Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln - Escuela de MatematicasClculo Diferencial - Taller 6 - Semestre 01-2015

INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejerciciosdel taller, repase un poco la teora y ejemplos vistos en clase.Realice este taller individualmente o en grupos. Si tiene algunapregunta, asista a las asesoras con monitores o profesores.

Clasificacin de problemas: N bsico, medio, F reto.

1.N Qu significa que el lmite cuando x tiende a r de f(x)es el nmero L? Explique en sus propias palabras.

2.N Cundo ocurre que lmxr

f(x) no existe? Ilustre ejemplos.

3.N Qu dice el teorema de Compresin?

4.N Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verda-dero, explique por qu, y si es falso escriba el enunciadocorrecto o muestre un ejemplo donde el enunciado dadono se cumpla.

a) Para calcular lmxa

f(x) hay que evaluar f(a).

b) Si lmxa

f(x) existe entonces a Dom(f).

c) Si a Dom(f) entonces lmxa

f(x) existe.

d) Si f(a) = 0, entonces lmxa

1f(x) no existe.

e) Si los lmites lmxa+

f(x), lmxa

f(x) existen y son

iguales, entonces lmxa

f(x) existe.

f) Si lmxa

f(x) no existe y pero lmxa

g(x) si existe, en-tonces lm

xag(x)f(x) no existe.

g) Si lmxa

f(x) = lmxa

g(x) = 0, entonces lmxa

f(x)g(x) no

existe.

h) Si lmxa

f(x) = 4, lmxa

g(x) = 0, entonces lmxa

f(x)g(x) no

existe.

Para los siguientes enunciados, suponga quelmx3

f(x) = 7.

i) Si x 3, entonces f(x) 7.j) lm

x3(xf(x)) = 21.

k) Si g(3) = 4, entonces lmx3

(f(x)g(x)) = 28.

l) Si lmx3

(f(x) + g(x)) = 12 entonces lmx3

g(x) = 5.

m) |f(2,99) 7| < |f(2,9) 7|.

5.N Suponga que f , g son funciones. Para cada uno de los si-guientes casos, qu puede decir sobre los valores de f(x)y g(x) para x cercanos a a?

a) lmxa

(g(x) + f(x)) = 0.

b) lmxa

(g(x)f(x)) = 0, pero lmxa

f(x) = 5.

c) lmxa

g(x)

f(x)= 1.

d) lmxa

g(x)

f(x)= 0, pero lm

xag(x) = 5.

e) lmxa

g(x)

f(x)= 2, pero lm

xaf(x) = 0.

6.N Use una calculadora para estimar el valor de los siguientesimportantes lmites:

a) lm0

sen

, b) lm

0

1 cos

, c) lmx0+

xx,

d) lmx1

lnx

x 1, e) lm

h0

eh 1h

, f) lmx0

(1 + x)1/x

7.N Calcule los siguientes lmites.

a) lmx0

x

x, b) lm

x0

x2

x, c) lm

x0+x

x3, d) lm

x0

|x|x.

8.N A continuacin se muestra la grfica de la funcin g. Re-suelva los lmites indicados.

x

g

y

a) lmx2

g(x), b) lmx1+

g(x), c) lmx1

g(x),

d) lmx0

g(x). e) lmx2

g(x), f) lmx4+

g(x), g) lmx4

g(x).

9.N En la siguiente grfica se muestran dos funciones f y g.

f(x) g(x)

x-3-6-7 0 3 6 8-2

2

-5

Evalu (cuando sea posible) los lmites de f(x), g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y g(x)/f(x) cuando x tiende a7,6,3, 0, 3, 6 y 8 por la derecha y por la izquierda.

10. Calcule cada uno de los siguientes lmites. Antes de usarlgebra, use su calculadora para estimar el resultado.

a) lmx2

x2 4x2 3x+ 2

b) lmx1

x3 3x+ 2x4 4x+ 3

c) lmx1

x3 1x2 1

d) lmx1

1

1 x 3

1 x3

e) lmx4

x 4x 2

f) lmx4

3

5 + x

1

5 x

g) lmx8

x 83x 2

h) lmx1

3x2 2 3

x+ 1

(x 1)2

i) lmx0

x

senxj) lm

x0

1 cos(4x)2x

k) lmx1

(1 x) tan(12x) l) lmx0x2ecos(/x)

m) lmx0

tanx sinxx3

n) lmx0

1

x 1|x|

o) lmx0

x cos(xx) p) lmx0

sin(10x)

sin(4x)

11. Considere las siguientes funciones

F (x) =

cosx, x < 0,

0, x = 0,

x, x > 0,

, H(x) =

{x2, x < 0,

sinx, x > 0,,

Calcule el lmite cuando x tiende a cero de:

F (x), H(x), F (x)H(x),F (x)

H(x).

12. Considere la figura geomtrica siguiente. A medida que elngulo t se hace cada vez ms pequeo, las longitudes dellado L(t) y el arco circular A(t) tienden a cero. Calcu-le lmt0A(t)/L(t). Qu se puede decir de los tamaosrelativos de A y L cuando t es casi cero?

t

L A5

13.F Un proyectil es lanzado con un can desde el punto (0, 0).Para cualquier tiempo t, las coordenadas del proyectil son(x(t), y(t)) como se muestra en la figura. La altura estdada por y(t) = ut 12gt

2 donde g es la aceleracin de lagravedad y u es la velocidad vertical inicial. Similarmen-te, la distancia horizontal del proyectil es x(t) = wt+ at2donde a es una aceleracin y w es la velocidad horizontalinicial.

x(t)

y(t)a(t)

Calcule el lmite cuando t tiende a cero de y(t)/x(t). Conqu ngulo de inclinacin se dispar el proyectil?

Respuestas

1.2.3.4. a) F, b) F, c) F, d) F, e) V, f) F, g) F, h) V, i) V, j) V, k) F,

l) V, m) F.5. Para valores de x cercanos a cero se tiene que: a) g(x) f(x),

b) g(x) 0, c) g(x) f(x), d) f(x) crece sin lmite, e)lmxa g(x) = 0 pero g(x) 2f(x).

6. a) 1, b) 0, c) 1, d) 1, e) 1, f) e.7. a) 1, b) 0, c) no existe, d) no existe.8. a) 0, b) 0, c) 1, d) no existe, e) 1, f) no existe, g) no existe.9.

10. a) 4, b) 1/2, c) 3/2. d) -1, e) 4, f) -1/3, g) 12, h) 1/9, i) 1, j)0, k) 2/, l) 0, m) 1/2, n) no existe, o) 0, p) 5/2.

11. a) no existe, b) 0, c) 0, d) no existe.12. 1.13. tan1(u/w).