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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

LA ENTROPÍA COMO MEDIDA DE DIVERSIFICACIÓN DE MERCADO BAJO UNA PERSPECTIVA DE SUB-MARTINGALA: EVIDENCIA EMPÍRICA BAJO LA PRUEBA DE RAÍCES UNITARIAS PARA LAS AFORES (2000-2011).

T E S I S

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS

(ECONOMÍA FINANCIERA)

P R E S E N T A

ROBERTO ALEJANDRO RAMÍREZ SILVA

MÉXICO D.F. DICIEMBRE DE 2012

Agradecimientos:

A cada uno de mis profesores, de la Sección de Estudios de Posgrado e

Investigación, de la Escuela Superior de Economía, ya que de cada uno aprendí

algo, que contribuyó a este trabajo, y a mi familia por su apoyo incondicional.

I

INDICE

INDICE DE TABLAS Y GRAFICAS .......................................................................................... III

SIGLAS Y ABREVIATURAS ..................................................................................................... VI

RESUMEN ................................................................................................................................. VII

ABSTRACT ..................................................................................................................................... IX

INTRODUCCION ....................................................................................................................... XI

CAPITULO I ELEMENTOS TEORICOS ................................................................................... 1

Portafolio de inversión .......................................................................................................... 10

1.1.1 Mercado .................................................................................................................. 10

1.1.2. El modelo de Harry Markovitz (1952) ...................................................................... 11

1.1.2.1 Minimizando la varianza del portafolio.................................................................... 12

1.1.3 Frontera de un portafolio óptimo ................................................................................ 14

1.1.4 Portafolio continuo estocástico ................................................................................... 15

1.2 Martingalas ................................................................................................................. 17

1.2.1 Definición de martingalas ............................................................................................ 17

1.2.2 Martingalas continuas.................................................................................................. 17

1.2.3 Super-martingala ......................................................................................................... 18

1.2.4 Sub-martingala ............................................................................................................. 18

1.3 Definición de Entropía .................................................................................................... 19

1.3.1 El uso del término entropía en diferentes ciencias ................................................... 19

1.3.2 La entropia según el modelo de Shannon ................................................................. 19

1.3.3 La Entropia según Kullback-Leider ............................................................................ 20

1.3.4 El criterio de máxima entropía .................................................................................... 21

1.3.4.1 Principio de máxima entropía .................................................................................. 21

1.3.5 El criterio de mínima entropía cruzada ...................................................................... 22

1.3.6 La entropia representada bajo el lema de It풐 ............................................................ 24

1.3.7 La entropía vs índice Hersfindahl-Hirschman (IHH) ................................................. 26

1.4 Pruebas de raíces unitarias .......................................................................................... 26

1.4.1 Prueba aumentada tipo Dickey-Fuller ........................................................................ 26

1.4.2 Prueba tipo Phillips-Perron ........................................................................................ 27

II

1.4.2.1 Criterio Newey-West (Heteroscedasticidad auto- correlación) ............................. 28

1.4.3 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) ................................................ 29

1.4.4 Prueba de raíces unitarias para datos de panel Levin-Lin-Chu (LLC) .................... 30

1.5 Las AFORES en México ................................................................................................ 34

1.5.1 Tipos de SIEFORES y su clasificación ...................................................................... 36

CAPITULO II PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS ............................................................... 38

2.1 Las AFORES y su participación actual en el mercado ................................................ 38

2.1.1 Principales AFORES en México ................................................................................. 38

2.2. Características de diversificación de cartera en las SIEFORES ............................... 43

2.2.1 Diversificación de carteras de las SIEFORES y su estructura ................................ 43

2.3 Rendimientos de las SIEFORES ................................................................................... 48

2.4 Prueba de raíces unitarias a las entropías ................................................................... 53

2.5 Prueba Dickey-Fuller aumentada a las entropías ........................................................ 58

2.6 Prueba Phillips-Perron a las entropías .......................................................................... 59

2.7 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) alas entropias.......................... 60

2.8 Relaciones funcionales econométricas ......................................................................... 61

2.9. Prueba de raíces unitarias conjunta Levin-Lin-Chu (panel de datos inter-SIEFORES) ............................................................................................................................ 67

CONCLUSIONES. .................................................................................................................... 72

BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................... 78

APENDICE................................................................................................................................. 82

Movimiento browniano .......................................................................................................... 82

El lema de It풐 ......................................................................................................................... 85

III

INDICE DE TABLAS Y GRAFICAS

Tabla 1.1 Valores estadísticos 3

Tabla 1.1.1 Formación de los Sistemas de Pensiones en América Latina. 35

Tabla 1.1.2 Clasificación de SIEFORES básicas. 36

Tabla 2.1.1 AFORES en el mercado para los años

(2001,2003, 2009, 2011, 2012), selección arbitraria. 38

Tabla 2.1.2 Participación de las AFORES (Por número de trabajadores),

en el mercado mexicano al cierre del 2010. 40

Tabla 2.1.3 Participación (en porcentaje) de las AFORES

en el mercado mexicano 41

Tabla 2.1.4 Participación en número de asegurados % 41

Tabla 2.1.5 Participación en número de asegurados 42

Tabla 2.2.1 Limitaciones legales de composición de las SIEFORES 45

Tabla 2.2.2 Asignaciones de los fondos de pensiones países OCDE. 46

Tabla 2.2.3 Entropía por país. 47

Tabla 2.3.1 Rendimientos históricos de las AFORES

al cierre de diciembre del 2011. 49

Tabla 2.3.2 Comparativo SIEFORE básica 1

(rendimiento-diversificación) 50






IV




Tabla 2.4.1 Entropía de la Evolución general de la composición

de cartera de las SIEFORES. (1999:I-2011:II) 54

Tabla 2.4.1 Resultados de la Prueba Jarque-Bera 58

Tabla 2.5.1 Resultados de la prueba de raíces unitarias

(Dickey-Fuller Aumentada) 58

Tabla 2.6.1 Resultados de la prueba de raíces unitarias (Phillips-Perron) 59

Tabla 2.7.1 Resultados de las prueba de raíces unitarias

(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin) 60

Tabla 2.7.2 Resultados de la Prueba de raíces unitarias

(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin) 60

Tabla 2.8.1 Matriz varianza-covarianza 61

Tabla 2.8.3 Regresión econométrica en base a la ecuación 2.1 62

Tabla 2.8.4 Pruebas a residuos de regresión econométrica

en base a la ecuación 2.1 62

Tabla 2.8.4 Pruebas de causalidad tipo Granger.

(23 observaciones para 2 rezagos) 63







Tabla 2.9.1 Prueba Levin-Lin-Chu a entropías precio de cierre

(1998-2011) 68

V

Tabla 2.9.1.1 Estadísticos a entropías periodo 1998-2011 70

Tabla 2.9.2 Prueba Levin-Lin-Chu entropías de los rendimientos

de los precios de cierre (1998-2011) 71

Gráfica 1.1 Rendimientos históricos (2003:I-2010:IV) 2

Gráfica 1.2 Números aleatorios 4

Grafica 1.3 Función de distribución inversa 5

Gráfica 1.4 Histograma 5

Grafica 1.5 Valores distribución normal acumulativa 7

Gráfica 1.6 Logaritmos de las probabilidades acumuladas normales 8

Gráfica 2.4.1 Entropía 1999:I-2011:I 56

Gráfica2.4.2 d(entropia) 1999:I-2011:I 56

Gráfica 2.4.3 Cambio % (entropia) 1999:I-2011:I 57

Figura 2.8.1 Comportamiento de variables 62

Grafica 2.8.1 Covarianza acumuladas entropía-porcentaje 66

Grafica 2.8.2 Correlación acumulada entropía-porcentaje 66

Gráfica 2.9.1 Entropías de los precios de cierre (1998-2011) 68

Grafica 2.9.1 Entropías de los rendimientos de los precios de cierre

(1998-2011) 69

VI

SIGLAS Y ABREVIATURAS

CONSAR Comisión Nacional del Sistema de Ahorro para el Retiro

AFORES Administradoras de Fondos para el Retiro

SIEFORES Sociedad de Inversión Especializada en Fondos para el Retiro

AIOS Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de

Fondos de Pensiones

VII

RESUMEN

El análisis de los rendimientos de cualquier portafolio de inversión tiene diversos

caminos de acción y así como también factores explicativos, en lo que respecta a

la diversificación en las AFORES en México, siempre ha sido un tema de suma

importancia, ya que representa el ahorro de los trabajadores para la etapa del

retiro de la vida laboral, sin embargo aunque son fondos que no son manejados

por el trabajador, si se rigen bajo los términos comunes del análisis de portafolio,

es decir que debe estar diversificado el Portafolio de las SIEFORES, bajo las

restricciones que impone el marco legal y condiciones de mercado. El presente

trabajo pretende explorar la diversificación del mercado de las AFORES bajo un

enfoque teórico formal, partiendo de utilización de la Entropía como medida de

diversificación y atribuyéndole propiedades, tales como el comportamiento de una

sub-martingala, lo cual garantiza que el mercado de las AFORES está en equilibrio

en términos de diversificación.

Por lo anterior el presente trabajo busca analizar la Entropía como medida de

diversificación en el mercado de las AFORES, bajo un enfoque de pruebas

econométricas de Raíces Unitarias (Dickey-Fuller, Phillips-Perron,KPSS, Levin-

Lin-Chu), partiendo de la hipótesis central, de que el mercado de las AFORES ha

tenido un cambio creciente en la composición de las carteras de las SIEFORES,

esperando encontrar elementos de comportamiento tipo sub-martingala

(creciente), que muestren una mayor diversificación del mercado de las AFORES

en México. En una primera instancia se analizan las entropías estáticas con

respecto a los rendimientos históricos al cierre de diciembre del 2011, donde se

VIII

encontró que las AFORES de mayor diversificación medidas en términos de

entropía no les corresponde un mayor rendimiento, aunque a menor diversificación

si le corresponde ocasionalmente un menor rendimiento.

Por otra parte se realizó un análisis comparativo entre los países de la OCDE

(Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico), donde México

aparece en el penúltimo lugar para el año 2009, por ello la necesidad de analizar

al mercado de las AFORES en lo que se refiere a los cambios en lo que se refiere

a los niveles de diversificación, por ello se analizaron las entropías para un

periodo 1999:I-2011:I en frecuencia semestral, donde se encontró bajo el enfoque

de pruebas econométricas de Raíces Unitarias, que el mercado ha tenido un

desenvolvimiento favorable en su diversificación.

Finalmente se realizó un análisis de Raíces Unitarias bajo un panel de datos,

utilizando la prueba econométrica Levin-Lin-Chu (2002), para los precios de cierre

de las SIEFORES, administradas por las ocho AFORES que han operado desde

inicio de la operación del mercado de AFORES, hasta el cierre de diciembre del

2011, encontrando que las series muestran econométricamente una tendencia

estacionaria y con ello, poca presencia de nueva información, lo que se puede

interpretar que los precios de cierre de cada SIEFORE y sus respectivos

rendimientos, se encuentran en un estado pasivo que no recogen los efectos que

ha tenido el mercado de las AFORES en lo que se refiere al dinamismo propio de

este, en lo que se refiere a la entrada y salida de competidores en el mercado.

IX

ABSTRACT

The analysis of the performance of any investment portfolio has several courses of

action and as well as explanatory factors, with respect to diversification in the

AFORE market in Mexico, has always been a matter of great importance,

accounting for saving workers for the withdrawl stage of working life, however

although funds are not handled by the worker it self, if the terms are governed by

common portfolio analysis, i.e. the portfolio should be diversified by SIEFORES

under restrictions imposed by legal framework and market conditions. This work

explores diversification AFORES market under a formal theoretical approach,

based on use of Entropy as a measure of diversification and attributing properties

such as the behavior of a sub-martingale, which ensures that the AFORES market

is balanced in terms of diversification.

Therefore this work analyzes the Entropy as a measure of diversification in the

AFORES market, with a focus on econometric Unit Root test such as (Dickey-

Fuller, KPSS, Levin-Lin-Chu), starting from the central hypothesis, that the market

has had a change AFORES market growing in the composition of the portfolios of

SIEFORES (a major diversification), hoping to find items of sub-martingale

behavior (increasing), showing a more diversified AFORES Mexican’s market. In

the first instance static entropies are analyzed with respect to past performance at

the end of December 2011, which found that AFORES more diversified in terms of

Entropy measures is not up higher performance, albeit at less diversified if it

corresponds lower performance.

X

Moreover we performed a comparative analysis of OECD counties (Organization

for Economic Cooperation and Development), where Mexico is in second lowest in

2009, hence the need to analyze the AFORE market referred to changes in regard

to the levels of diversification, the entropies were analyzed for a period 1999:I-

2011:I in a six months sample, which came under the focus of econometrics Unit

Roots test, that the market has had a favorable development in its diversification.

Finally an analysis of Unit Roots in panel data, using the econometric test Levin-

Lin-Chu (2002), to the closing prices of the SIEFORES, administered by the eight

AFORES market until the end of December 2011, finding that the series show a

stationary behavior, and thus present little new information, which can be

interpreted as the closing prices of each Siefore and their yield, are in a passive

state, which do not reflect the effect that the AFORE market has in regard to

dynamic characteristic of this. In regard to the entry and exit of competitors in the

market.

