tablas de probabilidad y estadistica
TRANSCRIPT
Tabla 1 Distribución binomial B (n, p)p (X = x) =
¡nx
¢px (1− p)
n−x
n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.502 0 0.9025 0.81 0.7225 0.64 0.5625 0.49 0.4225 0.36 0.3025 0.25
1 0.095 0.18 0.255 0.32 0.375 0.42 0.455 0.48 0.495 0.52 0.0025 0.01 0.0225 0.04 0.0625 0.09 0.1225 0.16 0.2025 0.25
3 0 0.8574 0.729 0.6141 0.512 0.4219 0.343 0.2746 0.216 0.1664 0.1251 0.1354 0.243 0.3251 0.384 0.4219 0.441 0.4436 0.432 0.4084 0.3752 0.0071 0.027 0.0574 0.096 0.1406 0.189 0.2389 0.288 0.3341 0.3753 0.0001 0.001 0.0034 0.008 0.0156 0.027 0.0429 0.064 0.0911 0.125
4 0 0.8145 0.6561 0.522 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.06251 0.1715 0.2916 0.3685 0.4096 0.4219 0.4116 0.3845 0.3456 0.2995 0.252 0.0135 0.0486 0.0975 0.1536 0.2109 0.2646 0.3105 0.3456 0.3675 0.3753 0.0005 0.0036 0.0115 0.0256 0.0469 0.0756 0.1115 0.1536 0.2005 0.254 0. 0.0001 0.0005 0.0016 0.0039 0.0081 0.015 0.0256 0.041 0.0625
5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 0.116 0.0778 0.0503 0.03121 0.2036 0.3281 0.3915 0.4096 0.3955 0.3601 0.3124 0.2592 0.2059 0.15622 0.0214 0.0729 0.1382 0.2048 0.2637 0.3087 0.3364 0.3456 0.3369 0.31253 0.0011 0.0081 0.0244 0.0512 0.0879 0.1323 0.1811 0.2304 0.2757 0.31254 0. 0.0005 0.0022 0.0064 0.0146 0.0284 0.0488 0.0768 0.1128 0.15625 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.0024 0.0053 0.0102 0.0185 0.0312
6 0 0.7351 0.5314 0.3771 0.2621 0.178 0.1176 0.0754 0.0467 0.0277 0.01561 0.2321 0.3543 0.3993 0.3932 0.356 0.3025 0.2437 0.1866 0.1359 0.09382 0.0305 0.0984 0.1762 0.2458 0.2966 0.3241 0.328 0.311 0.278 0.23443 0.0021 0.0146 0.0415 0.0819 0.1318 0.1852 0.2355 0.2765 0.3032 0.31254 0.0001 0.0012 0.0055 0.0154 0.033 0.0595 0.0951 0.1382 0.1861 0.23445 0. 0.0001 0.0004 0.0015 0.0044 0.0102 0.0205 0.0369 0.0609 0.09386 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0041 0.0083 0.0156
7 0 0.6983 0.4783 0.3206 0.2097 0.1335 0.0824 0.049 0.028 0.0152 0.00781 0.2573 0.372 0.396 0.367 0.3115 0.2471 0.1848 0.1306 0.0872 0.05472 0.0406 0.124 0.2097 0.2753 0.3115 0.3177 0.2985 0.2613 0.214 0.16413 0.0036 0.023 0.0617 0.1147 0.173 0.2269 0.2679 0.2903 0.2918 0.27344 0.0002 0.0026 0.0109 0.0287 0.0577 0.0972 0.1442 0.1935 0.2388 0.27345 0. 0.0002 0.0012 0.0043 0.0115 0.025 0.0466 0.0774 0.1172 0.16416 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0036 0.0084 0.0172 0.032 0.05477 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0006 0.0016 0.0037 0.0078
8 0 0.6634 0.4305 0.2725 0.1678 0.1001 0.0576 0.0319 0.0168 0.0084 0.00391 0.2793 0.3826 0.3847 0.3355 0.267 0.1977 0.1373 0.0896 0.0548 0.03122 0.0515 0.1488 0.2376 0.2936 0.3115 0.2965 0.2587 0.209 0.1569 0.10943 0.0054 0.0331 0.0839 0.1468 0.2076 0.2541 0.2786 0.2787 0.2568 0.21884 0.0004 0.0046 0.0185 0.0459 0.0865 0.1361 0.1875 0.2322 0.2627 0.27345 0. 0.0004 0.0026 0.0092 0.0231 0.0467 0.0808 0.1239 0.1719 0.21886 0. 0. 0.0002 0.0011 0.0038 0.01 0.0217 0.0413 0.0703 0.10947 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0012 0.0033 0.0079 0.0164 0.03128 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0007 0.0017 0.0039
9 0 0.6302 0.3874 0.2316 0.1342 0.0751 0.0404 0.0207 0.0101 0.0046 0.0021 0.2985 0.3874 0.3679 0.302 0.2253 0.1556 0.1004 0.0605 0.0339 0.01762 0.0629 0.1722 0.2597 0.302 0.3003 0.2668 0.2162 0.1612 0.111 0.07033 0.0077 0.0446 0.1069 0.1762 0.2336 0.2668 0.2716 0.2508 0.2119 0.16414 0.0006 0.0074 0.0283 0.0661 0.1168 0.1715 0.2194 0.2508 0.26 0.24615 0. 0.0008 0.005 0.0165 0.0389 0.0735 0.1181 0.1672 0.2128 0.24616 0. 0.0001 0.0006 0.0028 0.0087 0.021 0.0424 0.0743 0.116 0.16417 0. 0. 0. 0.0003 0.0012 0.0039 0.0098 0.0212 0.0407 0.07038 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0035 0.0083 0.01769 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0008 0.002
1
Tabla 1 Distribución binomial (Continuación)
n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.5010 0 0.5987 0.3487 0.1969 0.1074 0.0563 0.0282 0.0135 0.006 0.0025 0.001
1 0.3151 0.3874 0.3474 0.2684 0.1877 0.1211 0.0725 0.0403 0.0207 0.00982 0.0746 0.1937 0.2759 0.302 0.2816 0.2335 0.1757 0.1209 0.0763 0.04393 0.0105 0.0574 0.1298 0.2013 0.2503 0.2668 0.2522 0.215 0.1665 0.11724 0.001 0.0112 0.0401 0.0881 0.146 0.2001 0.2377 0.2508 0.2384 0.20515 0.0001 0.0015 0.0085 0.0264 0.0584 0.1029 0.1536 0.2007 0.234 0.24616 0. 0.0001 0.0012 0.0055 0.0162 0.0368 0.0689 0.1115 0.1596 0.20517 0. 0. 0.0001 0.0008 0.0031 0.009 0.0212 0.0425 0.0746 0.11728 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0014 0.0043 0.0106 0.0229 0.04399 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0016 0.0042 0.009810 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001
11 0 0.5688 0.3138 0.1673 0.0859 0.0422 0.0198 0.0088 0.0036 0.0014 0.00051 0.3293 0.3835 0.3248 0.2362 0.1549 0.0932 0.0518 0.0266 0.0125 0.00542 0.0867 0.2131 0.2866 0.2953 0.2581 0.1998 0.1395 0.0887 0.0513 0.02693 0.0137 0.071 0.1517 0.2215 0.2581 0.2568 0.2254 0.1774 0.1259 0.08064 0.0014 0.0158 0.0536 0.1107 0.1721 0.2201 0.2428 0.2365 0.206 0.16115 0.0001 0.0025 0.0132 0.0388 0.0803 0.1321 0.183 0.2207 0.236 0.22566 0. 0.0003 0.0023 0.0097 0.0268 0.0566 0.0985 0.1471 0.1931 0.22567 0. 0. 0.0003 0.0017 0.0064 0.0173 0.0379 0.0701 0.1128 0.16118 0. 0. 0. 0.0002 0.0011 0.0037 0.0102 0.0234 0.0462 0.08069 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0018 0.0052 0.0126 0.026910 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0007 0.0021 0.005411 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0005
12 0 0.5404 0.2824 0.1422 0.0687 0.0317 0.0138 0.0057 0.0022 0.0008 0.00021 0.3413 0.3766 0.3012 0.2062 0.1267 0.0712 0.0368 0.0174 0.0075 0.00292 0.0988 0.2301 0.2924 0.2835 0.2323 0.1678 0.1088 0.0639 0.0339 0.01613 0.0173 0.0852 0.172 0.2362 0.2581 0.2397 0.1954 0.1419 0.0923 0.05374 0.0021 0.0213 0.0683 0.1329 0.1936 0.2311 0.2367 0.2128 0.17 0.12085 0.0002 0.0038 0.0193 0.0532 0.1032 0.1585 0.2039 0.227 0.2225 0.19346 0. 0.0005 0.004 0.0155 0.0401 0.0792 0.1281 0.1766 0.2124 0.22567 0. 0. 0.0006 0.0033 0.0115 0.0291 0.0591 0.1009 0.1489 0.19348 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0024 0.0078 0.0199 0.042 0.0762 0.12089 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0015 0.0048 0.0125 0.0277 0.053710 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0025 0.0068 0.016111 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.002912 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002
13 0 0.5133 0.2542 0.1209 0.055 0.0238 0.0097 0.0037 0.0013 0.0004 0.00011 0.3512 0.3672 0.2774 0.1787 0.1029 0.054 0.0259 0.0113 0.0045 0.00162 0.1109 0.2448 0.2937 0.268 0.2059 0.1388 0.0836 0.0453 0.022 0.00953 0.0214 0.0997 0.19 0.2457 0.2517 0.2181 0.1651 0.1107 0.066 0.03494 0.0028 0.0277 0.0838 0.1535 0.2097 0.2337 0.2222 0.1845 0.135 0.08735 0.0003 0.0055 0.0266 0.0691 0.1258 0.1803 0.2154 0.2214 0.1989 0.15716 0. 0.0008 0.0063 0.023 0.0559 0.103 0.1546 0.1968 0.2169 0.20957 0. 0.0001 0.0011 0.0058 0.0186 0.0442 0.0833 0.1312 0.1775 0.20958 0. 0. 0.0001 0.0011 0.0047 0.0142 0.0336 0.0656 0.1089 0.15719 0. 0. 0. 0.0001 0.0009 0.0034 0.0101 0.0243 0.0495 0.087310 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0022 0.0065 0.0162 0.034911 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0012 0.0036 0.009512 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.001613 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001
2
Tabla 1 Distribución binomial (Continuación)
