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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE”

Alumno: Alexander Pogo Nivel: Quinto Electrónica

Asignatura: Procesamiento Digital De Señales Fecha: 17/05/ 2015

Tratamiento de Señales en tiempo discreto (Oppenheim)

5.28 La función de transferencia H (z) de un sistema lineal e invariante en el tiempo causal tiene un diagrama de polo-cero cuya configuración se muestra en la figura. Se sabe también que H ( z )=6 cuando z=1

a) Determine H(z)

b) Determine la respuesta al impulso h[n] del sistema

c) Determine la respuesta del sistema a las siguientes señales de entrada

i. x [n ]=u [ n ]−12

u [ n−1 ]

ii. La secuencia x[n] se obtiene al muestrar la señal en tiempo continuo

x (t )=50+10cos20πt+30cos 40πt Con frecuencia de muestreo

a.)

H ( z )= A

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)6= A

(1+ 13 x1)(1−12 x 1)A=4

b.)

2

H ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)H ( z )= A

(1+ 13 z−1)x

B

(1−12 z−1)cuando z=−1

3

4=A (1−12 (−3 ))+B(1+ 13(−3))

4=A (1+ 32 )+B(0)

A=85

cuando z=12

4=A (1−12 (2 ))+B (1+ 13(2))

4=A (0 )+B (1+23)

B=125

H ( z )= 8 /5

(1+ 13 z−1)x

12/5

(1−12 z−1)h [ n ]=8

5 (−13 )n

u [n ]+ 125 (12 )

n

u [ n ]

c.)

con la entrada: x (n )=u [ n ]−12

u [n−1]

x (Z )= 11−z−1−

z−1

2(1−z−1)

x (Z )=2(1− z−1

2)

2 (1−z−1)

x (Z )=1− z−1

21−z−1

3

Y ( z )=X ( z ) H ( z )

4

Y ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)x1−12

z−1

1−z−1

Y ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−z−1 )

4= A

(1+ 13 z−1)+ B

(1−z−1 )

4=A (1−z−1 )+B(1+ 13 z−1)Cuando z−1=−3

4=A (1−(−3))+B(1+ 13 (−3))4=A (1+3)

A=1Cuando z−1=1

4=A (1−(1))+B(1+ 13 (1))4=b(1+ 1

3)

B=3

Y ( z )= 1

(1+ 13 z−1)+ 3

(1−z−1 )

Y [ n ]=3u [ n ] (−13 )n

u [ n ]

con la entrada: x (t )=50+10cos (20πt )+30cos (40πt )

T= 140

t=nT

x [n]=50+10cos( 20 πn40 )+30cos ( 40πn

40 )x [n]=50+10cos( πn

2 )+30cos ( πn )

x [ Z ]=50+10( 1−cos π2

1−2cosπ2

z−1+z−2 )+30 1−cos πn

1−2cos πn z−1+z−2

x [ Z ]=50+10( 1

1+z−2 )+30(0)x [ Z ]=50+10( 1

1+z−2 )

5

Y ( z )=X ( z ) H ( z )

Y ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)x (50+10( 1

1+z−2 ))Y ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)x50 (1+ z−2 )+10

1+z−2

Y ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)x50+50 z−2+10

1+z−2

Y ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)x60+50 z−2

1+z−2

Y ( z )= 4

(1+ 13 z−1)(1−12 z−1)x10(6+5 z−2)1+z−2

5.29 La expresión de la función de transferencia de un sistema LTI es:

H ( z )= 21

(1−12

z−1)(1−2 z−1)(1−4 z−1)

Se sabe que el sistema no es estable y que su respuesta al impulso es bilateral.

a) Determine la respuesta al impulso h[n] del sistema.b) La respuesta al impulso determinada en el apartado a) se puede expresar como la suma de una respuesta al impulso causal h1[n]y una respuesta al impulso anticausal h2[n]. Determine las funciones de transferencia correspondientes H 1(z )y H 2(z )

A.