XI

INTRODUCCION

El cambio que se dio en el Sistema de Pensiones mexicano, al pasar de un

sistema de reparto a un sistema de Capitalización Individual, a partir del año 1997,

que tomó como base al sistema de pensiones chileno, con el fin de conseguir, que

cada trabajador en México tenga un ahorro al final de su vida laboral, genera

desde luego varias vías de análisis que por sí misma convergen a un punto en

común, que es el de conseguir el mayor monto de ahorro posible, para el final de

la vida laboral para el trabajador mexicano. Sin embargo la necesidad de analizar

bajo un enfoque teórico formal, la diversificación misma del Sistema de

Capitalización Individual en México, permite visualizar si este mismo sistema

tiende a la maximización del rendimiento de los ahorros de los trabajadores en

México, por medio del estudio de los portafolios de las SIEFORES, ya que permite

probar si las SIEFORES más diversificadas son efectivamente las que generan

mayor rendimiento a los ahorros de los trabajadores en México.

1

CAPITULO I ELEMENTOS TEORICOS

En el presente capítulo se revisaran los elementos básicos teóricos a utilizar

durante el presente trabajo, así como también se realizó un ejemplo práctico de

la utilización de Entropía como medida de diversificación y finalmente se

mencionaran algunos aspectos generales del Sistema de Pensiones en México

y la clasificación de los tipos de SIEFORES que existen en el mercado.

La utilización de la Entropía para fines teóricos y prácticos con diferentes

propósitos desde aplicaciones en la Física como también en el análisis

probabilísticos (Venegas1992) e incluso para fines de análisis de información

(Shannon 1948) y diversificación de portafolios y diversificación de mercados

(Fernholz 2002), tiene una importancia que para fines de la presente

investigación, busca como propósito poder explicar la diversificación en el

mercado de las AFORES en México; sin embargo, es importante destacar

algunos elementos para fines de explicación más detallada hacia los

interesados de exponer un ejemplo práctico de análisis de diversificación para

un conjunto de 1000 rendimientos simulados distribuidos normalmente a partir

de los rendimientos históricos trimestrales de una acción dada (2003:I-2010:IV)

y de los cuales obtendremos el valor de la Entropía, donde n representa el

número total de elementos para nuestro análisis.

2

Partiendo de la medida de Entropía propuesta por (Shannon 1948) para el

presente ejemplo queda representada de la siguiente forma.

La Entropía como medida de diversificación:

푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (1)

Donde:

휋 = 1 (2)

Gráfica 1.1

Rendimientos históricos (2003:I-2010:IV)

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Returnos historicos (2003:I-2010:IV)

3

Tabla 1.1

Valores estadísticos

Donde la media y la desviación estándar son obtenidas a partir de la formación

de sub-intervalos formados a partir de la definición Δx, empezando por el valor

mínimo y posteriormente ir incorporando, el valor acumulado hasta llegar al

valor máximo de los rendimientos históricos trimestrales es decir:

푥 = 푚푖푛 + Δx ∗ n, donde n ∈ [0,100]

A partir de los valores de media y desviación estándar obtenidos anteriormente,

podemos generar valores de rendimientos simulados y posteriormente obtener

su probabilidad acumulada correspondiente, y finalmente obtener el valor de

Entropía.

Max. 0.412 Min. -0.089 Δx = (MaxMin)/100

0.005

Promedio. 0.161 Desviación estándar.

0.147

4

Para ello primero obtendremos 1000 aleatorios que se encuentran entre cero y

uno.

Gráfica 1.2

Números aleatorios

Posteriormente, a partir de los números aleatorios se obtienen los valores

inversos de la distribución acumulativa normal para el promedio (0.16144046) y

desviación estándar (0.14681224) que fueron obtenidos anteriormente.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Numeros aleatorios

5

Grafica 1.3

Función de distribución inversa

Gráfica 1.4

Histograma

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Funcion de distribucion normal inversa.numeros aleatoriosPromedio. 0.16144046Desv est. 0.14681224

0

20

40

60

80

-0.250 -0.125 0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625

6

Revisando el segundo y tercer momento así como también el valor-p del

estadístico Jarque-Bera (1987), obteniendo resultados satisfactorios:

푀 = 1푁

푦 − 푦휎 → 0 ≈ −0.140446 (3)

푀 = 1푁

푦 − 푦휎

→ 3 ≈ 2.813280 (4)

Estadístico Jarque-Bera p-valúe 0.093472

퐽퐵 = 푁 − 푘

6 (푀 ) +14 (푀 − 3) ~퓧ퟐ

ퟐ (ퟓ)

Posteriormente se obtiene los valores de la distribución normal acumulativa

para cada uno de los valores de la gráfica IV con los mismos valores del

promedio y de la desviación estándar anteriormente utilizados.

7

Grafica 1.5

Valores distribución normal acumulativa

Entonces partiendo de la definición inicial de Entropia:

푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (6)

Podemos realizar la operación en dos pasos I, II y posteriormente realizar la

suma, y multiplicarla por menos uno.

Paso Ilog (휋 )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

8

Gráfica 1.6

Logaritmos de las probabilidades acumuladas normales

Después de realizar el paso I, podemos ahora realizar el paso II, y visualizar

su distribución directamente como se mostró en la gráfica 1.2:

Paso II 휋 ∗ log (휋 )

Finalmente aplicando la definición tenemos para nuestro ejemplo:

푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (7)

-8

-6

-4

-2

0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

9

푆(휋) = 252.26 (8)

Por otro lado, se puede obtener la Entropía a partir de los sub-intervalos

considerados como clase para los valores min-max de los rendimientos

históricos trimestrales que realizamos anteriormente para n = 100 y Δx =

0.00501063, con la condición de que Log(0)*0 = 0, con los valores que no son

considerados por ser negativos para obtener sus logaritmos, es decir que para

valores negativos de los rendimientos sólo se asume que tienen un valor igual

a cero, para ello es posible realizarse por medio de una función condicional que

filtre los valores negativos de los rendimientos históricos de la siguiente forma.

푠푖 푟 < 0 → 퐿표푔(푟 ) = 0 , log(0) ∗ 0 = 0

Y obteniendo las frecuencias a partir de los valores reales y considerando su

porcentaje individual, obtenido del porcentaje acumulativo, se procede de la

misma forma, pero trabajando con los porcentajes individuales.

푆(휋) = 3.19 (9)

10

Portafolio de inversión

Bajo un enfoque teórico un portafolio de inversión, en el cual el papel de la

diversificación juega un papel de suma importancia como elemento de

reducción de la varianza misma del portafolio, las condiciones mismas que

debe de tener un mercado, para la existencia eficiente de una diversificación

para un portafolio, juegan estas condiciones importantes para poder analizar la

diversificación de un mercado.

1.1.1 Mercado

Un mercado es una familia 훭 = {푋 , … ,푋 }, donde 휎(푡) es una matriz no

singular|휎(푡)| ≠ 0 para todo 푡 ∈ [0,∞) casi seguramente véase Fernholz

(2002).

Considerando la matriz-proceso valuado 휉 definido como 휉(푡) = 휉 (푡),

y definiendo el proceso de covarianza 휎, donde 휎(푡) = 휉(푡)휉 (푡).

Para cualquier 푥 ∈ ℝ , 푡 ∈ [0,∞)

푥휎(푡)푥 = 푥휉(푡)휉 (푡)푥 = 푥휉(푡) 푥휉(푡) ≥ 0 (10)

Por lo que 휎(푡) es una matriz positiva semidefinida para todo 푡 ∈ [0,∞)

11

El mercado 훭 es no- degenerativo si existe un número 휖 > 0 tal que:

푥휎(푡)푥 ≥ 휖‖푥‖ , 푥 ∈ ℝ , 푡 ∈ [0,∞) (11)

El mercado 훭 tiene varianza limitada, si existe un número M >0 tal que:

푥휎(푡)푥 ≥ 푀‖푥‖ , 푥 ∈ ℝ , 푡 ∈ [0,∞) (12)

1.1.2. El modelo de Harry Markovitz (1952)

Un portafolio 휋 es representado por sus pesos (ponderaciones) en cada activo

financiero, 휋 (푡), … ,휋 (푡), en el tiempo t y las ponderaciones son limitadas y su

suma es igual a 1.

휋 = 1 (13)

Donde el rendimiento esperado del portafolio siendo este más importante que

la riqueza final queda dada por:

12

퐸(푅) = 휋 ∗ 휇 (14)

El rendimiento esperado para cada activo financiero se representa como 휇 .

푉(푅) = 휋 휎 + 2 휋 휋 휎 (15)

1.1.2.1 Minimizando la varianza del portafolio

La finalidad de cualquier portafolio es la minimización de la varianza del retorno

del portafolio para un rendimiento esperado.

Para ejemplificación, dado dos activos financieros, el objetivo es buscar la

mínima varianza del rendimiento del portafolio.

푉푎푟 푟 = 휋 푉푎푟(푟 ) + (1 − 휋) 푉푎푟(푟 ) + 2휋(1 − 휋)퐶표푣(푟 , 푟 ) (16)

Y para n activos entonces la expresión es generalizada:

푉푎푟 푟 = 휋 휎 + 2 휋 휋 휎 (17)

13

La forma alternativa de expresar la varianza y covarianza es:

푉푎푟(푟 ) = 휎 (18)

퐶표푣 푟 , 푟 = 휎 (19)

Podemos representar finalmente la expresión.

푉푎푟 푟 = 휋 휋 휎 = 휋 훴 휋 (20)

Donde 훴 , 휋 representan la matriz de varianzas-covarianzas y el vector (흅) de

ponderaciones del portafolio de dimensión n (número de activos del portafolio).

Y en forma dinámica:

푉푎푟 푟 (푡) = 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡),

(21)

Bajo las restricciones lineales:

휋 (푡)훼 (푡) ≥훼 (22)

14

1.1.3 Frontera de un portafolio óptimo

La diversificación de un portafolio de inversión es de suma importancia ya que

con ello se diversifica el riesgo y se consigue un mayor rendimiento, es decir se

puede conseguir un rendimiento dado reduciendo el riesgo o maximizar el

rendimiento bajo un riesgo dado.

Frontera eficiente de un portafolio

Siempre existe un mejor portafolio que otro dado las preferencias completas, es

decir existen dos o más portafolios con el mismo rendimiento, pero con

diferentes niveles de riesgo.

sigma del portafolio (% )

returno med

io del portafolio (%

)

15

w π s ,…,π s < π s ,…,π s (23)

1.1.4 Portafolio continuo estocástico

La formalización del modelo de portafolio continuo estocástico se representa de la siguiente manera:

푍 (푡) = 휋 (푡)푋 (푡),

(24)

Bajo el modelo logarítmico sea 푍 (푡), que representa el valor de 휋 en el tiempo t.

푑푙표푔푍 (푡) = 훾 (푡)푑푡 + 휋,

(푡)휉 (푡)푑푊 (푡) (25)

Donde la tasa de crecimiento del portafolio es:

훾 (푡) = 훾 (푡)휋 (푡) + 훾∗(푡) (26)

Y el exceso de la tasa de crecimiento es:

16

훾∗(푡) = 12 휋 (푡)휎 (푡)− 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡)

,

(27)

휎 (푡) = 휉 (푡)휉 (푡) + ⋯+ 휉 (푡)휉 (푡) (28)

La selección de ponderación en la selección de asignación para cada activo

financiero para un nivel de inversión.

Minimizando la varianza del portafolio

휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡) (29),

Bajo las restricciones lineales:

휋 (푡)훼 (푡) ≥훼 (30)

Donde:

휋 (푡) = 1 (31)

휋 (푡), … ,휋 (푡) ≥ 0 (32)

Que representa un portafolio sin posición corta, dado una tasa de rendimiento.

17

Por otro lado, si se desea minimizar la varianza del portafolio bajo una

restricción en la tasa de crecimiento del portafolio en vez de la tasa de retorno

del portafolio entonces tenemos la siguiente restricción:

휋 (푡)훾 (푡) +12 휋 (푡)휎 (푡)− 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡)

,

≥ 훾 (33)

Representada en forma alternativa, queda de la siguiente forma:

휋 (푡)훾 (푡) +12 휋 (푡)휎 (푡) ≥ 훾 +

12 휋 (푡)휋 (푡)휎 (푡)

,

(34)

1.2 Martingalas

Una martingala se define como que el mejor pronóstico a un periodo adelante

es igual al valor del periodo presente dado un conjunto de información.

1.2.1 Definición de martingalas

퐸[푋 \푋 , … ,푋 ] = 푋 (35)

1.2.2 Martingalas continuas

Martingala en tiempo continúo.

18

Dado un espacio probabilístico (훺, {퓕풔}풔 ,ℙ)

퐸[푋 \푋 , 푟 ≤ 푠] = 푋 ,푝푎푟푎 푡표푑표 푠 ≤ 푡 (36)

퐸[푋 ∆ − 푋 ] = 0 (37)

Sea una familia de variables estocásticas en cada tiempo t donde el proceso es

estocástico continuo 푋 ,푡 ∈[0,∞]} 푦 푠푒푎 퐼 ,푡 ∈[0,∞]} , que representa una

familia de información que se interpreta continuamente con s<t<T y la familia

de información satisface la condición

퐼 ⊆ 퐼 ⊆ 퐼 ⋯

Este conjunto 퐼 ,푡 ∈[0,∞]} es llamado filtración.

