tanggapan frekuensi - gunadarma
TRANSCRIPT
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65
TANGGAPAN FREKUENSI
Ì Analisis Tanggapan Frekuensi
Ì Penggambaran Bode Plot
Ì Polar Plot / Nyquist Plot
Ì Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols
Plot
Ì Kriteria Kestabilan Nyquist
Ì Beberapa Contoh Analisis Kestabilan
Ì Pembahasan Lanjut (Optional)
Ì Analisis Kestabilan Relatif/Transient
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 2 dari 65
♦ ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI
− Tanggapan frekuensi = tanggapan keadaan mantap suatusistem terhadap input sinusoida.
− Metoda konvensional dilakukan dengan mengubahfrekuensi input dalam cakupan yang diinginkan danmengamati tanggapannya.
Ada Beberapa Teknik Analisis :
1. Polar Plot / Nyquist :• Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem
loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensiloop terbukanya.
• Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapanfrekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.
2. Digram Bode:• Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui
diagram Bode.• Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat
dilakukan lebih mudah.
3. Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols:• Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(jz) hanya
menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubahbentuknya.
• Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat denganmudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudahdilakukan
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 3 dari 65
Tanggapan Frekuensi vs Tanggapan Waktu
• Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulumencari akar-akar persamaan karakteristik.
• Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dandapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinusdan peralatan pengukuran yang diteliti.
• Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapatditentukan secara eksperimen melalui pengujiantanggapan frekuensi.
• Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan padasistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsirasional, seperti fungsi dengan transport lags.
• Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepatdapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi.
• Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatantanggapan frekuensi sehingga derau yang takdiinginkan dapat dihilangkan.
• Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkanpada sistem kendali non linear tertentu.
• Tanggapan waktu alih tak langsung dapat diketahui,tetapi ada hubungannya antara tanggapan frekuensidengan tanggapan waktu alih.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4 dari 65
Tanggapan terhadap Input Sinus
• Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapatdiperoleh langsung dari fungsi alih sinusoidanya :
( ) ( )( )G s G j→ ω
• Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut :
Output :
( ) ( ) ( ) ( )( ) 22 ω
ω+
==s
x
sq
spsxsGsY L
Bila Y(s) hanya mengandung pole-pole berbeda, maka
( )n
n
ss
b
ss
b
ss
b
js
a
js
asY
+++
++
++
−+
+= L
2
2
1
1*
ωωatau
( )y t a e j t a e j t b e s t b e s t bne snt t= − + + − + − + + − ≥ω ω*1 1 2 2 0L
Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh
( ) tjtjss eaeaty ωω *+= −
(hal yang sama diperoleh meskipun ada pole-pole yangsama) dengan :
( ) ( ) ( )
( )j
jxGa
jjxG
jsjs
sx
sGa
2
2
*
22
ω
ωω
ωω
ω
=
−−=
−=+
+=
( )( )( )
( )( )( ) ( )G s
p s
q s
p s
s s s s s sn= =
+ + +1 2 L
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 65
Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut :
( ) ( ) ( )G j G j e j G jω ω φ ω φ= = ∠
( )G jω = magnitude G(jω)( )φ ω= ∠ =G j pergeseran fasa antara input sinus dengan
output sinus = ( )[ ]( )[ ]tan−
1 Im G j
Re G j
ω
ω
ω = frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi kerjanya.
Untuk ( ) ( ) ( )G j G j e j G je j− = − − = −ω ω φ ω φ
Sehingga :
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
yss t x G je j t e j t
j
x G j t
y t
=+ − − +
= +
= +
ωω φ ω φ
ω ω φ
ω φ
2
sin
sin
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 65
Kesimpulan :
1. Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus,maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi samadengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkinberbeda.
2. Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui
( ) ( )( )G j
y j
x jω
ωω
=
sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti jωmenjadi s pada G(jω).
( ) ( )( )G j
y j
x jω
ωω
= : magnitude fungsi alih
merupakan perbandingan amplitudo output sinus terhadap inputsinus.
