FACULTAD CS. FISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE

Profesor: Williams Calderon. Auxiliar: Rodrigo Soto.

Tarea 2ME78B Metodos Numericos en Sistemas Mecanicos

PRIMAVERA 2015

7 de octubre de 2015

P1. Metodo Runge-KuttaResuelva la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:

y′ = t2y cos2(y + t), y(0) = c, t ∈ [0, 4]

Utilice los siguientes esquemas para c = 0, 1, 2, y 3:

• Leapfrog

• Runge-Kutta de segundo orden.

• Runge-Kutta de cuarto orden.

Investigue el orden de precision de cada esquema haciendo un estudio de convergencia. Escoja un error de suconveniencia en cinco soluciones (cinco pasos diferentes).Discuta sus resultados. Solo para c = 1.

P2. Ecuacion de Falkner-SkanResuelva la ecuacion de capa lımite sobre una placa, conocida como la ecuacion de Falkner-Skan, la cual asumeun flujo externo de la forma U = cxm.

mf ′2 − 1

2(m+ 1)ff ′′ = m+ f ′′′,

donde la variable de similitud es η = (U/νx)1/2y y la funcion corriente ψ = (νUx)1/2f(η). Use un metodo deshooting para resolver esta ecuacion para distintos valores dem. Grafique u/U = f ′(η) versus ((1/2)(m+1))1/2η.Las condiciones de borde son f(0) = f ′(0) = 0 y f ′(η) → 1 cuando η → ∞. Como referencia para revisarresultados puede consultar el libro: An Introduction to Fluid Dynamics de G.K. Batchelor.

P3. Correlacion Nusselt-ReynoldsLa adimensionalizacion de variables en estudio es una excelente herramienta a la hora de analizar un compor-tamiento numerico, generalizando el problema entorno a valores unitarios a las condiciones de borde. Para elproblema de transferencia de calor y masa en una capa lımite, de flujo de calor uniforme, las ecuaciones sereducen a:

T ∗′′

+Pr

2(f T ∗

′− f ′ T ∗), T ∗

′(0) = 1 ∧ T ∗(∞) = 0. (1)

2f′′′ + f f′′ = 0, f(0) = f ′(0) = 0 ∧ f ′(∞) = 1 (2)

Donde T ∗ es la variable de similitud de temperatura y f su analoga de velocidad. Dada la condicion de flujo decalor uniforme se obtiene una relacion entre los numeros de Nusselt y Reynolds de la forma:

Nux =−1

T ∗(0)

√Rex (3)

1

• Resuelva el sistema de ecuaciones mediante uno de los metodos estudiados, utilice unos diez valores dePrandtl entre [1,100], incluya los extremos.

• Construya una tabla con los valores de shooting de T ∗(0) que cumplen la condicion de borde para cadanumero de Prandtl.

• Utilice un metodo de interpolacion para obtner una relacion del tipo T ∗(0) ≡ g (Pr)

• Complete la relacion (3) como una funcion Nux ≡ h (Pr,Rex), grafique.

Las funciones g y h deben ser explıcitas, por ejemplo: T ∗(0) = APrb, Nu = CPrdRee

P4. Valores propios por el metodo de Shooting.Use el metodo de shooting para encontrar los eigenvalues, µ, de

x2y′′ + xy′ + µ2x2y = 0,

con las condiciones de borde y′(0) = 0 y y(1) = 0. Discuta sus resultados.

P5. Metodo de MultipasosPara el siguiente esquema numerico de multi-pasos:

y∗n+1 = yn + hfn

y∗∗n+1 = yn +h

2[f∗n+1 − fn]

yn+1 = yn +h

2[(1− α)f∗∗n+1 + αf∗n+1 + fn]

• Usando la ecuacion modelo, y′ = λy, cual es el maximo orden de precision de este esquema?.

• Grafique la region de estabilidad para α = [0 0,5 0,75 1].

P6. Metodo de Multipasos de MilnePara la ecuacion:

y′(x) = κy(x), y(0) = 1.

• Utilice el metodo de Milne para obtener la ecuacion caracterıstica yk+1 = yk−1 + hκ3 (yk+1 + 4yk + yk−1).

• Para un valor κ = −5 utilice un paso h en potencias negativas de 10 de 1 a 4, compare y explique lasdiferencias. Exponga las soluciones junto con la analıtica.

• Exponga sus resultados junto a la solucion de la Pregunta 5, utilizando κ = λ. Discuta.

Web: http: // mathworld. wolfram. com/ MilnesMethod. htmlLink al metodo de Milne

Fecha de Entrega 06 de OctubreSin Atrasos, vıa u-cursos, formato pdf

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