EJERCICIOS:

1.- La distancia entre dos puntos representados en un mapa es de 32 mm .. Si en la leyenda del mismo pone que la escala a la que esta realizado es de E 1:50.000; ~Cual es la distancia real entre estos dos puntos? ( No hay que tener en cuenta la esfericidad de la tierra)

2.- Tenemos un plano de la ciudad de Alicante. Una manzana de casas mide 64 metros. Si en el plano dicha manzana mide 8 mm.; ~A que escala esta realizado el plano?

3.- La maqueta de un velero esta realizada a la escala E 1:72. Si el rnastil mide 12,5 centimetres de altura, ~cuanto mide el rnastn real?

4.- Si queremos representar una viga que mide 7,30 metros de longitud en un formato UNE A3~Cual es la escala que nos permite un dibujo de mayortamario? (Redondear a una escala exacta, y tener en cuenta los rnarqenes normalizados). Elegir la escala normalizada mas proxima y calcular el tamario del dibujo.

5.- Calcular la altura de la maqueta de una presa de 62,4 metros de altura a la escala E 1:75.

6.- Tenemos un mapa ala escala E 1:50.000. Queremos confeccionar una esacala grafica que nos mida ktlometros sobre dicho mapa. ~Que separacion tendremos entre dos lineas consecutivas?

7.- Tenemos un mapa realizado a la escala 1:2000. La distancia entre dos curvas de nivel de dicho mapa es de 62 mm. ~Cual sera la distancia real en horizontal entre estos dos puntos?

8. - Representar la escala grafica correspondiente a la Escala 3,7 : 5,2. para medir en centimetros.

9.- Calcular, por el metodo analitico, las escalas graficas correspondientes a las escalas 1:500 ;1:250 y 1: 300. Comparar el resu!tado con las escalas del escalimetro y deducir en que unidades mide el mismo.

- 8 -

10.- Realizar la escala grafica correspondiente a la Escala 84:648 e indicar en que unidades estaremos midiendo.

11.- Construir la escala grafica de la Escala 12,75: 47175 con las unidades que convengan.

12.- Supongamos un segmento de 84 milimetros de longitud. Averiguar, con ayuda del escalimetro. que longitud real representa segun las siguientes escalas: 1:100; 1:200; 1:250; 1:300: 1:400 y1:500 . Comprobar analiticamente el resultado de las escalas 1:250 y 1:400.

13.- En una oficina tecnica se trabaja con un plano a escala 1:2.000. Se sabe que una obra tiene72 metros de longitud. Se hace una fotocopia en una maquina y la representacion de la misma obra resulta medir 4 milimetros menos que en el original. Averiguar la nueva escala del plano en la fotocopia.

14.- Supongamos que tenemos un croquis de un edificio, acotado en metros. Realizamos el plano correspondiente con un ordenador, utilizando una aplicacion que dibuja directamente en milimetros sobre la pantalla. Esto supone que hem os dibujado en el ordenador un milimetro por cada metro real. En el momento de trazar el plano con un trazador (plotter) el ordenador formula la siguiente cuestion: (.. unidades de dibujo = milimetros de trazado ? (.. Con que escala tendremos que responder a esta pregunta si queremos que el resultado sea un plano a escala 1:50? (Las unidades de dibujo hacen referencia a las del dibujo hecho en el ordenador).

15.- Tenemos un plano de situacion de una parcela a la Escala 1:5000. Calcular la superficie real de la parcela sabiendo que en el plano tiene una superficie de 521 milimetros cuadrados.

16.- Suponiendo que la figura representa las vistas de un deposito realizado en horrniqon, y que el plano esta a Escala 1:150, calcular el volumen de hormiqon necesario para lIevar a cabo la obra.

17.- Calcular el volumen de agua almacenado en un embalse entre las cotas 200 y 202, con los siguientes datos:Escala del mapa 1:2000. Medidos sobre el mapa: la superficie de la lamina de agua a cota 200 esde 452 milimetros cuadrados. La superficie de la lamina de agua a cota 202 es de 498 mm2.

- 9 -

o=

9.~~PROBLEMAS DE ESCALAS.

Soluciones:

1.~ La distancia entre dos puntos representados en un mapa es de 32 mm .. Si en la leyenda delmismo pone que la escala a la que esta realizado es de E 1:50.000 ; "Cual es la distancia real entre estos dos puntos? ( No se debe tener en cuenta la esfericidad de la tierra)

Aplicoremos 10 definicion de escola:

Eseala ==Oibujo

EReolidad R

R x E = 0 R = oE

o 32 mm.R = =

E= 50.000 x 32 mm. = 1.600.000 mm

50.000

R = 1.600 metros = 1,6 Kilometros. R = 1,6 Kms.