n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.5014 0 0.4877 0.2288 0.1028 0.044 0.0178 0.0068 0.0024 0.0008 0.0002 0.0001
1 0.3593 0.3559 0.2539 0.1539 0.0832 0.0407 0.0181 0.0073 0.0027 0.00092 0.1229 0.257 0.2912 0.2501 0.1802 0.1134 0.0634 0.0317 0.0141 0.00563 0.0259 0.1142 0.2056 0.2501 0.2402 0.1943 0.1366 0.0845 0.0462 0.02224 0.0037 0.0349 0.0998 0.172 0.2202 0.229 0.2022 0.1549 0.104 0.06115 0.0004 0.0078 0.0352 0.086 0.1468 0.1963 0.2178 0.2066 0.1701 0.12226 0. 0.0013 0.0093 0.0322 0.0734 0.1262 0.1759 0.2066 0.2088 0.18337 0. 0.0002 0.0019 0.0092 0.028 0.0618 0.1082 0.1574 0.1952 0.20958 0. 0. 0.0003 0.002 0.0082 0.0232 0.051 0.0918 0.1398 0.18339 0. 0. 0. 0.0003 0.0018 0.0066 0.0183 0.0408 0.0762 0.122210 0. 0. 0. 0. 0.0003 0.0014 0.0049 0.0136 0.0312 0.061111 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.001 0.0033 0.0093 0.022212 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0019 0.005613 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.000914 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001
15 0 0.4633 0.2059 0.0874 0.0352 0.0134 0.0047 0.0016 0.0005 0.0001 0.1 0.3658 0.3432 0.2312 0.1319 0.0668 0.0305 0.0126 0.0047 0.0016 0.00052 0.1348 0.2669 0.2856 0.2309 0.1559 0.0916 0.0476 0.0219 0.009 0.00323 0.0307 0.1285 0.2184 0.2501 0.2252 0.17 0.111 0.0634 0.0318 0.01394 0.0049 0.0428 0.1156 0.1876 0.2252 0.2186 0.1792 0.1268 0.078 0.04175 0.0006 0.0105 0.0449 0.1032 0.1651 0.2061 0.2123 0.1859 0.1404 0.09166 0. 0.0019 0.0132 0.043 0.0917 0.1472 0.1906 0.2066 0.1914 0.15277 0. 0.0003 0.003 0.0138 0.0393 0.0811 0.1319 0.1771 0.2013 0.19648 0. 0. 0.0005 0.0035 0.0131 0.0348 0.071 0.1181 0.1647 0.19649 0. 0. 0.0001 0.0007 0.0034 0.0116 0.0298 0.0612 0.1048 0.152710 0. 0. 0. 0.0001 0.0007 0.003 0.0096 0.0245 0.0515 0.091611 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0024 0.0074 0.0191 0.041712 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0016 0.0052 0.013913 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.003214 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.000515 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
16 0 0.4401 0.1853 0.0743 0.0281 0.01 0.0033 0.001 0.0003 0.0001 0.1 0.3706 0.3294 0.2097 0.1126 0.0535 0.0228 0.0087 0.003 0.0009 0.00022 0.1463 0.2745 0.2775 0.2111 0.1336 0.0732 0.0353 0.015 0.0056 0.00183 0.0359 0.1423 0.2285 0.2463 0.2079 0.1465 0.0888 0.0468 0.0215 0.00854 0.0061 0.0514 0.1311 0.2001 0.2252 0.204 0.1553 0.1014 0.0572 0.02785 0.0008 0.0137 0.0555 0.1201 0.1802 0.2099 0.2008 0.1623 0.1123 0.06676 0.0001 0.0028 0.018 0.055 0.1101 0.1649 0.1982 0.1983 0.1684 0.12227 0. 0.0004 0.0045 0.0197 0.0524 0.101 0.1524 0.1889 0.1969 0.17468 0. 0.0001 0.0009 0.0055 0.0197 0.0487 0.0923 0.1417 0.1812 0.19649 0. 0. 0.0001 0.0012 0.0058 0.0185 0.0442 0.084 0.1318 0.174610 0. 0. 0. 0.0002 0.0014 0.0056 0.0167 0.0392 0.0755 0.122211 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0013 0.0049 0.0142 0.0337 0.066712 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0011 0.004 0.0115 0.027813 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0029 0.008514 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.001815 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.000216 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
3
Tabla 2 Distribución de Poisson P (λ)
p (X = x) = e−lλx
x!
λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.5 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1.0 0.3679 0.3679 0.1839 0.0613 0.0153 0.0031 0.0005 0.0001 0. 0. 0. 0. 0.1.5 0.2231 0.3347 0.251 0.1255 0.0471 0.0141 0.0035 0.0008 0.0001 0. 0. 0. 0.2.0 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.012 0.0034 0.0009 0.0002 0. 0. 0.2.5 0.0821 0.2052 0.2565 0.2138 0.1336 0.0668 0.0278 0.0099 0.0031 0.0009 0.0002 0. 0.3.0 0.0498 0.1494 0.224 0.224 0.168 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.0008 0.0002 0.00013.5 0.0302 0.1057 0.185 0.2158 0.1888 0.1322 0.0771 0.0385 0.0169 0.0066 0.0023 0.0007 0.00024.0 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132 0.0053 0.0019 0.00064.5 0.0111 0.05 0.1125 0.1687 0.1898 0.1708 0.1281 0.0824 0.0463 0.0232 0.0104 0.0043 0.00165.0 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044 0.0653 0.0363 0.0181 0.0082 0.0034
5.5 0.0041 0.0225 0.0618 0.1133 0.1558 0.1714 0.1571 0.1234 0.0849 0.0519 0.0285 0.0143 0.00656.0 0.0025 0.0149 0.0446 0.0892 0.1339 0.1606 0.1606 0.1377 0.1033 0.0688 0.0413 0.0225 0.01136.5 0.0015 0.0098 0.0318 0.0688 0.1118 0.1454 0.1575 0.1462 0.1188 0.0858 0.0558 0.033 0.01797.0 0.0009 0.0064 0.0223 0.0521 0.0912 0.1277 0.149 0.149 0.1304 0.1014 0.071 0.0452 0.02637.5 0.0006 0.0041 0.0156 0.0389 0.0729 0.1094 0.1367 0.1465 0.1373 0.1144 0.0858 0.0585 0.03668.0 0.0003 0.0027 0.0107 0.0286 0.0573 0.0916 0.1221 0.1396 0.1396 0.1241 0.0993 0.0722 0.04818.5 0.0002 0.0017 0.0074 0.0208 0.0443 0.0752 0.1066 0.1294 0.1375 0.1299 0.1104 0.0853 0.06049.0 0.0001 0.0011 0.005 0.015 0.0337 0.0607 0.0911 0.1171 0.1318 0.1318 0.1186 0.097 0.07289.5 0.0001 0.0007 0.0034 0.0107 0.0254 0.0483 0.0764 0.1037 0.1232 0.13 0.1235 0.1067 0.084410.0 0. 0.0005 0.0023 0.0076 0.0189 0.0378 0.0631 0.0901 0.1126 0.1251 0.1251 0.1137 0.0948
10.5 0. 0.0003 0.0015 0.0053 0.0139 0.0293 0.0513 0.0769 0.1009 0.1177 0.1236 0.118 0.103211.0 0. 0.0002 0.001 0.0037 0.0102 0.0224 0.0411 0.0646 0.0888 0.1085 0.1194 0.1194 0.109411.5 0. 0.0001 0.0007 0.0026 0.0074 0.017 0.0325 0.0535 0.0769 0.0982 0.1129 0.1181 0.113112.0 0. 0.0001 0.0004 0.0018 0.0053 0.0127 0.0255 0.0437 0.0655 0.0874 0.1048 0.1144 0.114412.5 0. 0. 0.0003 0.0012 0.0038 0.0095 0.0197 0.0353 0.0551 0.0765 0.0956 0.1087 0.113213.0 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0027 0.007 0.0152 0.0281 0.0457 0.0661 0.0859 0.1015 0.109913.5 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0019 0.0051 0.0115 0.0222 0.0375 0.0563 0.076 0.0932 0.104914.0 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0037 0.0087 0.0174 0.0304 0.0473 0.0663 0.0844 0.098414.5 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0009 0.0027 0.0065 0.0135 0.0244 0.0394 0.0571 0.0753 0.09115.0 0. 0. 0. 0.0002 0.0006 0.0019 0.0048 0.0104 0.0194 0.0324 0.0486 0.0663 0.0829
Tabla 2 Distribución de Poisson (Continuación)
λ 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 253.5 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.4.0 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.4.5 0.0006 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.5.0 0.0013 0.0005 0.0002 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
5.5 0.0028 0.0011 0.0004 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.6.0 0.0052 0.0022 0.0009 0.0003 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.6.5 0.0089 0.0041 0.0018 0.0007 0.0003 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.7.0 0.0142 0.0071 0.0033 0.0014 0.0006 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0.7.5 0.0211 0.0113 0.0057 0.0026 0.0012 0.0005 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0.8.0 0.0296 0.0169 0.009 0.0045 0.0021 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0.8.5 0.0395 0.024 0.0136 0.0072 0.0036 0.0017 0.0008 0.0003 0.0001 0.0001 0. 0. 0.9.0 0.0504 0.0324 0.0194 0.0109 0.0058 0.0029 0.0014 0.0006 0.0003 0.0001 0. 0. 0.9.5 0.0617 0.0419 0.0265 0.0157 0.0088 0.0046 0.0023 0.0011 0.0005 0.0002 0.0001 0. 0.10.0 0.0729 0.0521 0.0347 0.0217 0.0128 0.0071 0.0037 0.0019 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0.
