Universidad de GuanajuatoDICIS

Maestría en Ingeniería Mecánica

Análisis por elemento finitoProfesor:Dr. Elías Ledesma OrozcoAlumno:Vázquez Toledo Moisés

FORMULACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BARRA.

Consideramos una barra prismática uniforme elástica de longitud L (ver figura 01), con modulo de elasticidad E, y area de la sección transversal A, Un nodo está localizado en cada extremo. Para este caso nosotros solamente permitimos desplazamientos axiales. Primero hacemos finitos los desplazamientos de un nodo mientras que en el otro el desplazamiento es cero, después se hace el mismo procedimiento con el otro nodo. En cada caso se calcula la fuerza que necesita ser aplicad en los nodos para mantener el estado de desplazamiento. Estas fuerzas son fácilmente calculadas de la definición elemental para la deformación de una barra δ=FL /AE.

Para los respectivos casos, con δ=u1 y entonces δ=u2. (Ver figura 01).

F11=F21=AEL

u1 y F12=F22=AEL

u2

Donde F ij es la fuerza del nodo i (i=1 ,2) asociados con el desplazamiento del nodo j ( j=1 ,2). Después, estos resultados son escritos en formato matricial, permitiendo a ambos nodos desplazarse simultáneamente, y usando la convención de signos donde las fuerzas y los desplazamientos son positivos en la misma dirección. Para este caso positivo hacia la derecha. Así.

[ F11 −F12

−F21 F22]{11}={F1F2}ó AE

L [ 1 −1−1 1 ]{u1u2}={F1F2

}Donde F1 y F2 son las fuerzas resultantes aplicadas a la barra en los nodos 1 y 2, F1=F11−F12 y F2=−F21+F22. De manera simbólica podemos escribir la ecuación

anterior como kd=r, donde d= [u1 u2 ]T para este elemento.

Figura 01. Fuerzas en los nodos asociadas con los desplazamientos. (a) Nodo 1, desplazamiento unitario u1. (b) Nodo 2,

desplazamiento unitario u2.

El método anterior puede producir una matriz de rigidez solo para elementos simples, donde las definiciones de mecánica de materiales nos dan las relaciones entre los desplazamientos y cargas. Para más elementos se necesita plantear otro procedimiento. Este procedimiento puede ser definido si decimos que el trabajo hecho por los nodos de carga para generar nodos de desplazamiento, y que el trabajo es almacenado como energía de deformación.

k=∫BT EB dV 01

Donde B es la matriz de deformación-desplazamiento, E es la matriz constitutiva, y dV es un incremento del volúmen del elemento. Para obtener B para el elemento barra comenzamos por escribir una expresión para el desplazamiento axial u de un punto arbitrario sobre el elemento barra. Como se muestra en la figura 2 realizamos una interpolación lineal de u entre los nodos u1 y u2.

u=[ L−xL

xL ]{u1u2}óu=Nd

Donde N es la matriz de la función de forma y d es el vector de los grados de libertad de los elementos en el nodo. Cada función de forma N i describe como u

varía con respecto a x cuando ui es unitario mientras que los otros son cero. Por

definición la deformación axial ε x es la razón de cambio del desplazamiento.

ε x=dudx

=[ ddx

N ]d=Bd donde B=[−1L 1L ]

Finalmente, para este problema la matriz E es simplemente el modulo de elasticidad y dV es A dx.

Entonces reescribiendo la definición para k .

k=∫0

L

{−1/L1/L }E[− 1L 1L ]A dx= AE

L [ 1 −1−1 1 ]

La cual concuerda con la definición anterior de k .

Figura 02. (a,b) Función de forma N1 y N2 de un elemento barra. (c) Interpolación lineal de un desplazamiento axial entre

el nodo 1 y 2

FORMULACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO VIGA.

Comenzamos con un elemento viga plana que puede resistir solo flexión en un plano y los esfuerzos transversales por corte. Este elemento requiere solo cuatro grados de libertad y lo llamaremos elemento viga plana simple. Un elemento viga plano que también resista fuerzas axiales requiere dos grados de libertad adicionales.

La figura 3a muestra una viga plana simple. El elemento es prismático con modulo de elasticidad E y momento de inercia I de la sección transversal. La línea de centros de la viga tiene desplazamiento lateral v=v (x ). De acuerdo con la teoría de vigas elemental v=v (x ) es cúbica en x para una viga prismática uniforme cargada solo en los extremos, en este caso por las fuerzas en los nodos y los desplazamientos figura 3b.

Los grados de libertad del nodo consiste en la traslación v1 y v2 y las rotaciones θ z1

y θ z2 alrededor del eje z. Aquí ignoramos la deformación transversal por corte.