2.~ Tenemos un plano de la ciudad de Alicante. Una manzana de casas mide 64 metros. Si en el plano dicha manzana mide 8 mm.; LA que escala esta realizado el plano?

Aplicando 10 definicion de escalo y teniendo en euenta las unidades en las que nos vienen dados los datos:

E = _0 _ = 8 mm. = 8_m_m_. = = _R 64 mts. 64.000 mm. 64.000

8

8.000

E = ----8.000

3.~ La maqueta de un velero esta realizada a la escala E 1:72. Si el mastil mide 12.5 centimetros de altura, "cuanto mide el rnastil real?

Aplicando 10 definicion de escala:

E=-O-;E= R

1

72 ==

12,5 ems.

RR == 72 x 12,5 ems. 900 em.

R = 9 mts.

[SCALASDepanarnento de EXPRESION GAAFICA, Y CARTOGRAFiA

4.- Si queremos representar una viga que mide 7,30 metros de longitud en un formato UNE A3 (._Cual es la eseala que nos permite un dibujo de mayor tamario? (Redondear a una eseala exacta. yteneren euenta los marqenes normalizados). Elegirla Eseala normalizada mas proxima yealeularel tamario del dibujo.

En primer lugar, calcularemos el espacio de que disponemos; teniendoen cuentc que los margenes normalizados para un A-3 son de 20 mm.aq la derechc y de 10 mm. a 10 izquierdo y que mide 420 mm. deancho, tend rem os:

L = 420 - 20 - 10 :::: 390 mm.

Aplicando 10 formula de Escala tendremos:

oE =-- =

R

o

390 mm.7.300 mm.

=

1

7.300390

o 7.300 mm.

= +0-1E ::--

R E = =-----20 7.300 mm.

o = 20

= 365

I 0 = 365 mm. I

mm.

Cuando se plantean problemas de este tipo, hay que ser euidadoso a la hora de redondear la eseala puesto que el resultado. de tomar una eseala menor seria de mayor longitud. Supongamos, por ejemplo. que la eseala resultado de los calculos fuera de 1: 14,5; seria preferible redondearala eseala 1:20 que a la eseala 1:10.

5.- Caleular la altura de la maqueta de una presa de 62,4 metros de altura a la eseala E 1:75.

Apliecndo 10 definiei6n de esealo:

0E :::: --, 0 = E x R 0 = x 62,4 mts.::::

62.400 mm.::::832 mm.

R 75 75

I 0 :::: 83,2 ems.,

6.- Tenemos un mapa ala eseala E 1:50.000. Queremos eonfeeeionar una eseala grafiea que nos mida kilometros sobre dieho mapa. (._Queseparacion tendremos entre dos lineas eonseeutivas?

Aplicondo 10 definici6n de escolo:

0E = --, 0 = E x R 0 = x 1 Km. ::::

1.000.000. mm.::::20 mm.

R 50.000 50.000

I 0 20 mm·1

7.- Tenemos un mapa realizado a la eseala 1:2000. La distaneia entre dos eurvas de nivel de dieho mapa es de 62 mm. (._Cualsera la distaneia real en horizontal entre estos dos puntos?

Aplicondo 10 definici6n de escclo:

E _-- o

; E = 62 mm.---=

R 2000 RR 2.000 x 62 mm. = 124.000 mm.

[SCALASDepanarnento de EXPRESION GAAFICA, Y CARTOGRAFiA

R = 124 mts.

- 11 -

Departamento de EXPRESIQN GAAFIC .... Y CARTOGRAFiA FSCALAS

8.- Representar la escala grafica correspondiente a la Escala 3,7: 5,2. para medir en centimetros.

Ateniendonos a la definicion de escala grafica, tendremos que realizar una regia que mida centimetros en esta escala. Dicho de otro modo: suponiendo que nos dieran un plano en cuya leyenda indicara la escala 3,7:5,2, con dicha regia nosotros pudieramos medirdirectamente sobre el dibujo y averiguar las medidas reales del objeto en cuestion.

Para ello trazamos dos semirrectas que partan del mismo punto y que formen un angulo cualquiera. En una de elias tomamos las medidas reales y en la otra las medidas del dibujo. Llevamos las medidas de 52 mm. y 37 mm. respectivamente. Unimos los puntos situados de ese modo sobre las semirrectas y obtenemos la recta de cierre. Si tomamos sobre la semirrecta de las medidas reales las divisiones correspondientes a las unidades que pretendemos medir y trazamos paralelas a la recta de cierre, obtendremos sobre la semirrecta de la medidas del dibujo las divisiones que corresponden a las mismas unidades pero a escala 3,7:5.2.

