Tarea 3Ejercicios resueltos

1. Grafica las dos ecuaciones y encuentra los puntos en los que cadagrafica de intersecta.

(i) y = −x2, y = 2x2 − 1.

(ii) x2 + y2 = 1, (x− 1)2 + y2 = 1.

Solucion.

(i) y = 2x2 − 1 = −x2 ⇒ 3x2 = 1 ⇒ x = 1√3

y y = −13

o x = − 1√3

y y = −13. Por lo tanto A = ( 1√

3,−1

3) y B = (− 1√

3,−1

3) son los

puntos de interseccion.

1

(ii) x2 + y2 = 1 = (x − 1)2 + y2 ⇒ x2 = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1 ⇒0 = −2x + 1 ⇒ x = 1

2. Sustituımos el valor de x y obtenemos

y2 = 1−x2 = 34

o y = ±√32

. Entonces A = (12,√32

) y B = (12,−√32

)son los puntos de interseccion.

2. La distancia de un punto a una lınea. Podemos calcular la dis-tancia de un punto P = (x0, y0) a una lınea L, siguiendo los siguientespasos:

1. Encontrar la ecuacion de la lınea M que pasa por el punto P yes perpendicular a L.

2. Encontrar las coordenandas del punto Q en el que M y L seintersectan.

3. Encontrar la distancia de P a Q.

Usar estos pasos para encontrar la distancia de P a L en cada uno delos siguientes casos:

a) P = (2, 1), L dada por la ecuacion y = x+ 2.

b) P = (4, 6), L dada por la ecuacion 4x+ 3y = 12.

c) P = (a, b), L dada por la ecuacion x = −1.

d) P = (x0, y0), L dada por la ecuacion ax+ by = c.

Solucion.

2

a) 1) L tiene pendiente 1, entonces la recta M que pasa por P =(2, 1) y es perpendicular a L tiene pendiente−1;M esta dadapor la ecuacion y = −x+ 3.

2) En el punto de interseccion Q, tenemos que y = x+2 = −x+3. Entonces 2x = 1 o x = 1

2, por lo que Q tiene coordenadas

(12, 52).

3) La distancia de P a Q es:

d =

√(3

2)2 + (−3

2)2 =

√18

4=

3√

2

2.

b) 1) L tiene pendiente −43, entonces la recta perpendicular M

tiene pendiente 34

y la ecuacion 4y− 3x = 12. Podemos rees-cribir las ecuaciones de las rectas como: L: x + 3

4y = 3, M :

−x+ 43y = 4.

2) Sumando las dos ecuaciones anteriores obtenemos el valor dey: 25

12y = 7 ⇒ y = 84

25. Sustituyendo, obtenemos x = 4

3(8425

)−4 = 12

25por lo que Q = (12

25, 8425

) es el punto de interseccion.

3) La distancia de P a L sera d =√

(4− 1225

)2 + (6− 8425

)2 = 225

.

c) 1) La lınea perpendicular M sera una lınea horizontal con laecuacion y = b.

2) El punto de interseccion de L y M es Q = (−1, b).

3) Entonces la distancia de P a L es d =√

(a+ 1)2 + 02 =|a+ 1|.

d) *Puntos extra por este ejercicio.

1) Si b = 0 y a 6= 0 la distancia de P a L es∣∣ ca− x0

∣∣ como enel inciso anterior. De manera similar, si a = 0 y b 6= 0, ladistancia es

∣∣ cb− y0

∣∣. Si a y b son ambos 6= 0, entonces L tienependiente −a

b, ası su recta perpendicular M tendra pendiente

ba. Entonces las ecuaciones de las rectas seran: L: ax+by = c

y M : −bx+ ay = −bx0 + ay0.

2) Igualando estas ecuaciones obtenemos el punto de intersec-

cion Q = (x, y) con x = ac−b(ay0−bx0)a2+b2

y y = bc+a(ay0−bx0)a2+b2

.

3) La distancia de P a Q es igual a√

(∆x)2 + (∆y)2, donde:

(∆x)2 =

(x0(a

2 + b2)− ac+ aby0 − b2x0a2 + b2

)2

=a2(ax0 + by0 + c)2

(a2 + b2)2,

3

(∆y)2 =

(y0(a

2 + b2)− bc− a2y0 + abx0a2 + b2

)2

=b2(ax0 + by0 + c)2

(a2 + b2)2.