10.5 0.0834 0.0625 0.0438 0.0287 0.0177 0.0104 0.0057 0.003 0.0015 0.0007 0.0003 0.0001 0.000111.0 0.0926 0.0728 0.0534 0.0367 0.0237 0.0145 0.0084 0.0046 0.0024 0.0012 0.0006 0.0003 0.000111.5 0.1001 0.0822 0.063 0.0453 0.0306 0.0196 0.0119 0.0068 0.0037 0.002 0.001 0.0005 0.000212.0 0.1056 0.0905 0.0724 0.0543 0.0383 0.0255 0.0161 0.0097 0.0055 0.003 0.0016 0.0008 0.000412.5 0.1089 0.0972 0.081 0.0633 0.0465 0.0323 0.0213 0.0133 0.0079 0.0045 0.0024 0.0013 0.000613.0 0.1099 0.1021 0.0885 0.0719 0.055 0.0397 0.0272 0.0177 0.0109 0.0065 0.0037 0.002 0.00113.5 0.1089 0.105 0.0945 0.0798 0.0633 0.0475 0.0337 0.0228 0.0146 0.009 0.0053 0.003 0.001614.0 0.106 0.106 0.0989 0.0866 0.0713 0.0554 0.0409 0.0286 0.0191 0.0121 0.0074 0.0043 0.002414.5 0.1014 0.1051 0.1016 0.092 0.0785 0.0632 0.0483 0.035 0.0242 0.0159 0.01 0.0061 0.003515.0 0.0956 0.1024 0.1024 0.096 0.0847 0.0706 0.0557 0.0418 0.0299 0.0204 0.0133 0.0083 0.005
Tabla 3 Distribución Normal N (0, 1)Z ∞x
−∞
1√2π
e−x2/2dx
0 x
F(x)
0 x
F(x)
x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.8831.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.98572.3 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9892.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
x 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.8 4.0F (x) 0.99865 0.99904 0.99931 0.99952 0.99966 0.99976 0.99984 0.99993 0.99997
Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que una normal típica caiga por debajo delvalor x tabulado en el exterior de ella.
6
Tabla 4 Distribución Normal N (0, 1)
0 zα-zα
α/2α/2
0 zα-zα
α/2α/2
α 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 ∞ 2,5758 2,3263 2.1701 2.0537 1.96 1.8808 1.8119 1.7507 1.6954
0.1 1.6449 1,5982 1.5548 1.5141 1.4758 1.4395 1.4051 1.3722 1.3408 1.3106
0.2 1.2816 1,2536 1.2265 1.2004 1.175 1.1503 1.1264 1.1031 1.0803 1.0581
0.3 1.0364 1,0152 0.9945 0.9741 0.9542 0.9346 0.9154 0.8965 0.8779 0.8596
0.4 0.8416 0,8239 0.8064 0.7892 0.7722 0.7554 0.7388 0.7225 0.7063 0.6903
0.5 0.6745 0,6588 0.6433 0.628 0.6128 0.5978 0.5828 0.5681 0.5534 0.5388
0.6 0.5244 0,5101 0.4959 0.4817 0.4677 0.4538 0.4399 0.4261 0.4125 0.3989
0.7 0.3853 0,3719 0.3585 0.3451 0.3319 0.3186 0.3055 0.2924 0.2793 0.2663
0.8 0.2533 0,2404 0.2275 0.2147 0.2019 0.1891 0.1764 0.1637 0.151 0.1383
0.9 0.1257 0,113 0.1004 0.0878 0.0753 0.0627 0.0502 0.0376 0.0251 0.0125
Para los valores pequeños de α
α 0,002 0,001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001
zα 3,090 3,291 3.891 4.417 4.892 5.327
Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad α de que una Normal típica caiga por debajo de-zα o por encima de zα (zα aparece en el interior de la tabla).
7
Tabla 5 Distribución t de Student
0 tα-tα
α/2α/2
0 tα-tα
α/2α/2
g.l. 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.0011 1. 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.6192 0.816 1.061 1.386 1.886 2.92 4.303 6.965 9.925 31.5993 0.765 0.978 1.25 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.9244 0.741 0.941 1.19 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.615 0.727 0.92 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.8696 0.718 0.906 1.134 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 5.9597 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.4088 0.706 0.889 1.108 1.397 1.86 2.306 2.896 3.355 5.0419 0.703 0.883 1.1 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25 4.78110 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.58711 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.43712 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.31813 0.694 0.87 1.079 1.35 1.771 2.16 2.65 3.012 4.22114 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.1415 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.07316 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.12 2.583 2.921 4.01517 0.689 0.863 1.069 1.333 1.74 2.11 2.567 2.898 3.96518 0.688 0.862 1.067 1.33 1.734 2.101 2.552 2.878 3.92219 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.88320 0.687 0.86 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.8521 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.08 2.518 2.831 3.81922 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.79223 0.685 0.858 1.06 1.319 1.714 2.069 2.5 2.807 3.76824 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.74525 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.06 2.485 2.787 3.72526 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.70727 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.6928 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.67429 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.65930 0.683 0.854 1.055 1.31 1.697 2.042 2.457 2.75 3.64635 0.682 0.852 1.052 1.306 1.69 2.03 2.438 2.724 3.59140 0.681 0.851 1.05 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.55145 0.68 0.85 1.049 1.301 1.679 2.014 2.412 2.69 3.5250 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.49660 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2. 2.39 2.66 3.4680 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.99 2.374 2.639 3.416100 0.677 0.845 1.042 1.29 1.66 1.984 2.364 2.626 3.39∞ 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576 3.291
Nota: Para cada valor de los grados de libertad (primera columna), y cada valor de α (primera fila), enel interior de lla tabla se da el valor tα, tal que a la izquierda de −tα y a la derecha de tα queda un áreatotal de α.
8
Tabla 6 Distribución χ2
χα20
α
χα20
α
g.l. 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.200 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0011 0. 0. 0.001 0.004 0.016 1.642 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282 0.01 0.02 0.051 0.103 0.211 3.219 4.605 5.991 7.378 9.21 10.597 13.8163 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 4.642 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 16.2664 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 5.989 7.779 9.488 11.143 13.277 14.86 18.4675 0.412 0.554 0.831 1.145 1.61 7.289 9.236 11.07 12.833 15.086 16.75 20.5156 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 8.558 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.4587 0.989 1.239 1.69 2.167 2.833 9.803 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.3228 1.344 1.646 2.18 2.733 3.49 11.03 13.362 15.507 17.535 20.09 21.955 26.1249 1.735 2.088 2.7 3.325 4.168 12.242 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.87710 2.156 2.558 3.247 3.94 4.865 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.58811 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 14.631 17.275 19.675 21.92 24.725 26.757 31.26412 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 15.812 18.549 21.026 23.337 26.217 28.3 32.90913 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.52814 4.075 4.66 5.629 6.571 7.79 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.12315 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.69716 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 20.465 23.542 26.296 28.845 32. 34.267 39.25217 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.7918 6.265 7.015 8.231 9.39 10.865 22.76 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 42.31219 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 23.9 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.8220 7.434 8.26 9.591 10.851 12.443 25.038 28.412 31.41 34.17 37.566 39.997 45.31521 8.034 8.897 10.283 11.591 13.24 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 46.79722 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 27.301 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 48.26823 9.26 10.196 11.689 13.091 14.848 28.429 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 49.72824 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 29.553 33.196 36.415 39.364 42.98 45.559 51.17925 10.52 11.524 13.12 14.611 16.473 30.675 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 52.6226 11.16 12.198 13.844 15.379 17.292 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 48.29 54.05227 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 32.912 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 55.47628 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993 56.89229 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 35.139 39.087 42.557 45.722 49.588 52.336 58.30130 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 36.25 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 59.703
Notas:
1. Para cada g.l. (primera columna) y cada α (primera fila), en el interior de la tabla aparece el valor χ2αque deja a su derecha un área α.
