t1.4 io i - upn - programación lineal - solución gráfica

Facultad de Ingeniera

Investigacin de Operaciones I - Ing. Joel D. Vargas Sagstegui Fecha: 02 de noviembre de 2013

Investigacin de

Operaciones I

Programacin Lineal Solucin Mtodo Grfico



Objetivos de la Sesin

Pasos para aplicar el Mtodo Grfico, en la

solucin de problemas de Programacin Lineal

Resolver e Interpretar problemas mediante el

empleo del mtodo grfico



Mtodo Grfico

Se utiliza para resolver problemas de Programacin Lineal, representando geomtricamente en un plano cartesiano, las restricciones, condiciones tcnicas y el objetivo.

Slo puede resolver problemas de dos variables.



Pasos para aplicar el Mtodo Grfico

1. Despus de elaborar el modelo correspondiente, se debe determinar el conjunto de soluciones de cada una de las restricciones, propsito que se logra mediante la representacin grfica de cada una en el plano cartesiano.

2. Identificar la regin factible, esto es, la interseccin del conjunto solucin de cada una de las restricciones.

3. Marcar los puntos que intersectan en la frontera de la regin factible.

4. Ubicar el o los puntos factibles que den el mejor valor de la funcin objetivo. A este punto se le conoce como PUNTO PTIMO.



Ejemplo

Maximizar Z = 200x1 + 400x2

Sujeto a:

6 x1 + 12 x2 120

8 x1 + 4 x2 64

x1, x2 0



Paso 1:

Determinar el conjunto de soluciones (dos puntos) de cada una de las restricciones:

1era. Restriccin: 6 x1 + 12 x2 120 Para 6 x1 + 12 x2 = 120 Cuando x1 = 0 , x2 = 10 Cuando x1 = 20 , x2 = 0

2da. Restriccin: 8 x1 + 4 x2 64 Para 8 x1 + 4 x2 = 64 Cuando x1 = 0 , x2 = 16 Cuando x1 = 8 , x2 = 0



Segn los datos tabulados para cada restriccin, determinamos los valores mximos de cada eje:

x1 = 20 ; x2 = 16



Graficamos la primera restriccin: 6 x1 + 12 x2 120



Determinamos la regin factible de la primera restriccin:

Para determinar la regin factible, se debe tomar dos puntos, uno debajo de la lnea y otro sobre la lnea:



Ahora cada valor de cada punto, lo reemplazamos en la restriccin, seleccionando el punto que cumpla con la desigualdad.

6 x1 + 12 x2 120

(6,5) : 6(6) + 12 (5) 120 36 + 60 120 96 120 (Si CUMPLE) (10,7): 6 (10) + 12 (7) 120 60 + 84 120

144 120 (No CUMPLE)



Habiendo identificado el punto que cumple con la restriccin, entonces, ese punto es parte de la regin factible y se sombrea.

REGIN FACTIBLE



Determinar la regin factible de la segunda restriccin

REGIN FACTIBLE



Paso 2:

Identificar la regin factible del problema

REGIN FACTIBLE



Paso 3:

Marcar los puntos que intersectan la frontera de la regin factible del problema



Identificar las coordenadas de cada punto identificado en la frontera de la regin factible.

A (0,10)

Este punto es la interseccin de las dos restricciones del problema y para determinar los valores, debemos tratarlos como un sistema de ecuaciones simultneas:

-1 6 x1 + 12 x2 = 120 en:

3 8 x1 + 4 x2 = 64 6 x1 + 12 x2 = 120 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 6 x1 - 12 x2 = - 120 6 (4) + 12 x2 = 120

24 x1 + 12 x2 = 192 12 x2 = 120 - 24 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18 x1 = 72 12 x2 = 96 x1 = 4 x2 = 8

C (8,0) B (4,8)



Paso 4:

Ubicar el punto ptimo

Para determinar el punto ptimo, debemos reemplazar los valores de cada punto seleccionado y se elegir segn el objetivo el valor correspondiente.

F. O: Maximizar Z = 200x1 + 400x2

A(0,10): 200(0) + 400(10) = 0 + 4000 = 4,000

B(4,8): 200(4) + 400(8) = 800 + 3200 = 4,000 C(8,0): 200(8) + 400(0) = 1600 + 0 = 1600



Ejercicios

1. Max. Z = 3 X1 + 5 X2 Sujeto a: X1 4 X2 6 3 X1 + 2 X2 18 X1 , X2 0 Respuesta: X1 = 2 ; X2 = 6 ; Z = 36

2. Min. Z = X1 + 2 X2 Sujeto a: 3 X1 + X2 3 4 X1 + 3 X2 6 X1 + X2 3 X1 , X2 0 Respuesta: X1 = 3/2 ; X2 = 0 ; Z = 3/2



Ing. Joel Vargas Sagstegui Ingeniero Industrial

CIP 48252

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