3. DISEO GEOMETRICO HORIZONTAL - PLANTA

3.1 CONCEPTOS: El diseo geomtrico de carreteras es el proceso decorrelacin entre sus elementos fsicos y caractersticas de operacin delos vehculos mediante el uso de las matemticas, la fsica y geometra.En este sentido, la carretera queda geomtricamente definida por eltrazado de su eje en Planta y en perfil y por el trazado de su seccintransversal.

Diseo geomtrico en Planta: o alineamiento horizontal, es laproyeccin sobre un plano horizontal de su eje real o espacial. Dicho ejehorizontal esta constituido por una serie de tramos rectos denominadostangentes, enlazados entre si por curvas.

3.2 CURVAS CIRCULARES SIMPLES: Son arcos de circunferencia de unsolo radio que unen dos tangentes consecutivas, conformando laproyeccin horizontal de las curvas.

3.2.1 Elementos geomtricos que caracterizan una curva circularsimple

En la figura anterior aparecen los diferentes elementos geomtricos de una curva horizontal simple,tomando el sentido de avance de izquierda derecha, dichos elementos son:

PI: Punto de interseccin de las tangentes

PC: Principio de curva, punto donde termina la tangente de entrada y empiezala curva.

PT: Principio de tangente, punto donde termina la curva y empieza la tangente desalida.

O: Centro de la curva circular.

: Angulo de deflexin de las tangentes. Angulo de deflexin principal, es igual al ngulocentral subtendido por el arco PC- PT.

R: Radio de la curva circular simple.

T: Tangente o sub tangente, distancia del PI al PC y desde el PI al PT

L: Longitud de la curva circular, distancia desde el PC hasta el PT a lo largo del arcocircular, o de un polgono de cuerdas.

CL: Cuerda larga: distancia en lnea recta entre el PC y el PT

E: Externa: Distancia desde el PI al punto medio dela curva A

M: Ordenada media: Distancia desde el punto medio de la curva A al punto medio de la cuerdalarga B

3.2.2 Expresiones que relacionan los elementos geomtricos.

Los anteriores elementos geomtricos se relacionan entre s, dando origen a expresionesque permiten el calculo de la curva.

T en funcin de R Y

En el triangulo O-PC-PI, se tiene: tan2=

T= R. tan

(3-1)

R en funcin de T Y

En el triangulo O-PC-PI, se tiene: tan2=

Donde: R= T/tan

(3-2)

CL en funcin de R Y

En el triangulo rectngulo O-B-PC, se tiene:

Sen2=B PC.

=CL/2

=CL2=

Donde: CL= 2R.Sen

(3-3)

E en funcin de R Y

En el triangulo O-PC-PI, se tiene:

C2=

+, , E= R[

1

COS

- 1] (3-4)

E en funcin de T Y

Reemplazando la ecuacin (3-2) 2n la ecuacin (3-4), se tiene:

E= [T

tan2

][1

COS2

- 1] , pero, tan2

= sen2/cos

2

.

E= [T./2/2

][1 /2

COS2

]

E= [T

/2][1 - /2], tambin se sabe que: /2 =2 /4 . /4

2 =22 1

E= [T

2./4./4][1 - 22/4 +1]

E= [T

2./4./4][2 - 22/4]

E= [T

/4./4][1 - 2/4]

E= [T

/4./4][2/4]

E= [T/4/4

]

E= T. / (3-5)

M en funcin de R Y

En el triangulo O-B-PC, se tiene:

C2=

0.=

0.=

M= R[ COS

] (3-6)

3.2.3 Curvatura de una curva circular simple.

La curvatura de un arco circular, se fija por su radio R o por su grado G.Se llama grado de curvatura G al valor del Angulo central sub tendidopor un arco o cuerda de determinada longitud, escogidos como arcounidad s o cuerda unidad c. en Colombia el arco unidad o cuerdaunidad usualmente de 5,10 y 20metros.

SISTEMA ARCO GRADO.

En este caso como se observa en la figura, el Angulo central G, essubtendido por un arco unidad s.

Matemtica y geomtricamente se sabe que el la curvatura de unacurva es inversamente proporcional al radio, esto es, mayor curvaturamenor radio y a menor curvatura mayor radio, lo que puede expresarseasi:

3.2.3 Curvatura de una curva circular simple.

Curvatura = 1/R

Tambin se sabe que para una curva circular de radio R, el arco s, es igual al producto delradio R por el ngulo central Gs, esto es:

s= R.Gs

Gs= S/R

De manera general, para cualquier arco s de radio R, relacionando ngulosEscriba aqu la ecuacin. centrales, setiene:

=360

2

Gs =.

(3 7)

Para este sistema, la longitud de la curva Ls, es la del arco circular entre sus puntos extremos Pc y PT.

Igualmente, relacionando arcos con ngulos centrales, se puede plantear:

=

Ls =.

(3 8)

Reemplazando Gs,

Ls =.

SISTEMA CUERDA - GRADO.

En este caso, segn la figura adjunta, el ngulo central Gc, es subtendidopor la cuerda unidad c

En uno de los dos tringulos formados, se tiene:

2=

2

, de donde

Gc = 2 asen

(3- 10)

Esta es la expresin para Gc, conocido como grado de curvatura de una curva circularde radio R, bajo el sistema cuerda- grado, la cual variara segn el valor de la cuerdaunidad.

