ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA MA-112-02 VERANO 2007 TAREA FINAL – FECHA DE ENTREGA: JUEVES 12 DE JULIO DE 2007 Sección 1: Ejercicios Vectores en 2

� Halle la magnitud y dirección de los vectores dados:

1. 4

4v

=

2. 1

3v

− =

3. 5

8v

− =

Sean u = 2i + 3j y v = -5i + 4j. Calcule: 4. 3u 5. u + v 6. v – u 7. 2u – 7v En los siguientes incisos normalize los vectores dados: 8. v = 2i + 3j 9. v = -3i + 4j 10. v = i – j En los siguientes incisos encuentre un vector unitario v cuya dirección sea opuesta a la de los vectores dados: 11. u = i + j 12. u = -3i + 4j 13. u = 2i – 3j En los siguientes incisos halle un vector v en que tenga la magnitud y dirección dadas: 14. |v| = 3, θ = π/6 15. |v| = 1, θ = π/4 16. |v| = 8, θ = π/3 En los siguientes incisos calcule el producto escalar de los dos vectores dados y el coseno del ángulo que forman: 17. u = i + j v = i – j 18. u = -5i v = 18j 19. u = 2i + 5j v = 5i + 2j 20. u = -3i + 4j v = -2i – 7j

Sean u = 3i + 4j y v = i + αj. Determine α tal que 21. u y v sean ortogonales 22. u y v sean paralelos 23. El ángulo entre u y v sea π/4 24. El ángulo entre u y v sea π/3 En los siguientes incisos calcule proyv u: 25. u = 3i v = i + j 26. u = 2i + j v = i – 2j 27. u = i + j v = 2i – 3j 28. u = -5j v = i + j Sección 2: Ejercicios Vectores en 3

� Calcule la distancia entre los dos puntos datos: 29. (3, -4, 3), (3, 2, 5) 30. (3, -4, 7), (3, -4, 9) 31. (-2, 1, 3), (4, 1 , 3) Calcule la magnitud y los cosenos directores de los vectores dados: 32. v = 3j 33. v = i + 2k 34. v = -i + j + k 35. v = -i – j + k 36. v = -3i – 3j + 8k Sean u = 2i – 3j + 4k, v = -2i – 3j + 5k, w = i – 7j + 3k y t = 3i + 4j + 5k. Calcule: 37. u + v 38. t + 3w – v 39. 2v + 7t – w 40. |w| 41. u · v 42. u · w - w · t 43. proyu v 44. proyt w En los siguientes incisos calcule el producto cruz de los vectores dados: 45. u = i – 2j v = 3k 46. u = i – j v = j + k 47. u = -3i – 2j + k v = 6i + 4j – 2k 48. u = 2i – j + k v = 4i + 2j + 2k 49. u = 3i – 7j v = i + k 50. Halle el seno del ángulo formado por los vectores u = 2i + j – k y v = -3i – 2j + 4k

En los siguientes incisos calcule el área del paralelogramo con los vértices adyacentes dados: 51. P = (1, -2, 3) Q = (2, 0, 1) R = (0, 4, 0) 52. P = (-2, 1, 0) Q = (1, 4, 2) R = (-3, 1, 5) 53. P = (-2, 1, 1) Q = (2, 2, 3) R = (-1, -2, 4) 54. P = (7, -2, -3) Q = (-4, 1, 6) R = (5, -2, 3)