Taller 9 Ecuaciones Diferenciales

Objetivos:

Modelar y resolver problemas mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales

lineales de segundo orden con coeficientes constantes, homogéneas y no

homogéneas, con condiciones iniciales.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden es la resolución

de problemas de movimiento armónico simple.

En la imagen se observa un cuerpo de masa que se sujeta a un resorte (de peso

despreciable), Cuando el peso está en reposo, decimos que está en posición de equilibrio.

Si el cuerpo se desplaza hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, estará bajo un

movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio. Nuestro propósito es

estudiar el movimiento del cuerpo, conocido como movimiento armónico simple, en el

cual se ignora cualquier fuerza de fricción con el medio que lo rodea.

Las fuerzas que actúan son: Una fuerza de restitución (Ley de Hooke) , donde

es una constante de proporcionalidad y la magnitud del alargamiento, y el peso del

cuerpo, dado por .

En la posición de equilibrio — .

Al desplazar el cuerpo de esta posición en una magnitud (se considera positiva si se

desplaza hacia abajo, y negativa si se desplaza hacia arriba) y soltarla, la Segunda Ley de

Newton establece que

Usando la condición de equilibrio, resulta que la ecuación diferencial del movimiento

armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado es

Con condiciones iniciales asociadas y .

Ejercicios

1. Se encontró experimentalmente que un peso de 4 Ib estira un resorte 6 pulgadas. Si el

peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de

4 pulg/s, determine:

a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimieno.

b) La ecuación del movimiento.

c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después. d) El periodo, la

frecuencia y la gráfica de la solución.

2. Una fuerza de 9 Ib estira un resorte 3 pulgadas. Un cuerpo que pesa 24 Ib se sujeta al

resorte y se suelta desde un punto que está 3 pulgadas abajo de la posición de

equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 36 pulg/s .

a) Determine la ecuación del movimiento x(t).

b) ¿En qué instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia

arriba por tercera vez?

c) ¿En qué instantes está el cuerpo 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?

3. Una masa de 1/2 kg está suspendida de un resorte cuya constante es de 18 N/m.

a) Si el cuerpo en reposo se suelta desde un punto que está a 0.1 m abajo de la posición

de equilibrio, determine la ecuación del movimiento.

b) ¿Cuál es el periodo del movimiento?

4. Una fuerza de 10 N estira un resorte 0.125 m. Después, al extremo libre de ese resorte

se fija una masa de 5 kg.

a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto que está a

0.4 m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 1.2

m/s.

b) ¿Cuántas oscilaciones completas realiza el cuerpo durante un intervalo de 8

segundos?

5. Un cuerpo de 2 kg se suspende de un resorte de constante 162 N/m.

a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto a 0.1 m

sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 1.2 m/s.

b) Grafique la ecuación del movimiento.

c) Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio

moviéndose hacia arriba.

d) ¿En qué posición se encuentra el cuerpo para t = /8, /9, /3 ?

e) Calcule la velocidad de la masa para los tiempos del inciso anterior y diga en qué

dirección se está moviendo?

Supongamos ahora, que sobre el cuerpo actúa una fuerza amortiguadora dada por un

múltiplo constante de la velocidad

. En este caso la ley de Newton establece que

Donde es la constante de amortiguación positiva.

Ejercicios

1. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4 Ib estira un resorte 6 pulgadas. El

medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2.5 veces

la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se desplaza 4

pulgadas por debajo de la posición de equilibrio y se suelta.

2. Resuelva nuevamente el ejercicio 1, suponiendo ahora que = 2.

3. Tomando en cuenta que = 1 repita el ejercicio 1..Determine los instantes en los que el

cuerpo pasa por la posición de equilibrio y realice la gráfica de la ecuación del

movimiento.