tarea n1

1. Demuestre la expresion de carga ultima de Terzagui para suelo uniforme en

funcion de los terminos: confinamiento, peso unitario del subsuelo, angulo

de resistencia interna y cohesion

Trabajamos un estado de falla como un problema de presiones de tierra como se

muestra a continuación:

En el diagrama se presenta una zapata superficial que al ser cargada genera una

falla en el suelo. La cuña bajo la zapata genera una presión lateral en sus bordes

produciendo que las cuñas continuas se deslicen y generando líneas de

deslizamientos a

respecto al eje horizontal. Mientras la cuña continua

genera líneas de deslizamiento a

respecto al eje horizontal.

Al considerar el conjunto de esfuerzos de la derecha, se puede determinar la

fuerza de presión de tierra total resistente que está dada por:

∫

Donde es:

Escuela de Ingeniería Civil – Fundaciones

Cristian E. Cabrera Villanueva - José S. Valenzuela Jara Página 2

( ) (

) (

)

Por lo tanto queda expresado:

∫ [( ) (

) (

)]

Donde:

: Angulo de resistencia interna.

: Peso efectivo de suelo.

: Cohesión efectiva.

Posteriormente podemos definir como:

(

)

Y resolviendo se tiene:

√

Luego para encontrar se suman todas las fuerzas que actúan

verticalmente:

(

) (

) (

) ( )

( ( ))( ( ))

Con:



( )

(

) ( )

(

)

( )

(

) ( )

(

)

Se tiene finalmente:

[

( ) √ ]

√

( )

*

( ) √ +

Considerando en la ecuación anterior:

[

( ) √ ]

√

( )

*

( ) √ +

Se obtiene:

Donde:

Factor de capacidad de soporte en relación a la influencia de la cohesión en

.

Factor de capacidad de soporte en relación a la influencia del confinamiento

(sobrecarga) en .



Factor de capacidad de soporte en relación a la influencia del peso unitario del

suelo en .

Trabajamos para un suelo sin cohesión y basada en la cuñas de Rankine como

se muestra a continuación:

En la cuña pasiva II se puede considerar la aplicación de una fuerza máxima

definida por:

Y reemplazando en lo anterior se tiene:



Además si consideramos en la cuña activa I la sobrecarga máxima se obtiene:

Y reemplazando en lo anterior se tiene:

√

Ahora si reemplazamos P de la cuña pasiva II en la cuña Activa I se obtiene:

(

)

(

)

Donde:

Factor de capacidad de soporte en relación a la influencia del confinamiento

(sobrecarga) en .

Factor de capacidad de soporte en relación a la influencia del peso unitario del

suelo en .

Con:

( )

( )

Finalmente reemplazando las definiciones descritas anteriormente en la ecuación

obtenida previamente se obtiene:



2.- La zapata de la figura es rectangular de 2 metros de ancho por 6 de largo.

La exploración del subsuelo determino que se trata de un depósito de suelo

arenoso con napa ubicada a 2 metros de profundidad. Se pide:

a) Determinar la tensión admisible para un factor de seguridad igual a 3

respecto de la falla por corte. Comente la confiabilidad de su resultado,

utilice más de una teoría de capacidad de soporte, compare con

referencias bibliográficas o normas.

b) Determinar y graficar los resultados en función del ancho B, para zapatas

que varíen entre 1 y 3 metros de ancho.

c) ¿Cómo varían los resultados si posteriormente, por efectos de un radier

se aplica una sobrecarga de 1,0 T/m2 sobre el nivel de terreno.

d) Se sabe que la napa puede eventualmente (en invierno) subir hasta la

superficie del terreno. Determinar cómo varían los resultados.

e) Determine la capacidad de soporte para un asentamiento de 1”. Compare

con los resultados obtenidos en los casos interiores.

a) La tensión admisible se calculara en base a diferentes teorías de capacidad

de soporte tales como Meyerhof, Hansen, y Terzagui, esta última solo se

utilizara como referencia ya que solo se debe aplicar para un estrato y sin

presencia de napa. Cabe mencionar que en este caso como la napa se



encuentra al nivel del sello de fundación hay que utilizar los esfuerzos

efectivos y también como el γ que acompaña al Nγ corresponde al peso

especifico del suelo (en este caso peso especifico boyante, por la presencia

de napa), como se aprecia hay 2 estratos y se calcularan 2 valores de Nq,

el primero de ellos se utilizara para sacar el confinamiento de la zapada y el

segundo será utilizado para sacar Nc. El cálculo de la tensión admisible se

calculara de la siguiente manera.