Por lo tanto√

(∆x)2 + (∆y)2 =√

(ax0+by0+c)2

a2+b2= |ax0+by0+c|√

a2+b2

3. Sean A y B los siguientes conjuntos: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}.Definamos la funcion f : A→ B como f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2.

(i) Identificar el dominio de f .

(ii) Identificar el rango de f .

(iii) ¿Cual es la imagen de f?

(iv) ¿La funcion es sobre?

(v) ¿La funcion es uno a uno?

Solucion.

(i) El dominio de f es A.

(ii) El rango de f es B.

(iii) La imagen de f es {1, 2}.(iv) Hay que ver que:

∃b ∈ B : ∀a ∈ A se tiene f(a) 6= b.

Notemos que 5 no es la preimagen de ningun elemento de a, porlo tanto la funcion no es sobre. Otra manera de ver que no essobre, es notando que Rango 6= Imagen

(v) La funcion no es uno a uno ya que 1 es la preimagen de doselementos distintos de A.

4. Encuentre el dominio y la imagen de cada funcion:

4

(i) f(x) = 1 + x2.

(ii) f(x) = 1−√x.

(iii) F (t) = 1√t.

(iv) F (t) = 11+√t.

(v) g(z) =√

4− z2.(vi) g(z) = 1√

4−z2 .

(vii) f(x) = 3x.

(viii) f(x) = sen(2x).

(ix) f(x) = 1cos(x)

.

(x) f(x) = sen(x)x

.

Solucion.

(i) El dominio de f es R; la imagen es [1,∞).

(ii) El dominio de f es [0,∞); la imagen es (−∞, 1].

(iii) El dominio de F es (0,∞); si y esta en la imagen entonces y = 1t

para algun t > 0, por lo que y2 = 1t

y y > 0, y entonces y puedeser cualquier numero real positivo, por lo tanto, la imagen es(0,∞).

(iv) El dominio de F es [0,∞). Si y esta en la imagen entonces y =1

1+√t

para algun t ≥ 0, si t = 0 entonces y = 1 y cuando t seincrementa, y se hace un numero real mas y mas pequeno. Porlo tanto la imagen es (0, 1].

(v) 4− z2 = (2− z)(2 + z) ≥ 0 ⇐⇒ z ∈ [−2, 2] = dom(g). Notemosque el valor mas grande se alcanza en g(0) =

√4 = 2 y el valor

mas pequeno se alcanza en g(−2) = g(2) =√

0 = 0, por lo quela imagen de g es [0, 2].

(vi) Utilizando el ejercicio anterior, podemos ver que el dominio es(−2, 2). El valor mas pequeno es g(0) = 1

2, cuando 0 < z aumenta

y se aproxima a 2, g(z) se vuelve cada vez mas grande (lo mismoes cierto cuando z < 0 disminuye y se aproxima a −2), por lotanto el rango es [1

2,∞).

5

(vii) El dominio de f es R; la imagen es R.

(viii) El dominio de f es R; la imagen es [−1, 1].

(ix) El dominio de f es R\{x ∈ R : cos(x) = 0}; notemos que cos(x) =

0 si x = (2k+1)π2

con k entero, por lo que el dominio es

dom(f) =

{x ∈ R : x 6= (2k + 1)πx

2para k ∈ Z

}.

La imagen sera (−∞,−1] ∪ [1,∞).

(x) Se daban puntos extra por intentar este problema. El do-minio de f es donde el denominador sea distinto de 0, es decir:R \ {0}. Para encontrar la imagen de f es necesario conocer mas

teorıa del calculo. Se muestra la grafica de f(x) = sin(x)x

.

5. De las siguientes graficas de ecuaciones en el plano, ¿cuales representanla grafica de una funcion de x?

Solucion.Solamente la primera no representa la grafica de una funcion de x,esta no cumple la prueba de la recta vertical.

6. Hacer una grafica donde se represente la temperatura como funciondel tiempo en un dıa tıpico de verano en Guanajuato.

6

Solucion.En el eje x se representa el tiempo en horas. En el eje y se representala temperatura en grados centıgrados:

7. Considere la funcion f(x) =√

2−√x.

(a) ¿Puede ser x < 0?

(b) ¿Puede ser√x > 2?