1.2.3 Super-martingala

Super-martingala:

퐸[푋 \푋 , … ,푋 ] ≤ 푋 (38)

1.2.4 Sub-martingala

Sub-martingala:

퐸[푋 \푋 , … ,푋 ] ≥ 푋 (39)

퐸[푆(µ (t))\푆(µ (s)), 푟 ≤ 푠] ≥ 푆(µ (s)),푝푎푟푎 푡표푑표 푠 ≤ 푡

19

1.3 Definición de Entropía

1.3.1 El uso del término entropía en diferentes ciencias

La utilización de la Entropía ha tenido varias utilizaciones tanto en el campo de

la Física aplicada en el campo de la Termodinámica que representa la parte de

energía que no puede utilizarse para producir trabajo, es decir es una medida

de irreversibilidad en los sistemas termodinámicos y se representada la

Entropía bajo la letra S teniendo como traducción directa del griego “evolución

o cambio”, y fue Rudolf Clausius que en 1850 acuño el termino mismo, Ludwig

Boltzmann fue quien por primera vez le dio un tratamiento matemático para

aplicarlo al campo de la probabilidad y de ahí en adelante la utilización y el

estudio de la Entropía ha tenido varios campos de estudio como el campo de la

información que le dio Shannon en 1948.

1.3.2 La entropia según el modelo de Shannon

Definición de Entropía como medida diversificación de portafolios

푆(휋) = − 휋 푙표푔휋 (40)

Donde:

∆ = {휋 ∈ 푅 : 휋 +⋯+ 휋 = 1 ; 0 < 휋 < 1, 푖 = 1, … , 푛} (41)

20

Sea µ el portafolio de mercado (market portfolio), entonces la Entropía de

mercado S(µ) se define como:

푆(µ(t) = − π (t) logπ (t) (42)

Donde S(µ) es una semi-martingala continua donde 0< S(µ(t))≤ log n, para

todo t ∈[0, T].

1.3.3 La Entropia según Kullback-Leider

Criterio de Información Kullback-Leiber.

Es definido como la pseudo distancia entre dos distribuciones de probabilidad

que para el caso de estudio son los pesos de los portafolios 휋

퐾퐿퐼퐶 (푝, 푞) = 푝 푙푛푝푞 (43)

Donde si la distribución de referencia q es establecida como uniforme KLIN

(p,q) es la misma como la negativa de la medida de Shannon Entropia.

21

1.3.4 El criterio de máxima entropía

Este enfoque toma a la Entropía máxima encontrada bajo un criterio de

maximización.

1.3.4.1 Principio de máxima entropía

휋∗(휃), 휃 ∈ 훩

푀푎푥푖푚푖푧푎푟 퐻(휋) = − 휋(휃)푙푛휋(휃)푑휃 (44)

Sujeto a:

휋(휃)푑휃 = 1 (45)

푎 (휃) ln 휋(휃) 푑휃 = 훼 (46)

Para k = 1,2..,n

휋∗(휃) = 푒푥푝 휆 + 휆 푎 (휃) (47)

휋∗(휃)푑휃 = 1 (48)

훼 − 푎 (휃) 휋∗(휃)푑휃 = 0 (49)

22

Donde 휆 , 휆 , … , 휆 representan los multiplicadores de Lagrange.

⎩⎪⎨

⎪⎧ 0 = 휆 + 푙표푔{ 푒 ( ) 푑휃}

0 = 훼 − 푎 (휃) 푒 ( )푑휃

(50)

휕휆휕휆 = 훼 (51)

1.3.5 El criterio de mínima entropía cruzada

El principio de mínima Entropía cruzada. Sea la información inicial del individuo

sobre 휃 esta representada por una distribucion a priori p = p(휃), 휃 ∈ 훩,

obtenida posiblemente a partir de la máxima Entropia, e información adicional

representada en términos de valores expresada mediante:

푎 (휃) ln 휋(휃) 푑휃 = 훼 (52)

23

Minimizar:

퐻(휋, 푝) = 휋(휃)푙푛휋(휃)푝(휃) 푑 휃 (53)

Sujeto a:

∫ 휋(휃)푑 휃 = 1

∫ 푎 휋(휃)푑 휃 = 훼 (54)

Para k = 1,2,.., n

La condición de primer orden.

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧휋∗(휃) = 푝(휃)푒푥푝 −휆 − 휆 푎 (휃)

휋∗(휃)푑휃 = 1

훼 − 푎 (휃) 휋∗(휃)푑휃 = 0

(55)

Para k = 1,2,…, n

⎩⎪⎨

⎪⎧ 0 = 휆 + 푙표푔 푒 ( ) 푑휃

0 = 훼 − 푎 (휃) 푒 ( )푑 휃

(56)

Para k = 1,2, …, n

24

1.3.6 La entropia representada bajo el lema de It풐

Si consideramos a la función de entropía como una función estocástica

tenemos entonces la siguiente función:

푑푆 µ (t) = 푑푆 µ (t)

dµ d µ (t) +12

d

d µ (t) d µ (t) (57)

d µ (t) = γ dt + σ dW (58)

Donde:

푑푊 = ∅√푑푡 (59)

Donde ∅ es una variable aleatoria proyectada de una distribución normal

estandarizada, donde tiene como media cero y varianza 1 y la probabilidad

función de densidad es:

1√(2휋)

푒 ∅ (60)

Para un operador de expectación 휀:

휀[퐹(∙)] = 1

√(2휋)퐹(∅)푒 ∅ 푑∅ (61)

휀[∅] = 0 (62)

휀[∅ ] = 1 (63)

Sustituyendo tenemos:

25

푑푆(µ ) =푑푆(µ )

dµ(γ µ dt + σ µ dW) +

12

d

d µ (t) (γ µ dt + σ µ dW) (64)

푑푆(µ ) = ( ) (γ µ dt + σ µ dW) +( ) (γ µ 푑푡 + 2σ γ µ dt dW +

σ µ dW ) (65)

Simplificando tenemos bajo la condición de que:

푑푊 → 푑푡 푐푢푎푛푑표 푑푡 → 0

푑(푑푆(µ ) → σ µ dt

푑푆(µ ) = 푑푆(µ )

dµ(σµ dW + γ µ dt) +

12σ µ

d 푆(µ )d µ

dt (66)

푑푆(µ ) = σµ푑푆(µ )

dµ dW + γ µ푑푆(µ )

dµ +12σ µ

d 푆(µ )d µ

dt (67)

.

26

1.3.7 La entropía vs índice Hersfindahl-Hirschman (IHH)

La Entropía desde el punto de vista comparativos en lo que respecta a la

diversificación de mercados, tiene mayores bondades de aplicación, por un

lado ya que es más sensible en pequeñas muestras y además puede dársele

un tratamiento matemático más amplio, sin embargo es importante mencionar

que ambas indicadores en términos estáticos representan lo mismo, aunque en

la evidencia empírica para fines de diversificación de una industria o mercado

el índice Hersfindahl-Hirschman ha sido mayormente utilizado.

Índice Hersfindahl-Hirschman:

퐻퐻퐼 = 휋 (68)

Donde: 휋 representa la participación de un mercado específico, de cada

empresa.

휋 = 1 68.1

1.4 Pruebas de raíces unitarias

1.4.1 Prueba aumentada tipo Dickey-Fuller

Prueba Dickey-Fuller Aumentada.

27

∆푦 = 휇 + 훾푦 + 훿 ∆푦 + 훿 ∆푦 + ⋯+ 훿 ∆푦 + 휀 (69)

Donde 훾 = 휌 − 1

∆푦 = 휇 + 훾푦 + 훿 ∆푦 + 휀 (70)

퐻 ∶ 훾 = 0 , 퐻 ∶ 훾 < 0 (71)

1.4.2 Prueba tipo Phillips-Perron

∆푦 = 훼 + 훽푦 + 휀 (72)

Usando Newey-West Heteroscedasticidad-autocorrelacion consistente con j

números de truncaciones.

휔 = 훾 + 2 1 −푗

푞 + 1훾 (73)

훾 = 1푇 푒̃ 푒̃ (74)

Test de Phillips-Perron (PP) entonces, queda definido de la siguiente forma:

28

푡 = 훾 푡휔 −

(휔 − 훾 )푇푠2휔휎 (75)

Donde 푡 , 푠 estadistico de t y error estándar de 훽,휎 respectivamente.

1.4.2.1 Criterio Newey-West (Heteroscedasticidad auto- correlación)

훴 = (푋 푋) 푉(푋 푋) (76)

푉 = 푇

푇 − 퐾 − 1 푒 푋 푋

+1 − 푣퐿 + 1 푋 푒 푒 푋 + 푋 푒 푒 푋 (77)

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡푧 = log(휋 )휋

⋮

푧 = log(휋 )휋⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(78)

29

1.4.3 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS)

Sea la varianza de largo plazo:

휎 = lim→

푇 퐸(푆 ) (79)

Donde se puede obtener un estimador de dicha varianza de largo plazo de la

siguiente forma:

푠 (푙) = 푇 푒 + 2푇 푤(푠, 푙) 푒 푒 (80)

Donde w(s,l) representa una función de ponderación opcional para la elección

de una ventana espectral, donde los autores utilizan la ventana de Bartllet

w(s,l) = 1-s/(l+1) como lo utilizaron (Newey y West (1987) con lo cual se

garantiza la no negatividad de 푠 (푙).

Los estadísticos para la prueba de Raíces Unitarias se definen de la siguiente

forma:

휂 = 푇 푆 (81)

휂̂ = 푇 푆 /푠 (푙) (82)

휂̂ = 푇 푆 /푠 (푙) (83)

30

1.4.4 Prueba de raíces unitarias para datos de panel Levin-Lin-Chu (LLC)

Es una prueba para series de tiempo con datos de Panel que mide

conjuntamente la no Estacionalidad de las variables en su conjunto.

Los supuestos básicos en los que se basa esta prueba radican bajo el

supuesto de que las series son independientes entre si y están distribuidas

normalmente entre ellas mismas.

∆푦 = 휌 푦 + 푧 훾 + 푢 (84)

Donde i representa cada variable individualmente, para una muestra

correspondiente 1,…,T.푧 Representa el componente determinista y 푢 es el

proceso estacionario.

Donde la hipótesis nula es:

퐻표 = 휌 = 0 푖 = 1,2, … ,푛 (85)

Que permite la heterogeneidad de los efectos individuales determinísticos

(constante, tendencia lineal) y estructura heterogénea correlación serial de los

términos de error, y se asume un parámetro de primer orden homogéneo.

También la prueba asume que N y T tienden hacia infinito, pero T crece a una

tasa más rápida tal que N/T→0.

La prueba utiliza un estadístico t combinado del estimador para evaluar la

hipótesis de que cada serie de tiempo individual contiene una raíz unitaria

contra la hipótesis alternativa de que cada serie de tiempo es estacionaria.

31

La prueba asume la existencia de coeficientes autorregresivos homogéneos

entre cada uno individualmente.

퐻표 = 휌 = 휌 (86)

퐻1 = 휌 = 휌 < 0 푖 (87)

Y en términos generales se puede expresar de la siguiente manera bajo una

homogeneidad de los coeficientes regresores de primer orden.

퐻표 = 휌 = 휌 =, … ,휌 (88)

퐻표 = 휌 = 휌 =, … ,휌 < 0 (89)

Que impone una ecuación cruzada de restricción en el primer coeficiente de

auto correlación parcial bajo la hipótesis nula anteriormente especificado, cabe

recalcar que este procedimiento tiene mayor poder que se realizara la prueba

de raíces unitarias por separado.

∆푦 = 휌 푦 + 훼 + 훼 푡 + 푢 , 푖 = 1,2, … ,푇 (90)

Donde 훼 representa el término constante y 훼 푡 el término de tendencia y el

termino de error sigue un proceso estacionario e invertible bajo un proceso de

ARMA para cada serie de tiempo.

32

푢 = 휃 푢 + 휀 (91)

El modelo puede ser representado en tres formas ya sea sin constante, con

constante o tendencia:

∆푦 , = 훿푦 , + 휃 퐿∆푦 , + 훼 . 푑 , + 휀 , , 푚 = 1,2,3 (92)

Donde se obtienen los vectores de errores por mínimos cuadrados ordinarios:

푒̂ , = ∆푦 , − 휋 , ∆푦 , − 훼 , 푑 , (93)

푣 , = ∆푦 , − 휋 , ∆푦 , − 훼 , 푑 , (94)

Los cuales se pueden estandarizar con los errores estándar obtenidos en cada regresión:

푒̃ , = 푒̂ ,

휎 , (95)

푣 , = 푣 ,

휎 , (96)

En una segunda parte de la prueba se obtiene la varianza de largo plazo de la

siguiente forma:

휎 , = 1

푇 − 푝 − 1 (푒̂ , − 훿 푣 , ) (97)

33

O alternativamente:

휎 , = 1

푇 − 1 ∆푦 , + 2 푤 ,1

푇 − 1 ∆푦 , ∆푦 , (98)

Con núcleo de Bartlett:

푤 , = 1 −1

푘 + 1 (99)

A su vez se puede estandarizar la desviación estándar de largo plazo a si como

su promedio:

푠 =휎 ,

휎 , (100)

푠̂ =휎 ,

휎 , (101)

푆 =1푁 푠 (102)

Finalmente se procede a obtener el estadístico como se muestra en las

ecuaciones 103,104,105:

푡 = 훿

푆푇퐷(훿) (103)

훿 =∑ ∑ 푣 , − 푒̃ ,

∑ ∑ 푣 , (104)

34

푆푇퐷 훿 = 휎 푣 ,

/

(105)

1.5 Las AFORES en México

El proceso de transición de los sistemas de pensiones de transferencia del

Estado hacia los sistemas de pensiones privados de cuotas, principalmente en

América Latina (véase tabla 1.1.1) a principios de los años noventas, tuvo

como consecuencia el replanteamiento de la perspectiva de ahorro para el

retiro del trabajador ya sea en el sector privado o publico, por lo que desde a

partir de entonces el mercado de las administradoras de fondos de pensiones

juega un papel de suma importancia para el análisis.