2. Cuando g.l.>30, puede utilizarse la aproximación: χ2α (g.l.) ' g.l.n1− 2
9g.l. ± t2βq
29g.l.
o3con t2β en la
Tabla 5 y:
a) Si α ≤ 0,20, hacer β = α y utilizar el signo positivo
b) Si α ≥ 0,80, hacer β = (1− α) y utilizar el signo negativo
c) Si 0,20 < α < 0,80, se utiliza otra aproximación
9
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 10%
ν2Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 39.86 49.5 53.59 55.83 57.24 58.2 58.91 59.44 59.86 60.19 60.71 61.22 61.74 62. 62.26 62.53 62.79 63.06 63.332 8.53 9. 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.493 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.22 5.2 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14 5.134 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 3.9 3.87 3.84 3.83 3.82 3.8 3.79 3.78 3.765 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.4 3.37 3.34 3.32 3.3 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12 3.16 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.9 2.87 2.84 2.82 2.8 2.78 2.76 2.74 2.727 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.7 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49 2.478 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.5 2.46 2.42 2.4 2.38 2.36 2.34 2.32 2.299 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.38 2.34 2.3 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.1610 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.28 2.24 2.2 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2.06
11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.3 2.27 2.25 2.21 2.17 2.12 2.1 2.08 2.05 2.03 2. 1.9712 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.15 2.1 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.913 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.2 2.16 2.14 2.1 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.9 1.88 1.8514 3.1 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.1 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.815 3.07 2.7 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1.9 1.87 1.85 1.82 1.79 1.7616 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.7217 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.1 2.06 2.03 2. 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.6918 3.01 2.62 2.42 2.29 2.2 2.13 2.08 2.04 2. 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.6619 2.99 2.61 2.4 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.7 1.67 1.6320 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2. 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64 1.61
21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.5922 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.9 1.86 1.81 1.76 1.73 1.7 1.67 1.64 1.6 1.5723 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.8 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.5524 2.93 2.54 2.33 2.19 2.1 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.7 1.67 1.64 1.61 1.57 1.5325 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.5226 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54 1.527 2.9 2.51 2.3 2.17 2.07 2. 1.95 1.91 1.87 1.85 1.8 1.75 1.7 1.67 1.64 1.6 1.57 1.53 1.4928 2.89 2.5 2.29 2.16 2.06 2. 1.94 1.9 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 1.4829 2.89 2.5 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51 1.4730 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.5 1.46
40 2.84 2.44 2.23 2.09 2. 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.3860 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.6 1.54 1.51 1.48 1.44 1.4 1.35 1.29120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.9 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.6 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19∞ 2.71 2.3 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.6 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.3 1.24 1.18 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 5%
ν2Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 161.5 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 254.32 18.51 19. 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.53 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.7 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.534 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6. 5.96 5.91 5.86 5.8 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.635 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.5 4.46 4.43 4.4 4.366 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06 4. 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.7 3.677 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.3 3.27 3.238 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.939 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.9 2.86 2.83 2.79 2.75 2.7110 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.7 2.66 2.62 2.58 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.412 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3. 2.91 2.85 2.8 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.313 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.6 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.3 2.25 2.2114 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.1315 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.4 2.33 2.29 2.25 2.2 2.16 2.11 2.0716 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.0117 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.1 2.06 2.01 1.9618 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.9219 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.8820 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.2 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.9 1.84
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.1 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.8122 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.7823 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.2 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.7624 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.7325 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.7126 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 1.6927 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.6728 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.6529 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.1 2.03 1.94 1.9 1.85 1.81 1.75 1.7 1.6430 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2. 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.5160 4. 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.1 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.7 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.5 1.43 1.35 1.25∞ 3.84 3. 2.6 2.37 2.21 2.1 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.23 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 2,5%
ν2Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.7 963.3 968.6 976.7 984.9 993.1 997.2 1001 1006 1010 1014 10182 38.51 39. 39.17 39.25 39.3 39.33 39.36 39.37 39.39 39.4 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49 39.53 17.44 16.04 15.44 15.1 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 14.04 13.99 13.95 13.94 12.22 10.65 9.98 9.6 9.36 9.2 9.07 8.98 8.9 8.84 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31 8.265 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07 6.026 8.81 7.26 6.6 6.23 5.99 5.82 5.7 5.6 5.52 5.46 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.9 4.857 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.9 4.82 4.76 4.67 4.57 4.47 4.41 4.36 4.31 4.25 4.2 4.148 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.3 4.2 4.1 4. 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.679 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.2 4.1 4.03 3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 3.3310 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.2 3.14 3.08
11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3. 2.94 2.8812 6.55 5.1 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79 2.7213 6.41 4.97 4.35 4. 3.77 3.6 3.48 3.39 3.31 3.25 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66 2.614 6.3 4.86 4.24 3.89 3.66 3.5 3.38 3.29 3.21 3.15 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55 2.4915 6.2 4.77 4.15 3.8 3.58 3.41 3.29 3.2 3.12 3.06 2.96 2.86 2.76 2.7 2.64 2.59 2.52 2.46 2.416 6.12 4.69 4.08 3.73 3.5 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38 2.3217 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 2.5 2.44 2.38 2.32 2.2518 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.1 3.01 2.93 2.87 2.77 2.67 2.56 2.5 2.44 2.38 2.32 2.26 2.1919 5.92 4.51 3.9 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.2 2.1320 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.16 2.09
21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.8 2.73 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.11 2.0422 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.7 2.6 2.5 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08 2.23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.9 2.81 2.73 2.67 2.57 2.47 2.36 2.3 2.24 2.18 2.11 2.04 1.9724 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.7 2.64 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01 1.9425 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.51 2.41 2.3 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98 1.9126 5.66 4.27 3.67 3.33 3.1 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.49 2.39 2.28 2.22 2.16 2.09 2.03 1.95 1.8827 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.8 2.71 2.63 2.57 2.47 2.36 2.25 2.19 2.13 2.07 2. 1.93 1.8528 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.9 2.78 2.69 2.61 2.55 2.45 2.34 2.23 2.17 2.11 2.05 1.98 1.91 1.8329 5.59 4.2 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.43 2.32 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89 1.8130 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.41 2.31 2.2 2.14 2.07 2.01 1.94 1.87 1.79
40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.9 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.8 1.72 1.6460 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 1.58 1.48120 5.15 3.8 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.3 2.22 2.16 2.05 1.94 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 1.43 1.31∞ 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.94 1.83 1.71 1.64 1.57 1.48 1.39 1.26 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 1%
