1.1.

El teorema de Taylor es:

En clculo, el teorema de Taylor nos sirve para calcular las condicione suficientes que deben cumplir los ptimos locales para ser mximos relativos, mnimos relativos o puntos silla.

El teorema de Taylor se usa en mtodos como Newton-Raphson. Es un mtodo de optimizacin iterativo, se basa en aproximar una funcin y optimizarla por la serie de Taylor. Entre las aplicaciones que encontr fue el clculo de la temperatura adiabatica de la flama y el de una esfera sumergida en el agua

1.2.

Conjunto abierto: Un conjunto A^n es abierto, si no contiene ningn punto de su frontera, es decir, si xFr(A)xA

En otras palabras un conjunto H M se dice abierto en el espacio mtrico M si todos los puntos de H son interiores a H.

Conjunto cerrado: Un conjunto A^n es cerrado, si contiene la totalidad de su frontera, es decir, si xFr(A)xA

En otras palabras un conjunto H M se dice cerrado en el espacio mtrico M si la clausura o adherencia de H coincide con H. Conjunto frontera: La frontera de un conjunto A^n lo simbolizamos por Fr(A) y es el conjunto de todos los puntos frontera de A.

1.3.

Sea f(x,y) una funcin definida en un dominio D incluido en R2. Dado un vector unitario v, la derivada de f en un punto p, en la direccin de v, se define por: fv(p) = lim f(p + hv) f(p) / h. h0 Este limite se puede calcular directamente si f se define como funcin de una variable vectorial. Si se define como funcin de varias variables escalares, sera necesario escribir la expresin del limite en esta forma: f( a1, .., an ) en lugar de f(a), de modo que si lo aplicamos a una funcin de dos variables sera:

fv(x0,y0)= lim f(p+hv)f(p) / h h0 siendo p=(x0,y0 ) y v=(v1,v2) Para funciones de dos variables, un vector unitario v siempre se puede expresar de la forma [ cos( ), sin( ) ] y hablaremos de la derivada direccional en la direccin correspondiente al angulo . Se escribira: v = i cos( ) + j sin( ), y representa el angulo que forma el vector con

la parte positiva del eje de abscisas. Si f (x,y) es una funcin de dos variables y v = [ cos( ), sin( ) ] una direccin dada, la derivada de f en la direccin de v sera: fv (x0, y0 ) = lim f(x + h cos(), y + h sin()) f(x, y) / h, si dicho limite existe y es finito. h0

Para un ejemplo como calcular la derivada direccional de f(x,y)=4-x^2-y^2 en el punto (1,1) en la direccin del vector

$ usando la definicin del limite tenemos que u es igual a

$ esto quiere decir que en esta direccin est decreciendo.

La gradiente por su lado es la medida de la inclinacin de una curva (con frecuencia una lnea recta). Se define como la relacin del cambio vertical (elevacin) con respecto al cambio horizontal (recorrido) para una lnea no vertical. En coordenadas Cartesianas rectangulares, el gradiente es la razn a la cual cambia la coordenada y con respecto a la coordenada x. Para una lnea como y = 3x + 1, el gradiente es +3 porque y aumenta en 3 por cada incremento unitario en x. Para una curva, el gradiente cambia de punto a punto. Se puede obtener utilizando derivadas.

2.1

En la vida real donde regularmente se utiliza la optimizacin lineal es cuando se requiere calcular la solucin optima, respetando las debidas restricciones. Se utiliza regularmente cuando se quiere aprovechar el mximo provecho de algo o se requiere reducir costos, etc.

Por ejemplo en una fbrica de tejidos se requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T por da se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000 el metro y el T se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el mximo beneficio, cuntos metros de T y T se deben fabricar?

2.2

El problema que podemos notar en los ejemplo es que no tenemos restricciones como tal, por lo tanto es mas difcil optimizar la funcin. Necesitamos variables de decision, restricciones y tener claramente cual es nuestro objetivo.

Un joven ingeniero de una compaia ha sintetizado un nuevo fertilizante hecho a partir de dos materias primas. Al combinar cantidades de las materias primas basicas x1 y x2, la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por Q = 4x1 + 2x2 0.5x21 0.25x2. Se requieren 480 euros por unidad de materia prima 1 y 300 euros por cada unidad de materia prima 2 que se empleen en la fabricacion del fertilizante (en estas cantidades se incluyen los costos de las materias primas y los costos de produccion). Si la compaia dispone de 24000 euros para la produccion de materias primas, plantear el problema para determinar la cantidad de materia prima de forma que se maximice la cantidad de fertilizante.

Una empresa produce frijoles y ha firmado un contrato para suministrar al menos 150 unidades en tres meses, 50 unidades al final del primer mes, 50 al final del segundo y 50 al final del tercero. El coste de producir una cantidad de frijoles en cualquier mes es su cuadrado. La empresa puede producir si lo desea m as frijoles de los que necesita en cualquier mes y guardarlos para el siguiente, siendo el coste de almacenaje de 12 euros por unidad al mes. Suponiendo que no hay inventario inicial, formular el programa adecuado para determinar el nu mero de frijoles que deben producirse cada mes, para minimizar el coste total.

3

Lenguaje de Programacin Interpretado

Este tipo de lenguajes de programacin, no requieren un cdigo a ser compilado, ya que consisten en scripts que son interpretados en tiempo real por un intrprete, lo cual permite maximizar la eficiencia de los programas, en la mayora de los casos. Entre los principales programas de este tipo que podemos encontrar, tenemos: Java, Perl, Python, Ruby, ASP, Bash, entre otros. Por lo general, los lenguajes interpretados son de alto nivel y estn orientados a objetos y eventos, lo que facilita la programacin web y la programacin cliente/servidor, por lo cual, actualmente son lenguajes con mucho auge en el mbito informtico.

Por ejemplo estos lenguajes son de gran utilidad para la programacin web y la creacin de programas cliente/servidor, y se hacen cada da ms populares gracias al auge de Internet y la tecnologa de nube, lo que los convierte en la punta de lanza para la creacin de la nueva generacin de programas, ya sean comerciales o completamente Open Source.

Lenguaje de Programacion Compilado

Un lenguaje de programacin es un lenguaje diseado para describir el conjunto de instrucciones consecutivas que un equipo debe ejecutar. Por lo tanto, un lenguaje de programacin es un modo prctico para que los seres humanos puedan dar instrucciones a un equipo. Estos lenguajes se denominan "lenguajes de alto nivel". Sin embargo, el

procesador solo entiende un lenguaje que se denomina "lenguaje mquina". Se trata de datos tal como llegan al procesador, que consisten en series de 0 y 1 (datos binarios).

Por ejemplo los lenguajes de programacin compilados, son lenguajes de alto nivel que requieren que las instrucciones (cdigo fuente del programa), sean traducidas, -mediante un programa compilador-, a un lenguaje que entienda la mquina (lenguaje mquina), con el fin de generar una versin ejecutable del programa. Ejemplo de lenguajes compilados son Pascal, C, C++, Cobol, Fortran, entre otro