En México, a partir de 1997 el Sistema de Pensiones se modificó, dando pie a

un sistema de pensiones individual que son las AFORES, las cuales tienen

como misión primordial administrar los fondos de los trabajadores para que

estos tengan los mejores rendimientos posibles buscando el menor riesgo, y

que serán entregados en forma parcial o en una sola exhibición al final de la

vida laboral del trabajador. La Ley de los Sistemas del Ahorro para el Retiro

establece que los fondos que administran las AFORES sean asignados en

inversiones principalmente en actividades económicas, tales como en sectores

de la construcción y la producción o en papeles gubernamentales (Bonos

Federales, Bonos de Desarrollo o en renta variable en empresas de calificación

alta, lo cual garantice un bajo riesgo y un rendimiento competitivo, que

favorezca el estimulo del desarrollo económico del país principalmente (Ley de

los Sistemas de Ahorro para el Retiro de los estados Unidos Mexicanos).

35

El mercado de AFORES en México desde su inicio de operaciones en 1997,ha

tenido un comportamiento dinámico en lo que se refiere a las partes

participantes que son las AFORES, sin embargo las AFORES respaldadas por

instituciones bancarias grandes y de amplio arraigo en el país, han sido las que

se consolidaron con un mayor porcentaje en lo que respecta a participación de

mercado, es decir (mayor número de trabajadores afiliados y mayores montos

de operación), no obstante, la Ley (Ley de los Sistemas de Ahorro para el

Retiro de los estados Unidos Mexicanos), establece un límite no mayor al 20

por ciento del mercado potencial en participación de mercado en lo referente a

número de afiliados, con el fin de evitar prácticas monopolísticas, y así

fomentar la competencia entre las AFORES y poder ofrecer mejores servicios y

mayores rendimientos netos a los trabajadores bajo el marco de lineamientos

que rige esta misma ley (Ley de los Sistemas de Ahorro para el Retiro de los

Estados Unidos Mexicanos)

Tabla 1.1.1

Formación de los sistemas de pensiones en América Latina.

País. Año.

Chile 1990 Perú 1993

Argentina 1994 Colombia 1994 Uruguay 1996 Bolivia 1997 México. 1997

El Salvador. 1998 Costa Rica. 2001

República Dominicana. 2003

Fuente: Elaboración propia con datos de la Organización Internacional de Asociaciones Supervisoras de Fondos de Pensiones (AIOS).

36

1.5.1 Tipos de SIEFORES y su clasificación

Las SIEFORES se clasifican en función de los niveles de edad del trabajador

véase tabla 1.1.2, con el fin de poder establecer mejores estrategias de

inversión para los trabajadores de acuerdo a la edad misma de este,

entendiendo que conforme va cambiando la edad del trabajador la asignación

de la SIEFORE que le corresponde de acuerdo a su edad será automática

dentro de la AFORE que el trabajador haya escogido previamente de acuerdo a

la clasificación vigente que dicte la Ley.

Las consecuencias en lo que se refiere a la clasificación de las SIEFORES

para cada trabajador es inmediata, ya que de acuerdo al perfil de edad de este,

la composición de la cartera de inversión, que tiene restricciones explicitas que

marca la Ley, tiene desde luego un impacto directo en el rendimiento neto del

ahorro para su retiro, ya que no se considera la aversión al riesgo individual. La

Ley considera como dada una mayor aversión al riesgo conforme aumenta la

edad del trabajador. Esto tiene un significado lógico si se trata de dar una

homologación de aversión a todos los trabajadores, en el funcionamiento

mismo del mercado de las AFORES, teniendo un mayor beneficio para las

AFORES con mayor participación de mercado, ya que si bien no utilizan al

máximo los beneficios de las economía de escala por la restricción que impone

a la participación de mercado potencial (20%) y son considerables las

diferencias de beneficios entre las AFORES grandes con respecto a las

AFORES pequeñas.

37

Tabla 1.1.2

Clasificación de SIEFORES básicas.

Clasificación Edad

Siefore Básica 1. Más de 55 años. Siefore Básica 2. 46 a 55 años. Siefore Básica 3. 37 a 45 años. Siefore Básica 4. 27 a 36 años. Siefore Básica 5. Menos 27 años.

Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR.

<www.CONSAR.gob.mx/estadisticas>

38

CAPITULO II PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS

En el Presente capítulo se revisaran las Entropías para las SIEFORES básicas

para cada una de las AFORES en el mercado mexicano, además de que se

realizara un análisis comparativo en forma estática en un orden de mayor a

menor diversificación y su comparación con los rendimientos de los últimos 36

meses, así como también se obtendrá una tabla comparativa del Sistema de

Pensiones en México con respecto a otros países de la OCDE del cual forma

parte como miembro México. Por otro lado las pruebas de Raíces Unitarias

que se realizaran para las Entropías así como también para sus variaciones

porcentuales y primeras diferencias en la diversificación de cartera para de las

SIEFORES (1999:II-2011:I). Además de las Pruebas de Raíces Unitarias para

los Precios de Cierre de SIEFORES básicas (1-5) para cada AFORE en forma

conjunta, y además se realizaran las Pruebas de Causalidad tipo Granger para

las entropías y algunas variables que son significativas, así como también

algunas regresiones econométricas propuestas para el estudio que nos

permiten tener algunos elementos de base para un análisis más detallado.

2.1 Las AFORES y su participación actual en el mercado

2.1.1 Principales AFORES en México

Desde el comienzo de la operación del mercado de las AFORES en México a

partir de 1997, el número de AFORES ha ido variando (véase tabla 2.1.1), ya

que, por un lado la aparición de nuevas AFORES que compran a otras que

39

salen del mercado, o por fusión entre instituciones bancarias, y por nuevos

competidores que ingresan al mercado con la finalidad de poder captar parte

de la participación de mercado, con el fin de generar beneficios en el manejo

de los ahorros de los trabajadores.

Tabla 2.1.1

AFORES en el mercado para los años (2001,2003, 2009, 2011, 2012), selección arbitraria

2001 2003 2009 2011 2012

Bancomer Actinver ING Afirme Bajío Afirme Bajío. Santander Allianz Dresder XXI Azteca Azteca.

ING Azteca Inbursa Banamex Banamex. Banamex Banamex Argos Bancomer Bancomer. Banorte Bancomer Scotia Banorte Generali Coppel.

Garante Banorte Generali Coppel Coppel Inbursa.

Principal Inbursa Profuturo GNI HSBC SURA Profuturo GNP ING Banamex Inbursa Invercap.

AFORE XXI Principal HSBC ING Metlife. Inbursa Profuturo GNP ArfirmeBajio Invercap Pensionisste.

Tepeyac Santander Mexicano Principal Metlife Principal.

Zurich XXI Metlife Principal Profuturo. Previnter Azteca Profuturo GNP XXI- Banorte

Atlántico Invercap XXI

Genesis Banorte Genereli

Capitaliza Bancomer Allianz Dresder Ahorra Ahora

Fuente: Elaboración propia con datos la CONSAR

<www.consar.gob.mx/estadisticas>

En lo que se refiere a datos de la CONSAR, al cierre de diciembre del 2010 la

participación de mercado de las diferentes AFORES, refleja un amplio dominio

de los grandes corporativos bancarios de presencia mundial (véase tabla

2.1.2), por un lado, las AFORES Banamex, ING, Bancomer tiene una

participación del 16.7%, 12.49%, 11.1% respectivamente, por otro lado la

40

AFORE de menor participación es la AFORE Afirme Bajío con una participación

del 1.74%, los datos anteriores están basados en a lo que se refiere al número

de trabajadores asegurados al IMSS (Instituto Mexicano del Seguro Social) y

asignados. Sin embargo, estas composiciones van variando en lo que respecta

al tiempo ya que la entrada de nuevos competidores o fusiones de los

corporativos financieros cambia en forma significativa la participación en el

mercado.

Por otro lado, la composición del número de trabajadores asegurados entre las

distintas SIEFORES básicas, muestra una composición que está influenciada

por la estructura de la pirámide poblacional en la Población Económicamente

Activa (PEA) en el país, ya que si bien los datos del número de trabajadores

asegurados para diferentes AFORES en la clasificación delas SIEFORES

Básicas, de acuerdo a la clasificación, reflejan datos interesantes en base a los

datos al cierre de diciembre del 2010 proporcionados por la CONSAR, (tablas

2.1.3 y 2.1.4) en estas tablas se puede apreciar la participación que tiene cada

AFORE de acuerdo a las SIEFORES básicas tanto en número detallado de

trabajadores registrados como también en porcentajes, sin embargo el análisis

por medio de razones porcentuales es insuficiente para poder apreciar la

diversificación que tienen las AFORES en las SIEFORES Básicas, por lo que

se recurrió a generar las Entropías (véase tabla 2.1.5) para cada AFORE y

posteriormente ordenándolas de mayor a menor en lo que se refiere a

diversificación, entre las cinco distintas SIEFORES Básicas quedando como

las mejores diversificadas en lo que se refiere a número de asegurados, entre

las cinco SIEFORES Básicas AFORES Bajío, Principal, Bancomer, de mayor a

menor respectivamente, y resaltando como dato sobresaliente a la menos

41

diversificada en los mismos términos señalados anteriormente, siendo la

AFORE Banamex que tiene el mayor número de trabajadores asegurados en la

SIEFORE Básica 2 (46 a 55 años), concentrando 2 401 056 trabajadores

asegurados según datos de la CONSAR.

Tabla 2.1.2

Participación de las AFORES (Por numero de trabajadores), en el mercado mexicano al cierre del 2010.

AFORE. SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3 Basica 4 Basica 5 Total

Afirme Bajío 390,384 144,355 78,642 50,427 33,682 697,490

Azteca 289,060 306,239 164,283 105,456 70,962 936,000 Banamex 1,142,315 2,401,056 1,457,517 873,748 689,574 6,564,210 Bancomer 382,323 1,628,542 1,178,215 725,791 544,717 4,459,588 Banorte Generali 873,478 1,413,100 774,093 478,398 349,822 3,888,891 Coppel 758,229 715,916 394,047 217,895 94,555 2,180,642 HSBC 209,329 614,353 366,231 222,136 180,797 1,592,846

Inbursa 616,128 1,089,562 755,752 507,896 354,398 3,323,736 ING 465,194 1,898,611 1,287,202 775,195 590,040 5,016,242

Invercap 360,797 459,407 302,294 186,219 85,047 1,393,764 Metlife 378,948 368,238 218,279 140,508 92,136 1,198,109

Principal 211,242 1,206,056 639,490 403,181 334,622 2,794,591 Profuturo

GNP 200,771 1,182,368 857,437 504,122 364,763 3,109,461 XXI 764,393 939,077 550,673 430,138 336,346 3,020,627

Total 7,042,591 14,366,880 9,024,155 5,621,110 4,121,461 40,176,197 Fuente. CONSAR al cierre de diciembre del 2010.


Tabla 2.1.3

Tabla 2.1.3 Participación (en porcentaje) de las AFORES en el mercado mexicano

AFORE. SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3 Basica 4 Basica 5 Total

Afirme Bajío 56.0 20.7 11.3 7.2 4.8 100% Azteca 30.9 32.7 17.6 11.3 7.6 100% Banamex 17.4 36.6 22.2 13.3 10.5 100% Bancomer 8.6 36.5 26.4 16.3 12.2 100% Banorte Generali 22.5 36.3 19.9 12.3 9.0 100%

42

Coppel 34.8 32.8 18.1 10.0 4.3 100% HSBC 13.1 38.6 23.0 13.9 11.4 100% Inbursa 18.5 32.8 22.7 15.3 10.7 100% ING 9.3 37.8 25.7 15.5 11.8 100% Invercap 25.9 33.0 21.7 13.4 6.1 100% Metlife 31.6 30.7 18.2 11.7 7.7 100% Principal 7.6 43.2 22.9 14.4 12.0 100% Profuturo GNP 6.5 38.0 27.6 16.2 11.7 100%

XXI 25.3 31.1 18.2 14.2 11.1 100% Total 17.5 35.8 22.5 14.0 10.3

Fuente. CONSAR al cierre de diciembre del 2010.


Tabla 2.1.4

Participación en número de asegurados %

Rango. AFORE. %

1 Banamex 16.34 2 ING 12.49 3 Bancomer 11.10 4 Banorte Generali 9.68 5 Inbursa 8.27 6 Profuturo GNP 7.74 7 XXI 7.52 8 Principal 6.96 9 Coppel 5.43 10 HSBC 3.96 11 Invercap 3.47 12 Metlife 2.98 13 Azteca 2.33 14 Afirme Bajío 1.74

Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR al cierre de diciembre del

2010.<www.consar.gob.mx/estadisticas>

43

Tabla 2.1.5

Participación en número de asegurados

Rango. AFORE. Entropia.

1 Afirme Bajío 1.54220988 2 Principal 1.54076765 3 Bancomer 1.51123921 4 Inbursa 1.49921525 5 XXI 1.49357446 6 HSBC 1.48723243 7 Invercap 1.48511414 8 Banorte Generali 1.48279646 9 Coppel 1.47895704

10 ING 1.47640786 11 Azteca 1.44655943 12 Metlife 1.42949298 13 Profuturo GNP 1.40790377 14 Banamex 1.23230546

Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR al cierre de diciembre del 2010.


