8/19/2019 Sustitucion Tan(x/2)

1/2

Sustitución z  = tan   x2

Dado que

cos2  =

 1 + cos 2

2

por lo que si    =   x2

  entonces

cos2 x

2  =

 1 + cos x

2  ;

despejando  cos x

cosx

  = 2 cos2 x

2   1

=  2

sec2  x

2

 1

=  2

1 + tan2  x

2

 1

si hacemos  z  = tan   x2;  entonces

cos x  =  2

1 + z 2  1

por tanto

cos x  =   1  z 2

1 +  z 2

De manera similar se tiene

sin 2  = 2 sin cos ;

si    =   x2;

sin x   = 2 sin x

2 cos

 x

2

= 2sin

  x

2

cos  x

2

cos2 x

2

= 2 tan x

2

1

sec2 x

=2 tan

  x

2

1 + tan2  x

2

;

1

8/19/2019 Sustitucion Tan(x/2)

2/2

es decir

sin x  =  2z 

1 +  z 2

…nalmente, como  z   = tan   x2;  entonces  x  = 2 tan1 z;  por tanto

dx  =  2dz 

1 + z 2

Example 1   Calcular 

Z   dx

1 + sin x + cos x

=

Z  2dz 1 + z 2

1 +  2z 

1 + z 2  +

  1  z 2

1 + z 2

=

Z   2dz 

2z  + 2

=

Z   dz 

z  + 1

= ln j1 + z j +  c:

2