(c) ¿Cual es el dominio de la funcion?

Solucion.El termino dentro de la raiz tiene que ser mayor que cero, es decir:√

2−√x⇒ 2−

√x ≥ 0⇒

√x ≥ 0 y

√x ≤ 2.

Si√x ≥ 0 y

√x ≤ 2 entonces x ≤ 4. Por lo tanto se tendra que

0 ≤ x ≤ 4.

(a) No.

(b) No.

(c) [0, 4]

7

8. Expresar el area y el perımetro de un triangulo rectangulo con catetosde longitud x y 2x.Solucion.Utilizando el Teorema de Pitagoras obtenemos la hipotenusa h deltriangulo rectangulo, que es h =

√x2 + (2x)2 =

√5x2 =

√5x. De esta

manera, el perımetro de este triangulo sera: p(x) = x + 2x +√

5x =(3 +

√5)x. Por otro lado, el area del triangulo es: a(x) = 2x2

2= x2.

9. Expresar el area y el perımetro de un cuadrado como funcion de lalongitud d de su diagonal.Solucion.Supongamos que x es la longitud del lado del cuadrado. Entonces, porel Teorema de Pitagoras tendremos que x2 + x2 = d2, ası se tiene quex = d√

2= d

√2

2. De esta manera el perımetro es p(d) = 4(d

√2

2) = 2d

√2,

y el area es a(d) =(d√2

2

)2= d2

2.

10. Graficar y encontrar el dominio de las siguientes funciones:

(i) f(x) = 5− 2x.

(ii) f(x) =√−x.

(iii) F (t) = t|t| .

(iv) G(t) = 1|t| .

(v) f(x) = 1x−1 .

8

Solucion.

(i) El dominio de f es (−∞,∞).

(ii) El dominio de f es (−∞, 0].

(iii) El dominio de F es (−∞, 0) ∪ (0,∞).

(iv) El dominio de G es (−∞, 0) ∪ (0,∞).

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(v) El dominio de f es (−∞, 1) ∪ (1,∞).

11. Representar en el plano las siguientes ecuaciones y explicar por que noes una grafica de una funcion de x.

(i) |y| = x.

(ii) |x|+ |y| = 1.

(iii) |x+ y| = 1.

Solucion.

a) No es la grafica de una funcion de x porque no satisface la pruebade la lınea vertical.

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b) No es la grafica de una funcion de x porque no satisface la pruebade la lınea vertical.

c) No es la grafica de una funcion de x porque no satisface la pruebade la lınea vertical.

12. Se construye una caja a partir de una pieza rectangular de carton re-ciclado de dimensiones 14 cm. por 22 cm. Se cortan en cada esquina

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cuadrados de longitud x, despues se doblan los lados de la figura re-sultante como en la imagen. Expresar el volumen V de la caja comouna funcion de x.

Solucion.V = f(x) = x(14− 2x)(22− 2x) = 4x3− 72x2 + 308x, con 0 < x < 7.

13. Identifica (sin usar graficador) a que funcion pertenece cada graficaen la siguientes imagenes y da una breve explicacion de por que:

a) 1) y = x4.

2) y = x7.

3) y = x10.

b) 1) y = 5x.

2) y = 5x.

3) y = x5.

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Solucion.

a) 1) y = x4. Corresponde a la grafica de h porque es una funcionpar y crece mas lento que la grafica de g.

2) y = x7. Corresponde a la grafica de f porque es una funcionimpar.

3) y = x10. Corresponde a la grafica de g porque es una funcionpar y crece mas rapido que la grafica de h.

b) 1) y = 5x. Corresponde a la grafica de f porque es una funcionlineal.

2) y = 5x. Corresponde a la grafica de g porque y > 0 paratodo valor de x.

3) y = x5. Corresponde a la grafica de h porque es una funcionno lineal e impar.

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14. Descargar un programa graficador de la pagina del curso y verificarlas graficas de las funciones del ejercicio 10.

15. Realizar las actividades 3 y 4 de la pagina del curso. En la actividad3 hay que identificar cuales son graficas de una funcion de x. En laactividad 4 hay que asociar las graficas a las ecuaciones dadas. Hacerun pequeno reporte, les pido ser muy breves pero incluir las graficas.Solucion.Esto puede ser diferente para cada uno.

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