2.2. Características de diversificación de cartera en las SIEFORES

2.2.1 Diversificación de carteras de las SIEFORES y su estructura

La diversificación en la composición de carteras de inversión de las SIEFORES

está regulada de tal manera que los ahorros de los trabajadores no sean

expuestos a un riesgo que puedan provocar pérdidas bruscas en la operación

normal del mercado. Sin embargo estas composiciones de cartera

conservadoras, por llamarlas de esta forma, tienen como consecuencia un bajo

nivel de rendimiento, sin tomar las comisiones cobradas por operación por las

mismas AFORES, por ello los ahorros de los trabajadores dejan ver una baja

composición en lo que se refiere a su diversificación de inversión, si se

44

comparan estas diversificaciones con las diversificaciones con otros países de

la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico).

Podemos analizar por medio de la Entropía, vista como medida de

diversificación que México aparece en el antepenúltimo sitio (véase tablas 2.2.1

y 2.2.2). Si bien el objetivo del presente trabajo no tiene como finalidad un

análisis comparativo entre las diversificaciones de cartera de los Sistemas de

Pensiones a nivel mundial, no obstante nos permite ver que tan conservadora

puede ser la Ley en términos aversión al riesgo en la composición de cartera

en términos de diversificación. Lo anterior puede vislumbrar una de las tantas

causas por las que son cuestionados los bajos rendimientos de los ahorros de

los trabajadores para su retiro (véase tabla 2.2.)

En lo que respecta a diversificación de cartera de las SIEFORES en México, la

Ley (Ley de los Sistemas de Ahorro para el Retiro de los Estados Unidos

Mexicanos) establece en el artículo 43 que:

El régimen de inversión deberá tener como principal objetivo otorgar la mayor

seguridad y rentabilidad de los recursos de los trabajadores. Asimismo, el

régimen de inversión tendera a incrementar el ahorro interno y el desarrollo de

un mercado de instrumentos de largo plazo acorde con el sistema de

pensiones. A tal efecto, proveerá que las inversiones se canalicen

preponderantemente, a través de su colocación en valores, a fomentar:

45

a) La actividad productiva nacional;

b) La mayor generación de empleo;

c) La construcción de vivienda;

d) El desarrollo de infraestructura estratégica del país, y

e) El desarrollo regional.

De ahí que las disposiciones legales en lo que respecta a los lineamientos que

deben de tener las composiciones de cartera de las SIEFORES, representa

algunas de las limitantes para una mayor diversificación de cartera enfocada a

mayores rendimientos, acompañado de un mayor riesgo, las limitaciones

legales principales que regulan las carteras de inversión de las SIEFORES se

muestran en la tabla (2.2.1).

Tabla 2.2.1

Limitaciones legales de composición de SIEFORES

SIEFORE SIEFORES SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3. Basica 4. Basica 5 Valor en Riesgo

(1-α) 1 dia. 0.60% 1% 1.30% 1.60% 2.00% Renta variable. 0% 20% 25% 35% 35% Divisas 30% 30% 30% 30% 30% Derivados. Si Si Si Si Si Instrumentos mxAAA o en Divisas BBB+. 5% 5% 5% 5% 5% Instrumentos mxAA o en divisas BBB-. 3% 3% 3% 3% 3% Instrumentos mxA. 2% 2% 2% 2% 2% Instrumentos mxBBB o en divisas BB. 0% 1% 1% 1% 1% Instrumentos extranjeros A- un solo 5% 5% 5% 5% 5%

46

emisor o contraparte.

Sobre una misma emisión. 35% 35% 35% 35% 35% Valores extranjeros (en caso de ser deuda min. A-) 20% 20% 20% 20% 20% Instrumentos bursatilizados. 10% 15% 20% 30% 40% Instrumentos estructurados. 0% 10% 15% 15% 15% Protección inflacionaria. Si

(51%min) No No no No Instrumentos de entidades relacionados entre si. 15% 15% 15% 15% 15% Instrumentos de entidades con nexo patrimonial con la AFORE. 5% 5% 5% 5% 5% Fuente: CONSAR<www.consar.gob.mx/estadisticas>.

Tabla 2.2.2

Asignaciones de los fondos de pensiones países OCDE

País

Efec

tivo

y

depó

sito

s.

Bon

os y

Bill

s (1

)

Pres

tam

o

s Acc

ione

s.

Tier

ra y

cons

truc

cFo

ndos

mut

uos.

Fond

os

priv

ados

de

Otr

as

inve

rsio

ne

s.

(2)

Con

trat

os.

Polonia. 2.32 66.53 0 30.21 .. 0.63 0 0.30 Chile. 0.14 36.66 2.48 19.25 .. 40.52 .. 0.94 Canadá. 3.19 24.47 0.36 26.31 5.81 34.48 .. 5.38 Noruega. 3.86 49.94 1.13 13.86 3.80 25.97 0.34 1.09 Portugal. 5.84 48.46 0 15.20 8.57 22.33 0 -0.40 Suiza. 8.09 23.90 4.25 13.53 9.51 36.57 3.60 0.56 Alemania. 2.25 26.64 29.55 0.47 2.33 36.47 0.84 1.44 Bélgica.

3.19 8.10 1.05 7.52 0.74 74.59 .. 3.95

0.85 Austria. 3.95 1.98 1.25 0.17 0.36 92.08 0.20 0 México 1.03 79.03 .. 13.86 0.01 2.55 0 3.52 Holanda. 2.15 42.9 2.78 8.39 2.27 32.26 .. 9.24 Australia 12.84 .. 5.02 21.66 5.01 52.21 .. 3.25 República Checa. 10.17 80.48 0 1.62 0.96 3.20 .. 3.57

Dinamarca. 0.51 70.95 0.17 15.26 1.27 2.40 .. 9.43 Finlandia. 3.49 37.50 9.60 40.61 6.95 .. .. 1.85 Francia. .. .. .. .. .. .. .. Grecia. 28.84 52.21 5.89 .. 9.51 .. 3.54 Hungría. 2.49 56.83 .. 10.76 0.23 27.29 .. 2.40 Islandia. 8.8 50.66 11.09 21.76 0.02 0 7.67 0. Irlanda. .. .. .. .. .. .. .. .. Israel 6.68 77.34 1.06 5.09 0.56 2.74 0.82 5.72 Italia

5.66 42.41 .. 10.04 4.01 8.46 1.30 5.70

22.41 Japón .. .. .. .. .. .. .. .. Corea

38.33 29.40 1.12 0.05 0 10.68 0 6.96

13.49 Luxemburgo

38.62 14.24 0 0.21 0 36.06 .. 10.75

0.12 Nueva .. .. .. .. .. .. .. ..

47

Zelanda. República Eslovaca. 29.19 68.42 .. 0.19 .. 0.71 .. 1.49

Eslovenia 19.83 64.30 3.96 2.87 0 7.84 0 1.19 España

16.45 56.36 0 11.14 0.22 6.06 0.35 0.54

8.89 Suecia. 1.87 53.49 0.03 12.42 3.89 27.47 .. 0.83 Turquía. 27.78 30.77 .. 26.54 0.40 0.08 .. 14.44 Reino Unido. 3.17 22.27 0.94 24.36 2.22 25.48 .. 15.31 6.25 Estados Unidos. 1.12 20.68 0.86 37.82 1.28 21.31 .. 12.64 4.30

País

Efec

tivo

y

depó

sito

s.

Bon

os y

Bill

s

(1)

Pres

tam

os

Acc

ione

s.

Tier

ra y

cons

truc

cion

. Fo

ndos

mut

uos.

Fond

os

priv

ados

de

inve

rsió

n.

Otr

as

inve

rsio

nes.

(2) C

ontr

atos

.

Promedio 10.06 44.18 3.33 13.70 2.42 22.86 1.16 4.33 8.04 México 1.03 79.03 .. 13.86 0.01 2.55 0 3.52

Fuente: OCDE (Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico).

<www.oecd.org/stats>, * Públicos y privados. ** Contratos de aseguramiento no asignados.

Tabla 2.2.3

Entropía por país

Rango País. Entropia.

1 Reino Unido. 1.72522383 2 Italia. 1.6501421 3 Estados Unidos. 1.56651861 4 Canadá. 1.51558119 5 Corea. 1.4760455 6 Holanda. 1.42424825 7 Suiza. 1.40775757 8 Alemania. 1.38031654 9 Turquía. 1.3772792 10 Portugal. 1.34853497 11 Australia. 1.34576472 12 Noruega. 1.34019419 13 Finlandia. 1.33491148 14 Islandia. 1.33316874 15 España. 1.31100313 16 Luxemburgo. 1.27353738 17 Grecia. 1.20676415 18 Chile. 1.19621799 19 Suecia. 1.19175185 20 Hungría. 1.11112014

48

21 Eslovenia. 1.08697333 22 Bélgica. 0.97919755 23 Dinamarca. 0.93617259 24 Israel. 0.909747 25 Polonia. 0.76984508 26 República Checa. 0.74754475 27 República Eslovaca. 0.72840262 28 México. 0.71926741 29 Austria. 0.38010884

Fuente: Elaboración propia con datos de la OCDE con datos del 2009.<www.oecd.org/stats>

Nota: Las Entropías se construyeron en base a las distribuciones empíricas

proporcionadas por la OCDE para cada país.

2.3 Rendimientos de las SIEFORES

Por otro lado, en lo que se refiere a los Rendimientos de las SIEFORES y su

diversificación de cartera, medida esta última por medio de la Entropía. La

teoría de portafolio señala Markowitz (1952), que es preferible casi

seguramente un portafolio que este mejor diversificado a otro que no lo este, es

decir se puede obtener el mismo rendimiento entre dos portafolios pero uno

expuesto a un mayor riesgo. Analizando los rendimientos netos (tomando en

consideración la metodología señalada en la circular de la CONSAR 71-1 de

los últimos 36 meses de las SIEFORES Básicas (véase tabla 1.1.10), con

respecto a las Entropías de composición de cartera de las cinco Siefores

Básicas generadas con datos de la CONSAR al cierre de diciembre del 2011,

si bien no se espera encontrar una correlación directa, es decir que a mayor

diversificación; se genera necesariamente un mayor rendimiento. Pero que si

49

nos permite ver en forma directa las SIEFORES con una mayor diversificación

y en contraparte los mayores rendimientos netos.

Tabla 2.3.1

Rendimientos históricos de las AFORES al cierre de diciembre del 2011

AFORES SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE SIEFORE Basica 1 Basica 2 Basica 3 Basica 4 Basica 5

Afirme Bajío 8.20 9.36 10.21 10.65 11.31 Azteca 8.07 10.62 11.47 11.32 11.55 Banamex 10.09 11.51 12.49 14.11 15.63 Bancomer 9.58 10.92 12.32 13.02 13.36 Banorte Generali 8.74 8.30 8.10 8.66 10.61 Coppel 8.64 9.84 10.13 10.40 10.72 Inbursa 6.73 6.99 7.30 7.59 7.94 ING 9.52 11.50 12.78 14.09 15.29 Invercap 10.56 12.21 13.86 14.18 17.02 MetLife 9.70 11.31 11.90 12.85 14.07 PensionISSSTE* 9.38 10.62 11.30 11.59 11.55 Principal 10.03 11.39 11.97 12.56 13.13 Profuturo GNP 10.37 11.35 11.84 13.14 13.90 XXI 9.76 11.33 11.98 12.37 13.00 Promedio del sistema. 9.24 10.52 11.26 11.89 12.79

Fuente: CONSAR <www.consar.gob.mx/estadisticas>

(De los últimos 36 meses, al cierre de diciembre del 2011, rendimiento de los activos de las Siefores antes del cobro de comisiones).

Los resultados obtenidos para cada una de las SIEFORES Básicas se

muestran en las tablas 1.1.12-1.1.16, dentro de los resultados que sobresalen

entre otros muchos más el de la AFORE Banorte Generali, que en lo que se

refiere a diversificación para las cinco Siefores Básicas quedo en la primera

posición, pero que sin embargo en rendimientos netos aparece en los últimos

50

lugares, es decir existe una relación inversa, entre otros resultados que

destacan es lo referente a la relación directa entre bajos rendimientos y baja

diversificación de cartera que existe en la AFORE Azteca.

Tabla 2.3.2

Comparativo SIEFORE básica 1 (rendimiento-diversificación)

Rendimiento. Entropia.

Invercap 10.5635 Bancomer 2.3451507 Profuturo GNP 10.3749 Metlife 2.33827873

Banamex 10.094 XXI 2.21741589

Principal 10.0311 Banorte

Generali 2.21672373 XXI 9.7585 Invercap 2.19594926

MetLife 9.6959 Profuturo GNP 2.18419923 Bancomer 9.5833 PensionISSSTE 2.16570127

ING 9.5226 ING 2.1413313 PensionISSSTE* 9.3809 Principal 2.10129366 Banorte Generali 8.7397 Coppel 2.00146689

Coppel 8.637 Afirme Bajío 1.92153825 Afirme Bajío 8.1965 Banamex 1.77999693

Azteca 8.0731 Azteca 1.65529098 Inbursa 6.7326 Inbursa 1.5077365

Fuente: Elaboración Propia con datos de la CONSAR nota los rendimientos son de los últimos 36 meses y la composición de cartera es al cierre de diciembre del 2011.

*El rendimiento de Pensión ISSSTE no comprende los 36 meses por su reciente cotización.


