Matrices con MatLab

Tarea 1

1 de septiembre de 2015

1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

1.1. Matrices. Funciones matriciales

Función Descripción

rank(A) Rango de la matriz A

det(A) Determinante de la matriz A

trace(A) Traza de la matriz A, suma de los elementos de la diagonal

inv(A) Calcula la inversa de la matriz A

A' Transpuesta de la matriz A

diag(A) Extrae la diagonal de la matriz A como vector columna

eye(n) Crea la matriz identidad de orden n

eye(m,n) Crea la matriz de orden mxn con unos en la diagonal principal y ceros en el resto

zeros(m,n) Crea la matriz nula de orden mxn

ones(m,n) Crea la matriz de orden mxn con todos sus elementos unos

[n,m]=size(A) Devuelve el número de �las y columnas de la matriz A

Operaciones de matrices

x(n) Devuelve el n-ésimo elemento del vector x

x([n,m,p]) Devuelve los elementos del vector x situados en las posiciones n-ésima, m-ésima y p-ésima.

x(n:m) Devuelve los elementos del vector x situados entre el n-ésimo y el m- ésimo, ambos inclusive

x(n:p:m) Devuelve los elementos del vector x situados entre el n-ésimo y el m- ésimo, ambos inclusive

pero separados de p en p unidades

A(m,n) Devuelve el elemento (m,n) de la matriz A (�la m y columna n)

A([m, n],[p, q]) Devuelve la submatriz de A formada por la intersección de las �las n-ésima y m-ésima

y las columnas p-ésima y q-ésima.

A(n:m,p:q) Devuelve la submatriz de A formada por las �las que hay entre la n- ésima y la m-ésima,

y por las columnas que hay entre la p-ésima y la q-ésima

A(a:p:b,c:q:d) Devuelve la submatriz de A formada por las �las que hay entre la a- ésima y la b-ésima

tomándolas de p en p, y por las columnas que hay entre la c- ésima y la d-ésima tomándolas de q en

q.

A(:,p:q) Devuelve la submatriz de A formada por las columnas que hay entre la p- ésima y q-ésima.

A(n:m,:) Devuelve la submatriz de A formada por las �las que hay entre la n- ésima y la m-ésima

A(n,:) Devuelve la �la n-ésima de la matriz A

A(:,p) Devuelve la columna p-ésima de la matriz A1

A(:) Devuelve un vector columna cuyos elementos son las columnas de A situadas por orden

A(:,:) Devuelve toda la matriz A

1.2. Parte práctica: Utilizando MatLab

1. Crear las siguientes matrices

g =

1 2 3 4

5 6 7 8

; h =

1 1 1 1

2 2 2 2

a) Sumar las matrices g y h

b) Multiplicar las matrices g y h.

c) Multiplicar g con la transpuesta de h.

d) Multiple g y h componente a componente.

e) Eleve 2 a cada elemento de g

f ) Obtener la inversa de cada elemento de g.

2. Construya la matriz

M =

1/2 1/3 1/4

1/3 1/4 1/5

1/4 1/5 1/6

y asígnela a la variable B. Calcule también su inversa y asígnela a C. Realice la comprobación de

la certeza del resultado.

3. Veri�que si el sistema de ecuaciones es compatible

3u + 4v − 6x + 5z = −8

2u− 12v + z = 10

−u + v − 14x + y + z = 20

10v + 10x− y − 3z = 6

2u− 3v + y = −5

Utilice la función rank de Matlab.

4. De�nir las siguientes matrices en MatLab:

A =

1 3 5 8

2 6 5 3

4 1 9 7

1 8 0 2

; B =

1 9 5 8

12 5 5 9

4 2 9 74

0 6 0 3

; C =

1 9

10 2

a) Realizar los siguientes cálculos básicos con estas matrices:

1) 3 −A, A− 7, A−BT , A−1, B−1

2) Realizar ahora los siguientes cálculos, siendo D la submatriz de A formada por las 1era y

3era �las y columnas, y E la submatriz de B formada por las 2da y 4ta �las y columnas:

D − ET , D − C, C − E

3) Resolver las siguientes ecuaciones: AX = B, DX = C

4) Siendo F la submatriz de A formada por las �las 2, 3 y 4, y G la submatriz de B formada

por las columnas 1, 2 y 4, calcular F.G

5. Se considera que una viga horizontal �exible empotrada en un extremo A y libre en el extremo B

tiene cuatro grados de libertad traslacional u1, u2, u3 y u4, donde ui se localiza a i/5 de la distancia

de A y B . Si se aplica una carga unitaria en u3, el vector u = (u1, u2, u3, u4)T , satisface el sistema:

K, u = r

Para este caso particular, la matriz de rigidez K y el vector de cargas r, están dados por:

K =

5 −4 1 0

−4 6 −4 1

1 −4 6 −4

0 1 −4 5

; r =

0

0

E.I

0

donde la constante E.I depende el material de la viga y de su geometría. Calcule u cuando E.I = 1

6. Sea el sistema:

−yk−1 + 2yk − yk+1 =8

(n + 1)2; k = 1, 2, . . . , n

cuya solución matemática:

yk = 4

[k

n + 1−(

k

n + 1

)2], y0 = yn+1 = 0

Resuelva el sistema utilizando eliminación gaussiana para n = 10, n = 20. Compare con la solución

exacta.

7. Para un circuito de resistores

Determinar las corrientes del circuito

8. Se considera que una viga horizontal �exible empotrada en un extremo A y libre en el extremo B

tiene cuatro grados de libertad traslacional u1, u2, u3 y u4, donde ui se localiza a i/5 de la distancia

de A y B . Si se aplica una carga unitaria en u3, el vector u = (u1, u2, u3, u4)T , satisface el sistema:

K, u = r

Para este caso particular, la matriz de rigidez K y el vector de cargas r, están dados por:

K =

1 −4 1 0

−4 1 −4 1

1 −4 1 −4

0 1 −4 1

; r =

0

0

E.I

0

donde la constante E.I depende el material de la viga y de su geometría. Considere E.I = 1.

Considere los siguientes pasos

a) Construir la matriz Ea = [K r]

b) Realizar las siguientes operaciones: A la 2da �la de Ea se le suma 4 veces la 1era �la de Ea,

además a la 3era �la de Ea se le resta la 1era �la de Ea.

9. Construir la siguiente matriz utilizando comandos de Matlab

A =

1 0 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 2 2 0 0 0 1 1 1

0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1

Llevarla a una forma escalonada reducida.

10. Construir la siguiente matriz utilizando comandos de Matlab

A =

1 0 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 2 2 0 0 0 1 1 1

0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1

Determinar las columnas base de la Matriz A