Método de Meyerhof

(

)

( )

( ) ( )

(

)

√

√

Parámetros Estrato 1 (ϕ=35) Estrato 2 (ϕ=31)

Nq 33,33 20,63 Nc 32,67 Kp 3,12 Nγ 18,56



( ) (

) ( )

(

) ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

Método de Hansen

(

)

( )

( ) ( )



( )


Nq 33,33 20,63 Nc 32,67 Nγ 17,69

( ) (

) ( )

(

) ( )

(

)

(

)

(

)



Método de Terzagui

Zapatas Rectangulares:

[

(

)

(

)

] ( )

[

(

)

(

)

]

Se utilizo la siguiente tabla del libro Bowles para

determinar el valor de Kpy.

(

)


Nq 41,44 25,28 Nc 40,4 Kp 58 Nγ 23,41

(

)



(

)

(

)

b) A continuación se presentan la capacidad de la zapata superficial con

diferentes anchos y Teorías de capacidad de soporte.

B Meyerhof Hansen Terzagui % de variación

1 79,52 71,22 60,11 16%

2 75 68,44 63,62 7%

3 78,35 71,87 67,13 7%

Como se puede apreciar para diferentes valores de ancho de la zapata, el

método de Hansen es más conservador ya que entrega una tensión

admisible menor para los diferentes anchos estudiados, de esta manera y

ante el grado de incertidumbre que se tiene en esta área de la ingeniería es

necesario tener ciertas precauciones. El método de Terzagui solo se coloco

como un método de comparación externo ya que no se debería utilizar en

esta situación; sin embargo, se puede apreciar que se produce un % de

variación máximo de 16% por el cual el método nos ayudaría en ciertas

ocasiones a calcular la capacidad de soporte de la fundación, siempre y

cuando recordemos que hay un porcentaje considerable de disminución de

capacidad por este método.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3

Qad

m (

T/m

2)

Ancho de la Base (m)

Capacidad de Soporte

Meyerhof

Hansen

Terzagui



c) Al colocar un radier de 1 T/m2 sobre el nivel del terreno este aumentara la

capacidad de confinamiento que tiene la zapata y por ende aumentara su

capacidad de soporte, se realizaron los cálculos pertinentes y se muestra

mediante una tabla y grafico como cambia la capacidad de soporte al

colocar el radier.

Método de Meyerhof


Nq 33,33 20,63 Nc 32,67 Kp 3,12 Nγ 18,56

( ) (

) ( )

(

) ( ) (

)

(

)

(

)

Método de Hansen


Nq 33,33 20,63 Nc 32,67 Nγ 17,69



( ) (

) ( )

(

) ( )

(

)

(

)

Método de Terzagui



Nq 41,44 25,28 Nc 40,4 Kp 58 Nγ 23,41

(

)

(

)

B Meyerhof Hansen Terzagui % de variación

1 87,54 98,25 73,12 16%



2 83,3 92,39 77,4 7%

3 86,7 95,9 80,94 7%

Al aumentar el confinamiento producto del radier, se observa que el método de Meyerhof

es el más conservador en esta situación.

d) Para realizar esta parte se busco en literatura y se realizaron los siguientes

supuestos para obtener el γsat producto del ascenso de la napa hasta el

nivel superficial del terreno.

Estrato superior con arena bien graduada.

W=7%

γt= 2 (T/m3)

Gs=2,7

(

)

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3

Ancho de la Base (m)


Meyerhof

Hansen

Terzagui



(

)

Método de Meyerhof


Nq 33,33 20,63 Nc 32,67 Kp 3,12 Nγ 18,56

( ) (

) ( )

( ) (

)

( ) (

)

(

)

(

)

Método de Hansen


Nq 33,33 20,63 Nc 32,67 Nγ 17,69



( ) (

) ( ) (

) (

) ( )

(

)

(

)

Método de Terzagui



Nq 41,44 25,28 Nc 40,4 Kp 58 Nγ 23,41

( )

(

)

(

)

B Meyerhof Hansen Terzaghi % de variación

1 44,1 48,45 37,18 16%



2 43,78 46,66 40,69 7%

3 47,26 49,23 44,2 6%

Como se puede apreciar ante el ascenso de la napa hasta el nivel

superficial, los 3 métodos utilizados muestran una disminución en la

capacidad de soporte de la zapata ya que producto del nivel freático en la

superficie hay que trabajar con el peso específico boyante para realizar los

cálculos. El método de Meyerhof nuevamente vuelve a ser más

conservador para esta nueva situación.

e) Para determinar la capacidad de soporte para un asentamiento de 1” se

procede a utilizar la formula entregada en clases.