Tabla 2.3.3



Invercap 12.2145 Metlife 2.63589198 Banamex 11.5106 Bancomer 2.5422613

ING 11.5021 Banorte

Generali 2.49263634 Principal 11.3911 ING 2.45147019

Profuturo GNP 11.3454 Coppel 2.44022142 XXI 11.3319 Profuturo GNP 2.40607973

MetLife 11.311 PensionISSSTE 2.37807188

51

Bancomer 10.9202 Banamex 2.35727234 PensionISSSTE* 10.6207 Principal 2.29090687

Azteca 10.6183 Afirme Bajío 2.17487173 Coppel 9.842 XXI 2.12333345

Afirme Bajío 9.3562 Invercap 2.06548042 Banorte Generali 8.295 Azteca 1.94191897

Inbursa 6.9897 Inbursa 1.86236021



Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR


Tabla 2.3.4


Rendimiento. Entropia. Invercap 13.86 Metlife 2.67985519 ING 12.78 Banorte

Generali 2.53119487 Banamex 12.49 Bancomer 2.5295061 Bancomer 12.32 Banamex 2.46222754 XXI 11.98 Profuturo GNP 2.42516761 Principal 11.97 PensionISSSTE 2.40969957 MetLife 11.90 Coppel 2.4091554 Profuturo GNP 11.84 ING 2.38718101 Azteca 11.47 Principal 2.3211546 PensionISSSTE* 11.30 Afirme Bajío 2.17532952 Afirme Bajío 10.21 Inbursa 2.12173363 Coppel 10.13 XXI 2.11527417 Banorte Generali 8.10 Invercap 2.02608366 Inbursa 7.30 Azteca 1.81072091



Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR. <www.consar.gob.mx/estadisticas

52

Tabla 2.3.5




ING 14.09 Banamex 2.46837797 Profuturo GNP 13.14 ING 2.43767465

Bancomer 13.02 Coppel 2.42665094 Metlife 12.85 PensionISSSTE 2.40323132

Principal 12.56 Banorte Generali 2.40109829

XXI 12.37 Profuturo GNP 2.36806244 PensionISSSTE 11.59 Principal 2.30439304

Azteca 11.32 Inbursa 2.22231387 Afirme Bajío 10.65 Afirme Bajío 2.19193732

Coppel 10.40 XXI 2.02737172 Banorte Generali 8.66 Invercap 1.98897369

Inbursa 7.59 Azteca 1.75217897



Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR. <www.consar.gob.mx/estadisticas>

Tabla 2.3.6




ING 15.29 ING 2.42009511 Metlife 14.07 PensionISSSTE 2.39229645

Profuturo GNP 13.90 Profuturo GNP 2.37078651 Bancomer 13.36 Banamex 2.3693511

Principal 13.13 Banorte Generali 2.35363527

53

XXI 13.00 Coppel 2.3221008 Azteca 11.55 Principal 2.19148538

PensionISSSTE 11.55 Afirme Bajío 2.15820642 Afirme Bajío 11.31 Inbursa 2.15469395

Coppel 10.72 XXI 1.98692269 Banorte Generali 10.61 Invercap 1.94357553

Inbursa 7.94 Azteca 1.85524976



Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR. <www.consar.gob.mx/estadisticas>

Los resultados obtenidos, muestran claramente que los rendimientos mayores,

no tienen una relación directa con un mayor nivel de diversificación, esto ultimo

mostrado con las entropías obtenidas, como se muestran en las tabla 2.3.2,

2.3.3, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6, no obstante se puede apreciar las cinco SIEFORES

básicas de Inbursa, si se encuentran en el ultimo lugar de rendimiento y su

nivel de diversificación oscila entre los últimos cinco lugares, es decir la

característica principal de cada una de las SIEFORES básicas es de que una

mayor diversificación no necesariamente representa un mayor rendimiento, sin

embargo una menor diversificación de las SIEFORES representa un probable

menor rendimiento.

2.4 Prueba de raíces unitarias a las entropías

Con la información anteriormente analizada al ser de corte transversal, es decir

que está tomada solo para un periodo especifico de tiempo, la realización de

pruebas de raíces unitarias a la Entropía en términos dinámicos, es una de las

principales objetivos del presente trabajo, para poder buscar si efectivamente la

Entropía se puede considerar como una sub-martingala y con ello verificar que

el mercado de las AFORES en México se encuentra en proceso de

54

diversificación, y con ello está en equilibrio en términos de participación misma

de las AFORES, por ello la construcción de la variable de Entropía para el

periodo 1999-2011 en frecuencia semestral que se realizará con las

composiciones generales de cartera para cada periodo (véase tabla 2.4.1)

Tabla 2.4.1

Entropía de la Evolución general de la composición de cartera de las SIEFORES

(1999:I-2011:II)

Periodo Deuda

guberna

mental

Institucio

nes

Financier

as

Institucio

nes no

Financier

as.

Acciones Fondos

mutuos y

de

Inversión

Emisione

s

Extranjer

as

Otros Total. Entropia

1999-I 97% 0% 3% 0% 0% 0% 0% 100%

0.059186

1999-II 97% 0% 3% 0% 0% 0% 0% 100%

0.054195

2000-I 95% 1% 4% 0% 0% 0% 0% 100%

0.101765

2000-II 93% 2% 5% 0% 0% 0% 0% 100%

0.133348

2001-I 90% 3% 6% 0% 0% 0% 1% 100%

0.176369

2001-II 90% 2% 8% 0% 0% 0% 0% 100%

0.167249

2002-I 86% 2% 12% 0% 0% 0% 0% 100%

0.203898

2002-II 83% 2% 15% 0% 0% 0% 0% 100%

0.224846

2003-I 85% 3% 11% 0% 0% 0% 0% 100%

0.215467

2003-II 82% 5% 13% 0% 0% 0% 0% 100%

0.246316

2004-I 86% 4% 10% 0% 0% 0% 0% 100%

0.217127

2004-II 86% 5% 10% 0% 0% 0% 0% 100%

0.220051

2005-I 87% 4% 9% 1% 0% 0% 0% 100%

0.219438

2005-II 82% 4% 12% 0% 0% 0% 0% 100%

0.247257

2006-I 75% 4% 12% 1% 0% 9% 0% 100%

0.362503

2006-II 73% 5% 11% 2% 0% 10% 0% 100%

0.396410

2007-I 71% 6% 10% 3% 0% 10% 0% 100%

0.426927

2007-II 69% 6% 11% 4% 0% 10% 0% 100%

0.442992

55

2008-I 61% 5% 12% 8% 0% 14% 0% 100%

0.511971

2008-II 68% 4% 11% 6% 0% 10% 0% 100%

0.452070

2009-I 71% 4% 13% 5% 0% 7% 0% 100%

0.420611

2009-II 69% 3% 14% 7% 0% 7% 0% 100%

0.438063

2010-I 66% 3% 15% 8% 0% 8% 0% 100%

0.460852

2010-II 65% 2% 15% 8% 0% 9% 0% 100%

0.468222

2011-I 64% 2% 16% 8% 0% 11% 0%

0.474532

Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.

<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas>

La necesidad de encontrar una evidencia empírica que pruebe que el mercado

de las AFORES se ha diversificado durante los últimos 12 años, en base a la

variable construida (Entropía), que permita encontrar en el aumento de la

Entropía dentro del periodo de estudio; para ello es necesario verificar que

evidentemente sea una sub-martingala, por la cual se pueda esperar que esta

diversificación sea creciente para los siguientes años, por ello una forma en la

que se puede representar bajo una evidencia econométrica, es por medio de

las pruebas econométricas de Raíces Unitarias, (Dickey-Fuller Aumentada,

Phillips-Perron, Kwiatkowski-Phillips-Smidt-Shin).

56

Gráfica 2.4.1

Entropía 1999-I-2011-I


<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.Consar.gob.mx/estadisticas>

Gráfica 2.4.2

d(Entropia) 1999:I-2011:I


<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.Consar.gob.mx/estadisticas

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

57

Gráfica 2.4.3

Cambio % (Entropía) 1999:I-2011:I



Gráficamente se puede apreciar en la figura 2.4.1 que la Entropía no se

encuentra alrededor de su media, es decir que no muestra un comportamiento

ergodico, por el contrario tiene un comportamiento creciente, por lo cual se

puede esperar a priori que el estadístico Jarque-Bera (1987) rechazara la

existencia de un comportamiento normal. Sin embargo, los resultados

econométricos nos muestran que no es posible rechazar la hipótesis nula de no

existencia de un comportamiento normal para La Entropía ni tampoco para la

misma variable en lo que se refiere a su primera diferencia.

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

58

Tabla 2.4.1

Resultados de la prueba Jarque-Bera

Variable. Kurtosis. Skewness Jarque-Bera. Probabilidad.

Entropía. 1.626514 -0.028024 1.968339 0.373750

D(Entropía). 4.416327 0.417184 2.702152 0.258962

Δ%(Entropia). 7.637147 2.032077 38.02049 0.000000



2.5 Prueba Dickey-Fuller aumentada a las entropías

∆퐸 = 휇 + 훾퐸 + 훿 ∆퐸 + 훿 ∆퐸 + ⋯+ 훿 ∆퐸 + 휀 (106)

Donde 훾 = 휌 − 1

∆퐸 = 휇 + 훾퐸 + 훿 ∆퐸 + 휀 (107)

퐻 ∶ 훾 = 0 , 퐻 ∶ 훾 < 0 (108)

Tabla 2.5.1

Resultados de la prueba de raíces unitarias (Dickey-Fuller aumentada)

Entropía. d(Entropía). ∆%(Entropia)

Entropía. Estadíst. T Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad. Intercepto. -1.078270 0.7072 -4.413061 0.0022 -4.336624 0.0027

Tendencia e intercepto

-1.869524 0.6387 -4.429739 0.0097 -5.442248 0.0011

Ninguno 1.600268 0.9693 -0.647743 0.0008 -3.559913 0.0011



59

Los resultados de la tabla 2.5.1 muestran que las entropías obtenidas para la

prueba de Dickey-Fuller Aumentada aceptan para cada una de sus tres

especificaciones de la prueba que las entropías no son estacionarias, que para

el presente trabajo tienen un comportamiento creciente, no obstante en las

primeras diferencias de las entropías y de variaciones porcentuales de un

periodo anterior se rechaza la hipótesis de que no son estacionarias las

entropías obtenidas.

2.6 Prueba Phillips-Perron a las entropías

∆퐸 = 훼 + 훽퐸 + 휀 (95)

Tabla 2.6.1

Resultados de la prueba de raíces unitarias (Phillips-Perron)

Entropía. d(Entropía). ∆%(Entropia)

Entropía. Estadíst. t

Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad. Estadíst. T Probabilidad.

Intercepto. -1.078270

0.7072 -4.413061 0.0022 -4.424970 0.0022

Tendencia e intercepto

-2.002937

0.5704 -4.429739 0.0097 -5.346813 0.0014

Ninguno 1.473769 0.9609 -3.636620 0.0009 -3.641405 0.0009



Los resultados de la tabla 2.6.1 muestran que las entropías obtenidas para la

prueba de Phillips-Perron, aceptan para cada una de sus tres especificaciones

de la prueba que las entropías no son estacionarias, que para el presente

trabajo tienen un comportamiento creciente, no obstante en las primeras

diferencias de las entropías y de variaciones porcentuales de un periodo

anterior se rechaza la hipótesis de que no son estacionarias las entropías

obtenidas.

60

2.7 Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) alas entropias

Tabla 2.7.1

Resultados de la prueba de raíces unitarias

(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin)

Constante. Entropia. d(Entropia). Δ% (Entropia).

EstadisticoLM. 0.698027 0.094921 0.316402 Valores Criticos

Nivel de confianza 1%

0.739000 0.739000 0.739000


0.463000 0.463000 0.463000


0.347000 0.347000 0.347000

Fuente Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR).


Tabla 2.7.2

Resultados de las prueba de raíces unitarias

(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin)

Constante y tendencia. Entropia. d(Entropia). Δ% (Entropia).

EstadisticoLM. 0.065789 0.068232 0.066079 Valores Críticos

Nivel de confianza 1% 0.216000 0.216000 0.216000 Nivel de confianza 5% 0.146000 0.146000 0.146000 Nivel de confianza 10% 0.119000 0.119000 0.119000



61

2.8 Relaciones funcionales econométricas

Tabla 2.8.1

Matriz varianza-covarianza

Administradoras Comisiones. Entropía. Porcentaje.

Administradoras. 8.774400 -0.252872 0.293754 -8.141440 Comisiones. -0.252872 0.008383 -0.008843 0.3114067

Entropía. 0.293754 -0.008843 0.020035 -0.466026 Porcentaje. -8.141440 0.314067 -0.466026 21.23574



푃표푟푐푒푛푡푎푗푒 = 푓(퐸푛푡푟표푝푖푎,퐶표푚푖푠푖표푛푒푠,퐴푑푚푖푛푖푠푡푟푎푑표푟푎푠). (2.1)

Dónde:

Porcentaje = Participación de las dos AFORES más grandes en el mercado.

Comisiones = Utilidades Anuales/Ingreso por comisión.

Administradoras= Numero de Administradoras en el mercado.

Entropía = Corresponde de la Entropía obtenida a partir de la tabla 2.4.1

62

Grafica 2.8.1

Comportamiento de variables


<www.aiosfp.org/estadisticas>,<www.consar.gob.mx/estadisticas>

Tabla 2.8.3

Regresión econométrica en base a la ecuación 2.1

Porcentaje/var.dep. Coeficiente. Error estándar. t-Estadístico. Probabilidad.