ν2Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 63662 98.5 99. 99.17 99.25 99.3 99.33 99.36 99.37 99.39 99.4 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49 99.53 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.6 26.5 26.41 26.32 26.22 26.134 21.2 18. 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.8 14.66 14.55 14.37 14.2 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.465 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.2 9.11 9.026 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.1 7.98 7.87 7.72 7.56 7.4 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.887 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.658 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.2 5.12 5.03 4.95 4.869 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.8 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.4 4.3110 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.2 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4. 3.91
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.4 4.25 4.1 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.612 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.5 4.39 4.3 4.16 4.01 3.86 3.78 3.7 3.62 3.54 3.45 3.3613 9.07 6.7 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.3 4.19 4.1 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.1714 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.8 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4. 3.89 3.8 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.8716 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.2 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.1 3.02 2.93 2.84 2.7517 8.4 6.11 5.18 4.67 4.34 4.1 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3. 2.92 2.83 2.75 2.6518 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.6 3.51 3.37 3.23 3.08 3. 2.92 2.84 2.75 2.66 2.5719 8.18 5.93 5.01 4.5 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.3 3.15 3. 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.4920 8.1 5.85 4.94 4.43 4.1 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.4 3.31 3.17 3.03 2.88 2.8 2.72 2.64 2.55 2.46 2.3622 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.5 2.4 2.3123 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.3 3.21 3.07 2.93 2.78 2.7 2.62 2.54 2.45 2.35 2.2624 7.82 5.61 4.72 4.22 3.9 3.67 3.5 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.4 2.31 2.2125 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.7 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.1726 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.81 2.66 2.58 2.5 2.42 2.33 2.23 2.1327 7.68 5.49 4.6 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.2 2.128 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.9 2.75 2.6 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.0629 7.6 5.42 4.54 4.04 3.73 3.5 3.33 3.2 3.09 3. 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.0330 7.56 5.39 4.51 4.02 3.7 3.47 3.3 3.17 3.07 2.98 2.84 2.7 2.55 2.47 2.39 2.3 2.21 2.11 2.01
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8 2.66 2.52 2.37 2.29 2.2 2.11 2.02 1.92 1.860 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.5 2.35 2.2 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.6120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38∞ 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.8 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.7 1.59 1.47 1.32 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 0,5%
ν2Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 16211 20000 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 24426 24630 24836 24940 25044 25148 25253 25359 254652 198.5 199. 199.2 199.2 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.53 55.55 49.8 47.47 46.19 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.69 43.39 43.08 42.78 42.62 42.47 42.31 42.15 41.99 41.834 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 21.14 20.97 20.7 20.44 20.17 20.03 19.89 19.75 19.61 19.47 19.325 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.2 13.96 13.77 13.62 13.38 13.15 12.9 12.78 12.66 12.53 12.4 12.27 12.146 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.81 9.59 9.47 9.36 9.24 9.12 9. 8.887 16.24 12.4 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.18 7.97 7.75 7.64 7.53 7.42 7.31 7.19 7.088 14.69 11.04 9.6 8.81 8.3 7.95 7.69 7.5 7.34 7.21 7.01 6.81 6.61 6.5 6.4 6.29 6.18 6.06 5.959 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.23 6.03 5.83 5.73 5.62 5.52 5.41 5.3 5.1910 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.3 6.12 5.97 5.85 5.66 5.47 5.27 5.17 5.07 4.97 4.86 4.75 4.64
11 12.23 8.91 7.6 6.88 6.42 6.1 5.86 5.68 5.54 5.42 5.24 5.05 4.86 4.76 4.65 4.55 4.45 4.34 4.2312 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.2 5.09 4.91 4.72 4.53 4.43 4.33 4.23 4.12 4.01 3.913 11.37 8.19 6.93 6.23 5.79 5.48 5.25 5.08 4.94 4.82 4.64 4.46 4.27 4.17 4.07 3.97 3.87 3.76 3.6514 11.06 7.92 6.68 6. 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72 4.6 4.43 4.25 4.06 3.96 3.86 3.76 3.66 3.55 3.4415 10.8 7.7 6.48 5.8 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.25 4.07 3.88 3.79 3.69 3.58 3.48 3.37 3.2616 10.58 7.51 6.3 5.64 5.21 4.91 4.69 4.52 4.38 4.27 4.1 3.92 3.73 3.64 3.54 3.44 3.33 3.22 3.1117 10.38 7.35 6.16 5.5 5.07 4.78 4.56 4.39 4.25 4.14 3.97 3.79 3.61 3.51 3.41 3.31 3.21 3.1 2.9818 10.22 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 4.44 4.28 4.14 4.03 3.86 3.68 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 2.99 2.8719 10.07 7.09 5.92 5.27 4.85 4.56 4.34 4.18 4.04 3.93 3.76 3.59 3.4 3.31 3.21 3.11 3. 2.89 2.7820 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.68 3.5 3.32 3.22 3.12 3.02 2.92 2.81 2.69
21 9.83 6.89 5.73 5.09 4.68 4.39 4.18 4.01 3.88 3.77 3.6 3.43 3.24 3.15 3.05 2.95 2.84 2.73 2.6122 9.73 6.81 5.65 5.02 4.61 4.32 4.11 3.94 3.81 3.7 3.54 3.36 3.18 3.08 2.98 2.88 2.77 2.66 2.5523 9.63 6.73 5.58 4.95 4.54 4.26 4.05 3.88 3.75 3.64 3.47 3.3 3.12 3.02 2.92 2.82 2.71 2.6 2.4824 9.55 6.66 5.52 4.89 4.49 4.2 3.99 3.83 3.69 3.59 3.42 3.25 3.06 2.97 2.87 2.77 2.66 2.55 2.4325 9.48 6.6 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.37 3.2 3.01 2.92 2.82 2.72 2.61 2.5 2.3826 9.41 6.54 5.41 4.79 4.38 4.1 3.89 3.73 3.6 3.49 3.33 3.15 2.97 2.87 2.77 2.67 2.56 2.45 2.3327 9.34 6.49 5.36 4.74 4.34 4.06 3.85 3.69 3.56 3.45 3.28 3.11 2.93 2.83 2.73 2.63 2.52 2.41 2.2928 9.28 6.44 5.32 4.7 4.3 4.02 3.81 3.65 3.52 3.41 3.25 3.07 2.89 2.79 2.69 2.59 2.48 2.37 2.2529 9.23 6.4 5.28 4.66 4.26 3.98 3.77 3.61 3.48 3.38 3.21 3.04 2.86 2.76 2.66 2.56 2.45 2.33 2.2130 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.18 3.01 2.82 2.73 2.63 2.52 2.42 2.3 2.18
40 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.95 2.78 2.6 2.5 2.4 2.3 2.18 2.06 1.9360 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.9 2.74 2.57 2.39 2.29 2.19 2.08 1.96 1.83 1.69120 8.18 5.54 4.5 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.54 2.37 2.19 2.09 1.98 1.87 1.75 1.61 1.43∞ 7.88 5.3 4.28 3.72 3.35 3.09 2.9 2.74 2.62 2.52 2.36 2.19 2. 1.9 1.79 1.67 1.53 1.37 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 10/00
ν2Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞1 4053* 5000* 5404* 5625* 5764* 5859* 5929* 5981* 6023* 6056* 6107* 6158* 6209* 6235* 6261* 6287* 6313* 6340* 6366*2 998.5 999. 999.2 999.3 999.3 999.3 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.5 999.5 999.5 999.5 999.5 999.53 167.0 148.5 141.1 137.1 134.6 132.8 131.6 130.6 129.9 129.2 128.3 127.4 126.4 125.9 125.4 125.0 124.5 124.0 123.54 74.14 61.25 56.18 53.44 51.71 50.53 49.66 49. 48.47 48.05 47.41 46.76 46.1 45.77 45.43 45.09 44.75 44.4 44.055 47.18 37.12 33.2 31.09 29.75 28.83 28.16 27.65 27.24 26.92 26.42 25.91 25.39 25.13 24.87 24.6 24.33 24.06 23.796 35.51 27. 23.7 21.92 20.8 20.03 19.46 19.03 18.69 18.41 17.99 17.56 17.12 16.9 16.67 16.44 16.21 15.98 15.757 29.25 21.69 18.77 17.2 16.21 15.52 15.02 14.63 14.33 14.08 13.71 13.32 12.93 12.73 12.53 12.33 12.12 11.91 11.78 25.41 18.49 15.83 14.39 13.48 12.86 12.4 12.05 11.77 11.54 11.19 10.84 10.48 10.3 10.11 9.92 9.73 9.53 9.339 22.86 16.39 13.9 12.56 11.71 11.13 10.7 10.37 10.11 9.89 9.57 9.24 8.9 8.72 8.55 8.37 8.19 8. 7.8110 21.04 14.91 12.55 11.28 10.48 9.93 9.52 9.2 8.96 8.75 8.45 8.13 7.8 7.64 7.47 7.3 7.12 6.94 6.7611 19.69 13.81 11.56 10.35 9.58 9.05 8.66 8.35 8.12 7.92 7.63 7.32 7.01 6.85 6.68 6.52 6.35 6.18 6.12 18.64 12.97 10.8 9.63 8.89 8.38 8. 7.71 7.48 7.29 7. 6.71 6.4 6.25 6.09 5.93 5.76 5.59 5.4213 17.82 12.31 10.21 9.07 8.35 7.86 7.49 7.21 6.98 6.8 6.52 6.23 5.93 5.78 5.63 5.47 5.3 5.14 4.9714 17.14 11.78 9.73 8.62 7.92 7.44 7.08 6.8 6.58 6.4 6.13 5.85 5.56 5.41 5.25 5.1 4.94 4.77 4.615 16.59 11.34 9.34 8.25 7.57 7.09 6.74 6.47 6.26 6.08 5.81 5.54 5.25 5.1 4.95 4.8 4.64 4.47 4.3116 16.12 10.97 9.01 7.94 7.27 6.8 6.46 6.19 5.98 5.81 5.55 5.27 4.99 4.85 4.7 4.54 4.39 4.23 4.0617 15.72 10.66 8.73 7.68 7.02 6.56 6.22 5.96 5.75 5.58 5.32 5.05 4.78 4.63 4.48 4.33 4.18 4.02 3.8518 15.38 10.39 8.49 7.46 6.81 6.35 6.02 5.76 5.56 5.39 5.13 4.87 4.59 4.45 4.3 4.15 4. 3.84 3.6719 15.08 10.16 8.28 7.27 6.62 6.18 5.85 5.59 5.39 5.22 4.97 4.7 4.43 4.29 4.14 3.99 3.84 3.68 3.5120 14.82 9.95 8.1 7.1 6.46 6.02 5.69 5.44 5.24 5.08 4.82 4.56 4.29 4.15 4. 3.86 3.7 3.54 3.3821 14.59 9.77 7.94 6.95 6.32 5.88 5.56 5.31 5.11 4.95 4.7 4.44 4.17 4.03 3.88 3.74 3.58 3.42 3.2622 14.38 9.61 7.8 6.81 6.19 5.76 5.44 5.19 4.99 4.83 4.58 4.33 4.06 3.92 3.78 3.63 3.48 3.32 3.1523 14.2 9.47 7.67 6.7 6.08 5.65 5.33 5.09 4.89 4.73 4.48 4.23 3.96 3.82 3.68 3.53 3.38 3.22 3.0524 14.03 9.34 7.55 6.59 5.98 5.55 5.23 4.99 4.8 4.64 4.39 4.14 3.87 3.74 3.59 3.45 3.29 3.14 2.9725 13.88 9.22 7.45 6.49 5.89 5.46 5.15 4.91 4.71 4.56 4.31 4.06 3.79 3.66 3.52 3.37 3.22 3.06 2.8926 13.74 9.12 7.36 6.41 5.8 5.38 5.07 4.83 4.64 4.48 4.24 3.99 3.72 3.59 3.44 3.3 3.15 2.99 2.8227 13.61 9.02 7.27 6.33 5.73 5.31 5. 4.76 4.57 4.41 4.17 3.92 3.66 3.52 3.38 3.23 3.08 2.92 2.7528 13.5 8.93 7.19 6.25 5.66 5.24 4.93 4.69 4.5 4.35 4.11 3.86 3.6 3.46 3.32 3.18 3.02 2.86 2.6929 13.39 8.85 7.12 6.19 5.59 5.18 4.87 4.64 4.45 4.29 4.05 3.8 3.54 3.41 3.27 3.12 2.97 2.81 2.6430 13.29 8.77 7.05 6.12 5.53 5.12 4.82 4.58 4.39 4.24 4. 3.75 3.49 3.36 3.22 3.07 2.92 2.76 2.59
40 12.61 8.25 6.59 5.7 5.13 4.73 4.44 4.21 4.02 3.87 3.64 3.4 3.14 3.01 2.87 2.73 2.57 2.41 2.2360 11.97 7.77 6.17 5.31 4.76 4.37 4.09 3.86 3.69 3.54 3.32 3.08 2.83 2.69 2.55 2.41 2.25 2.08 1.89120 11.38 7.32 5.78 4.95 4.42 4.04 3.77 3.55 3.38 3.24 3.02 2.78 2.53 2.4 2.26 2.11 1.95 1.77 1.54∞ 10.83 6.91 5.42 4.62 4.1 3.74 3.47 3.27 3.1 2.96 2.74 2.51 2.27 2.13 1.99 1.84 1.66 1.45 1.