( ) ( )( )∠ = ∠G j
y j
x jω
ωω
; sudut phasa fungsi alih merupakan pergeseran
phasa output sinus terhadap inputnya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 65
Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero
Anggap :
( )( )
G sk s z
s s p=
++( )
dengan tanggapan frekuensi
( ) ( )( )G j
k j z
j j pω
ωω ω
=+
+
Magnitude :
( )
( )
21
11 tan90tan
θθφ
ωωωωωω
ωωω
ω
−−=
−−=
+∠−∠−+∠=∠
⋅=
+
+=
−−
pz
pjjzjjG
BPOP
APk
pjj
zjkjG
o
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 8 dari 65
Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p1 dan p2 :
))(()(
21 pspsK
sG++
=
Magnitude : ( )G jk
j p j p
k
AP BPω
ω ω=
+ +=
1 2
Sudut fasa : ( )21
θθω −=∠ jGUntuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbumaya :
( )G jω = besar sekali
Dihasilkan tanggapan frekuensi dengan simpangan amplitudobesar sekali.
Sebaliknya bila tanggapan frekuensi tak memiliki simpanganyang besar, berarti sistem tak memiliki pole kompleks sekawanyang dekat dengan sumbu maya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 65
♦ PENGGAMBARAN BODE PLOT
• Diagram Bode terdiri dari1. Kurva magnitude fungsi alih sinus 20 log ( )G jω
terhadap frekuensi dengan skala logaritmis2. Kurva sudut fasa fungsi alih sinus ( )∠G jω terhadap
frekuensi dengan skala logaritmis.
• Keuntungan menggunakan kurva logaritma :∗ Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan∗ Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat
dilakukan dengan mudah melalui penjumlahan asimtot-asimtot fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya.
∗ Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapatdilakukan lebih mudah bila data tanggapan frekuensitersedia seperti pada Diagram Bode.
∗ Karakteristik frekuensi rendah dan tinggi dari fungsialih terekam dalam satu diagram. Memperluas cakupanfrekuensi rendah memungkinkan analisis pada
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 10 dari 65
frekuensi rendah yang merupakan hal penting dalamsistem-sistem sebenarnya.
• Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi ( ) ( )G j H jω ω
1. Penguatan k
2. Faktor-faktor Integral dan turunan ( )jω +1
3. Faktor-faktor orde-1 ( )1 1+ +j Tω
4. Faktor-faktor kuadratis 1 22 1
+
+
+ζ ω
ωω
ωj
nj
n
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 11 dari 65
� Penguatan k
( ) ( )G j H j kω ω =Magnitude ( ) ( )G j H j k dbω ω = 20log
Sudut fasa ( )∠ =G jω 0
0,1 1 10 100
ω
20 log
db
0,1 1 10 100
ω
0
φ
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 12 dari 65
��Faktor-faktor Integral dan Turunan1
jatau j
ωω
Untuk : ( ) ( )G j H jj
ω ωω
=1
Magnitude ( ) ( ) dbj
jHjG ωω
ωω log201
log20 −==
Sudut fasa ( ) ( )∠ = −G j H j oω ω 90
Untuk : ( ) ( )G j H j jω ω ω= , diperolehMagnitude : 20 log ω dbSudut fasa : 90o
Catatan:
Bila nj
jHjG)(
1)()(
ωωω = , maka
Magnitude : -20 n Log z db; Sudut fasa : -900x n
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 13 dari 65
� Faktor-faktor orde-1 : 1
11
++
j T
atau j Tω
ω
Untuk ( ) ( )G j H jj T
ω ωω
=+
1
1
Magnitude : 201
120 1 2 2log log
+= − +
j TT db
ωω
Sudut fasa : φ ω= − −tan 1 T
• Pada frekuensi rendah : ω ⟨⟨1
T , maka
Magnitude ~ log− =20 1 0 db (asimtot pertama)Sudut fasa ~0o
• Pada frekuensi tinggi : ω ⟩⟩1
T, maka
Magnitude ~ log log− = −20 2 2 20ω ωT T (asimtot kedua)Sudut fasa ~90o
• Pada frekuensi sudut ω =1
T
Sudut fasa φ = − − = −tan 1 45TT
o
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 14 dari 65
Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot
Pada ω =1
T
galat = − + + = −20 1 1 20 1 3 03log log , db
Pada ω =1
2T(1 octave dibawah frekuensi sudut)
galat = − + + = −201
41 20 1 0 97log log , db
Pada ω =2
T(1 octave diatas frekuensi sudut)
galat = − + + = −20 22 1 20 2 0 97log log , db
dst.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 15 dari 65
Untuk ( ) ( )G j H j j Tω ω ω= +1
dengan mengingat faktor reciprocal :
20 201
1log log+ = −
+j T
j Tω
ωdan
∠ + = − = −∠+
1 1 1
1j T T
j Tω ω
ωtan
Maka kurva Bodenya dapat diperoleh dengan mencerminkan
kurva 1
1+ j Tω terhadap sumbu frekuensi pada titik 0.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 16 dari 65
•• Faktor-Faktor Kuadratik
Untuk ( ) ( )G j H j
jn
jn
ω ω
ζω
ωω
ω
=
+
+
1
1 22
Bila ζ ⟩ 1 , maka faktor orde-2 tersebut dapat dipecahmenjadi 2 faktor orde-1.