Constante. 4.928755 12.65169 0.389573 0.7008 Entropía. -19.85359 5.437998 -3.650900 0.0015 Comisiones. 65.33876 18.65785 3.501944 0.0021 Administradoras. 1.623158 0.605603 2.680236 0.0140


<www.aiosfp.org/estadisticas>,<www.consar.gob.mx/estadisticas>

10

12

14

16

18

20

22

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

ADMINISTRADORAS

.04

.08

.12

.16

.20

.24

.28

.32

.36

.40

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

COMISIONES

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

ENTROPIA

28

32

36

40

44

48

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

PORCENTAJE

63

Tabla 2.8.4

Pruebas a residuos de la regresión econométrica en base a la ecuación 2.1

Prueba Breuch-Godfrey. LM Correlacion Serial

Estadístico F. N*R2

1.11681 2.629816 Probabilidad. Probabilidad. 0.347881 0.268499

Prueba de White. (términos cruzados).

Estadístico F. N*R2 0.499378 5.763710 Probabilidad. Probabilidad. 0.852845 0.763314

Prueba ARCH. Estadístico F. N*R2 1.119447 1.162084 Probabilidad. Probabilidad. 0.301517 0.281034



Tabla 2.8.4

Pruebas de causalidad tipo Granger. (23 observaciones para 2 rezagos)

Variable. Tipo Granger. Variable. Estadístico F.

Probabilidad.

Porcentaje. No causa a Entropía. 0.91873 0.41695 Entropía. No causa a Porcentaje. 1.57007 0.23522

Comisiones. No causa a Entropía. 2.42536 0.11678 Entropía. No causa a Comisiones. 1.61976 0.22550

Administradoras. No causa a Entropía. 2.85983 0.08346 Entropía. No causa a Administradoras. 7.28440 0.00481

Comisiones. No causa a Porcentaje. 0.56101 0.58029 Porcentaje. No causa a Comisiones. 2.85368 0.08385

Administradoras. No causa a Porcentaje. 0.25815 0.77529

64

Porcentaje. No causa a Administradoras. 1.80366 0.19322 Administradoras. No causa a Comisiones. 0.31751 0.73195

Comisiones. No causa a Administradoras. 3.31342 0.05954


<www.aiosfp.org/estadisticas ,<www.consar.gob.mx/estadisticas>

Tabla 2.8.5



Probabilidad.





Administradoras. No causa a Porcentaje. 0.25669 0.85539 Porcentaje. No causa a Administradoras. 1.05100 0.39891

Administradoras. No causa a Comisiones. 0.41600 0.74404 Comisiones. No causa a Administradoras. 1.65327 0.21948



65

Tabla 2.8.6



Probabilidad.









Tabla 2.8.7



Probabilidad.








<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas

66

Grafica 2.8.1

Covarianza acumuladas entropía-porcentaje


<www.aiosfp.org/estadisticas> ,<www.consar.gob.mx/estadisticas>

Grafica 2.8.2

Correlación acumulada entropía-porcentaje

Fuente: Elaboración propia con datos de la AIOS (Asociación Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones y de la CONSAR.

<www.aiosfp.org/estadisticas>, <www.consar.gob.mx/estadisticas

-.5

-.4

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

67

2.9. Prueba de raíces unitarias conjunta Levin-Lin-Chu (panel de datos inter-SIEFORES)

A partir de los precios de cierre de las AFORES mas representativas del

mercado (Banamex, Banorte Generalli, Inbursa, ING, Principal Profuturo GNP,

Siglo XXI) se obtuvieron los datos del periodo 01/01/1998-14/10/2011 con una

muestra de 3483 por cada Siefore básica de la 1 hasta la 5, obteniendo un total

de 135,837 observaciones, posteriormente se obtuvieron las Entropias anuales

consiguiendo finalmente una muestra para un periodo de 14 años 1998-2011 y

una muestra transversal de 490 observaciones con las cuales se realizo la

Prueba Conjunta de Raíces Unitarias (tipo Corte Transversal), tanto para los

precios de cierre de cada Siefores básicas de la 1 a la 5, así como también

para los rendimientos de los mismo precios de cierre de las Siefores, para las

ocho AFORES mas representativas del mercado mexicano.

68

Gráfica 2.9.1

Entropías de los precios de cierre (1998-2011)



Tabla 2.9.1

Prueba Levin-Lin-Chu a entropías de precio de cierre (1998-2011)

Efecto Individual Estadistico t Probabilidad. Coeficiente Combinado.

Efecto Individual -9.97415 0.0000 -0.66456 Efecto Individual y Tendencia. -7.58404 0.0000 -0.72956 Ninguno. -3.15363 0.0008 -0.01519 Fuente: Elaboración propia con datos de la CONSAR.


2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB11

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB12

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB13

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB14

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB15

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB16

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB17

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB18

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB21

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB23

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB24

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB25

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB26

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB27

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB28

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB31

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB32

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB33

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB34

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB35

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB36

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB37

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB38

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB41

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB42

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB43

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB44

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB45

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB46

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB47

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB48

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB51

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB52

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB53

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB54

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB55

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB56

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB57

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

SB58

69

Las probabilidades obtenidas de la prueba Levin- Lin-Chu de las entropías de

los precios de cierre, nos muestran que las entropías obtenidas de los precios

de cierre tienen un comportamiento estacionario para las especificaciones de

intercepto (0.0000) e intercepto y tendencia (0.0000), y ninguna (0.0008),

respectivamente. Nos muestran que las entropías a los precios de cierre no

generan información nueva.

Grafica 2.9.1

Entropías de los rendimientos de los precios de cierre (1998-2011)



3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB11

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB12

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB13

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB14

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB15

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB16

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB17

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB18

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB21

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB23

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB24

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB25

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB26

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB27

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB28

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB31

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB32

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB33

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB34

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB35

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB36

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB37

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB38

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB41

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB42

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB43

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB44

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB45

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB46

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB47

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB48

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

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4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB51

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB52

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB53

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

R SB54

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB55

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB56

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB57

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

RSB58

70

Tabla 2.9.1.1

Estadísticos a entropías periodo 1998-2011

Serie Sesgo Kurtosis

Jarque-

Bera. Probabilidad Serie Sesgo Kurtosis

jarque-

Bera Probabilidad

SB11 -0.364926 2.820582 0.32951 0.848101 RSB11 -0.173792 2.375251 0.298157 0.861502

SB12 -0.364926 2.820582 0.32951 0.848101 RSB12 -0.173792 2.375251 0.298157 0.861502

SB13 0.633776 2.074406 1.436991 0.487485 RSB13 -0.778849 3.776029 1.766708 0.413394

SB14 -0.155511 2.094443 0.534782 0.765374 RSB14 -0.833341 2.773278 1.650384 0.438151

SB15 0.633776 2.074406 1.436991 0.487485 RSB15 -0.778849 3.776029 1.766708 0.413394

SB16 -0.878241 3.359674 1.875181 0.39157 RSB16 -0.308903 3.873814 0.668053 0.716035

SB17 -1.221679 4.402022 4.629138 0.098809 RSB17 0.256251 3.437455 0.264848 0.875969

SB18 -0.500656 2.965385 0.585563 0.746185 RSB18 -0.173451 2.81347 0.090495 0.955761

SB21 -0.278751 2.668328 0.245475 0.884496 RSB21 -0.002864 1.978139 0.609135 0.737442

SB23 0.418662 2.061845 0.922394 0.630529 RSB23 -0.716947 3.536033 1.366972 0.504854

SB24 0.210179 2.600673 0.196095 0.906606 RSB24 -0.592762 1.897679 1.528671 0.465643

SB25 0.651933 2.076 1.489741 0.474796 RSB25 -0.213098 2.359757 0.345073 0.841527

SB26 -0.956512 3.428445 2.241881 0.325973 RSB26 0.137213 2.577457 0.14808 0.928634

SB27 -1.296795 4.338837 4.969532 0.083345 RSB27 0.078375 2.192871 0.394349 0.821047

SB28 -0.660829 3.117756 1.027044 0.598384 RSB28 -0.016505 2.214438 0.360615 0.835013

SB31 -0.233459 2.598529 0.221195 0.895299 RSB31 0.040178 1.897653 0.712615 0.700257

SB32 -0.197692 1.870489 0.835405 0.658558 RSB32 -0.131826 2.577116 0.144867 0.930128

SB33 0.285869 1.897609 0.899588 0.63776 RSB33 -0.488668 3.436537 0.668354 0.715927

SB34 0.325086 2.216616 0.604575 0.739125 RSB34 -0.459215 1.610475 1.618338 0.445228

SB35 0.615668 2.067999 1.391142 0.498789 RSB35 0.015266 2.147758 0.424228 0.808872

SB36 -0.944511 3.449774 2.199574 0.332942 RSB36 0.361358 2.744941 0.342635 0.842554

SB37 -1.348831 4.524139 5.600218 0.060803 RSB37 -0.05803 2.271777 0.317205 0.853336

SB38 -0.609066 2.998342 0.865577 0.648698 RSB38 -0.115136 2.242528 0.365627 0.832923

SB41 -0.216987 2.608623 0.199213 0.905193 RSB41 0.076798 1.905349 0.712748 0.700211

SB42 -0.181573 1.866631 0.826233 0.661585 RSB42 0.145014 1.999493 0.632993 0.728698

SB43 0.43492 1.996852 1.028375 0.597986 RSB43 -0.597462 3.371106 0.913244 0.63342

SB44 0.288603 2.028479 0.744928 0.689034 RSB44 -0.651473 1.894891 1.702712 0.426836

SB45 0.569294 1.848578 1.52959 0.465429 RSB45 -0.185787 2.310368 0.357968 0.836119

SB46 -0.930931 3.462398 2.146866 0.341833 RSB46 0.55752 2.698526 0.778284 0.677638

SB47 -1.29046 4.35666 4.959307 0.083772 RSB47 0.145058 2.701615 0.101034 0.950738

SB48 -0.583914 2.979237 0.795813 0.671725 RSB48 -0.004096 2.214448 0.360009 0.835266

SB51 -0.267963 2.658526 0.235562 0.888891 RSB51 0.05452 1.933407 0.670548 0.715142

SB52 -0.166886 1.853627 0.831585 0.659817 RSB52 0.043913 2.083932 0.494021 0.781132

SB53 0.525272 2.010442 1.215006 0.544709 RSB53 -0.262182 2.600172 0.253645 0.88089

SB54 0.271904 2.017516 0.735585 0.692261 RSB54 -0.659466 2.036466 1.556321 0.45925

SB55 0.599332 1.895582 1.549646 0.460785 RSB55 -0.350275 2.499959 0.43214 0.805679

SB56 -0.907573 3.458902 2.044785 0.359733 RSB56 0.489366 2.815511 0.57864 0.748773

SB57 -1.257618 4.271226 4.633081 0.098614 RSB57 0.283645 2.736805 0.228135 0.892198

SB58 -0.572277 3.032325 0.764779 0.682229 RSB58 0.113536 2.327726 0.293717 0.863416

Elaborada con datos de la CONSAR al 16 de octubre del 2011 www.consar.gob.mx/estadisticas

71

Tabla 2.9.2

Prueba Levin-Lin-Chu entropías de los rendimientos de los precios de cierre (1998-2011)

Especificación de la prueba Estadistico t

Probabilidad. Coeficiente Combinado.

Intercepto -8.89106 0.0000 -0.96541 Intercepto y Tendencia. -4.78098 0.0000 -1.32900 Ninguno. -1.04732 0.1475 -0.00196



Las probabilidades obtenidas de la prueba Levin- Lin-Chu de las entropías de

los rendimientos de los precios de cierre, nos muestra que las entropías

obtenidas de los precios de cierre tienen un comportamiento estacionario para

las especificaciones de intercepto e intercepto y tendencia, salvo en la

especificación de omisión de tendencia e intercepto, donde la probabilidad es

de 0.1475.

72

CONCLUSIONES.

El mercado de pensiones por su misma naturaleza ha mostrado un

comportamiento muy dinámico en lo que se refiere al número de competidores,

desde que comenzó a operar, el cual no es asimilado a la misma velocidad que

el usuario último, que para nuestro caso es el trabajador, los factores que

afectan al número de competidores es muy diverso, tanto por restructuraciones

de fuentes externas al país como es el caso último de la venta de AFORE ING

a la empresa colombiana de pensiones y seguros SURA que con ello

representa 13.52% de numero de cuentas y de la fusión entre la AFORES XXI

y Banorte representando el 24.09% en el número total de cuentas ambas al

cierre de enero del 2012 véase tabla 3.1, o por la baja captación de afiliados y

con lo cual no pueden alcanzar economías de escala, entre otras muchas

razones. Con ello la posibilidad de realizar un análisis al menos para diez años

se complica por el cambio en el número de AFORES o por la falta de

información, para un caso de análisis comparativo particular.

En el comienzo de la presente investigación se tenía claro el objetivo de esta

última, que era básicamente buscar que tanto a cambiado el mercado de las

AFORES, por una parte analizar si han alcanzado un nivel de equilibrio

permanente o si este ultimo, tiende estar en constante cambio y así

encontrarse en un equilibrio continuo, al hacer mención a un equilibrio nos

referimos en que forma, por medio de la Entropía nos permite encontrar nueva

información revelada en el mercado mismo pará el periodo de estudio, sin

embargo el reto de poder encontrar información que fuera relevante para el

presente trabajo, representaba uno de los principales retos, no obstante la

73

información que se logró encontrar se fue adaptando y obteniendo resultados

muy importantes e incluso diferentes a los resultados que se esperaban

encontrar en el presente trabajo.

