TALLER CADENAS DE MARKOV.

INVESTIGACION DE OPERACIONES II.

Realice los siguientes ejercicios. Justifique muy bien cada paso que realice.

1. Considere un problema de inventarios con un número infinito de períodos para un solo producto, en el que al principio de cada periodo se toma una decisión sobre el número de artículos a producir en ese período. El costo fijo es de $10 y el costo unitario de producción es $5. El costo de mantener cada artículo que no se venda durante el período es de $4 (se puede guardar un máximo de 2 artículos). La demanda en cada período es de 0, o 1 o 2 productos con igual probabilidad. Si la demanda excede el inventario disponible en el período, las ventas se pierden y se incurre en un costo por faltantes (que incluye las ganancias perdidas) de $8 y $32 para faltantes respectivos de 1 y 2 artículos.

Identifique los estados y posibles políticas de decisión sobre la producción (que nunca llegue a exceder la capacidad del almacén). Escoja dos de las posibles Políticas, encuentre los costos asociados a cada estado y cada política C ik (explique muy claramente como los deduce) y deduzca cuál de las 2 es mejor.

De cada matriz de las políticas que eligió calcule:

La matriz de probabilidades de transición a dos periodos.

El tiempo esperado de recurrencia del inventario en 0. Haga conclusiones.

2. Una feria que se hace los sábados suele ofrecer con alguna frecuencia un refrigerio gratuito. Si un sábado está lleno y ofrece refrigerio (con costo esperado de US$1400) el siguiente sábado se le llenará el local con probabilidad de 7/8 y si no lo hace el siguiente sábado se llenará el local con una probabilidad de 1/8. Si un sábado el local no esta lleno la posibilidad de impactar con el refrigerio es menor y el siguiente sábado se le llenará el local con probabilidad de 5/8 si lo da y si no lo hace se llenará el local con una probabilidad de 2/8.Cuando no se llena el local, suele tener pérdidas aproximadas de $7500. De otro modo su promedio de ganancias es de $1500. Formule esto como un proceso de Markov. Identifique estados, y para cada una de las posibles decisiones, la correspondiente matriz de probabilidades de transición. Asocie costos esperados a las diferentes decisiones y elija cual es la mejor.

3. Una fábrica de jabones se especializa en jabón de tocador de lujo. Las ventas fluctúan entre dos niveles, bajo y alto, según dos

factores: 1) si hace publicidad o no y 2) si hay publicidad y comercialización de nuevos productos de la competencia. El segundo factor está fuera de su control, pero intentan determinar cuál debe ser su política de publicidad. Por ejemplo, la propuesta del gerente de comercialización es hacer publicidad si las ventas son bajas pero no si son altas. La publicidad hecha en cualquier trimestre del año impacta las ventas del siguiente trimestre.El costo de la publicidad es de $1 millón de dólares cada trimestre del año en el que se haga. Cuando se hace publicidad durante un trimestre, la probabilidad de tener ventas altas el siguiente es ½ o ¾, según si las ventas de este trimestre fuero altas o bajas respectivamente: Estas probabilidades disminuyen a ¼ o ½ respectivamente cuando no hay publicidad el trimestre actual. Las ganancias trimestrales de la compañía (sin los costos de publicidad) son $4 millones de dólares cuando las ventas son altas y solo $2 millones cuando son bajas. La gerencia desea determinar la política de publicidad que maximice la ganancia neta promedio esperada (ganancia menos costo de publicidad) por periodo.

a) identifique estados y posibles políticas de decisión.b) Para cada política identifique la matriz de transición y

escriba una expresión para el costo neto esperado (a la larga) por periodo en términos de las probabilidades de estado estable desconocidas (1, 2,..., M). Calcule luego estas probabilidades.

c) Obtenga la mejor política

4. Al comienzo de cada día una pieza muy costosa de una maquina es examinada para determinar su estado, que puede clasificarse en:

1. En buen estado2. Necesita mantenimiento menor3. Requiere una reparación importante

Si la máquina no está trabajando bien, la compañía debe utilizar uno de dos servicios de reparación:

La-Fix-It Service Company (que cobra $140 & $200 por menor y mayores reparaciones respectivamente)

La Try-To-Fix-It Service Company (que cobra $110 & $185 por menor y mayores reparaciones respectivamente)

En la siguiente matriz de costos se usa - para indicar que una elección no es factible para ese estado:Good

Política de decisión

En buen estado Necesita mantenimiento

menor

Requiere una reparación importante

No hacer nada 0 - -Fix-It Service Company

- 140 200

Try-To-Fix-It Service Company

- 110 185

La Fix-It Service company trabaja con mejor calidad, y eso se refleja en las probabilidades al comienzo del próximo día porque el equipo está trabajado mucho mejor. Encuentre la política óptima que minimice el costo promedio por día. Las matrices de transición con las diferentes acciones son las siguientes:

d) Identifique todas las posibles políticas de decisión. Para cada una dé la matriz de transición y una expresión para el costo neto esperado (a la larga) por periodo en términos de las probabilidades de estado estable desconocidas (1, 2,..., M). Calcule luego estas probabilidades.

e) Seleccione la mejor política

PROCESOS ESTOCASTICOS CONTINUOS

5. Un reparador cuida de dos máquinas 1 y 2. Cada vez que es reparada, la máquina i permanece bien por un tiempo esperado de tiempo de 1/qi=(2 dias para la máquina 1 y 1.8 para la máquina 2). Cuando la máquina i falla, requiere de un tiempo de reparación (Exponencial) con tasas m1=2 y m2=1.7 para quedar completamente reparadas. El reparador atiende alas máquinas cuando fallan. Pero si la máquina 1 falla mientras está reparando la 2, debe parar inmediatamente en el trabajo de la máquina 2 para atender a la 1. ¿Qué proporción de tiempo la máquina 2 fallará?

6. Cada vez que una máquina es reparada permanece buena según un tiempo de distribución exponencial con tasa q=1. Si falla, su falla puede ser por dos tipos de daños. Si es de tipo de daño 1, el tiempo para repararla es exponencial con tasa m1=1.5, Si es de tipo de daño 2, el tiempo para repararla es exponencial con tasa m2=1.8. Se ha visto que la máquina cuando se daña tiene daños tipo 1 con una probabilidad p=0.6 y tipo 2 con una probabilidad (1-p). Que proporción del tiempo la máquina esta dada de baja por daño tipo 1?. Que proporción por daño tipo 2?