t10 probabilidad

1 En el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico y anotar el resultado de la cara superior, calcula

la probabilidad de:

a) Salir par b) Salir impar c) Salir múltiplo de 3 d) Salir múltiplo de 5 Solución:

El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) Sea A el suceso salir par, se tiene A = {2, 4, 6} su probabilidad es:

0,52

1

6

3p(A)

b) Sea B el suceso salir impar, se tiene B = {1, 3, 5} su probabilidad es:

0,52

1

6

3p(B)

c) Sea C el suceso salir múltiplo de 3, se tiene A = {3, 6} su probabilidad es:

0,33333

1

6

2p(C)

d) Sea A el suceso salir múltiplo de 5, se tiene D = {5} su probabilidad es:

0,16676

1p(A)

2 Se lanzan al aire tres monedas. Determina la probabilidad de que se obtengan al menos dos cruces. Solución: El espacio muestral de la experiencia es E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} que contiene 8

sucesos elementales.

Sea A el suceso obtener al menos dos cruces, se tiene A = {CXX, XCX, XXC, XXX} que contiene 4 sucesos

elementales.

Por tanto la probabilidad de obtener al menos dos cruces es:

2

1

8

4p(A)

3 Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Se extrae una al azar. Determina la

probabilidad de que la bola extraída:

a) Sea roja b) Sea verde c) Sea amarilla d) No sea roja e) No sea amarilla. Solución:

Sean R, V y A, respectivamente, la bola extraída es de color rojo, verde y amarillo.

Resulta evidente que dichos sucesos forman un sistema completo de sucesos de la experiencia.

a) La probabilidad de extraer una bola roja es:

0,45

2

20

8p(R)

b) La probabilidad de extraer una bola verde es:

0,3520

7p(V)

c) La probabilidad de extraer una bola amarilla es:

0,254

1p(A)

d) El suceso D una bola que no es roja es el contrario de R:

0,65

3

5

21p(R)1Rpp(D)

_

e) El suceso E una bola que no es amarilla es el contrario de A:

0,754

3

4

11p(A)1App(E)

_

4 Extraemos una carta de una baraja española. Halla las siguientes probabilidades:

a) Que la carta extraída sea un rey o un as.

b) Que la carta extraída sea un rey o una copa.

c) Que la carta extraída sea una figura o una copa. Solución:

Consideremos los sucesos:

R = “la carta extraída es un rey”, A = “La carta extraída es un as”, C = “la carta extraída es de copas” y F = “la

carta es una figura de la baraja (sota, caballo o rey)”. Tenemos que calcular las probabilidades:

a) Del suceso RA, como son dos sucesos incompatibles, se tiene:

5

1

40

8

40

4

40

4p(A)p(R)A)p(R

b) Del suceso RC, teniendo en cuenta que RC es el suceso extraer el rey de copas, se tiene:

40

13

40

1

40

10

40

4C)p(Rp(C)p(R)C)p(R

c) Del suceso FC, teniendo en cuenta que FC es el suceso extraer una figura de copas, se tiene:

40

19

40

3

40

10

40

12C)p(Fp(C)p(F)C)p(F

5 Se lanzan al aire dos dados con sus caras numeradas del 1 al 6. Halla la probabilidad de que la suma de puntos obtenida sea menor que 7. Solución: La tabla adjunta muestra los posibles resultados de la experiencia del lanzamiento de los dados y anota la suma de

los puntos obtenidos en cada dado.