H ( z )= 21

(1−12

z−1)(1−2 z−1)(1−4 z−1)= A

(1−12

z−1)+ B

(1−2 z−1)+ C

(1−4 z−1)

A (1−2 z−1 ) (1−4 z−1 )+B(1−12 z−1)(1−4 z−1)+C(1−12 z−1) (1−2 z−1 )=21

Z=12

A (1−2 z−1 ) (1−4 z−1 )=21A (1−2∗2 ) (1−4∗2 )=21

A (21 )=21=1A=1

6

Z=2

B(1−12 z−1)(1−4 z−1 )=21

B(1− 12∗1

2 )(1−4∗12 )=21B=−28

Z=4

C (1−12 z−1)(1−2 z−1 )=21

C (1− 12∗14 )(1−2∗14 )=21C=48

H ( z )= 1

(1−12 z−1)− 28

(1−2 z−1)+ 48

(1−4 z−1 )

h [ n ]=(12)

n

u [ n ]−28 (2 )nu [ n ]−48 (4 )nu [−n−1 ]

B.H 1 ( z )= 1

(1−12 z−1)− 28

(1−2 z−1 ) H 2 (z )= 48

1−4 z−1

5.30. Una señal x [n ]es procesada por un sistema lienal he invariante con el tiempo con función de tranferencia H (z ) y después se diezma por un factor de dos resultando la señal y [ n ], como muestra la figura P5.30-1. El diagrama polo-cero de H (z ) se muestra en la figura p5.30.a) Determine y dibuje h [n ], la respuesta al impulso del sistema H (z ) .b) La figura p5.30-3 muestra un segundo sistema en el que la señal x [n ] se comprime en primer lugar por un factor de 2 y se pasa posteriormente por el sistema LTI G(z ) obteniéndose r [ n ].

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Solución

a) H ( z )=(z−1

2)(z−1

2)

z M =z−( M−2)(1−12

z−2)

b)

w [n ]=x [n−( M−2 ) ]− 14

x [n−M ]

y [ n ]=w [2n ]=x [2n−( M−2 ) ]−14

x [2n−M ]

entonces v [n ]=x [2n]

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y [ n ]=v [n− M−22 ]−14 v [n−( M

2 )]Por lo tanto

g [ n ]=δ [n− M−22 ]− 14 δ [n−( M

2 )]G ( z )=z

−M −22 − 1

4z

−M2

5.31 Considere un sistema lineal invariante con el tiempo cuya función de transferencia es

H ( z )= z−2

(1−12

z−1)(1−3 z−1)

a) Suponga que se sabe que el sistema es estable, determine la salida y[n] cuando la entrada x[n] es la secuencia escalón unidad.

b) Suponiendo que la región de convergencia de H(z) incluye z=∞, determine el valor de y[n] en n=2 cuando la señal x[n] es como muestra la figura.

c) Suponga que se desea recuperar x[n] a partir de y[n] procesando y[n] con un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h[n]. Determinar h[n]. ¿Depende h[n] de la región de convergencia de H(z)?

a) El sistema es estable, su ROC es 12<|z|<3

x [n ]=u [ n ]X ( z )= 1

1−z−1

Y ( z )=H ( z ) . X ( z )

Y ( z )=

45

1−12

z−1+

15

1−3 z−1−

45

1−z−1

y [ n ]=45 ( 12 )

n

u [ n ]−15

(3 )n u [−n−1 ]−u [n ]

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b) La ROC incluye z=∞ pero h[n] es causal.

H ( z )=Y ( z )X (z )

H ( z )= z−2

1−72

z−1+32

z−2

Y ( z )−72

z−1Y ( z )+ 32

z−2Y ( z )=z−2X ( z )

y [ n ]=x [n−2 ]−72

y [ n−1 ]−32

y [n−2 ]

Si y[n]=0 para n<0 entonces:y[0]=0, y[1]=0, y[2]=1

c ¿Encontrar hi [ n ]

H i ( z )= 1H ( z )

=z2−72

z+32

hi [ n ]=δ [ n+2 ]−72

δ [ n+1 ]+ 32

δ [ n ]