* Multiplicar estos números por 100
Tabla 8 Tabla de números aleatorios
0347437386 3696473661 4698637162 3326168045 60111410959774246762 4281145720 4253323732 2707360751 24517989731676622766 5650267107 3290797853 1355385859 88975414101256859926 9696682731 0503729315 5712101421 88264981765559563564 3854824622 3162430990 0618443253 23830130301622779439 4954435482 1737932378 8735209643 84263491648442175331 5724550688 7704744767 2176335025 83921206766301637859 1695556719 9810507175 1286735807 44395238793321123429 7864560782 5242074438 1551001342 99660279545760863244 0947279654 4917460962 9052847727 08027343281818079246 4417165809 7983861962 0676500310 55236405052662389775 8416074499 8311463224 2014858845 10937288712342406474 8297777781 0745321408 3298940772 93857910755236281995 5092261197 0056763138 8022025353 86604204533785943512 8339500830 4234079688 5442068798 35852948397029171213 4033203826 1389510374 1776371304 07742119305662183735 9683508775 9712259347 7033240354 97774644809949572277 8842954572 1664361600 0443186679 94772421901608150472 3327143409 4559346849 1272073445 99277295143116933243 5027898719 2015370049 5285666044 38688811806834301370 5574307740 4422788426 0433460952 68079706577457256576 5929976860 7191386754 ¡358182476 15545595522742378653 4855906572 9657693610 9646924245 97604904910039682961 6637322030 7784570329 1045650426 11049667242994989424 6849691082 5375919330 3425205727 40487351921690826659 8362641112 6719007174 6047212968 02023703311127947506 0609197466 0294373402 7670903086 38459430383524101620 3332512638 7978450491 1692535616 02755095983823168638 4238970150 8775668141 4001749162 48518408323196259147 9644334913 3486825391 0052434885 27552689625667406714 6405719586 1105650968 7683203790 57160011661490844511 7573880590 5227411486 2298122208 07527495806805511800 3396027519 0760629355 5933824390 49373844592046787390 9751401402 0402333108 3954164936 47959313306419589779 1506159320 0190107506 4078788952 02677417330526937060 2235851513 9203515977 5956780683 52910570740797108823 0998429964 6171629915 0651291693 58057709516871868585 5487664754 7332081112 4495926316 29562429482699616553 5837788070 4210506742 3217558574 94446716941465526875 8759362241 2678630655 1308270150 15293939431753775871 7141615072 1241949626 4495273699 02967430839026592119 2352233312 9693021839 0702183607 25993270234123525599 3104496996 1047484588 1341438920 97171449176020508169 3199736868 3581330376 2430124860 18991072349125380590 9458284136 4537590309 9035572912 82525465603450577437 9880330091 0977931982 7494800404 45073166498522043943 7381539479 3362468528 0831544631 53941338470979137748 7382972221 0503272483 7289440560 35803994888875801814 2295754249 3932822249 0248077037 16046167879096237000 3900030690 5585783836 9437306932 9089007633
Nota: Los números pueden selecconarse en cualquier orden (de izquierda a derecha, de arriba abajo, endiagonal, ...) y comenzando en cualquier posición.
16
Tabla 9 Factores K para límites de aceptación bilaterales con variables Normales
1− α = 0,90 1− α = 0,95 1− α = 0,99nÂπ 0.90 0.95 0.99 0.999 0.90 0.95 0.99 0.999 0.90 0.95 0.99 0.999
2 15.978 18.800 24.167 30.227 32.019 37.674 48.430 60.573 160.193 188.491 242.300 303.0543 5.847 6.919 8.974 11.309 8.380 9.916 12.861 16.208 18.930 22.401 29.055 36.6164 4.166 4.943 6.440 8.149 5.369 6.370 8.299 10.502 9.398 11.150 14.527 18.3835 3.494 4.152 5.423 6.879 4.275 5.079 6.634 8.415 6.612 7.855 10.260 13.0156 3.131 3.723 4.870 6.188 3.712 4.414 5.775 7.337 5.337 6.345 8.301 10.5487 2.902 3.452 4.521 5.750 3.369 4.007 5.248 6.676 4.613 5.488 7.187 9.1428 2.743 3.264 4.278 5.446 3.136 3.732 4.891 6.226 4.147 4.935 6.468 8.2349 2.626 3.125 4.098 5.220 2.967 3.532 4.631 5.899 3.822 4.550 5.966 7.60010 2.535 3.018 3.959 5.046 2.839 3.379 4.433 5.649 3.582 4.265 5.594 7.12911 2.463 2.933 3.849 4.906 2.737 3.259 4.277 5.452 3.397 4.045 5.308 6.76612 2.404 2.863 3.758 4.792 2.655 3.162 4.150 5.291 3.250 3.870 5.079 6.47713 2.355 2.805 3.682 4.697 2.587 3.081 4.044 5.158 3.130 3.727 4.893 6.24014 2.314 2.756 3.618 4.615 2.529 3.012 3.955 5.045 3.029 3.608 4.’37 6.04315 2.278 2.713 3.562 4.545 2.480 2.954 3.878 4.949 2.954 3.507 4.605 5.87616 2.246 2.676 3.514 4.484 2.437 2.903 3.812 4.865 2.872 3.421 4.492 5.73217 2.219 2.643 3.471 4.430 2.400 2.858 3.754 4.791 2.808 3.345 4.393 5.60718 2.194 2.614 3.433 4.382 2.366 2.819 3.702 4.725 2.753 3.279 4.307 5.49719 2.172 2.588 3.399 4.339 2.337 2.784 3.656 4.667 2.703 3.221 6.230 5.39920 2.152 2.564 3.368 4.300 2.310 2.752 3.615 4.614 2.659 3.168 6.161 5.31221 2.135 2.543 3.340 4.264 2.286 2.723 3.577 4.567 2.620 3.121 4.100 5.23422 2.118 2.524 3.315 4.232 2.264 2.697 3.543 4.523 2.584 3.078 6.044 5.16323 2.103 2.506 3.292 4.203 2.244 2.673 3.512 4.484 2.551 3.040 3.993 5.09824 2.089 2.489 3.270 4.176 2.225 2.651 3.483 4.447 2.522 3.004 3.947 5.03925 2.077 2.474 3.251 4.151 2.208 2.631 3.457 4.413 2.494 2.972 3.904 4.98527 2.054 2.447 3.215 4.106 2.178 2.595 3.409 4.353 2.446 2.914 3.828 6.88830 2.025 2.413 3.170 4.049 2.140 2.549 3.350 4.278 2.385 2.841 3.733 6.76835 1.988 2.368 3.112 3.974 2.090 2.490 3.272 4.179 2.306 2.748 3.611 6.61140 1.959 2.334 3.066 3.917 2.052 2.445 3.213 4.104 2.247 2.677 3.518 6.69345 1.935 2.306 3.030 3.871 2.021 2.408 3.165 4.042 2.200 2.621 3.444 6.39950 1.916 2.284 3.001 3.833 1.996 2.379 3.126 3.993 2.162 2.576 3.385 6.32355 1.901 2.265 2.976 3.801 1.976 2.354 3.094 3.951 2.130 2.538 3.335 6.26060 1.887 2.248 2.955 3.774 1.958 2.333 3.066 3.916 2.103 2.506 3.293 4.20665 1.875 2.235 2.937 3.751 1.943 2.315 3.042 3.886 2.080 2.478 3.257 4.16070 1.865 2.222 2.920 3.730 1.929 2.299 3.021 3.859 2.060 2.454 3.225 4.1275 1.856 2.211 2.906 3.712 1.917 2.285 3.002 3.835 2.042 2.433 3.197 4.08480 1.848 2.202 2.894 3.696 1.907 2.272 2.986 3.814 2.026 2.414 3.173 4.05390 1.834 2.185 2.872 3.669 1.889 2.251 2.958 3.778 1.999 2.382 3.130 3.999100 1.822 2.172 2.854 3.646 1.874 2.233 2.934 3.748 1.977 2.355 3.096 3.954110 1.813 2.160 2.839 3.626 1.861 2.218 2.915 3.723 1.958 2.333 3.066 3.917120 1.804 2.150 2.826 3.610 1.850 2.205 2.898 3.702 1.942 2.314 3.041 3.885140 1.791 2.134 2.804 3.582 1.833 2.184 2.870 3.666 1.916 2.283 3.000 3.633160 1.780 2.121 2.787 3.561 1.819 2.167 2.848 3.638 1.896 2.259 2.968 3.792180 1.771 2.111 2.774 3.543 1.808 2.154 2.831 3.616 1.879 2.239 2.942 3 759200 1.764 2.102 2.762 3.529 1.798 2.143 2.816 3.597 1.865 2.222 2.921 3.731250 1.750 2.085 2.740 3.501 1.780 2.121 2.788 3.561 1.839 2.191 2.880 3.678300 1.740 2.073 2.725 3.481 1.767 2.106 2.767 3.535 1.820 2.169 2.850 3.641400 1.726 2.057 2.703 3.453 1.749 2.084 2.739 3.499 1.794 2.138 2.809 3.589500 1.717 2.046 2.689 3.434 1.737 2.070 2.721 3.675 1.777 2.117 2.783 3.555600 1.710 2.038 2.678 3.421 1.729 2.060 2.707 3.458 1.764 2.102 2.763 3.530800 1.701 2.027 2.663 3.402 1.717 2.046 2.588 3.434 1.747 2.082 2.736 3.4951000 1.695 2.019 2.654 3.390 1.709 2.036 2.676 3.618 1.736 2.063 2.718 3.472∞ 1.645 1.960 2.576 3.291 1.645 1.960 2.576 3.291 1.645 1.960 2.576 3.291
