Universidad de Concepción

Facultad de Ingeniería

Depto. Ingeniería Eléctrica.

Sistemas de

Comunicaciones Tarea #1

Alumnos : Claudio Sepúlveda S.

Profesores : Luis Arias P.

Fecha entrega : 14-Mayo-2014

1. Un PA, del tipo ruido blanco Gaussiano, con media cero y una PSD igual a (tal que N0 es constante), pasa a través de un filtro pasabajo ideal, con ancho de banda igual a B. Encuentre la

autocorrelación de la señal de salida

.

Tenemos que la PSD de la señal de entrada es

, y que además la PSD se relaciona

con la autocorrelación a través de la siguiente igualdad:

Podemos obtener la autocorrelación aplicando Fourier inversa a la PSD, lo que resulta:

Luego, al pasar la PSDX por el filtro debemos multiplicar por su función de transferencia del filtro:

Para obtener la PSDy (de salida), se tiene:

Aplicando Fourier inversa, tenemos:

2. Demostrar que la Potencia AC ( ) de una señal de voltaje V es:

3. Implemente un script en matlab para obtener la transformada de Fourier de señales. Pruebe para

una señal coseno, graficando su señal en el tiempo y en la frecuencia.

Figura 3.1: Código matlab.

Figura 3.2: Señal coseno en el tiempo. Figura 3.3: Señal coseno el frecuencia.

4. Obtenga una expresión para la SNR (Signal-to-noise ratio) para una señal modulada DSB-LC y para su correspondiente señal demodulada. Explique claramente cada paso para la obtención de la SNR .

La señal modula DSB-LC es la siguiente: Si le agregamos un ruido gaussiano, tenemos:

Al realizar la demodulación sincrónica, y luego aplicar un filtro pasa bajo, se obtiene:

De la señal demodulada procedemos a calcular la potencia deseada:

Y la potencia del ruido:

Luego, la SNR esta definida como:

Reemplazando los valores antes obtenidos, obtenemos la SNR para este tipo de señal modulada:

5. Demuestre matemáticamente el problema que se observa al demodular sincrónicamente una señal DSB-LC si el receptor posee un oscilador cuya portadora tiene una diferencia en frecuencia Δf y en fase ϑ, respecto de la portadora del transmisor Accos(2πfct). Considerando la señal modulada:

Para demodular tenemos que:

Utilizando propiedades trigonométricas (*), para la multiplicación de cosenos, nos queda:

Aplicando un filtro pasa bajos:

Realizando los reemplazos correspondientes de :

De lo anterior notamos que un desplazamiento de produce una variación de amplitud, lo que se puede corregir con una ganancia en el filtro por lo que no representa problema; pero en el caso de un desplazamiento de frecuencia generará un , lo que finalmente produce que la señal demodulada no coincida con la original. * La propiedad utilizada es:

6. Una señal AM es generada por una portadora, con fc=800KHz. La señal de mensaje está definida como, m(t)=sin(2000πt)+ 5cos(4000πt). La señal AM es, u(t)=100[1+m(t)]cos(2πfct). La cual se alimenta a una carga de 50 ohm. a. Determinar el espectro de la señal y graficarlo. Se tiene que la señal modulada es:

En la que reemplazando el mensaje m(t), nos queda: Para simplificar la obtención del espectro, procedemos a separar las multiplicaciones entre señales mediante las siguientes propiedades: Para continuar el desarrollo se utilizan las siguientes propiedades:

Con lo que finalmente la señal u(t) esta dada por:

Aplicando TF a la señal u(t), obtenemos la señal U(f) siguiente: Cuyo grafico se muestra a continuación.

Figura 6.1: Espectro de la señal u(t).

En la gráfica solo se muestra la parte de frecuencias positivas, si se observan las frecuencias negativas se apreciarán los peaks en las mismas frecuencias pero con signo negativo. b. Determinar la potencia media en la portadora y en las bandas laterales.

La potencia media en la portadora está dada por:

, dado que la portadora está centrada en fc, el

valor de Ac, corresponde con la amplitud de la señal cosenoidal de esta frecuencia, de este modo reemplazando:

La potencia en las bandas laterales está dada por la sumatoria de las potencias de cada una de las frecuencias que no son de la portadora, es decir:

c. Determinar el índice de modulación de la señal DSB-LC. El índice de modulación se obtiene mediante la siguiente ecuación:

Sabiendo que la señal de mensaje es , calculamos su máximo derivando la ecuación y encontrando un tiempo tmax, para que su derivada sea cero, este tiempo se reemplaza en m(t), y se obtiene el máximo, cuyo valor es 5.025. Así, el valor del índice de modulación es:

Debido a que el índice de modulación es menor que uno, se concluye que se puede realzar la demodulación con detector de envolvente ya que no existe sobremodulación.

d. Determinar la potencia máxima entregada a la carga.

Como el máximo valor que toma el coseno es unitario, asumimos que para el tiempo tmax ,

8. Considere que un mensaje , tal que Am=10, f1=50 [Hz] y f2=100 [Hz] modula FM al carrier , tal que fc=1000 [Hz] y Ac=10. Si por diseño definimos Kf=1. a. Obtenga una expresión para la señal modulada FM (uFM (t)).

Luego, la señal demodulada es:

Reemplazando los valores dados, nos queda:

b. Dibuje el espectro de la señal modulada FM

Figura 8.1: Espectro de la señal modulada.

En la grafica solo se muestra la parte de frecuencias positivas, si se observan las frecuencias negativas se apreciará un peak en -1000 [Hz].

i. Indique el ancho de banda efectivo de la señal El ancho de banda efectivo de la señal es 1200 [Hz] ii. Indique el ancho de banda efectivo del canal de comunicaciones entorno a fc. El ancho de banda efectivo del canal centrado en fc es de 400 [Hz]. iii. Explique la razón por la cual está calculando el ancho de banda efectivo de la manera en que lo ha realizado. Se sabe que el ancho de banda es infinito para una señal modulada en ángulo, pero debido a las aproximaciones hechas mediante kf y kp, es que se pueden calcular el ancho de banda de la manera normal.