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Facultad de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas Cálculo 1 LIMITES DE UNA FUNCION EN UNA VARIABLE TALLER

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACION

1. Complete cada tabla y determine si el límite existe.

a) ( )22 x x

f xx 1

− −=−

encontrar x 1Lim f ( x )→

x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1

f(x) ?

b) ( )2

5 x 1 para x 1

f x

8 2 x x para x 1

− <

= − − ≥

encontrar x 1Lim f ( x )→

x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1. 1 f(x) ?

2. A partir de la gráfica de la función ( )=y F t , encuentre los siguientes límites

3. La gráfica dada representa la función f

3. Dada la gráfica de la función f

t 4 t 4

t 4

t 10 t 10

t 10

a ) Lim F ( t ) Lim F ( t )

Lim F ( t ) ¿Qué concluye? ¿Porqué?

b ) Lim F ( t ) Lim F ( t )

Lim F ( t ) ¿Qué concluye? ¿Porqué?

− +

− +

→ →

→

→ →

→

= =

=

= =

=

2

b) Indica los valores de x en los que el límite de la función no existe y justifica tu respuesta 4. En la grafica de la función f , analiza la existencia de los siguientes límites

a) x 2

f xlim ( )+→

b) x 1

f xlim ( )−→ −

c) x 1

f xlim ( )+→ −

d) x 1

f xlim ( )→ −

e) x 2

f xlim ( )→

5. En la gráfica de la función f , analiza la existencia de los siguientes límites

a) Determine si existen los siguientes límites

2 1

11

1 5

lim ( ), lim ( )

lim ( ), lim ( )

lim ( ), lim ( )

x x

xx

x x

f x f x

f x f x

f x f x

+

−

→− →

→−→

→ →

x

y

Determin a) 4X

f ( x )Lim→

b) 1X

f ( x )Lim→

c)

2X

f ( x )Lim→

3

6. Utilice las propiedades o teoremas de los límites y métodos algebraicos para encontrar los siguientes límites, si existen. a)

5

x 2lim 2x x→

−

b)

x 7lim 3→→→→

−−−− c) 2

2x 1

x x 2lim

x 4x 3→→→→

+ −+ −+ −+ −− +− +− +− +

d) x 0

x 4 2lim

x→

+ −

e) x 1lim x 1

→− f)

x 9

3 xlim

9 x→

−−

g)

12

2

2x

4x 1lim

4x 8x 3→

−+ +

h) t 3

1 1

t 3limt 3→

−

−

i)

2

2x 0

1 1 xLím

x→

− −

j)

x 4

x 4lim

x 4+→

−−

k) 3

x 22

x 4para x 2

x 3

Lim f ( x ) donde f ( x )

3 xpara x 2

x

→

− ≤ −= − >

l)

2

x 0

x 3xlim

x−→

−

m) 3

2 3x 2

x 4 xlim

2 x x→

−−

n)

( )h

x h x

h

2 2

0

2 2lim→

+ −

o)

x 1

2

2

Lim f ( x ) , donde

4x para x 1

x

f ( x )

3 xpara x 1

x

→ −

+ ≤ −

= − > −

p) 2

2x 5

x 7 x 10lim

x 10 x 25→

− +− +

7. Si ( ) ( )2

5xLim f x g x

→ + = y ( )

x 2Lim g x 11

→= , encuentre

a) ( ) ( )2 2

x 2Lim f x g x

→ − b)

( )( ) ( )x 2

3 g xLim

f x g x→ −

8. Asume que ( )x 2lim m x 7→−

= − : ( )x 2lim f x 7→ −

= y ( )x 2lim r x 4→ −

= − .

Con la información anterior calcula:

a) ( ) ( )( )x 2

f r ( x )lim . f r x

m→ −

−+ b) ( )

x 2

m flim 4 x

r→ −

+ −

9. Sea

( ) 2

2

x 6 si x 4

f x 16 x si 4 x 4

x 2x si x 4

− − < −= − − ≤ < − ≥

para que valores de a, ( )x alim f x

→ no existe

4

10. En los siguientes ejercicios determina el valor de las constantes a y b que hagan la función f y g posean límite en todo su dominio.