Si A es el suceso “suma de puntos menor que 7”, hay 15 casos favorables al suceso

frente a los 36 casos posibles en los que se puede materializar la experiencia:

12

5

36

15p(A)

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

6 Un dado está trucado de modo que las probabilidades de obtener las distintas caras son inversamente

proporcionales a los números de éstas. Se pide:

a) La probabilidad de cada una de las caras.

b) La probabilidad de obtener un múltiplo de 3. Solución:

El espacio muestral de la experiencia es E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

De las condiciones del enunciado las probabilidades de obtener 1, 2,..., 6 son respectivamente:

6

pp(6) ;

5

pp(5) ;

4

pp(4) ;

3

pp(3) ;

2

pp(2) ;

1

pp(1)

a) Para calcular dichas probabilidades, se sabe que: p(E) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6), por tanto:

147

60p1

60

p147

6

p

5

p

4

p

3

p

2

p

1

p1

con ese valor las probabilidades de obtener las distintas caras del dado son:

147

10p(6) ;

147

12p(5) ;

147

15p(4) ;

147

20p(3) ;

147

30p(2) ;

147

60p(1)

b) El suceso A “obtener un múltiplo de 3”, viene dado por los sucesos elementales A = {3, 6}, por tanto:

49

10

147

30

147

10

147

20p(6)p(3)p(A)

7 Se ha tirado una moneda de forma que la probabilidad de obtener cara es triple que la probabilidad de obtener cruz. ¿Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental? Solución: Sean C el suceso obtener cara y X el suceso obtener cruz.

Si p(X) = p, entonces p(C) = 3p

Los sucesos C y X son contrarios, por tanto p(X) = 1 - p(C) por tanto:

4

3p(C)p(X)

4

1p1p4p31p

Las probabilidades de los sucesos elementales son p(X) = 0,25 y p(C) = 0,75.

8 Halla la probabilidad de un suceso, sabiendo que la suma de su probabilidad y la del cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es 5/9. Solución:

Sean:

_

AA y

el suceso y su contrario. Sean:

p1)Ap( y pp(A)_

sus probabilidades,de las condiciones del enunciado, se puede establecer la ecuación:

3

2p;

3

1p02p9p9

9

5pp21p

9

5p)-(1p 2222

Hay pues dos soluciones: p(A) = 1/3 y p(A) = 2/3.

9 Se lanzan dos dados. Sea A el suceso “la diferencia de puntos obtenidos en los dos dados es 2” y B el

suceso “obtener al menos un 6”. Halla la probabilidad del suceso AB. Solución:

El espacio muestral de la experiencia en el lanzamiento de un dado es E = {(x,y) siendo 0 x,y 6}

Por tanto la experiencia tiene 66 = 36 sucesos elementales.

El suceso A, “la diferencia de puntos igual 2” viene determinado por los 8 sucesos elementales siguientes:

A = {(1,3); (2,4); (3,5); (4,6); (3,1); (4,2); (5,3); (6,4)}

El suceso B, “obtener al menos un 6” viene determinado por los 11 sucesos elementales siguientes:

B = {(1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,5); (6,4); (6,3); (6,2); (6,1)}

El suceso AB = {(4,6); (6,4)} está formado por 2 sucesos elementales, por tanto:

36

17

36

2

36

11

36

8B)p(Ap(B)p(A)B)p(A

10 Se ha comprobado que en una ciudad están enfermos con diarrea el 60% de los niños, con sarampión el

50% y con ambas enfermedades un 20%. Se pide:

a) Calcula la probabilidad de que un niño elegido al azar, esté enfermo con diarrea o sarampión o ambas

enfermedades.

b) En un colegio con 450 niños, ¿cuántos cabe esperar que estén enfermos con ambas enfermedades? Solución:

Sea D el suceso un niño está enfermo con diarrea; S el suceso un niño está enfermo con sarampión.

El suceso DS, describe el suceso un niño padece las dos enfermedades.

El suceso DS, describe el suceso un niño padece diarrea o sarampión o ambas enfermedades.

a) De las condiciones del enunciado, se sabe que p(D) = 0,6; p(S) = 0,5 y p(DS) = 0,2, por tanto:

p(DS) = p(D) + p(S) - p(DS) = 0,6 + 0,5 - 0,2 = 0,9

b) La anterior probabilidad expresa el tanto por uno, de niños enfermos con alguna o las dos enfermedades, por

tanto si en el colegió hay 450 niños, el número de niños que padecen alguna de las dos enfermedades, será

N = 450 p(DS) = 4500,9 = 405 niños.