5.39 La figura muestra ocho secuencias de duración finita diferentes. Todas ellas tienen una longitud de cuarto puntos. El módulo de la transformada de Fourier es el mismo para todas las secuencias. ¿Cuál de ellas tiene todos los ceros de su transformada Z en el interior de la circunferencia unidad?

a¿ y ( z )=−6.67+20,33 z−1−15.53 z−2+2,67 z−3

Y ( z )=−6.67 z3+20,33 z2−15.53 z+2,67z1=1.97 z2=0.83 z3=0.2431

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b¿Y ( z )=5.33−18.67 z−1+17.67 z−2−3,33 z−3

Y ( z )=5.33 z3−18.67 z2+17.67 z−3,33z1=0,25 z2=2 z3=1,24

c ¿Y ( z )=−1,33+9,67 z−1−20,67 z−2+13,33 z−3

Y ( z )=−1,33 z3+9,67 z2−20,67 z+13,33z1=4 z2=2 z3=1.24

d ¿Y (z )=1,67−11,33 z−1+21,33 z−2−10,67 z−3

Y ( z )=1,67 z3−11,33 z2+21,33 z−10,67z=3.97 z2=2 z3=0.8

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e ¿Y ( z )=−1,33−18,67 z−1+17,67 z−2−3,33 z−3

Y ( z )=−1,33 z3−18,67 z2+17,67 z❑−3,33z1=−14,93 z2=0,63 z3=0,26

f ¿Y ( z )=13.33−20.67 z−1+9,67 z−2−1.33 z−3

Y ( z )=13.33 z3−20.67 z2+9,67 z❑−1.33z1=0,79 z2=0,5 z3=0,25

g¿Y (z )=−10,67+21,33 z−1−11,33 z−2+1,67 z−3

Y ( z )=−10,67 z3+21,33 z2−11,33 z+1,67z1=1,24 z2=0,49 z3=0,25

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h¿Y ( z )=2,67−15.33 z−1+20,33 z−2−6,67 z−3

Y ( z )=2,67 z3−15.33 z2+20,33 z❑−6,67z1=3,991 z2=1,25 z3=0,50

El literal f es aquel que tiene todos sus polos dentro del círculo de radio 1

5.40 Cada uno de los diagramas de polo-cero que se muestran en la Figura P5.40-1, junto con la especificación de la región de convergencia, describe un sistema lineal e invariante con el tiempo con función de transferencia H (z). Determine en cada caso si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique las respuestas con un breve argumento o un contraejemplo.

a) El sistema es de fase cero o de fase lineal generalizada.b) El sistema tiene un sistema inverso H i(z ) que es estable.

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i. Una cera fase tiene todos sus polos y ceros en conjugue los pares recíprocos. Los sistemas de la fase lineales generalizados están ceros sistemas de la fase con polos adicionales o ceros en z = 0, la infinidad, 1 o -1.

ii. Una ROC de los sistemas estable incluye el círculo de la unidad.a) Los polos no están en pares conjugados recíprocos, así que esto no tiene

cero o fase lineal generalizada H i(z ) tiene un polo en z = 0 y quizás z =∞. Por lo tanto, la ROC es 0 <| z | <∞, lo que significa que la inversa es estable. Si la ROC incluye z =∞, también será causal la inversa.

b) Desde que los polos no son los pares recíprocos conjugado, esto no tiene cero o la fase lineal generalizada. H i(z ) tiene los polos dentro del interior el círculo de la unidad, para que el ROC es | z |> 2/3 coincidir el ROC de H (z). Por consiguiente, el inverso es a la vez estable y causal.

c) Los ceros ocurren en pares recíprocos conjugados, así que este es un sistema de fase cero. La inversa tiene polos tanto dentro como fuera del círculo unitario. Por lo tanto, existe un inverso no causal estable

d) Los ceros ocurren en pares recíprocos conjugados, así que este es un sistema de fase cero. Desde los polos del sistema inverso están en el círculo unidad un inverso estable no existe.

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5.45 La Figura siguiente muestra los diagramas polo–cero de seis diferentes sistemas lineales, invariantes con el tiempo y causales.