(

(

) )

Es= 50 MPa

u= 0,5

(

)

Supuesto: H=3B

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3

Qad

m (

t/m

2)

Ancho de la base (m)


Meyerhof

Hansen

Terzagui



If= 0,79

I1= 0,598

I2= 0,07

(

(

) )

(

)

Al apreciar el valor obtenido de qo, se observa que en los resultados anteriores

para una zapata de 2 metros de ancho ninguna supera la capacidad de 91,52

T/m2 de esta manera podemos decir que para las condiciones entregadas para

efectuar los cálculos de capacidad de la zapata no se provocara un asentamiento

igual o mayor a 1” ya que no se sobrepaso la capacidad.

3.- Usando un factor de seguridad igual a 3 determine el tamaño de la zapata.

Para inferior (arcilla normalmente consolidada) analice y evalúe los casos que

corresponda y luego, para el dimensionamiento, considere el caso más

desfavorable. El diseño debe a estar de acorde con lo que expone la Nch 433

Of.1996 mod. 2009 respecto al área de compresión de la fundación

Comente su resultado, compare con referencias bibliográficas o normas.



Inicialmente se debe considerar que el análisis tiene que realizarse en primera

instancia como No Consolidado No Drenado y luego como Consolidado No

Drenado, en ambos casos los cálculos de basan en esfuerzos totales y no

efectivos.

Como se observa estamos ante la situación de carga excéntrica por lo cual

utilizaremos el Método de Meyerhof para cargas excéntricas con una carga vertical

sobre un área efectiva.

La Nch 433 of 1996 mod. 2009 nos exige que para este tipo de situación se debe

asegurar que al menos un 80 del área de la zapata este sometida a compresión.

Meyerhof para cargas excéntricas.



Dimensionamiento de la Zapata:

El dimensionamiento de la zapata debe realizarse de acuerdo a la Nch. 433 Of.1996 Mod.2009 en relación a la mínima área de la zapata en compresión, la cual considera un 80% del área total y con las tensiones admisibles obtenidas del análisis UU. El diseño debe verificar que la tensión admisible sea mayor que la tensión máxima en el suelo generada por la zapata con carga excéntrica, la cual se calcula según lo siguiente:

La primera fila de ecuaciones se refiere a la condición donde la distribución de tensiones es de forma trapezoidal, de esta forma el suelo esta 100% comprimido. La segunda fila corresponde a que el suelo tiene una distribución de tensiones de forma triangular, donde existirá una zona en compresión y otra en tracción, pero como el suelo no tiene resistencia a la tracción la tensión máxima a compresión tendrá que aumentar. Se tiene que verificar que el área en compresión bajo la zapata sea mayor a 80% del área de la zapata, de esta manera para asegurar la condición mencionada hay que calcular la longitud de la zona en compresión.

Al hacer equilibrio de momentos con respecto al punto A obtendremos la longitud

en compresión de la zapata, cabe mencionar que solo se considera la zona en

compresión.



∑

(

)

(

)

Análisis No Consolidado No Drenado (UU)

Parámetros utilizados.

C= 3,5 (T/m2) ϕ= 0

Parámetros Estrato inferior (ϕ=0)

Nq 1 Nc π+2 Kp 1 Nγ 0

Reemplazando en las formulas tenemos:



( ) (

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

B Meyerhof (T/m2) Lcomp %Área

1 10,65 - - 1,5 10,46 0,25 16 2 10,24 1 50 2,5 10,06 1,75 70 3 9,93 2,5 83 3,5 9,83 3,25 92

Análisis Consolidado No Drenado (CIU)

Se utilizaron los siguientes parámetros.

c=0 ϕ= 30


Nq 33,29 18,4 Nc - 30,13 Nγ - 15,67

Reemplazando en las formulas tenemos:



(

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

B Meyerhof (T/m2) Lcomp %Área

1 40,25 - - 1,5 52,35 0,25 16 2 57,52 1 50 2,5 60,52 1,75 70 3 62,6 2,5 83 3,5 64,22 3,25 92

Comentario:

Como se puede apreciar en base a los cálculos y tablas proporcionadas,

ocuparemos un ancho de 3 metros para la zapata ya que esta cumplirá con un

83% de área efectiva en compresión, es necesario mencionar que con un ancho

de 2,86 metros se cumple exactamente con un 80% del área total en compresión

exigida por Norma pero por términos constructivos se utilizara 3 metros.

Se puede mencionar además que el diseño es confiable ya que se está utilizando

la condición más desfavorable (análisis a corto plazo), y a medida que pase el

tiempo la arcilla comenzara a disipar la presión de poros (consolidar) y este efecto

provocara que la tensión admisible del suelo aumentara.



Bibliografía

Franco Benedetti Leonelli, [Diapositivas], Curso de Fundaciones.

Nch 433 of 1996

DS 61 y 62

tarea n1

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