17
Tabla 10 Puntos de porcentaje del intervalo o rango ajustado a Student q (ρ, ν)ρ
ν 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 17.97 26.98 32.82 37.08 4041 43.12 45.40 47.36 49.07 50.592 6.08 833 9.80 10.88 11.74 12.44 13.03 13.54 13.99 14.393 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46 9.724 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83 8.035 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99 7.176 3.46 4.34 4.90 5.30 5.63 5.90 6.12 6.32 6.49 6.657 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00 6.16 6.308 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.92 6.059 3.20 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74 5.8710 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.30 5.46 5.60 5.7211 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49 5.6112 3.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39 5.51
α = 0,05 13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32 5.4314 3.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25 5.3615 3.01 3.67 4.08 4.37 4.60 4.78 4.94 5.08 5.20 5.3116 3.00 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03 5.15 5.2617 2.98 3.63 4.02 4.30 4.52 4.70 4.86 4.99 5.11 5.2118 2.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07 5.1719 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04 5.1420 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.90 5.01 5.1124 2.92 3.53 3.90 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92 5.0130 2.89 3.49 3.85 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72 4.82 4.9240 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73 4.8260 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.65 4.73120 2.80 3.36 3.68 3.92 4.10 4.24 4.36 4.47 4.56 4.64∞ 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47 4.55
1 90.03 135.0 164.3 185.6 202.2 215.8 227.2 237.0 245.6 253.22 14.04 19.02 22.29 24.72 26.63 28.20 29.53 30.68 31.69 32.593 8.26 10.62 12.17 13.33 14.24 15.00 15.64 16.20 16.69 17.134 6.51 8.12 9.17 9.96 10.58 11.10 11.55 11.93 12.27 12.575 5.70 6.98 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.24 10.486 5.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10 9.307 4.95 5.92 6.54 7.01 7.37 7.68 7.94 8.17 8.37 8.558 4.75 5.64 6.20 6.62 6.96 7.24 7.47 7.68 7.86 8.039 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.33 7.49 7.6510 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21 7.3611 4.39 5.15 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84 6.99 7.1312 4.32 5.05 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81 6.94
α = 0,01 13 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53 6.67 6.7914 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54 6.6615 4.17 4.84 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44 6.5516 4.13 4.79 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35 6.4617 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15 6.27 6.3818 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.20 6.3119 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02 6.14 6.2520 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.09 6.1924 3.96 4.55 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81 5.92 6.0230 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5,40 5.54 5.65 5.76 5.8540 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.26 5.39 5.50 5.60 5.6960 3.76 4.28 4.59 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.45 5.53120 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30 5.37∞ 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16 5.23
18
APROXIMACIONES ENTRE LAS DISTRIBUCIONESBINOMIAL, NORMAL Y POISSON
N (µ, σ)media = µ
varianza = σ2
np > 5nq > 5
p, q > 0,05λ > 10
B (n, p)Buena aproximación:n ≥ 10 y p ≤ 0,05 P (λ)
media = npvarianza = npq
Muy buena aproxiamción:n ≥ 100 y np ≤ 10
media = λvarianza = λ
19
ESTIMACIÓN
Intervalo de Confianza para la media µ
Si σ es conocida½ ∗ si X es normal o∗ si n > 60
V µ ∈ x± zασ/√n
Si σ es desconocida
∗ si n > 60 ⇒ µ ∈ x± zαs/√n
∗ si n ≤ 60 y X es normal ⇒ µ ∈ x± tα(n− 1)s/√n
Intervalo de Confianza para la varianza σ2
Condiciones: X ∼ N(µ, σ)
σ2 ∈"(n− 1)s2χ2α/2(n− 1)
,(n− 1)s2
χ21−α/2(n− 1)
#
Intervalo de Confianza para una proporción p
Condiciones: np, nq > 5, p, q > 0,05
p ∈ p± zαppq/n
20
TEST DE HIPÓTESIS: CONTRASTES PARA UNA VARIABLE
Contraste para la media µ
1)
½H0 : µ = µ0H1 : µ 6= µ0
2)
½H0 : µ ≤ µ0H1 : µ > µ0
3)
½H0 : µ ≥ µ0H1 : µ < µ0
• Si σ es conocida½ ∗ si X es normal o∗ si n > 60
V texp =x− µ0σ/√n
, Cα = zα
• Si σ es desconocida
∗ si n > 60 ⇒ texp =
x− µ0s/√n
, Cα = zα
∗ si n ≤ 60 y X es normal ⇒ texp =x− µ0s/√n
, Cα = tα(n− 1)
1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ = µ0
2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ ≤ µ0
3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ ≥ µ0
Contraste para la varianza σ2
1)
½H0 : σ2 = σ20H1 : σ2 6= σ20
2)
½H0 : σ2 ≤ σ20H1 : σ2 > σ20
3)
½H0 : σ2 ≥ σ20H1 : σ2 < σ20
Condiciones: X ∼ N(µ, σ) ⇒ texp =(n− 1)s2
σ20
1) Si texp ∈hχ21−α/2(n− 1), χ2α/2(n− 1)
i⇒ H0 : σ
2 = σ20
2) Si texp < χ2α(n− 1) ⇒ H0 : σ2 ≤ σ20
3) Si texp > χ21−α(n− 1) ⇒ H0 : σ2 ≥ σ20
Contraste para una proporción p
1)
½H0 : p = p0H1 : p 6= p0
2)
½H0 : p ≤ p0H1 : p > p0
3)
½H0 : p ≥ p0H1 : p < p0
Condiciones: np0, nq0 > 5, p0, q0 > 0,05 ⇒ texp =p− p0pp0q0/n
1) Si |texp| < zα ⇒ H0 : p = p0
2) Si texp < z2α ⇒ H0 : p ≤ p0
3) Si texp > −z2α ⇒ H0 : p ≥ p0
21
TEST DE HIPÓTESIS: CONTRASTES PARA DOS VARIABLES
Comparación de Varianzas
1)
½H0 : σ21 = σ22H1 : σ21 6= σ22
2)
½H0 : σ21 ≤ σ22H1 : σ21 > σ22
3)
½H0 : σ21 ≥ σ22H1 : σ21 < σ22
Condiciones:
· Poblaciones normales: X ∼ N(µ1, σ1), Y ∼ N(µ2, σ2)