Untuk 0 1⟨ ⟨ζ :
Magnitude :
201
1 22 20 1
2
2
2
22
log log
+
+
= − −
+
ζωω
ωω
ω
ωζ
ωω
jn
jn
n n
Sudut fasa :
φζ
ωω
ωω
= − −
−
tan 12
12
n
n
Pada frekuensi rendah : ω ω⟨⟨ n:
Magnitude : − =20 1 0log db
Sudut fasa : φ ~ tan− − =10 0o (asimtot 1)
Pada frekuensi tinggi : ω ω⟩⟩ n
Magnitude : − = −202
2 40log logω
ω
ωωn n
db (asimtot 2)
Sudut fasa : φ ~ − 180o
Pada frekuensi sudut ω ω= n:
Mangitude : − 20 2log ζ
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 17 dari 65
Sudut fasa : θζ
= − −
= −tan 1 2
090o
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 18 dari 65
Untuk ( ) ( )G j H j jn
jn
ω ω ζω
ωω
ω= +
+
1 2
2,
diagram Bodenya dapat diperoleh dengan membalik tanda padamagnitude dan sudut fasa dari faktor sebelumnya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 19 dari 65
Frekuensi Resonansi ωr dan Simpangan PuncakResonansi Mr
Perhatikan lagi :
( )G j
n n
ω
ω
ωζ
ωω
=
−
+
1
12
2
2
22
Nilai maksimum terjadi bila :
( )gn n
ωω
ωζ
ωω
= −
+
1
2
2
2
22
minimum
atau
( )( ) ( )g
n
nω
ω ω ζ
ωζ ζ=
− −
+ −2 2 1 2 2
2
2
4 2 1 2
( )g ω =minimum bila ω ω ζ= −n 1 2 2
Sehingga : frekuensi resonansi
( )ω ω ζ ζr n= − ≤ ≤1 2 2 0 0 707,
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 20 dari 65
Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada responstransient :
ω ω ζd n= −1 2
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 21 dari 65
Simpangan Puncak Resonansi :
( ) (( )Mr G j G j rω ωζ ζmax
= =−
1
2 1 2
Sudut Fasa pada Frekuensi Resonansi :
φζ
ωω
ωω
r
rn
rn
= − −
−
tan 12
12
dengan ω ω ζr n= −1 2 2 , diperoleh
φζ
ζζ
ζr
o= − − −= − + −
−tan sin1 1 2 2
90 1
1 2
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 22 dari 65
Tahapan Membuat Diagram Bode
1. Ubah fungsi alih sinus ( ) ( )G j H jω ω menjadi perkalian faktor-
faktor dasar yang telah dibahas sebelumnya.
2. Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar
yang bersangkutan.
3. Gambar kurva-kurva asimtot masing-masing faktor dasar
dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,±20 db, ±40 db,
dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut.
4. Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap
sedang frekuensi sudut.
5. Kurva sebenarnya yang terletak dekat dengan kurva asimtot
pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan koreksi-
koreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut).
6. Kurva sudut fasa ( ) ( )G j H jω ω dapat digambarkan dengan
menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor
dasar pada butir 1.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 23 dari 65
Contoh:
Suatu sistem orde 4 dengan umpanbalik satuan memiliki fungsialih loop terbuka sbb:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 24 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 25 dari 65
∗ Sistem Phasa Minimum :Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupunzero pada daerah tak stabil bidang-s.
∗ Sistem Phasa Non Minimum :Sistem dengan fungsi alih yang memiliki pole dan / atau zeropada daerah tak stabil bidang-s.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 26 dari 65
◊ Hubungan antara Tipe Sistem dan KurvaMagnitude
Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude padafrekuensi rendah.