( )2

2x 1 si x 3

f x ax 4 si 3 x 5

x 2b si x 5

+ ≤= + ≤ < − ≥

( )3x 6a si x 3

g x 3ax 7 si 3 x 3

x 12b si x 3

+ < −= − − ≤ ≤ − >

11. Para cada una de las funciones evalúe

( ) ( )x 0

f x x f xLim

x∆ →

+ ∆ −∆

a) 2f ( x ) x= b) f ( x) x= c. 1

f ( x)x

=

12. El volumen de ventas mensual promedio (en miles de dólares) de una empresa depende del número de horas x de capacitación de su personal de ventas, de acuerdo con:

( ) 430 4 100

4

xS x , con x

x= + + ≤ ≤

a) Encuentre ( )x 4

lim S x+→

b) Encuentre ( )x 100

lim S x−→

13. Durante un turno de 8 horas, la tasa de cambio de la productividad (en unidades por

hora) de fonógrafos infantiles ensamblados después de trabajar h horas es:

( ) ( )( )

2

2 2

128 60 8

6 18

t tr t con t

t t

+= ≤ ≤

+ +

a) Encuentre ( )

t 4lim r t→

b) Encuentre ( )t 8lim r t→

c) ¿ La tasa de productividad es mayor cerca de la hora del almuerzo (en t = 4) o cerca de la hora de salida (en t=8)?

14. Suponga que el costo C de obtener agua que contiene p por ciento de impurezas está dada por

( ) 1200C p 1200

p= −

5

a) Encuentre ( )100p

lim C p−→

si existe. Interprete su resultado.

b) Encuentre ( )p 0

lim C p+→

si existe. Interprete su resultado.

c) ¿Se puede obtener la pureza total? Explique. 15. La siguiente tabla presenta el porcentaje de trabajadores estadounidenses que se

dedicaron a las labores del campo durante ciertos años.

Año Porcentaje Año Porcentaje Año Porcentaje 1820 71.8 1930 21.2 1980 2.7 1850 63.7 1940 17.4 1985 2.8 1870 53 1950 11.6 1990 2.4 1900 37.5 1960 6.1 1994 2.5 1920 27 1970 3.6

Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2002

Suponga que el porcentaje de trabajadores estadounidenses que se dedicaron a las labores del campo se puede modelar por la función:

( )2

8,0912 t 1 558,9f t 1000.

1,09816 t 122,183 t 21472,6

− +=− +

Donde t es el número de años transcurridos desde 1800. (La figura muestra una gráfica de f(t) junto con los datos).

( )f t está dada en porcentajes y t en años. Use la tabla, la ecuación y la gráfica y:

a) Encuentre ( )t 4lim r t→

si existe.

b) ¿Qué puede concluir sobre la información obtenida en (a)?

6

c) ¿El valor límite es exacto cuando t � 200? Explique d) Encuentre ( )

t 100lim f t

→ si existe.

e) Qué puede concluir sobre la información obtenida en (b)? f) ¿El valor límite es exacto cuando t � 100?. Explique

PARA REFLEXIONAR:

1. ¿La existencia y el valor del limite de una función ( )f x , cuando x tiende a c ,

depende de lo que ocurra en x c= ? Explique y dé ejemplos.

2. Escriba, de forma algebraica, dos funciones que tenga el mismo limite en 0x = .

3. Escriba, de forma algebraica, una función que tenga el mismo limite en 0x = y

3x = .

4. ¿Una función puede más de un límite en un punto?. Explique. 5. ¿Qué teoremas tenemos para calcular límites? Dé ejemplos del uso de los

teoremas. 6. ¿Qué relación hay entre los límites laterales y el límite? ¿Cómo puede usarse

esta relación para calcular límites o para demostrar que no existen? Dé ejemplos.

7. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes.

a) 1x

x= para toda x

b) Si ( ) 0g x → cuando x c→ y si ( )

lim [ ]( )x c

f x

g x→ existe, entonces ( )f x tiende a

cero cuando x c→

c) Si , entonces

8. Sea ( ) 2 1f x x= + , como 1

lim ( ) 3x

f x→

=

a) Considere 0.5ε = , encuentre un 0δ > , talque para todo 1x δ− < se tiene

que ( ) 3f x ε− <

b) Considere 0.01ε = , encuentre un 0δ > , talque para todo 1x δ− < se tiene

que ( ) 3f x ε− < .

c) Considere 0.0002ε = , encuentre un 0δ > , talque para todo 1x δ− < se

tiene que ( ) 3f x ε− <

BIBLIOGRAFIA [1] Arya, Jagdish C., Lardner, Robin W., Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía, PEARSON EDUCACIÓN, México, 2002 [2] George B. Thomas Jr., Ross L. Finney, Maurice D. Weir, Cálculo una variable, 9 edición, Addison Wesley Longman S. A. de C. V., México, 1998 [3] Larson, H. Edwards. Cálculo, McGraw Hill, Octava edición, México, 2006