UNEXPO MAESTRA DE MATEMTICAS APLICADAS. CATEDRA: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. PROFESOR: YOEL GUTIRREZ ALUMNO: JULIO OTERO.

TAREA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.

1. Sean 1 y 2 dos soluciones de la ecuacin diferencial ordinaria:

() + () + () = 0

En un intervalo abierto , donde , , son continas donde () 0.

a. Sea = [1, 2]. Demuestre que:

()

= (1)[()2

] (2)[()1]

Posteriormente, sustituya 2 y 1

en la E.D.O. Para mostrar que:

()

= ()()

b. Resuelva esta ecuacin de primer orden para deducir la frmula de Abel:

() = exp ( ()

())

Donde es una constante.

c. Por qu la frmula de Abel implica que el (1, 2) es cero o diferente de cero

en todo el intervalo?

Solucin 1: Sea () = [1, 2] por definicin tenemos que:

() = |1 21

2 | = 12

1 2

Entonces:

= 1

2 + 12

12 1

2

= 12

12

Se sigue que:

()

= ()12

()12

()

= (1)[()2

] (2)[()1]

Que era lo que queramos probar.

Reemplazamos 1, 2 en la ecuacin diferencial para probar el apartado .

()1 + ()1

+ ()1 = 0 ()1 = ()1

()1 ()2

+ ()2 + ()2 = 0 ()2

= ()2 ()2

Reemplazando obtenemos:

()

= (1)[()2

()2] (2)[()1 ()1]

()

= ()12

()12 ()21 ()21

()

= ()12

()12 + ()21 + ()21

()

= ()[12

21]

()

= ()()

Que era lo que se quera probar.

Para el apartado resolvemos la ecuacin diferencial como una separable:

=

()

()

Integramos y obtenemos:

ln = ()

()

0

+

Despejamos:

() =

()()

0 , =

Hallamos , ajustando a las condiciones iniciales en 0

(0) = 0 = (0)

De donde obtenemos:

() = (0)

()()

0

Como la funcin exponencial no se anula para ningn en el intervalo, podemos garantizar que el

Wronskiano ser no nulo, siempre que las soluciones 1, 2 sean linealmente independientes. Si el

Wronskiano es nulo para algn 0 en el intervalo, entonces = 0 lo que implica que es nulo

independiente de cualquier en el intervalo.

2. Es claro que sin , cos y sin , sin cos , son dos pares de soluciones linealmente

independientes de la ecuacin:

+ = 0

As, pues si 1, 2 son soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial

homognea:

+ () + () = 0

Vemos que no vienen determinadas unvocamente por la ecuacin.

a. Demostrar que:

() =21

12

[1, 2], () =

1 2

2 1

[1, 2]

De manera que la ecuacin si est determinada unvocamente por cualquier par de

soluciones linealmente independientes.

b. Usar () para construir la ecuacin + = 0 partiendo de las soluciones

fundamentales anteriormente dadas.

c. Usar () para reconstruir la ecuacin diferencial 4 + 4 = 0 a partir de las

soluciones linealmente independientes 2 , 2 .

Solucin 2a: partiendo de la hiptesis conocemos que:

{1

+ ()1 + ()1 = 0

2 + ()2

+ ()2 = 0

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones en dos incgnitas, las incgnitas son las funciones

() ():

[1 12

2] [

()

()] = [

1

2]

Utilizando el mtodo de Cramer para sistemas de ecuaciones:

= |1

12

2| = 1

2 2 1 = |

1 21

2 | = [1, 2]

En base al hecho de que 1, 2 son soluciones linealmente independientes de la ecuacin

diferencial homognea, podemos asegurar que [1, 2] 0, por ende el sistema de

ecuaciones anterior tiene solucin nica, probando el hecho de que las soluciones linealmente

independientes determinan una nica ecuacin diferencial.

Resolviendo para obtener () ():

() =

|1 12

2|

[1, 2] =

12 21

[1, 2]=

21 12

[1, 2]

() =

|1 1

2 2

|

[1, 2] =

1 2

12

[1, 2]

Que era lo que queramos demostrar.

Solucin 2b: Partiendo del conjunto fundamental de soluciones {sin , cos } obtenemos:

() =21

12

[1, 2] =

(cos )(sin ) (sin )(cos )

|sin cos cos sin

|

() =(cos )( sin ) (sin )( cos )

1=

0

1= 0

() =1

2 1

2

[1, 2]=

(sin )(cos ) (sin )(cos )

1

() =(cos )( cos ) ( sin )( sin )

1= 1

De donde obtenemos la ecuacin diferencial + = 0.