En un principio en lo que se refiere al primer capítulo se enumeró básicamente

los elementos teóricos que sirvieron de base para el desarrollo del presente

trabajo, en lo que se refiere al capítulo segundo tomando la información que

proporciona la CONSAR al cierre del 2011, se procedió a obtener las entropías

para cada SIEFORE básica de cada AFORE que opera en el mercado

mexicano, como se mostró en los cuadros 2.31-2.3.6, suponiendo encontrar

que a una mayor diversificación de las AFORES, se podría esperar hallar un

mayor rendimiento, tomando los rendimientos históricos de los últimos 36

meses, sin embargo, los resultados obtenidos nos muestran que una mayor

diversificación no necesariamente produce un mayor rendimiento, por lo que la

interpretación en base a la teoría de portafolio de Markowitz (1952), nos revela

que las AFORES, por medio de sus SIEFORES solamente han disminuido el

riesgo, para un rendimiento dado, ello debido en mayor parte por las

restricciones legales qué aun regulan el mercado. Por otra parte la necesidad

de poder encontrar un indicador que muestre que tanto esta restringido el

mercado de las AFORES, por el marco legal, realizando un análisis

comparativo entre sus entropías correspondientes a la composición de cartera

entre los países de la Organización para la Cooperación y Desarrollo

Económico (OCDE), con datos disponibles para el 2009, se encontró que

México se situaba sorpresivamente en el penúltimo lugar, solamente por

encima de Austria véase tablas 2.2.2 y 2.2.3. por ello la necesidad de buscar

por medio de la Entropía si el mercado ha cambiado en el periodo de estudio,

74

donde se pudo encontrar que en un principio el marco legal que rige al

mercado de pensiones en México, tenía la característica de ser muy restrictivo,

sin embargo con base a la información que suministra la Asociación

Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de pensiones (AIOS)

con sede en Buenos Aires Argentina y de la CONSAR, se obtuvo la Entropía

empírica para cada periodo para una frecuencia semestral 1999:I al 2011:II,

donde al realizarse las pruebas econométricas de Raíces Unitarias y con ello

se pudo encontrar que la Entropía empírica tiene la característica de sub-

martingala véase tablas 2.5.1,2.6.1.7 y 1,2.7.2 y graficas 2.4.1, 2.4.2 y 2.4.3,

por lo qué permite ver básicamente que la normatividad legal se ha ido

aligerando, por lo tanto las AFORES tienen una mayor diversificación y con

ello pueden buscar un mayor rendimiento a un menor riesgo, ya que si bien en

un principio casi el total de las inversiones de las AFORES, era canalizado a

valores gubernamentales, dejando con ello un costo de oportunidad en la

busca de un mayor rendimiento, por lo que podemos concluir que aunque

México se encuentra en el penúltimo lugar en el nivel de diversificación,

también podemos señalar que de acuerdo a los parámetros del presente

trabajo, que se han realizado modificaciones al marco legal, que permite una

mayor diversificación, aunque con ello no necesariamente represente un mayor

rendimiento, tal y como se revisó en la presente sección.

Por otro lado, la necesidad de establecer alguna relación econométrica que nos

permita encontrar información de relevancia para el presente trabajo se

encontró que la variable porcentaje formada por las dos AFORES más grandes

del mercado para el periodo de estudio, estadística realizada por la AIOS,

75

como una medida de variable proxy, de concentración de mercado, que este en

función de la Entropía obtenida en la sección anterior, del número de

administradoras en el mercado y de la variable comisión definida como (utilidad

anual/ingreso por comisión), de igual forma información recabada por la AIOS

se encontró una relación de impacto positivo para las Comisiones (65.33876),

Administradoras (1.6232) y Entropía (-19.8536) véase tablas 2.8.3 y 2.8.4, por

lo que arroja resultados importantes dentro de los más importantes, se refiere

que a mayor Entropía tiene un impacto negativo en el porcentaje de

concentración de mercado por las dos AFORES más grandes, un impacto

positivo de las variables comisiones, por lo que se puede interpretar que las

dos AFORES más grandes pueden obtener rendimientos a escala de mejor

forma en comparación a las AFORES más pequeñas y de igual forma la

variable número de administradoras ejerce un impacto al porcentaje de

concentración de mercado.

Por otra parte se realizaron pruebas de Causalidad tipo Granger, y dentro de

las cuales no se encontró alguna causalidad para 2, 3, 4 y 6 rezagos. Salvo

algunas excepciones tales como Entropía a Administradoras para 2 rezagos,

Porcentaje a Comisiones para 3 rezagos, Comisiones a Administradoras para 3

rezagos véase tablas 2.8.5, 2.8.6 y 2.8.7. Por lo que no es posible afirmar

alguna relación directa de causalidad bajo el enfoque propio de dicha prueba,

entre las variables de estudio, salvo la relación econométrica en un principio

mencionado.

Finalmente la importancia de analizar los precios de cierre y los rendimientos

respectivos para cada SIEFORE en términos de Entropía para cada año de

1998-2011, se fundamenta básicamente en el sentido de que también las

76

variables financieras puras, por sus características aleatorias propias, aun con

colas pesadas, pueden aportar alguna nueva conclusión en el funcionamiento

del mercado de las AFORES, para ello se implementó una vez de obtenidas las

Entropías para cada año en base 135,857 datos y aplicando prueba Levin-Lin-

Chu LLC (2002) de Raíces Unitarias para un panel de datos para el periodo de

estudio, previamente realizando las pruebas de normalidad a las Entropías,

véase tabla 2.9.1.1, resultando cada una de ellas tener una distribución

normal, al menos bajo el enfoque del estadístico de Jarque-Bera. Sin embargo

en lo que refiere a los resultados obtenidos de la prueba LLC, para las Raíces

Unitarias véase las tablas 2.9.1 y 2.9.2, estadísticamente se encontró que las

Entropías tienen un comportamiento estacionario, por lo que el mercado tiende

a su nivel promedio, con ello la interpretación lógica a este resultado se centra

en que aún con cambios constantes en el mercado de pensiones en México, en

lo que se refiere al número de AFORES y al cambio que se ha dado en el

marco regulatorio, que ha conducido a una mayor diversificación en los

portafolios de las SIEFORES, el mercado tiende a su nivel medio, por ello no

se encontró evidencia que exista nueva información que pudiera cambiar la

estructura general del mercado, y por lo tanto la mayor diversificación

encontrada, no influye necesariamente en un mayor rendimiento de las

AFORES mismas.

El trabajo desde un principio se encontró una de sus principales limitaciones

pero también una de sus principales áreas de oportunidad, que es la nula

existencia de investigaciones hechas acerca del tema, por ello las fuentes de

información son pocas y de poco tiempo, es decir que no existe una

continuidad en las variables que fueran mas propicias para poder analizar los

77

cambios del mercado de la AFORES en lo que se refiere a su grado de

concentración, en donde la única forma es estar monitoreando constantemente

a las dependencias correspondientes y realizar una base de datos propia,

actividad que desde luego llevaría algunos años formarla y así poder realizar

aportaciones nuevas al presente trabajo para los próximos diez años.

Dentro los potenciales de investigación son desde luego un análisis

comparativo de Entropías para los países que forman parte de la Asociación

Internacional de Organismos de Supervisión de Fondos de Pensiones (AIOS),

por los países que han modificado sus sistema de pensiones en años similares

a los de México y por pertenecer al rango de países latinoamericanos, con el fin

de comparar bajo un análisis de panel de datos, si dichas Entropias han

cambiado conjuntamente, o en caso contrario poder esperar un cambio parcial

entre los países miembros, ya que es un campo aún no explorado que tiene un

potencial de suma importancia que pueden servir de base para otros estudios

posteriores.

78

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82

APENDICE

Para un trabajo de investigación la especificación si será un trabajo bajo un

enfoque determinístico o estocástico, estático o dinámico es de suma

importancia, por ello esta investigación se desarrolla bajo un enfoque

estocástico en el tiempo, lo anterior resalta la necesidad de al menos

mencionar algunos aspectos básicos a lo que se refiere a la teoría del cálculo

estocástico que serán utilizados durante alguna parte del trabajo para fines de

desarrollo, ya que el análisis bajo un enfoque estocástico sobre todo bajo una

perspectiva económica-financiera dejaría de lado aspectos explicativos

importantes útiles para el fin mismo de esta.

Movimiento browniano

Partiendo de una ecuación diferencial ordinaria donde 푆 representa una función

que depende del tiempo:

푑푆푑푡 = 휇푆

Tendríamos una solución para un valor inicial 푆 en el tiempo t = 0.

푆 = 푆 푒

Por otro lado expresando la ecuación a manera de razón de cambio tendríamos entonces:

83

푓 (푥)푓(푥) ≈ ∆%

푑푆푆 = 휇푑푡

Integrando ambas partes pasando ser integrales definidas y resolviendo tenemos:

푑푦푦 = 휇 푑푥

푙푛푆푆 = 휇푡

Sin embargo la solución propuesta anteriormente es válida para una ecuación

que e determinístico de crecimiento exponencial, que puede ser utilizada para

modelar tasas de crecimiento poblacional, tasas de crecimiento bacteriológico,

pero que sin embargo que los valores de las variables que para nuestro caso

son de carácter financieras tienen un comportamiento en lo que se refiere a su

crecimiento en el largo plazo, un patrón exponencial, pero no determinístico

sino que presenta comportamiento aleatorio podremos añadir a solución de la

ecuación diferencial ordinaria un componente más que se le conoce como

movimiento Browniano (en honor al Biólogo Robert Brown) que tiene como

características principales una media cero y una varianza creciente con el

tiempo, y que puede ser representado de la siguiente forma:

84

푊 ≅ √푡푍~풩(0, 푡)

Donde Z representa una distribución normal estándar 푍~풩(0,1).

Así una vez integrado el factor estocástico a la solución general de una

ecuación diferencial ordinaria donde 휇 es la tasa de crecimiento anualizada

(vista como rendimiento para fines financieros) de la variable aleatoria 푆 , 휎

representa la volatilidad anualizada de un rendimiento de la variable 푆 , la cual

puede representar el precio de cierre de cualquier acción que cotice en una

bolsa de valores, como ejemplo de un modelo para la variable 푆 que muestre

tanto un patrón de crecimiento tipo exponencial, pero con movimientos tipo

browniano se muestra la gráfica 1.3 para fines de ilustración.

푆 = 푆 푒푥푝( ∆ )

Movimiento BrownianoGraficamente:

85

Grafica I

Movimiento Browniano

El lema de It풐

Por otra parte el análisis de una función que tiene como argumento al menos

una variable aleatoria y la variable tiempo tiene distintas aplicaciones tanto par

el campo de matemáticas puras y como también para aplicaciones de

matemáticas aplicadas, entre ellas las matemáticas financieras, así podemos

expresar a una función F que es al menos dos veces diferenciable y continua y

que tiene como argumentos a la variable tiempo (t) y a la variable

anteriormente modela 푆 .

40

50

60

70

80

90

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

86

Teniendo como condición que:

푠푒푎 퐹(푆 , 푡) 퐶

Considerando como el cambio instantáneo de 푆

푑푆 = 푆 휇푑푡 + 푆 휎 푑푊 , 푡 ≥ 0

Por ello el cambio instantáneo de F definida anteriormente que depende una

variable estocástica explicada previamente y de la variable tiempo (t), puede

ser explicada bajo el Lema de It표 en honor al matemático japonés (It표 − 1942),

el cual definimos a continuación:

Definición para 퐹(푆 , 푡) 퐶 la variación instantánea de F está definida bajo el Lema de It표:

푑퐹 = 휕퐹휕푆 푑푆 +

휕퐹휕푡 푑푡 +

12휕 퐹휕푆

푆 휎 푑푡

Expresada en forma alternativa la ecuación:

푑퐹(푆 , 푡) = 퐹 푑푆 + 퐹 푑푡 + 12퐹 휎 푑푡

87

El Lema de It표 se fundamenta en gran parte por el polinomio de Taylor de

orden 2, ya que a mayores órdenes el impacto numérico es mínimo, por cual se

puede suponer que se puede omitir para fines prácticos

Polinomio de Taylor

푃 (푥) = 푓(푎) + 푓 (푎)(푥 − 푎) +푓 (푎)

2! (푥 − 푎) + ⋯+푓 (푎)푛! (푥 − 푎)

Para una función Cndiferenciable

푑퐹 = 휕퐹휕푆 푆 휇푑푡 + 푆 휎 푑푊 +

휕퐹휕푡 푑푡 +

12휕 퐹휕푆

푆 휎 푑푡

푑퐹 = 휕퐹휕푆 푆 휇 +

휕퐹휕푡 +

12휕 퐹휕푆

푆 휎 푑푡 +휕퐹휕푆 푆 휎 푑푊

Integral estocástica

Sea el activo financiero descompuesto de la siguiente forma:

푋(푡) = 푋(0) + 푀 (푡) + 푉 (푡), 푡 ∈ [0,∞)

88

Que por definición es una semi-martingala continúa

Donde 푀 es una martingala continua, integrable y cuadrada local y 푉 es una

variación continua bajo un proceso de variación adaptada y limitada.

Aplicando el lema de Itô

푙표푔푋(푡) = 푙표푔푋 + 훾(푠)푑푠 + 휉 (푠)푑푊 (푠), 푡 ∈ [0,∞)

X(t) es una semi-martingala continua con un componente de variación

limitada.

훾(푡)푑푡, 푡 ∈ [0,∞)

Y un componente de martingala local:

휉 (푡)푑푊 (푡)

Donde 푋 representa el valor inicial, 훾 la tasa de crecimiento (tasa de retorno)

de X y휉 es el proceso de volatilidad de X.

89

En forma exponencial la expresión anterior queda de la siguiente forma:

푋(푡) = 푋 푒푥푝 훾(푠)푑푠 + 휉 (푠)푑푊 (푠)

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