Semirrecta donde representamos las medidas reales.

o 3,7E =

R 5,2

ems.

Semirrecta de las medidas del dibujo.

I' "'" 'I I

o 1I 1 1 1

3 " 5 6

I 1

9 10

Escala 3,7 : 5,2 Cms.

9.- Calcular, por el metoda analltico, las escalas graficas correspondientes a las escalas 1:500 ;1:250 y 1: 300. Comparar el resultado con las escalas del escalimetro y deducir en que unidades mide el mismo.

o[ ; [

R

1=--=

500

o10 metros

10.000 mm.0= = 20

500mm.

Con esta medida trazaremos la escala grafica:

-10 o 10 20 30 40 50

Nuestro resultado, trasladado a una regia serio:

Contraescala grafica

-10 " oI I

10 20

1 I

30 40 50

[SCALA 1:500 METROS

- 12 -

I

I -

Depart.mento de EXPRE$ION GRAFICA Y CARTOGRAFIA ESCALAS

D D 10.000 mm.E =- ; E =--= D= =40 mm.

R 250 10 metros 250

Con esta medida trazoremos 10 escalo grafica:

t 40 ! 7 t 40

1-10 0 10 20

i I

-10 0 5 10 15 20

ESCALA 1:250 METROS

0E =- ; E =--=

00=

10.000 mm. = 33,33 mm.R 300 10 metros 300

Con esto medido trozoremos 10 escolo grafico:

t 33.33 =1°

33.33 ~I~33.33 j0 10 20

I i I I

-10 0 5 10 15 20

ESCALA 1 :300 METROS

Comparondo el resultado con los escalTmetros, comprobamos queestos miden en metros.

- 13 -

Departamento de EXPRESION GRAFICA Y 'CARTOGRAFiA ESCAL\S

10.- Realizar la eseala grcifiea eorrespondiente a la Eseala 84:648 e indiear en que unidades estaremos midiendo.

Cuando nos proponemos la realizacion de una eseala grafiea eomo esta, en la que una magnitud, el 84, se puede representar facilmente en milimetros, y la otra, e I 684, se sale normalmente del papel, podemos emplear rruiltiplos de estas eantidades. Hay que te ner presente que las operaciones que realicemos atectaran a la eseala grafiea que pr etendemos conseguir. Si tenemos alguna duda, podemos realizar una cornprobaclon analitica d el resultado final.

En el problema hem os dividido el 684 par 10 Y 10 hemos multiplieado por 2. Lasmedidas reales vend ran divididas por 5. Par consiguiente, 20 milimetros represen taran 100 milimetros reales, 40 mm. seran 200, etc ...

Con estas prernisas, dibujamos la eseala grafiea como sigue:

Recto de medidos reoles.

84 ~~

Recto sobre los que tendremos las medidas del dibujo.

En forma de regia ser i a:

I I

-10 o 10 20 30 40 50 60

[SCALA 84:648 CMS.

Departamento <Ie EXPRESION GRA~ICA y CARTOG~iA ESCALAS

- 14 -

D

11.- Construir la escala grafica de la Escala 12,75: 47175 can las unidades que convengan.

De la misma manera que en el problema anterior, tenemos una citra demasiado pequefla para trabajar can ella comodarnente que es el 12,75. La multiplicamos por 10 Y sabemos que las medidas del dibujo vendran multiplicadas por esa cantidad. La ci fra de la realidad es 47175. Dividimos par 1000 Y multiplicamos por 2. Las medidas vendran multlpicadas par 500. De este modo, 20 mm. seran 10000 milimetros en la semirect a de las medidas reales, 40 mm. representaran 20000 mm. etc. Procediendo asi y realizando lacornprobacion analitica previa, tenemos:

12,75 1 1E= = =47175 47175 3700

12,75

E= - E = 1 =

D D=

100.000 mm.= 27,02 mm.

R 3700 100 mts. 3700

Grdf ico mente 10 resolverTamos asT:Semirrecta de medidas reales.

27,02

727,5

400.000 mm.Semirrecta delas medidas deldibujo. x 10

En forma de regia serTa:

-100 0 100 200 300

ESCALA 12,75:47175 Metros.