Partiendo del conjunto fundamental de soluciones {sin , sin cos } obtenemos:

() =21

12

[1, 2] =

(sin cos )(sin ) (sin )(sin cos )

|sin sin cos cos cos + sin

|

() =(sin cos )( sin ) (sin )( sin + cos )

sin cos + sin2 sin cos + cos2

() = sin2 + sin cos + sin2 sin cos

1= 0

() =2

1 1

2

[1, 2]=

(sin cos )(sin ) (sin )(sin cos )

1

() = [(cos + sin )( sin ) (cos )( sin + cos )] () = 1

De donde obtenemos la ecuacin diferencial + = 0.

Solucin 2c: Partiendo del conjunto fundamental de soluciones {2 , 2}:

() =21

12

[1, 2] =

(2)(2) (2)(2)

|2 2

22 2(2 + 1)|

() =(2)(42) (2)4( + 1)2

4= 4 4 4 = 4

() =1

2 2

1

[1, 2]=

(2)(2) (2)(2)

4

() =(22)4( + 1)2 (2 + 1)2(42)

4= 8 + 8 8 4 = 4

De donde obtenemos la ecuacin diferencial 4 + 4 = 0.

3. Considerar la ecuacin diferencial:

+ () + () = 0

a. Probar que la aplicacin de la sustitucin = a la ecuacin homognea anterior

es posible obtener una ecuacin homognea lineal de segundo en la variable

donde no aparece . Halla y la ecuacin de en trminos de () y ().

b. Usar el mtodo anteriormente descrito para obtener la solucin a la ecuacin

diferencial:

+ 2 + (1 + 2) = 0

Solucin 3a: Realizando la sustitucin = , obtenemos lo siguiente:

= + , = + 2 +

Reemplazamos en la ecuacin diferencial homognea:

+ () + () = 0 + 2 + + ()( + ) + () = 0

Reordenando los trminos en funcin de obtenemos:

() + [2 + ()] + [ + () + ()] = 0, (1)

Como el trmino debe ser idntico a cero, se sigue que:

2 + () = 0

Esto es una ecuacin diferencial lineal de primer orden separable en las variables y , Resolvemos

y obtenemos:

2

+ () = 0

=

1

2() ln =

1

2 () =

12

()

Necesitamos obtener y para reemplazarlos en la ecuacin diferencial (1):

= 1

2()

12

() = 1

2()

= 1

2[() + ()] =

1

2[()

1

22()] = [

1

42()

1

2()]

Reemplazamos en la ecuacin diferencial (1) y obtenemos:

+ (0) + {[1

42()

1

2()] + () (

1

2()) + ()} = 0

Como 0 obtenemos:

+ [1

42()

1

2() + ()] = 0

Con lo que finaliza el ejercicio.

Solucin 3b: dada la ecuacin diferencial + 2 + (1 + 2) = 0, tenemos que:

() = 2, () = 2 + 1

Utilizando el mtodo anterior obtenemos :

= 12

() = 12

2 = 2

2

Resolvemos la ecuacin diferencial en trminos de :

+ [1

4(2)2

1

2(2) + (2 + 1)] = 0

= 0 = 1 + 2

La solucin complementaria a la Ecuacin diferencial es:

= = (1 + 2)

2

2

4. Considere el problema de valores en la frontera:

+ = 0, (0) = 0, (

2) = 0

Analice: es posible determinar los valores de tenga ) soluciones triviales ) soluciones

no triviales?

Solucin 4: Antes de analizar el apartado ) y ) consideremos la forma de las soluciones de la

ecuacin diferencial general, dependiendo de la naturaleza de , tenemos que:

Si < 0, la solucin complementaria de la ecuacin diferencial tiene la forma:

= 1 + 2

Planteamos el problema de valor de la frontera para esta solucin y obtenemos:

{1 + 2 = 0

1(

2

) + 2(

2

) = 0

Un sistema de ecuaciones en las dos incgnitas 1 , 2, con determinante no nulo

= (2

) (2

) = 1

2sinh [ (

2)] 0

Lo que implica que el sistema tiene solucin nica, en consecuencia la nica solucin al problema

de valor de la frontera son 1 = 2 = 0, es decir,

= 0

De manera, muy similar procedemos para cuando = 0, se sigue que:

Si = 0, la solucin complementaria de la ecuacin diferencial tiene la forma:

= 1 + 2

Planteamos el problema de valor de la frontera para esta solucin y obtenemos:

{1 = 0

1 + 2 (

2) = 0 2 = 0

En consecuencia la nica solucin al problema de valor de la frontera es 1 = 2 = 0, es decir,

= 0

Si > 0, la solucin complementaria de la ecuacin diferencial tiene la forma:

= 1 cos() + +2 sin()

Para este caso analizaremos el comportamiento de las funciones seno y coseno, tenemos que se

debe cumplir que:

(0) = 0, (

2) = 0

Puesto que cos(0) = 1, no tomaremos en cuenta para este anlisis a cos(), pues sera muy

complicado hacer una traslacin de cos() para satisfacer el hecho de que (0) = 0. Prestamos

mayor inters a la parte del sin(), pues esta satisface el hecho anterior.

Utilizando el factor , modificamos el periodo de la funcin sin(), de manera tal que se cumpla

que (

2) = 0.

sin [ (

2)] = 0 = 2 = 42 , +

Entonces el problema de valor inicial:

{1 cos[(0)] + 2 sin[(0)] = 0

1 cos [ (

2)] + 2 sin [ (

2)] = 0 2 = 0

Escogiendo = 42, + y simplificando obtenemos:

{1 + 2(0) = 0

1(1) + 2(0) = 0

Lo que nos dice que el sistema tiene una variable libre, en este caso 2, con 1 = 0. La solucin al

sistema de ecuaciones es:

1 = 0, 2 = ,

La solucin al problema de valor en la frontera es:

= sin() , , = 42 , +

Por otro lado, si > 0, 42, +, el sistema se reduce a:

{1 + 2(0) = 0

1 cos [ (

2)] + 2 sin [ (

2)] = 0

Como cos [ (

2)] 0, sin [ (

2)] 0 podemos escribir:

{1 + 2(0) = 0

11 + 22 = 0, 1 2 0

En consecuencia = 2 1 0. Y por ende, el sistema tiene solucin nica trivial.

En resumen:

Si 0 el problema de valor en la frontera tiene solucin trivial.

Si > 0, = 42, + el problema de valor en la frontera tiene infinitas soluciones no triviales.

Si > 0, 42, + el problema de valor en la frontera tiene solucin trivial.

5. Resuelva cada dado en el que la funcin de entrada () es discontinua:

+ 4 = (), (0) = 1, (0) = 2, () = {sin 0

2

0 >

2

Solucin 5: Dada que la ecuacin diferencial es lineal de coeficientes constantes, reducimos a la

ecuacin homognea asociada:

+ 4 = 0

Utilizamos el mtodo de la ecuacin auxiliar para obtener la solucin a la ecuacin diferencial:

2 + 4 = 0 = 2

La solucin complementaria de la ecuacin diferencial tendr entonces la forma:

= {1 cos(2) + 2 sin(2) 0

2

3 cos(2) + 4 sin(2) >

2

Obtenemos la solucin particular asociada al intervalo 0

2, usamos el mtodo de los

coeficientes indeterminados para obtener una solucin particular de la forma:

= cos + sin

Obtenemos ,

:

= sin + cos

= cos cos

Reemplazamos en la ecuacin diferencial no homognea + 4 = sin a y obtenemos:

+ 4 = sin

( cos cos ) + 4( cos + sin ) = sin 3 cos + 3 sin = sin

De donde obtenemos:

= 0, =1

3

Tenemos entonces que la solucin a la ecuacin diferencial completa es:

= + = {1 cos(2) + 2 sin(2) +

1

3sin 0

2

3 cos(2) + 4 sin(2) >

2

Como las condiciones iniciales estn asociadas al intervalo 0

2, utilizamos la parte de la

solucin:

= 1 cos(2) + 2 sin(2) +1

3sin

Derivamos para obtener

= 21 sin(2) + 22 cos(2) +1

3cos

Resolvemos el P.V.I. con las condiciones (0) = 1, (0) = 2

{(0) = 1 cos(0) + 2 sin(0) +

1

3sin(0)

(0) = 21 sin(0) + 22 cos(0) +1

3cos(0)

Simplificamos:

{1 = 1

22 =5

3 2 =

5

6

La solucin al problema de valor inicial es entonces:

= {cos(2) +

5

6sin(2) +

1

3sin 0

2

3 cos(2) + 4 sin(2) >

2

Necesitamos una solucin continua para el problema de valor inicial, entonces utilizando la

definicin de lmites laterales, escogemos 3 y 4 de modo que:

lim

2

() = lim

2

+()

lim

2

() = lim

2

+()