11 Sea U = {a1, a2, a3} el espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio. Ver cuáles de las

funciones siguientes definen una función de probabilidad:

a)

6

1ap ;

3

1ap ;

2

1ap 321

b)

4

1ap ;

4

1ap ;

4

3ap 321

c)

2

1ap 0;ap ;

2

1ap 321

d)

3

1ap ;

3

1ap ;

3

2ap 321

Solución: a) p es una probabilidad ya que las probabilidades de los sucesos elementales son números comprendidos entre 0

y 1, y la suma de todas ellas es la unidad.

b) p no es una probabilidad ya que p(a2) < 0

c) p no es una probabilidad, pues un suceso elemental no puede tener probabilidad nula.

d) p no es una probabilidad ya que, las probabilidades de los sucesos elementales son números comprendidos

entre 0 y 1 pero la suma de las probabilidades de los sucesos elementales no es la unidad, en efecto:

13

4

3

1

3

1

3

2apapap 321

12 Un experimento aleatorio consiste en extraer una bola de una urna que contiene una bola azul, dos blancas

y tres rojas. Sea E = {a, b, c} el correspondiente espacio muestral y S el espacio de sucesos asociado. Se

define una función p sobre S del siguiente modo: p() = 0.

1Ep ;6

5cb,p ;

3

2ca,p ;

2

1ba,p ;

2

1cp ;

3

1bp ;

6

1ap

Demuestra que p es una probabilidad. Solución: Para probar que la función p, definida sobre el espacio S de sucesos es una probabilidad, debe verificar los tres

axiomas siguientes:

Ax-1: p() = 0

Ax-2: p(E) = 1

Ax-3: Si A,BS son tales que AB = , entonces p(AB) = p(A) + p(B)

Veamos si se verifican.

Ax-1: p() = 0, se verifica por la definición de p

Ax-2: p(E) = 1, se verifica por la definición de p

Ax-3:

1. Sean A = {a} y B = {b} son tales que AB = y {a}{b} = {a,b}, se tiene:

ba,p2

1

3

1

6

1bpap

2. Sean A = {a} y B = {c} son tales que AB = y {a}{c} = {a,c}, se tiene:

ca,p3

2

2

1

6

1cpap

3. Sean A = {b} y B = {c} son tales que AB = y {b}{c} = {b,c}, se tiene:

cb,p6

5

2

1

3

1cpbp

De lo anterior se sigue que la función p es una probabilidad en S y {E, S, p} es un espacio probabilístico.

13 A un congreso de científicos asisten 100 congresistas. De ellos, 80 hablan francés y 40 inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse? Solución: 1. Sean F = “un congresista habla francés” y I = “un congresista habla inglés”.

Entonces Card(FI) = Card(F) + Card(I) - Card(FI) 100 = 80 + 40 - Card(FI)

De lo anterior el número de congresistan que hablan francés e inglés es Card(FI) = 20.

El número de congresistas que sólo hablan francés es 80 - 20 = 60

El número de congresistas que sólo hablan inglés es 40 - 20 = 20

El número de congresistas que hablan los dos idiomas es 20.

2. Hallamos la probabilidad aplicando la regla de Laplace:

a) Número de casos favorables. Como hay 60 congresistas que no saben inglés y 20 que no saben francés, el

número de parejas que no se entienden es 6020 = 1200

b) Número de casos posibles. Es el número de parejas que se pueden formar con 100 personas:

49502!

99100

2

100

Por tanto la probabilidad pedida es:

33

8

4950

1200p

14 Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un número menor que en la primera. Solución: La tabla adjunta muestra los posibles resultados del lanzamiento del dado.

De los 36 casos posibles, sólo 15 son favorables al suceso A de obtener

menor puntuación en la 2ª tirada que en la 1ª, por tanto:

12

5

36

15Ap

2ª tirada

1 2 3 4 5 6

1ª ti ra da

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

15 Un dado está trucado de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es directamente

proporcional a los números de éstas. Se pide:

a) La probabilidad de cada una de las caras.

b) La probabilidad de sacar un número par. Solución: a) Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} el espacio muestral, cuyos sucesos elementales son incompatibles.