La matriz de rigidez k definida anteriormente puede ser construida columna por columna. Para obtener los términos de una columna nosotros necesitamos resolver un problema de viga estáticamente indeterminado. Para la columna 1 de k ver figura 3c, aquí se muestra las cargas y desplazamientos que se necesitan tener para un estado de deformación en el cual los primeros grados de libertad tienen un valor unitario y los otros son cero. La solución para la primera columna de k , son utilizadas las siguientes condiciones.

v1=1 En el nodo 1 1=k11 L3

3 EI−

k21L2

2 EI

θ z1=0 En el nodo 1 0=−k11 L2

2EI+

k21LEI

∑ F y=0 0=k11+k31

∑ M (nodo2)=0 0=k21+k 41−k11L

Similares condiciones se obtienen cuando se analizan los otros estados de deformación. El resultado de este proceso es la matriz de rigidez del elemento.

k=[ 12 EI /L3 6 EI /L2

6 EI /L2 4 EI /L−12EI /L3 6 EI /L2

−6 EI /L2 2EI /L−12 EI /L3 −6 EI /L2

6 EI /L2 2 EI /L12 EI /L3 −6 EI /L2

−6 EI /L2 2EI /L]

Para desarrollar un procedimiento formal para un elemento viga simple, se parte de la definición dada por la ecuación 01, la cual tiene una forma especial aplicable a elementos vigas.

k=∫0

L

BT EI B dx02

Donde B es ahora la matriz de curvatura permisible d2 v /d x2 del elemento viga. En

términos de coordenadas generalizadas β i el desplazamiento lateral v=v (x ) de un elemento viga plano es la siguiente definición:

v=β1+β2 x+ β3 x2+β4 x3

Donde β i puede estar indicado en términos de los grados de libertad del nodo.

Una forma alternativa de presentar la ecuación anterior es con la función de forma N i para interpolar el desplazamiento lateral v=v (x ) de la viga de sus grados de

libertad nodales d.

v=[ N1 N2 N3 N4 ]{ v1θ z1

v2θ z2

}=Nd

La función de forma N i está definida en la figura 3. Esta también puede ser

encontrada por medio de la formulas de deflexión para vigas, ya que cada N i establece la forma deflexionada asociada con una rotación o traslación en los extremos. La curvatura del elemento viga es

d2 vd x2

=[ d2

d x2N ]d=Bd

Donde la matriz de deformación-desplazamiento B es el vector de la fila 1 de 4.

B=[−6L2 + 12x

L3−4L

+ 6 x

L26

L2−12x

L34L+ 6 x

L2 ]Después sustituyendo en la ecuación 02 y realizando las operaciones llegamos al mismo resultado presentado anteriormente.

FORMULACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO VIGA 2D.

Un elemento viga 2D, es una combinación de un elemento barra y un elemento viga plano. Este resiste deformación axial, fuerzas de corte transversales, y flexión en un plano. Ahora cambiando ambas soluciones la matriz de rigidez de un elemento viga 2D.

k=[AE /L00

012 EI /L3

6 E I /L2

06 EI /L2

4 EI /L

−AE /L00

0−12EI / L3

−6 EI / L2

06 EI /L2

2 EI /L−AE / L00

0−12 EI /L3

6 EI /L2

0−6 EI /L2

2 EI /L

AE / L00

012 EI /L3

−6 EI /L2

0−6 EI /L2

4 EI /L]

Figura 03. (a) Elemento viga plana simple y sus GDL en los nodos. (b) Cargas en los nodos asociada con los GDL. (c-f)Formas de deflexión y función de forma asociada con la activación de cada GDL.

FORMULACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BARRA 3D.

Puede verse como una generalización del elemento bidimensional visto en clase. Los sistemas coordenados local y global se presentan en la figura 04. El sistema coordenado local es x ´ , y está alineado a lo largo del elemento. El vector de desplazamiento nodal en coordenadas locales esta dado por.

q ´=[q ´ 1 q ´ 2 ]T

El vector de desplazamiento nodal en coordenada global es.

q=[q1 q2 q3 q4 q5 q6 ]T

Con referencia a la figura 04, encontramos la transformación entre las coordenadas local y global.

q ´=Lq

Donde la matriz de transformación L está definida por los cosenos directores, como se aprecia.

L=[ l m n 0 0 00 0 0 l m n]

Como se menciono l, m y n son los cosenos directores del eje x ´ local con respecto a los ejes x, y y z globales, respectivamente.

Ahora observando que el elemento armadura es un elemento unidimensional cuando se considera en el sistema coordenado local, entonces considerando la matriz de rigidez del elemento para un elemento armadura en el sistema coordenado local.

k ´=Ee Ae

le[+1 −1−1 +1 ]

El problema ahora es obtener una expresión para la matriz de rigidez del elemento en el sistema coordenado global. Esta la obtenemos de la definición de deformación unitaria en un elemento.

U e=12

q ´ T k ´ q ´

Sustituyendo q ´=Lq en la definición anterior.

U e=12

qT [ LT k ´ L ] q

La energía de deformación en coordenadas globales es.

U e=12

qT kq

Donde k es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales. Igualando ambas energías de deformación, obtenemos.

k=LT k ´ L

Sustituyendo L y k ´, obtenemos

k=[lmn

000

000

lmn] Ee Ae

le[+1 −1−1 +1 ] [ l m n 0 0 0

0 0 0 l m n]

k=[+l2 + lm + ln+lm +m2 +mn+ ln +mn +n2

−l2 −lm −ln−lm −m2 −mn−ln −mn −n2

−l2 −lm −ln−lm −m2 −mn−ln −mn −n2

+l2 +lm + ln+ lm +m2 +mn+ln +mn +n2

]Las definiciones para calcular l, m y n son:

l=x2−x1

le

,m=y2− y1

le

, n=z2−z1

le

Y para la longitud del elemento le esta dada por:

le=√ ( x2−x1 )2+( y2− y1 )2+( z2−z1 )2