De la primera igualdad obtenemos:

lim

2

{cos(2) +5

6sin(2) +

1

3sin } = lim

2

+{3 cos(2) + 4 sin(2)}

1 +1

3= 3 3 =

2

3

De la segunda igualdad obtenemos:

lim

2

{2 sin(2) +5

3cos(2) +

1

3cos } = lim

2

+{23 sin(2) + 24 cos(2)}

5

3= 24 4 =

5

6

La solucin continua al problema de valor inicial es:

= {cos(2) +

5

6sin(2) +

1

3sin 0

22

3cos(2)

5

6sin(2) >

2

6. Demuestre que la solucin al problema de valor inicial

2

2+ 2 = 0 cos() , (0) = 0,

(0) = 0

Es

() =0

2 2(cos cos )

Evalu

lim

02 2

(cos cos )

Solucin 6: como es una constante real, reducimos a la ecuacin homognea para usar el mtodo

de la ecuacin auxiliar:

2

2+ 2 = 0

Reducimos a la ecuacin auxiliar:

2 + 2 = 0 =

La solucin complementaria de la ecuacin diferencial es:

= 1 cos() + 2 sin()

Utilizamos el mtodo de los coeficientes indeterminados, hallamos una solucin particular de la

forma:

= cos() + sin()

Derivamos para obtener ,

:

= sin() + cos()

= 2 cos() 2 sin()

Reemplazamos en la ecuacin diferencial no homognea, para obtener los coeficientes y :

22

+ 2 = 0 cos()

= 2 cos() 2 sin() + 2[ cos() + sin()] = 0 cos() (2 2) cos() + (2 2) sin() = 0 cos()

De donde obtenemos:

(2 2) = 0, (2 2) = 0 cos()

= 0, =0

2 2

La solucin particular a la ecuacin diferencial es:

=0

2 2cos()

La solucin completa a la ecuacin diferencial es:

() = + = 1 cos() + 2 sin() +0

2 2cos()

Ajustamos a las condiciones iniciales (0) = 0, (0) = 0 para obtener la solucin al problema de

valor inicial:

(0) = 1 +0

2 2 0 = 1 +

02 2

1 =0

2 2

Derivamos para obtener ():

() = 1 sin() + 2 cos() 0

2 2sin()

Ajustamos a las condiciones iniciales:

(0) = 2 0 = 2 2 = 0

La solucin al problema de valor inicial es entonces:

() =0

2 2cos() +

02 2

cos()

() =0

2 2[cos() cos()]

Aplicamos el lmite:

lim

() = lim

02 2

(cos cos )

El lmite es una forma indeterminada 0

0. Usando la Regla de LHopital obtenemos:

lim

() = 0 lim

sin

2=

0 sin()

2

Con lo que finaliza el ejercicio.

7. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante el mtodo de eliminacin

sistemtica:

{

= + , (1)

= , (2)

Solucin 7: Derivamos la ecuacin diferencial (2) para obtener:

2

2=

1

=

2

2+ 1, (3)

Reemplazamos la ecuacin (3) en (1):

2

2+ 1 = +

2

2+ = 1, (4)

La ecuacin diferencial (4) es de segundo orden y lineal en la variable , su solucin complementaria

es:

= 1 cos + 2 sin Y su solucin particular es:

= 1

Entonces la solucin completa a la ecuacin es:

= 1 cos + 2 sin + 1, (5)

Reemplazamos a (5) en (2) para obtener a , esto es:

= 1 sin + 2 cos + 1

Obtenemos entonces que:

1 sin + 2 cos + 1 = = 1 sin + 2 cos + + 1

La solucin al sistema de ecuaciones diferenciales es entonces:

{() = 1 sin + 2 cos + + 1() = 1 cos + 2 sin + 1

8. Demuestre que la ecuacin diferencial:

22

2+

+ = 0

Llamada la ecuacin diferencial de Euler, se puede transformar en una ecuacin diferencial lineal

homognea con coeficientes constantes mediante la transformacin = .

Solucin 8: Realizamos el cambio a coordenadas paramtricas:

: { = ()

= , > 0

Obtenemos

:

=

=

=

=

=

De manera anloga, obtenemos 2

2:

2

2=

(

)

=

(

)

= (

+

2

2) = 2 (

2

2

)

22

2=

2

2

2

2

2=

2

2

Reemplazamos en la ecuacin diferencial original y obtenemos:

22

2+

+ = 0

(2

2

) + (

) + () = 0

2

2+ ( )

+ () = 0

Que era lo que se quera demostrar.