Siendo E el suceso seguro, se tiene p(E) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6)

Si p(1) = p, se tiene para los restantes sucesos: p(2) = 2p; p(3) = 3p; p(4) = 4p; p(5) = 5p; p(6) = 6p son las

probabilidades de obtener las distintas caras del dado, siendo p tal que:

21

1p1p21p6p5p4p3p2p11p(E)

Con dicho valor de p, las probabilidades de las caras, son conocidas y valen respectivamente:

21

6p(6) ;

21

5p(5) ;

21

4p(4) ;

21

3p(2) ;

21

2p(2) ;

21

1p(1)

b) El suceso obtener un número par es A = {2, 4, 6}, por tanto su probabilidad es:

7

4

21

12

21

6

21

4

21

2p(6)p(4)p(2)p(A)

16 Halla la probabilidad de que al colocar sucesivamente, al azar, fichas numeradas de 0 a 9, se obtenga:

a) Un número par. b) Un múltiplo de 5. Solución:

Los casos posibles para los dos supuestos son:

10!P10

a) Para que un número sea par, debe de terminar en 0, 2, 4, 6 y 8.

Luego los casos favorables son:

9!5P5 9 ,

por tanto:

2

1

9!10

9!5

10!

9!5par númerop

b) Para que un número sea múltiplo de 5, debe de terminar en 0 y 5.

Luego los casos favorables son:

9!2P2 9

por tanto:

5

1

9!10

9!2

10!

9!25 de múltiplop

17 Un jugador expresó a Galileo su sorpresa al observar que al jugar con tres dados, la suma 10 aparece con más frecuencia que la suma 9. Explica el por qué de su sorpresa. Solución: De los dos sucesos: A = “sumar 9 al lanzar tres dados” y B = “sumar 10 al lanzar tres dados”, será más frecuente

aquel que tenga mayor probabilidad de ocurrir.

El suceso A = “sumar 9 al lanzar tres dados” se puede presentar de las siguientes formas:

Sacando 126; lo cual puede ocurrir de 6P3

formas


formas

Sacando 144; lo cual puede ocurrir de

3PR2,13

formas


3PR2,13

formas


formas

Sacando 333; lo cual sólo puede ocurrir de 1 forma

El suceso B = “sumar 10 al lanzar tres dados”


formas


formas


3PR2,13

formas


formas


3PR2,13

formas


3PR2,13

formas

Como el número de casos posibles que se presentan al lanzar tres dados es 63 = 216, se tiene;

p(A)p(B)216

27

216

336366p(B) ;

216

25

216

163366p(A)

18 Se tiran dos dados. Sea E el suceso “la suma de puntos obtenidos sea impar”. Sea F el suceso “por lo

menos uno de los dos dados, muestre un 1”. Calcula p(EF) y p(EF). Solución: La tabla adjunta muestra:

Los casos en los que se presentan los sucesos:

E = “suma de puntos impar”, en total 18

F = “al menos aparece un 1 en uno de los dados”, en total 11 (en negrita)

EF, en total 6 casos (en negrita y con la suma impar)

Teniendo en cuenta que el número de casos posibles es 36, se tiene:

36

23

36

6

36

11

36

18FEpFpEpFEp y

6

1

36

6FEp

2ª dado

1 2 3 4 5 6

1º

da

1 3 5 7

2 3 5 7

3 5 7 9

4 5 7 9

do 5 7 9 11

6 7 9 11

19 Sean A y B dos sucesos tales que las probabilidades p(A) = a; p(B) = b y p(AB) = c son conocidas.

Obtén en función de a, b y c, las probabilidades siguientes:

a)

__

BAp

b)

__

BAp

c)

BAp

_

Solución:

a)

c1BAp1BApBAp__________

b)

bac1cba1BApBpAp1BApBAp__________

c)

BApBpApBAp

___

Para calcular

BAp

_

observamos el gráfico adjunto.

cbBApBpBAp_

Por tanto se tiene:

ca1cbba1BApBpApBAp___

t10 probabilidad

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