ES('.\L\~Depanamenlo <Ie EXPRESION GAAFICA Y CARTOGRAFIA

12.- Supongamos un segmento de 84 milimetros de longitud. Averiguar, con ayuda del escalimetro. que longitud real representa segun las siguientes escalas: 1:100; 1:200; 1:250; 1:300; 1:400 Y1:500 . Comprobar analiticamente el resultado de las escalas 1:250 y 1:400.

8,4 mts

1"1 I I I III I1111I 11111II 'II II "1' iill I I "1' IlIpllll I "11' I iiI' I '11" lil" I 11" I 'I' I I 'II I I I I" I I I' I I I Io 1

ESCALA 1: 100

2 3 4 5 6 7 8 9 10

METROS

16,8 mts.

I" I I I 1111I '1111'11' I 1111111111I '"1"'11' Illp II 'I I IIlp I lip I ''1'' lipl I '1"I 11" I '1"1 Ipll Ipll I Io

ESCALA 1 :200

5 10 15 20

METROS

21 mts.

1'"1 I lip I II' I I II"I'"P Ilpl I 1"1 I iill'lil" '1"1 pllp "1' I Ip II 1"11 I lip I '1'"1"' IIII Plip I I I0 5 10 15 20 25

ESCALA 1:250 METROS

Comprobaci6n:

E =_0_. [ = _1_= 84 mm. R =

R ' 250 R250 x 84 mm. = 21 mts.

25,2 mts.

I I Ii II I I I I II I I Ii I I I I II I I I I Ii I Ii I I I I I I I I I II I I II I I I I I I I I I II I I I Ii I I II I I I I I I I I I Io

[SCALA 1:30010 20 30

METROS

33,6 mts.

I" I I I1111I I II 11111111I iii III I I I "11111111Ilip II 'I' I lip III II I ''1 I I "11' I 'I' I I Ipll II III II III Ipll I Io

ESCALA 1 :400

10 20 30 40

METROS

Comprobaci6n:_ 0 . _ 1 _ 84 mm.

E---, E--------R 400 R R 400 x 84 mm. = 33,6 mts.

42 mts.

1"111'"' III II I 11111II 'II III II11111lilil' Ilip 111111lip II 'I' I II I II lip I I 'I" I '1" I Ifill 'I I I 1111i1 I Io

ESCALA 1:500

10 20 30 40 50

METROS

Departamento de EXPRESION GAAFICA Y CARTOGRAFiA [SCALAS

3

0

2

13.- En una oficina tecrnca se trabaja con un plano a escala 1 :2.000. Se sabe que una obra tiene

72 metros de longitud. Se hace una fotocopia en una rnaquina y la representacion de la misma obra

resulta medir 4 miHmetros menos que en el original. Averiguar la nueva escala del plano en la

fotocopia.

Tendremos que averiguar 10 longitud de Ie obra en el plano original.Para ello, aplicando 10 definicion de escala, tendremos que:

o 1 D 72.000 mm.E=--;E= --- = ------------- ;

D=------36 mm.

R 2000 72.000 mm. 2.000

Aplicondo de nuevo 10 formula de escala:

E = -- D = ~--------

mm. = -----------

R 72.000 mm. 72.000 mm.

32 mm.

2250 E =2250

14.- Supongamos que tenemos un croquis de un edificio, acotado en metros. Realizamos el plano

correspondiente con un ordenador, utilizando una aplicacion que dibuja directamente en milimetros

sobre la pantalla. Esto supone que hem os dibujado en el ordenador un milimetro por cada metro

real. En el momento de trazar el plano con un trazador (plotter) el ordenador formula la siguiente cuestion: ~ unidades de dibujo = milimetros de trazado ? ~ Con que escala tendremos que

responder a esta pregunta si queremos que el resultado sea un plano a escala 1 :50? (Las

unidades de dibujo hacen referencia a las del dibujo hecho en el ordenador)

En realidad tendriamos un problema de escalas en el que el objeto real seria el dibujo hecho

con el ordenador y el dibujo, aquel que nosotros queremos hacer con el trazador. A partir de este

supuesto tenemos:

Poro una mismo medido real, en el ordenador tendrf crnos:

E _-- , E =1

=~ o, = R

R 1000 R

Y en el trazodor:

_-D- = ::::- o =

1000

RE E

D2

R 50 R 50

La pregunto del ordenodor equivole a 10 relaci6n:

por co do mil'imetro que se ho dibujcdo en el ordenodor.

Y sustituyendo:

ml'imetros que va a trazor el plotter

0,

E =--R=

0,::::

1000 50::::

.s, O2 1 1000

R 50

Luego 10 respuesta correcta serio 50 :::1:000o 10 que es 10 mismo 1 :::: 20 .