Tipe-0 → kemiringan 0 db/decTipe-1 → kemiringan -20 db/decTipe-2 → kemiringan -40 db/dec
◊ Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurvaMagnitude
1) ( ) ( )k p s G s H s= →0lim
Dalam domain frekuensi :( ) ( )k p G j H j= →ω ω ω0
lim
Terlihat bahwa untuk ω → 0 :
( ) ( )20 20log logG j H j kpω ω =
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 27 dari 65
2) ( ) ( )kv s sG s H s= →0lim
Dalam domain frekuensi :
( ) ( )G j H jkvj
ω ωω
= untuk ω ⟨⟨1
Sehingga
201
20log logkvj
kvω ω == atau : ( ) ( )20 1 20log logG j H j kvω ω ω = =
Alternatif lain :
Perpotongan kurva -20 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi
pada 0 db, sehingga kvjω1
1=
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 28 dari 65
3) ( ) ( )ka
sG s H s=
→lim
0
Dalam domain frekuensi :
( ) ( )( )
G j H jkv
jω ω
ω= 2 untuk ω ⟨⟨1
sehingga :
( )20 2
1
20log logkv
jkv
ω ω=
= atau ( ) ( )20
1
20log logG j H j kvω ωω =
=
Alternatif lain :
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 29 dari 65
Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada0 db, sehingga :
( )20 2 0log ,
ka
j aω=
diperoleh : ka a= ω 2
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 30 dari 65
n POLAR PLOT / NYQUIST PLOT
Kurva magnitude G(jω) terhadap sudut fasa G(jω) padakoordinat polar dengan ω dinaikkan dari 0 sampai ~
Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut :
Maka kurva Nyquist ( ) ( ) ( )G j G j G jω ω ω= 1 2 diperoleh denganmelakukan perkalian vektor.
Bandingkan dengan Diagram Bode
• Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapanfrekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.
• Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusisetiap faktor fungsi alih loop terbuka.
( )G s1 ( )G s2
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 31 dari 65
� PENGGAMBARAN POLAR PLOT
1. Faktor-faktor Integral dan turunan
Untuk ( )G jj
ωω
=1
( )G jωω
=1
( )∠ = −G j oω 90
Untuk ( )G j jω ω=
( )G jω ω=
( )∠ =G j oω 90
Im bid G(jω)
Reω →~
ω → 0
( )G jj
ωω
=1
Im
Re
ω = 0
ω →~
bid G(jω)
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 32 dari 65
2. Faktor-Faktor Orde-1
Untuk G jj T
( )ωω
=+
1
1
( )G jT
ωω
=+
1
1 2 2
( )∠ = − −G j Tω ωtan 1
Pada ω=0( )G j oω = ∠1 0
Pada ω = 1T
( )G j oω = ∠ −1
245
pada ω →~
( )G j oω = ∠ −0 90
Kurva Nyquist berupa setengah lingkaran dikuadran IV dengantitik pusat -0,5+j0 dan jari-jari 0,5.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 33 dari 65
Bukti :( )G j x jyω = +
dengan
2222 1dan
1
1
T
Ty
Tx
ωω
ω +−
=+
=
Pers lingkaran :
x y r
T
T
T
T
−
+ =
−
+
+
−
+
=
1
2
22 2
1
2
1 2 2
1 2 2
2
1 2 2
21
2
2ω
ω
ω
ω
Untuk ( )G j j Tω ω= +1
( )G j T Tω ω ω= + ∠ −1 2 2 1tan
pada ( )ω ω= = ∠0 1 0G j o
pada ( )ω ω= = ∠1
2 45T
G j o
pada ( )ω ω→ = ∠~ ~G j o90
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 34 dari 65
Untuk TjjG ωω += 1)(
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 35 dari 65
3. Faktor-Faktor Kuadratik
Untuk ( )G j
jn
jn
ω
ζωω
ωω
ζ=
+
+
⟩1
1 22 0;
( )G j
n n
n
n
ωωω
ζωω
ζωωωω
=
−
+
∠ − −
−
1
12
22
12
1tan
pada ω = 0
( )G j oω = ∠1 0
pada ω ω= n
( )G j oωζ
= ∠ −1
290
pada ω →~
( )G j oω = ∠ −0 180
ωn dicari dari perpotongan G(jω) dengan sumbu maya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 36 dari 65
ωr dicari dengan menentukan ( )G jω maximum.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 37 dari 65
Sedang simpangan resonansi dihitung sebagai berikut :
( )( )Mr
G jr
G j= =
=
ω ω ωω ω 0
Untuk ( )G j jn
jn
ω ζω
ωω
ωζ= +
+
⟩1 2
20;
( )G jn n
n
n
ωω
ω
ζωω
ζωω
ω
ω
= −
+
∠ −
−
12
2
22 2
12
12
2
tan
pada ω → 0 :( )G j oω = ∠1 0
pada ω ω= n :( )G j oω ζ= ∠2 90
pada ω →~
( )G j oω = ∠~ 180
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 38 dari 65
Untuk ( ) 0;212
⟩
+
+= ζ
ωω
ωωζω
nn
jjjG
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 39 dari 65
Contoh:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 40 dari 65
Transport Lag
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 41 dari 65
Bentuk Umum Polar Plot
� Untuk sistem tipe-0 (λλ=0) :Kurva berawal (ω=0), dan sumbu nyata positif denganmagnitude berhingga dan sudut fasa = -90o pada titik tersebutkurva berakhir (ω=~).Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m)
� Untuk sistem tipe-1 (λλ=1) :Pada ω=0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif,akibat kontribusi suku jω pada penyebut. Kurva berakhir padatitik asal dan bersudut pada salah satu sumbu.