Para este sistema la longitud de la curva Lc, es la de una poligonal inscrita en elladesde el Pc al PT. Cuyos lados son cuerdas, de esta manera, si se relacionan cuerdas yngulos centrales, se tiene:

=

Lc =.

(3-11)

3.2.4. Deflexin de una curva circular simple

El calculo y la localizacin de las curvas circulares simples en el terreno,en especial para el caso de la localizacin directa se realizan por elmtodo de los ngulos de deflexin.

Angulo de deflexin : de una curva al Angulo formado entrecualquier lnea tangente a la curva y la cuerda dirigida desde el punto detangencia a cualquier otro punto P sobre la curva, tal como muestra lafigura siguiente:

Para el Angulo de deflexin 1, correspondiente a la tangente en el PC Yel punto P1, y el Angulo de deflexin 2,correspondiente a la tangenteen el punto Q y el punto P2

Se sabe que

= Gc/2 (3 12)

pues los lados que los forman son perpendiculares entre si

Asi por ejemplo 1=1/2

Puesto que el lado PC.PI es perpendicular al lado P.PC y el lado PC.P1es perpendicular al lado OA.

Igualmente,

2=2/2

El mtodo mas usual en nuestro medio es el de calcular y deflectarlas curvas desde el PC, en este mtodo se pueden presentar doscasos:

DEFLEXION DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL PCES REDONDA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, Lc, ES IGUAL A UNNUMEROEXACTO DE CUERDAS UNIDAD , c

Es un caso poco comn, especialmente en la longitud de la curva, sin embargose ha planteado esta forma con el propsito de entender mas fcilmente elmtodo de las deflexiones.

Se entiende por abscisa redonda, aquella que es mltiplo de la cuerda unidadque se utilice. As por ejemplo, K2 + 225,para cuerdas de 5, para 10m K2 + 430y para cuerdas de 20metros K2 + 680..

Por lo tanto de acuerdo a la figura siguiente en la que se ha supuesto que lalongitud de la curva sea igual a tres(3) cuerdas unidad, se tiene:

Deflexin para la cuerda unidad :

= Gc/2

Para el punto P1:

1= Gc/2

Para localizar el punto P1 en el campo, se estaciona el transito en el PC, conceros en la direccin al PI, se deflecta el Angulo 1, en esta direccin se midela primera cuerda unidad c, quedando materializado dicho punto.

Para el punto P2,la deflexin ser:

2= (Gc+ Gc)/2

2= 1 + Gc/2

De igual manera para localizar el punto P2, se marca en el transito elAngulo 2, y se mide la segunda cuerda c desde el punto P1 LA interseccin deesta medida con la visual dirigida desde el PC materializa el punto.

Para el ultimo punto, el PT,la deflexin es:

3= (Gc+ Gc + Gc)/2

3= (1 + Gc/2) + Gc/2

3= 2 + Gc/2.

Al marcar en el transito el angulo de deflexin 3,la direccin de la visual,debe coincidir con el PT, y la distancia P2.PT debe ser igual a la unidad c.

Resumiendo

Resumiendo

1= Gc/2

2= 1 +Gc/2

3= 2 +Gc/2 = 3 Gc/2 = /2.

De acuerdo a las expresiones anteriores, se puede ver queladeflexin para cualquier punto sobre la curva es igual a la deflexinpR el punto anterior mas la deflexin por cuerda unidad Gc/2, y quela deflexin al PT es igual a /2.

DEFLEXION DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL PCES FRACCIONARIA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, Lc, NO ES IGUAL AUN NUMEROEXACTO DE CUERDAS UNIDAD , c

Este es el caso mas general que se presenta, en el cual al traerse unabscisado desde un cierto origen, se llega al PC con una abscisafraccionaria, por ejemplo el K2 + 423.876, el primer punto de la curvadebe situarse en la abscisa redonda inmediatamente superior a la delPC, la cual depende de la cuerda unidad que se este utilizando. Asi porejemplo, para cuerda de 5m, es el K2 + 425,para 10m K2 + 430 y para20m, ser K2 + 440,la distancia del primer punto al PC, ser 1.124m,6.12m y 16.124m respectivamente, lo mismo ocurre con el PT.

Como puede observarse, se han originado cuerdas de menor longitudque la cuerda unidad, las cuales se denominan subcuerdas, y cuyasdeflexiones correspondientes se deben calcular proporcionalmente alvalor de la cuerda unidad c, de all que es necesario determinar ladeflexin por metro d, asi:

Gc/2----------------c

d --------------------1m

d= Gc/2.c.

Conocidas las deflexiones por metro,ladeflexion por sub cuerda es:

Deflexin por sub cuerda = (longitud de la sub cuerda)x(Deflexionpormetro)

Taller.

1 Dado = 43 5E= 51.6m

c= 10m

Gc= ?

2 Dado = 12 3Gc= 56

T= ?

Lc= ?

3 Dado = 24 20R= 500m

c= 10m

abscisa PI: K0 + 364.23

abscisa PC:

abscisa PT:

Taller.4 Halla el Angulo Gc (Grado de curvatura) sin utilizar funciones

trigonomtricas, sabiendo queE = 5mT = 60mc = 10m

5. Si el radio de curvatura es de 1500m, calcular el Angulo dedeflexin para un arco de 4m, utilizando cuerdas c=10m.6. dados:

Gc= 2Abs PC: K2 + 210C= 10mAbs N K2 + 250. N situado sobre la primera tangente.

Hallar las coordenadas X y Y de N si el Angulo = 46

Taller.

7 Demostrar que E=T. tan /4