Actividad Individual

Temática: Introducción a las ecuaciones diferenciales

1. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una variable

x2 sen ( x )−(cosx ) y=(senx ) dydx

La Ecuación diferencial es de primer orden ya que se cuenta solo con la primera derivada:

dydx

Y es de grado 1 ya que su derivada esta elevada a la 1 : ¿)

Es una ecuación es lineal porque se cumplen las siguientes condiciones:

a. La variable independiente "y" y todas sus derivadas son de primer grado : ¿)b. Cada coeficiente depende solo de la variable independiente de X,

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

2. Resolver la siguiente Ecuación deferencial hallando el factor integrante:

6 xydx+(4 y+9 x2 )dy=0

Se aplica la fórmula para saber si es exacta

∂M∂ y

=6 x

∂N∂ x

=18x

No es Exacta ∂M∂ y

≠∂ N∂ x

por lo tanto se transforma con el factor integral

F(x) =∂N−∂MM

=18 x−6 x6 xy

= 2y

F(x) = e∫ p (¿ x)dx ¿ ¿e∫ 2ydy= e2 ln y = y2

Donde el factor integral u ( y )❑= y2

Se multiplica la ecuación por el factor integrante

y2[6 xydx+(4 y+9 x2 )dy ]

6 x y3dx+(4 y3+9 x2 y2 )dy

Se verifica nuevamente derivando y aplicando la formula

∂M∂ y

=18 x y2

∂N∂ x

=18x y2

Es Exacta, se procede a resolverla

f(x)= ∫6 x y3dx+∫ [(¿ 4 y3+9 x2 y2)− ∂∂ y∫ 6 x y

3dx ]dy¿

f (x)=3x2 y3+∫ [(¿4 y3+9 x2 y2)− ∂∂ y3x2 y3]dy¿

f (x)=3x2 y3+∫ 4 y3+9 x2 y2−9x2 y2dy

3 x2 y3+y4+3 x2 y3−3 x2 y3+C= 0

3 x2 y3+y4+C

Actividad Colaborativa

Primer Ejercicio, buscar el método de solución más apropiada, según las ecuaciones diferenciales

Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6L/min. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a una velocidad de 6L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque.

Solución:Sea t la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t. Por lo tanto la velocidad de entrada de sal en el tanque t es de:

e (t )❑=6 ¿min

.1kg¿

La cantidad de líquido en el tanque es de

V (t )❑=1000+(6−5 )t<,

La concentración es :

x (t)1.000+t

kg¿

La velocidad de salida de sal es:

s ( t )=6 ¿min

x (t)1.000+t

kg¿

Luego la ecuación diferencial que resulta es la siguiente:

dxdt

=6− 6 x1.000+t

, x (0 )=0

Para resolverla, efectuamos lo siguiente:

dxdt

= −6 x1.000+t

dxx

= −6 x1.000+t

La solución de esta ecuación homogénea seria:

xh(t)=−C¿¿

Se hace variar la constante c=c (t ) y reemplazando en la ecuación no homogénea obtenemos

c ,(x )¿¿

= 6 => 6¿ c (t ) ¿

Por lo tanto

x (t )=1.000+ t+ C¿¿

Como x (0 )=0 tenemos c=−1.0006

Con la solución:

x (t )=1.000+ t−1.0006

¿¿

La concentración de sal en el estanque en el instante t es:

1.000+t−1.0006

¿¿ ¿= 1- 1.0006

¿¿

Tenemos que encontrar t tal que:

1- 1.0006

¿¿

Entonces:

12=1.000

6

¿¿ => ¿ => 1.000+t=2000

Donde t=1000min

Segundo Ejercicio, Agregar un análisis e incluir formulas a la solución planteada

Situación y solución planteada

Un paracaidista de masa 100 kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m , y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m con el paracaídas abierto si el paracaídas se abre a los 10 segundos del lanzamiento, hallar el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso ¿Cuál es su velocidad en ese instante? (Considere la gravedad

como g¿10m

seg2 )

Solucion:

Después de leer el problema se adiciona un pequeño análisis, donde se identifica las diferencias que existen entre la situación que se presenta con el paracaídas cerrado y el paracaídas abierto;

Paracaídas cerrado:El paracaidista está sometido a la acción de su propio peso. El empuje del aire se considera despreciable ya que la densidad del aire es mucho menor que la del cuerpo y se considera que el rozamiento del paracaidista con el aire es pequeño.

Se deberían tener en cuenta las ecuaciones de movimiento

a=-g v=-gt x=x0-gt2/2

Paracaídas Abierto:

El paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

ma=-mg+kv2