PROBLEMAS PROPUESTOS UNIDAD 1 FundamentANDO el Conocimiento sobre Lógica, Conjuntos, Funciones y Relaciones

Esteban Andrés Díaz Mina

Lógica Proposicional 1. Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a. Si p es falsa, entonces la proposición p q es siempre falsa.

b. Existe una proposición lógica p tal que p q es siempre verdadera, sin importar el valor de verdad de q.

2. Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: a. Dada una proposición compuesta p, si existe una asignación de valores de verdad para

las proposiciones que la constituyen que la haga verdadera, entonces p es una tautología.

b. El valor de verdad de la proposición p p es siempre el mismo, sin importar el valor de verdad de p.

3. Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a. Si la proposición (p q) p es falsa, necesariamente q es falsa. b. Si la proposición p → q es verdadera y p también lo es, necesariamente q es verdadera.

4. Demuestra que pq y (p q) (pq) son lógicamente equivalentes.

5. Determinar si

6. Evaluar la expresión de acuerdo a los niveles de precedencia

de los conectivos lógicos.

Demostración 1. Probar por el método directo que: Si n es impar entonces (n+1)3 - 15 es impar. 2. Demostrar que si n es impar entonces es impar.

3. Use el método indirecto para probar que: si (n+2)3 - (n-3)2 es par entonces n es par.

Conjuntos

1. Sea A y B conjuntos de un conjunto finito universal U.

Demuestre que BABAUBA

2. Muestre que si A y B son conjuntos, entonces BABAA )( .

(Ayuda: BABA ) 3. Usando las propiedades, de conjunto demostrar que:

ABCCBA )(

4. Si A = {x |x no es un número primo, 1≤ x ≤ 30} y B = {x|(x módulo 4) 2, 1 ≤ x ≤ 30}. Calcule

BABABABA

5. Dado A = {2, 3, 4, 6}, B = {4, 6, 8}, C = {3, 4, 6, 7} y U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Calcule

.

6. ¿Cuántos enteros positivos menores que 1000 son divisibles por 6, 15 o 33?

Funciones

1. Sean las funciones 52)( xxf , 42)( 1 xxg y 22)( xxh :

a. Hallar (f (h g))(x)

b. Calcular (f (h g))(2)

2. Dadas las funciones y . Determine si .

Justifique su respuesta.

3. En una red se transmiten paquetes de 1500 bytes. ¿Cuántos paquetes son requeridos para

transmitir las siguientes cantidades de datos? (Nota un kilobyte es 1.000 bytes y un megabyte es 1.000.000 de bytes). a. 150 kilobytes de datos b. 415 megabytes de datos 4. Dadas las funciones

sucesor(x) = x + 1 predecesor(x)= x - 1 suma(x, y)= x + y cubo(x)= x * x * x cuadrado(x)= x * x multiplicación(x, y)=x * y

Hallar una función compuesta que use todas las funciones predefinidas para expresar

5. Dadas las funciones y . Determine si el enunciado es

verdadero o falso. Justifique su respuesta.

Relaciones Definiciones Sea R una relación del conjunto A al conjunto B. La relación inversa de B a A, denotado por R-1, es el

conjunto de pares ordenados {(b,a)| (a,b) R}.

La relación complementaria R es el conjunto de pares ordenados {(a,b) | (a,b) R}.

1. Calcular R-1 y R de: a. {(a, c), (a, b), (b, a), (d,d), (c, c), (b, c)} b. {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)}

Definiciones

- Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si para cada a A, (a, a) R. Esto es, R es irreflexiva si no existe elemento en A relacionado con el mismo.

- Una relación R es llamada asimétrica si (a, b) R implica que (b, a) R. Dadas las relaciones:

R1= {(a, c), (a, b), (b, a), (d,d), (c, c), (b, c)} R2= {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)} R3= {(a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}

2. Para cada una de las relaciones, determinar si es irreflexiva y si es asimétrica. Hallar R1 o R2 y R2 o R3 Dadas las relaciones: R1= {(a, c), (a, b), (b, a), (d, d), (c, c), (b, c)}, R2= {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)} y R3= {(a, d), (b, c), (b, d), (c, d)} en el conjunto {a, b, c, d} 3. Decida para cada una de las relaciones si es: Reflexiva, Simétrica, Antisimétrica, Transitiva,

Asimétrica, Irreflexiva,

Éxitos!