tarea voluntaria nº 1
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Universidad del Bío-Bío
Facultad de Ingeniería
Depto. Ingeniería Industrial
TAREA
VOLUNTARIA Nº1
INTEGRANTES: Carlos Concha C.
Andrés Munzenmayer E.
ASIGNATURA: Investigación Operativa II
PROFESOR: Milton Ramirez
FECHA: 21 de Marzo de 2013
TAREA VOLUNTARIA Nº 1
Para las siguientes funciones se pide analizar si éstas poseen o no algún tipo de
concavidad o convexidad. Posteriormente representar cada función gráficamente.
Software utilizado: Wolfram alpha; http://www.wolframalpha.com/
1. F(x,y)= 2x2+y2-xy
Solución
Con n=2 y variables x,y
2
-1
2
-0,5
A=
0
1 A sim
-0,5
1
Evaluar los DMPD
Para k=1 M1 =|2|=2 ; (-1)1 = -1
Para k=2
; (-1)2 = 1
Función graficada
Conclusión
Dado que los DMPD son positivos, la matriz A es definida positiva. Por lo tanto la forma
cuadrática asociada es estrictamente convexa.
2
-0,5
M2 =
= 1,75
-0,5
1
2. F(x,y) = x+y-x2-y2
Solución
Con n=2 y variables x,y
-1
0
-1
0
A=
A sim
0
-1
0
-1
Evaluar los DMPD
Para k=1 M1 =|-1|=-1 ; (-1)1 = -1
Para k=2
; (-1)2 = 1
Función graficada
Conclusión
Dado que los DMPD concuerdan con los signos de referencia (-1)k, la matriz A es
definida negativa. Por lo tanto la forma cuadrática asociada es estrictamente cóncava.
-1
0
M2 =
= 1
0
-1
3. F(x,y) = x2+2x-y
Solución
Con n=2 y variables x,y
1
0
1
0
A=
A sim
0
0
0
0
Evaluar los DMPD
Para k=1 M1 =|1|=1 ; (-1)1 = -1
Para K=2
; (-1)2 = 1
Función graficada
Conclusión
Dado que los DMPD son no negativos, la matriz A es semi-definida positiva. Por lo
tanto la forma cuadrática asociada es convexa.
1
0
M2 =
= 0
0
0
4. F(x,y) = 3x-y-y2
Solución
Con n=2 y variables x,y.
0
0
0
0
A=
A sim
0
-1
0
-1
Evaluar los DMPD
Para k=1 M1 =|0|=0 ; (-1)1 = -1
Para k=2
; (-1)2 = 1
Función graficada
Conclusión
Dado que los DMPD son no negativos, la matriz A es semi-definida positiva. Por lo
tanto la forma cuadrática asociada es convexa.
0
0
M2 =
= 0
0
-1
5. F(x,y) = ln(x+2) + y
Solución
Con n=2 y variables x,y
0
H=
0
0
Evaluar los DMPD
Para k=1
; (-1)1 = -1
Para k=2
; (-1)2 = 1
Función graficada
Conclusión
Dado que en los DMPD, M1 < 0 (negativo) para todo x distinto de -2 y M2 = 0, la matriz
H (Hessiana) es semi-definida negativa. Por lo tanto, la función asociada es cóncava,
excepto para x=-2.
0
M2 =
= 0
0
0