� Untuk sistem tipe-2 (λλ=2) :Kurva asimtotis terhadap sumbu nyata negatif untuk frekuensirendah dan berakhir pada salah satu sumbu.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 42 dari 65
Bagian pembilang G(jω) menentukan kerumitan bentuk kurvaNyquist (kontanta waktu pembilang).
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 43 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 44 dari 65
◊ Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot
Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phasemargin untuk cakupan frekuensi kerja.
• Kenaikan konstanta penguatan G(jω) hanya menggeserkurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya.
• Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudahditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan.
• Kurva G(jω) simetris terhadap titik asal dengan 1
G j( )ω
mengingat ( )201
20log(
logG j
G jω
ω
= −
( ) ( )∠ = −∠1
G jG j
ωω
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 45 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 46 dari 65
◊ KRITERIA KESTABILAN NYQUIST
( )( )
( )( ) ( )
C sR s
G sG s H s
=+1
• Sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik( ) ( )1 0+ =G s H s terletak disebelah kiri bidang-s.
• Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipunpole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletakdisebelah kanan bid-s.
• Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loopterbuka ( ) ( )G j H jω ω terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup
( ) ( )1+ G s H s yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s.
• Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensiloop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpaperlu menentukan letak pole-pole loop tertutup.
• Perlu pemahaman konsep pemetaan bidang-s ke bidangF s G s H s( ) ( ) ( ).= + +1
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 47 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 48 dari 65
Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan
1. Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s,maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arahjarum jam pada di bidang F(s).
2. Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurvatertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s)tak mengelilingi titik asal.
3. Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup di-bidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akanmengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlahzero tersebut.
4. Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atauzero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) takmengelilingi titik asal pula.
5. Pemetaan dari bidang-s ke bidang T(s) merupakanpemetaan 1-1, sebaliknya tidak.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 49 dari 65
Teori Pemetaan :
Anggap F sp s
q s( )
( )
( )=
Bila :P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa
lintasan tertutup dibidang-s.
Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa
lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak
melalui pole-pole / zero-zero tersebut).
Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s).
Maka : Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang
mengelilingi titik asal searah jarum jam = Z - P.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 50 dari 65
Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan
• Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelahkanan (lintasan Nyquist).
• Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagiannyata positip tercakup pada lintasan Nyquist.
• Sistem stabil bila tak ada akar-akar 1+G(s)H(s) = 0 didalamlintasan Nyquist.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 51 dari 65
Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka
• Pengelilingan titik asal oleh kurva 1 + G(jω) H(jω) berubahmenjadi pengelilingan titik -1 + j0 oleh kurva G(jω) H(jω).
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 52 dari 65
Kriteria Kestabilan Nyquist
[Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu mayajω].
• Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole disebelah kanan bidang-s dan s→~
lim G(s)H(s) = konstan, makasistem stabil bila kurva G(jω)H(jω) mengelilingi titik -1 + j0sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam.
• Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s).
• Bila ada satu atau lebih pole G(s)H(s) dititik asal (pada bid-s),maka lintasan Nyquist harus tidak mencakupnya).
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 53 dari 65
• Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah takstabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah takstabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingititik asal searah jarum jam Z = N + P.
Z = N + P
Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-sN = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam.P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kananbidang-s.