E = 50

1000

- 17 -

[lepanamen'o de EXPRESION GRAFICA Y CARTOGRAFiA FSC.·\LAS

15.- Tenemos un plano de situacion de una parcela a la Escala 1:5000. Calcular la superficie real de la parcela sabiendo que en el plano tiene una superficie de 521 milimetros cuadrados.

Aplicando las conclusiones a los que hemos Ilegado en el opartado 7 para 10 aplicaci6n de las escalas a superficies. tendremos:Si Ilomomos SR a la superficie real y So a 10 superficie del dibujo:

So( 1 )

Como 10 Escala es 1 :5000 y So vole 521 mm2

,

sustituyendo los valores en 10 expresi6n (1). tendremos que:

521 mm2 1= -----

SR (5000)2

y como el producto de medias as igual 01 producta de extremos:

Departamento de EXPRESION GRAFICA Y CARTOGRAF'iA ESC\L..\"

- 18 -

R

3

16.- Suponiendo que la figura representa las vistas de un deposito realizado en horrniqon, y que el plano esta a Escala 1: 150, calcular el volumen de hormiqon necesario para lIevar a cabo la obra.

L.=75

Este problema se pedro resolverde dos modos distintos:

Metodo 1:

Tomamos las medidas del dibujoy hallamos las medidas reales par media de 10 escolo.A partir de las medidas reales colculamos el volumen.

Metodo 2:

1l1~1"")1

II iN:

~~--------------------------_,A partir de las medidas del dibuja colculamos el volumen del dibuja. Le aplicomos la escala a dicho volumen por medio de la expresi6n deducida en el apartado 7 y obtenemos el volumen real.

II

oll1II".,

....J

,

o"It

" ID! i

..JI

iMETODO 1

E _- ~.,

R - L,R,=----

85 mm.

L--!---L --~

'J,---R, E 1

150

R, = 85 x 150 = 12.750 mm.

_ L,=85 _

y del mismo modo:

R2 = 5250 mm. R3 = 7500 mm. R. = 11250 mm. R5 = 3750 mm. R6 = 6000 mm.

Como el volumen que buscamos es V R =(R, X Rz x R3) - (R .. x R 5X R

6)

METODO 2 :

Ahora el volumen que buscamos es VD =(L, x Lzx L3) - (L .. x L5x L6

)

Vo =(85 x 35 x 50) - (75 x 25 x 40) = 73750 rnrn '

Si lIamamos VR 01 volumen real y VD 01 volumen colculado a partir del dibujo:

(E)3 Vo

C~O )' 73.750 mm 1

V = =

R VR (150)3

VR (150)3 x 73.750 mm3 VR = 3,375 X 10

6 x 73,750 x 10

3 mm3

VR = 248,91 x 109 mm 3

V = 248,91 m3

DSD8namento oa EXPRESION GRAFICA Y· CARTOGRAFIA FSCAL.·\~

- 19 -

17.- Calcular el volumen de agua almacenado en un embalse entre las cotas 200 y 202. con los siguientes datos:Escala del mapa 1:2000. La superficie de la lamina de agua a cota 200 es de 452 milimetros cuadrados. La superficie de la lamina de agua a cota 202 es de 498 mm2.

Este problema se pedro resolver de dos maneras diferentes:

Metodo 1:

Calculamos la superficie media entre las dos cotas y par mediode 10 expresi6n del apartado 7 Ie aplicamos la escala y tenemos dicha superficie en su valor real. Despues la multiplicomos por la altura del desnivel, es decir 2 metros, y tenemos el volumen real.

Metodo 2:

En primer luger obtenemos la superficie media. A continuoci6n hallomosel valor del desnivel a escela. Con estos dos velores podemos celculorel volumen en el dibujo. Aplicando 10 f6rmula calculado en el apartado 7para el ctilculo de volurnanes a escala, determinomos el volumen real.

M'todo 1:

Superficie media452 + 498

=2

mm2 = 475 mm.2

2

(E)2 = So

c~oo)475 mm2

SR SR (2000) 2

y como el producto de medios es igual 01 producto de extremos:

2(2000) x 475 mm 2

Como el volar del desnivel es igual a 2 metros:

1.900 x 2 m 3

M'todo 2:

EI valor del desnivel a 10 escola 1 :2000 sera:

oE _-- 0

RE x R o --- 2000 mm.

2000mm.

Como el valor de 10 superficie media es de 475 mm2

EI valor del volumen en el dibujo sera: V 0 = 475 mm~ x 1 mm = 475 mm 3

Aplicando 10 expresi6n de las escalas pera volumenes:

----=

3.800 m 3