Encuentre explıcitamente los coeficientes  ak   y  bk  para

f (x) =

  x + π   − π < x ≤  0,

π   0 < x ≤  π.

(iv) Exprese la solucion final  u(x, t) de la ecuacion.

7. Considere la funcion  f (x) = x2 definida en el intervalo [−π, π].

(i) Determine la serie de Fourier de  f (x).

(ii) Calcule el valor de la serie∞k=1

1

k2

(iii) Calcule el valor de la serie∞k=1

1

k4

Pagina 2 de 2