Responda a las siguientes preguntas sobre los sistemas que tiene los diagramas polo–cero anteriores. En todos los casos, “ninguno o todos” podrían ser respuestas aceptables.

(a) ¿Qué sistemas son IIR? A,D

(b)¿Qué sistemas son FIR? B,C,E,F

(c) ¿Qué sistemas son estables? B,C,E,F

(d)¿Qué sistemas son de fase mínima? B,C,E,F

(e) ¿Qué sistemas son de fase lineal generalizada? Ninguno

(f) ¿Qué sistemas tienen |H(e j )| = constante para todo ?ω ω

Ninguno

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(g) ¿Qué sistemas tienen sistema inverso causal y estable? B,C,E,F

(h) ¿Qué sistema tiene la respuesta al impulso más corta (con el mínimo número de muestras distintas de cero)?

A,F(i) ¿Qué sistemas tienen respuestas en frecuencia paso bajo?

A,F(j) ¿Qué sistemas tienen retardo de grupo mínimo?

Ninguno

6.1 Determine la función de transferencia de las dos redes de la Figura y demuestre que tienen el mismo polo.

a)

Y ( z )=2 r cosθ z−1Y ( z )−r2 z−2Y ( z )+X (z )

H 1 (z )=Y (z )X (z)

H 1 (z )= 1

1−2r cosθ z−1+r 2 z−2

b)

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W ( z )=X ( z )−r senθ z−1Y ( z )+r cosθ z−1W ( z )

Y ( z )=r senθ z−1W ( z )+r cosθ z−1Y ( z )

Eliminando W ( z ):

H 1 (z )=Y (z )X (z)

H 2 ( z)= r senθ z−1

1−2r cos θ z−1+r 2 z−2

Las dos gráficas tienes polos iguales.

6.2. EL grafo de flujo de señal de la figura, representa una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes. Determine la ecuación en diferencia que relacione la salida y[n] con la x[n].

La única entrada al nodo y [n]es una conexión con el nodo de la rama de la unidad x [n]. El resto de la red no afecta a la relación de entrada y salida de la ecuación de diferencia es:

y [n]= x [n]

6.5 Un sistema lineal e invariante con el tiempo se realiza mediante el grafo de flujo que se muestra en la figura.

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a) Escriba para este grafo de flujo la ecuación en diferencias que relaciona x [n ] e y [ n ].

b) ¿Cuál es la función de transferencia del sistema?c) En la realización que se muestra en la figura ¿Cuántas multiplicaciones y

sumas reales se requieren para calcular cada muestra de la salida? (suponga que x [n ] es real, y que las multiplicaciones por 1 no cuentan en el total).

d) la realización de la figura requiere cuatro registros de almacenamiento (elementos de retardo). ¿es posible reducir el número de registros de almacenamiento utilizando una estructura diferente? Si lo es, dibuje el grafo de flujo. Si no lo es, explique por qué no se puede reducir en número de registros de almacenamiento.

a)

w [n ]=x [ n ]+3w [ n−1 ]+w [ n−2 ]y [ n ]=w [n ]+ y [ n−1 ]+2 y [ n−2 ]

b)

W [ z ]=X ( z )+3 z−1W ( z )+ z−2W ( z )Y [ z ]=W (z )+z−1Y (z )+2 z−2Y ( z )

H ( z )=Y ( z )X (z )

W ( z )−3 z−1W (z )−z−2W ( z )=X (z)

W ( z )= X ( z )(1−3 z−1−z−2 )

Y ( z )−z−1Y ( z )−2 z−2Y ( z )=W (z )

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Y ( z )(1−z−1−2 z−2)=X ( z )

(1−3 z−1−z−2 )Y ( z )X ( z )

= 1

(1−z−1−2 z−2) (1−3 z−1−z−2)H ( z )= 1

(1−z−1−2 z−2)(1−3 z−1−z−2 )c)

4 sumas reales y 2 multiplicaciones reales por muestra de salida.d)

No es posible reducir el número de registros de almacenamiento. Al implementar H(z) arriba de la forma II directa (mínimo registro de almacenamiento) se requiere cuatro registros.