∗ Sistem stabil bila Z = 0 :
1) P = 0 dan N = 02) Bila P ≠ 0, maka N = -P
∗ Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara hati-hati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh.
∗ Bila ada fungsi transendental (misal e-Ts) pada G(s)H(s),dekati fungsi tersebut dengan 2 suku pertama deret .
Ts
TsTs
Ts
eTsTsTs
TsTsTs
e TsTs
+−
=+
−≈⇒
•••++++
•••+−+−= −−
2
2
21
21
48
)(
8
)(
21
48
)(
8
)(
21
32
32
selanjutnya gunakan kriteria Routh.
∗ Bila kurva G(jω)H(jω) melalui titik -1+j0, berarti ada pole-pole loop tertutup pada sumbu jω : sistem berosilasi.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 54 dari 65
◊ Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s)pada Sumbu jωω
Ambil ( ) ( )( )G s H s
k
s s=
+ 1
• Pemetaan s e j= →ε θ ε; 0
dengan θ ;−90o sampai + 90o , maka
( ) ( )G e j H e j k
e jk
e jε θ ε θε θ ε
θ= = −
(setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari+900 hingga -900)
00;0 =→== ZPN (stabil)
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 55 dari 65
Ambil ( ) ( )( )
G s H sk
s Ts=
+2 1
Pemetaan oj tes 90:;0; −→= θε φsampai + 90o ,
diperoleh :
( ) ( )s te j G s H s
ke j
→= −
θ εθlim
22
(lingkaran dengan jari-jari ~ dan berawal dari 180o hingga -180o).
Terlihat: N=2; P=2, sehingga Z=2 (tak stabil)
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 56 dari 65
BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN
Contoh 1:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 57 dari 65
Contoh 2:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 58 dari 65
Contoh 3:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 59 dari 65
Contoh 4:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 60 dari 65
Contoh 5:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 61 dari 65
Pembahasan Lanjut (Optional):
1. Invers Polar untuk Memudahkan Analisis KestabilanNyquist pada Sistem Multiple Loop.
2. Analisis kestabilan Relatif / Transient melalui modifikasiLintasan Nyquist.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 62 dari 65
◊ Analisis Kestabilan Relatif/Transient
• Sistem harus stabil dan tanggapan transientnya memadai.
• Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya danbagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan.
• Asumsi pada analisis.
1. Sistem Balikan Satuan
2. Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbukadidaerah tak stabil bidang-s)
• Analisis melalui
1) Pemetaan Konformal (optional)
2) Pemetaan Phase Margin dan Gain Margin
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 63 dari 65
∗ Phase Margin dan Gain Margin
• Untuk k besar, sistem tak stabil.• Untuk k lebih kecil, kurva G(jω) melewati titik -1+j0,
sistem berosilasi (batas kestabilan).• Untuk k kecil, sistem menjadi stabil.• Makin dekat kurva G(jω) mengelilingi titik -1+j0,
tanggapan sistem makin berosilasi.• Kedekatan kurva G(jω) ketitik -1+j0 merupakan ukuran
batas kestabilan : phase margin dan gain margin.
◊ Phase margin : jumlah phase lag tambahan pada frekuensigain crossover ( )ωgco yang diperlukan untuk membuat sistem
tak stabil.
ωgco : frekuensi pada saat ( )G jω = 1
φγ += o180 ; φ : sudut fasa ( )G j gcoω
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 64 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 65 dari 65
• Gain margin : kestabilan magnitude ( )G jω pada frekuensiphase crossover ωpco
ωpco : frekuensi pada saat ( )∠ = −G j oω 180
( )kgG j pco
1
ω
Bila kg ⟩ 1 : gain margin positip
Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip)menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan(diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil)
• Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phasemargin positip.
• Untuk sistem stabil kondisional : ada 2 atau lebih frekuensiphase crossover.
• Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki 2 atau lebihfrekuensi gain crossover : phase margin dihitung padafrekuensi gain crossover tertinggi.
• Tanggapan transient “optimum” bila :phase margin 300 sampai 600
gain margin > 6 db
• Untuk sitem phase minimum, phase margin 300-600 berartikemiringan kurva Bode ( )G jω pada ωgco harus lebih landai dari
-40db/dec. (yaitu -20db/dec) agar stabil.Bila kemiringan tersebut mencapai -60 db/dec, sistem hampirpasti tak stabil.