· Muestras independientes de tamaños m y nV Fexp =
s21s22
1) Si Fexp ∈£F1−α/2(m− 1, n− 1), Fα/2(m− 1, n− 1)
¤ ⇒ H0 : σ21 = σ22
2) Si Fexp < Fα(m− 1, n− 1) ⇒ H0 : σ21 ≤ σ22
3) Si Fexp > F1−α(m− 1, n− 1) ⇒ H0 : σ21 ≥ σ22
Intervalo de Confianza para el cociente de varianzas
Bajo las anteriores condiciones,
σ21σ22∈·s21s22
1
Fα/2(m− 1, n− 1) ,s21s22
1
F1−α/2(m− 1, n− 1)¸
Nota: F1−α(m,n) =1
Fα(n,m)
22
Comparación de Medias para muestras independientes
1)
½H0 : µ1 = µ2H1 : µ1 6= µ2
2)
½H0 : µ1 ≤ µ2H1 : µ1 > µ2
3)
½H0 : µ1 ≥ µ2H1 : µ1 < µ2
• Si σ1, σ2 son conocidas( ∗ si X e Y son normales o
∗ si m,n ≥ 60V
texp =
x− ypσ21/m+ σ22/n
Cα = zα
• Si σ1, σ2 son desconocidas
∗ Si m, n ≥ 60 ⇒
texp =
x− yps21/m+ s22/n
Cα = zα
∗ Si X e Y son normales
∗ si σ1 = σ2 V
texp =
x− y
sp1/m+ 1/n
Cα = tα(m+ n− 2)Cα = zα si m+ n− 2 ≥ 60
∗ si σ1 6= σ2 V
texp =
x− yps21/m+ s22/n
Cα = tα(f)
Cα = zα si f ≥ 60
s2 =(m− 1)s21 + (n− 1)s22
m+ n− 2 , f =(s21/m+ s22/n)
2
(s21/m)2
m− 1 +(s22/n)
2
n− 1
1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ1 = µ2
2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ1 ≤ µ2
3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ1 ≥ µ2
Intervalo de confianza para la diferencia de medias (muestras independientes)
Si D(texp) es el denominador de texp ,
µ1 − µ2 ∈ (x− y)± CαD(texp)
23
Comparación de Medias para muestras apareadas
1)
½H0 : µ1 = µ2H1 : µ1 6= µ2
2)
½H0 : µ1 ≤ µ2H1 : µ1 > µ2
3)
½H0 : µ1 ≥ µ2H1 : µ1 < µ2
Condiciones:
· Para muestras apareadas· Si D = X − Y ∼ N(µD, σD), con µD = µ1 − µ2 ⇒ Cα = tα(n− 1)· Si n ≥ 60, aunque no haya normalidad ⇒ Cα = zα
En todo caso, texp =d
sD/√n
donde d y sD son la media y la desviación típica de los datos
di = xi − yi, i = 1, 2, . . . , n
1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ1 = µ2
2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ1 ≤ µ2
3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ1 ≥ µ2
Intervalo de confianza para la diferencia de medias (muestras apareadas)
Bajo las mismas condiciones,
µ1 − µ2 ∈ d± CαsD√n
24
Comparación de Proporciones
1)
½H0 : p1 = p2H1 : p1 6= p2
2)
½H0 : p1 ≤ p2H1 : p1 > p2
3)
½H0 : p1 ≥ p2H1 : p1 < p2
• Muestras IndependientesConsideramos dos muestras independientes 1 y 2 de tamaños n1 y n2
Muestra Si No1 x1 n1 − x1 n12 x2 n2 − x2 n2
pi =xini, qi = 1− pi, i = 1, 2
p =x1 + x2n1 + n2
, q = 1− p
∗ Condiciones:
· nipi > 5, i = 1, 2
· niqi > 5, i = 1, 2
· pi, qi > 0,05, i = 1, 2
V texp =p1 − p2s
pq
µ1
n1+1
n2
¶∗ Intervalo de confianza bajo las mismas condiciones:
p1 − p2 ∈ (p1 − p2)± zα
rp1q1n1
+p2q2n2
• Muestras Apareadas
Consideramos dos muestras apareadas 1 y 2 de tamaño n
1\2 Si NoSi n11 n12No n21 n22
n
∗ Condición: n12 + n21 > 10 V texp =n12 − n21√n12 + n21
∗ Intervalo de confianza bajo las mismas condiciones y n12, n21 > 5:
p1 − p2 ∈ 1n
Ã(n12 − n21)± zα
rn12 + n21 − (n12 − n21)
2
n
!En ambos casos:
1) Si |texp| < zα ⇒ H0 : p1 = p2
2) Si texp < z2α ⇒ H0 : p1 ≤ p2
3) Si texp > −z2α ⇒ H0 : p1 ≥ p2
25
RELACIÓN ENTRE CARACTERES CUALITATIVOS
A\B B1 · · · Bj · · · Bs
A1 O11 · · · O1j · · · O1s O1·...
......
......
Ai Oi1 · · · Oij · · · Ois Oi·...
......
......
Ar Or1 · · · Orj · · · Ors Or·O·1 · · · O·j · · · O·s n
(H0 : A y B son independientes
H1 : A y B son dependientes
Eij =Oi·O·jn
, i = 1, 2, . . . , r, j = 1, 2, . . . , s; C =
vuuuuuutP
i,j
O2ij
Eij− n
Pi,j
O2ij
Eij
∗ C toma valores entre 0 yr
q − 1q, con q = mın{r, s}
∗ Condiciones:· Ningún Eij es < 1
· A lo sumo un 20% de los Eij son < 5
)V χ2exp =
Pi,j
O2ij
Eij− n
Si χ2exp < χ2α((r − 1)(s− 1))⇒ H0 : A y B son independientes
∗ χ2exp =C2
1− C2n
• Tabla 2x2:
φ =
r(O11O22 −O12O21)
2
O1·O2·O·1O·2
∗ φ toma valores entre 0 y 1
∗ Condiciones:· Todos los marginales Oi· y O·j son > n/10
· Todos los Eij son > 5
∗ χ2exp = φ2n
26
RELACIÓN ENTRE VARIABLES
X x1 x2 · · · xnY y1 y2 · · · yn
Relación Lineal Muestral
Recta de Regresión Muestral:
y = a+ bx, donde b =SxyS2x
, a = y − bx, Sxy =
Pi xiyi
n− 1 −n
n− 1 xy
Coeficiente de correlación lineal de Person: r =SxySxSy
Varianza Intrínseca Muestral: s2 =(n− 1)(n− 2)S
2y(1− r2)
Relación Lineal Poblacional(H0 : ρXY = 0
H1 : ρXY 6= 0⇒ texp =
s(n− 2)r21− r2
Si texp < tα(n− 2)⇒ H0 : ρXY = 0
Recta de Regresión Poblacional: y = α+ βx
Intervalos de confianza para α y β:
α ∈ a± tα(n− 2)ss1
n+
x2
(n− 1)S2x
β ∈ b± tα(n− 2) sp(n− 1)S2x
Intervalo de confianza para la recta de regresión poblacional:
α+ βx ∈ (a+ bx)± tα(n− 2)ss1
n+(x− x)2
(n− 1)S2x
Intervalo de confianza para la predicción de y
y ∈ (a+ bx)± tα(n− 2)ss1 +
1
n+(x− x)2
(n− 1)S2x
27
ANÁLISIS DE LA VARIANZA: ANOVA
Diseño Completamente Aleatorizado - ANOVA de una vía
Nivel del factor Totales Medias1 x11 · · · x1n1 x1· x1·...
......
......
k xk1 · · · xknk xk· xk·x·· x··
n1 + n2 + · · ·+ nk = nXi
Xj
(xij − x··)2 =Xi
Xj
(xi· − x··)2 +Xi
Xj
(xij − xi·)2
VT = VE + VD½H0 : µ1 = · · · = µkH1 : µi 6= µj, para algún par i, j
TABLA ANOVA
F. de Variación Suma de Cuadrados Grados de Lib. Media Cuadrática F
Entre VE k − 1 MCE = VE/k − 1 Fexp =MCE
MCD
Dentro VD n− k MCD = VD/n− kTotal VT n− 1
∗ Si Fexp < Fα(k − 1, n− k) ⇒ H0 : µ1 = · · · = µk
Comparaciones Múltiples: Test de Tukey½H0 : µi = µjH1 : µi 6= µj
, 1 ≤ i < j ≤ k
ωij = qα(k, n− k)
sMCD
2
µ1
ni+1
nj
¶∗ Si |xi· − xj·| < ωij ⇒ H0 : µi = µj
28
Diseño por Bloques al azar - ANOVA de dos vías
Nivel del factor\Bloque B1 · · · Bj · · · Br Totales Medias1 x11 · · · x1j · · · x1r x1· x1·...
......
......
...i xi1 xij xir xi· xi·...
......
......
...k xk1 · · · xkj · · · xkr xk· xk·
Totales x·1 · · · x·j · · · x·r x·· x··Medias x·1 · · · x·j · · · x·r
k · r = nXi
Xj
(xij − x··)2 =Xi
Xj
(xi· − x··)2 +Xi
Xj
(x·j − x··)2 +Xi
Xj
(xij − xi· − x·j + x··)2
VT = VE + VB + VD
(1)
½H0 : µ1 = · · · = µkH1 : µi 6= µj, para algún par i, j
(2)
½H 00 : β1 = · · · = βr = 0
H 01 : Algún βi 6= 0
TABLA ANOVA
F. de Var. Suma de Cuad. G. L. Media Cuad. F
Entre VE k − 1 MCE = VE/k − 1 Fexp =MCE
MCD
Bloques VB r − 1 MCB = VB/r − 1Dentro VD (k − 1)(r − 1) MCD =
VD(k − 1)(r − 1) F 0
exp =MCB
MCD
Total VT n− 1
(1) Si Fexp < Fα(k − 1, (k − 1)(r − 1)) ⇒ H0 : µ1 = · · · = µk
(2) Si F 0exp < Fα(r − 1, (k − 1)(r − 1)) ⇒ H 0
0 : β1 = · · · = βr = 0
Comparaciones Múltiples: Test LSD½H0 : µi = µjH1 : µi 6= µj
, 1 ≤ i < j ≤ k Tα = tα((k − 1)(r − 1))rMCD
2
r
∗ Si |xi· − xj·| < Tα ⇒ H0 : µi = µj
Intervalo de Confianza:
µi − µj ∈Ãxi· − xj· + tα((k − 1)(r − 1))
rMCD
2
r
!
29