suport curs 9fr.doc
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
1/17
MULTIMEA NUMERELOR REALE
1) Teorema fundamental a algebrei
CRQZN
2) Partea ntreaga numrului x este cel mai mare numr ntreg mai mic dect x.xxx
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
2/17
( ) bababa += ( ) ( )bababa += ( ) ### ## babbaaba +++=+
( ) ( )## babababa ++=+ ( ) ( )## babababa ++= ( ) bcacabcbacba +++++=++
/) Puteri
aaaan = ... +de n /ri)
10 =a
n
n
aa 1=
n mnm
aa =
yxyx aaa +=
yxyx
aaa ="
( ) yxyx aa = ( ) xxx baba = ( ) xxx baba "" =
1*Mul&imi .i elemente de logi" matemati"a) 4ulimea numerel/r reale
5n acest paragrap6 v/m preenta principalele mulimi de numere pe care le'ai studiat nanii precedeni, indicnd pr/prietile alge(rice, de /rdine i c/resp/nden cu punctele uneidrepte.
2rima mulime de numere cun/scute este mulimea numerel/r naturale, n/tat 7&0,1, , #, 8,n,8}, iar mulimea numerel/r naturale fr er/. 79& 1, , #,8,n, 8}:'a preciat, c nu se p/ate efectua scderea ntre d/u numere naturale /(inndu'se defiecare dat un numr natural. !xemplu 10'1;&'; care nu este numr natural.
, ) 2r/prietile adunrii pe >...2r/pietatea care leag cele d/u /peraii ntre ele se numete " distri(utivitatea nmulirii nrap/rt cu adunareaaB +(c)&aB( aB( +)a, (, c >. +revedei sc/aterea fact/rului c/mun)>eferit/r la relaia de /rdine " Cricare ar fi d/u numere reale ntre ele exist una din relaiile
DEF mai mic DGF mai mare D&F egal. :au DHF mai mic sau egal , DIF mai mare sau egal.
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
3/17
C un sens i / unitate de msur se numete axJntre munimerea punctel/r de pe ax i mulimea numerel/r reale exist / c/resp/nden
(iuniv/c. Cricrui numr real i c/respunde un punct pe ax i recipr/c. :'au mai intr/dusd/u sim(/luri respectiv DKF i D'KF, care repreint un numr f/arte mare p/itiv iar D'KFrepreint un numr f/arte mare n val/are a(s/lut dar cu semnul minus.
Pro-o!i&ie0 -redi"at0 "uantifi"atori0 o-era&ii logi"e elementere*
7umim alfa(et , / mulime de semne iar enunul este /rice succesiune de semne dintr'un alfa(et.!xemple"
1) 1L&10 ) #I- #) ;;*
10=+ *) x1H# ;) xM&, x,M,, =
:e numete pr/p/iie un enun care ntr'un c/ntext dat este fie adevrat fie fals. 7/tmpr/p/iiile cu litere mici " p, N, r, 8 sau cu litere mici indexate" p1, p, p#, 8.Oal/area de adevr a unei pr/p/iii este pr/prietatea acestuia de a fi adevrat sau fals. :e
n/tea"
O+p)&
falsestepdac
adevdevestepdac
,0
,1
:e numete predicat un enun care c/nine una sau mai mai multe varia(ile, cr/raatri(uindu'le Dval/riF /(inem pr/p/iii adevrate sau false.!xemplex1H# x> p+x)"x1H# p+x,M)" x se divide cu M3uantificat/rul existenial + x)p+x) +citim exista x pentru care are l/c p+x). !x" p+x)
x;&1% x&11 >3uantificat/rul universal + x )p+x) +citim /ricare ar fi x are l/c p+x). !x" p+x) x1G0, x>Cperaii l/gice elementare1. 7egaia 7egaia unei pr/p/iii p este pr/p/iia D n/n pF p care este adevrat cnd peste fals i este fals cnd p este adevratOal/area de adevr.
p p1 0
0 1. 3/nPuncia pr/p/iiil/r 3/nPuncia pr/p/iiil/r p, N este pr/p/iia p N +citim p i N)care este adevrat dac i numai dac p i N sunt adevrate i fals n celelalte cauri.#. isPuncia pr/p/iiil/r isPuncia pr/p/iiil/r p i N este pr/p/iia p N +citim p sau N)care este adevrat dac i numai dac cel puin una este adevrat i fals n ca c/ntrar.*. 5mplicaia pr/p/iiil/r 5mplicaia pr/p/iiil/r p, N n aceast /rdine este pr/p/iia pQN+p implic N sau dac p atunci N) care este fals dac i numai dac p este adevrat i N fals.;. !c6ivalena pr/p/iiil/r. !c6ivalena pr/p/iiil/r p, N este pr/p/iia n/tat pRN +pec6ivalent cu N sau p dac i numai dac N).
!xerciii"
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
4/17
1. i p+x)" x'H0 , x>. : se determine
val/rile lui x pentru care 1) p1+x) este adevrat , ) p+x) este adevrat #) p1+x) p+x) este adevrat *) p1+x) p+x) este adevrat.
$IRURI
ef* 1" :e numete ir de numere reale/ succesiune de numere reale, realiatdup / anumit regul.
7/taie" +an)" a1, a, a#, . . . , an, . . . S termenii irului ' 1,,# . . . S rang ' +a n) S termengeneral
4/duri de definire a iruril/r
a) e."ri-tiS prin enumerarea termenil/r irului.!x" +an)" , *, -, 1%, #, . . .
() 3u a4utorul termenului general!x" +an)" an&;n, 9Nn
") Prin intermediul unei rela&ii de re"uren&
!x" +an)" 1,
1 11
+== + na
aaan
nn
ef* 2" +an) se numete ir mrginit 9..0 NnMaiaM n > . +dac nu,irul este nemrginit)
ef* ac ( ) 911
11 ,11, Nna
a
a
a
sauaaaa n
n
n
n
nnnn
>
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
5/17
ef*" +an) & progresie aritmetic 1,1 += + nraa nn . r este raiapr/gresiei aritmetice.
Teorema 1" :irul +an) este pr/gresie aritmeric ,
11 +
= + naa
a nnn .
Teorema 2" Formula termenului generalrnaan )1+1 +=
a1& primul termen n & numrul de termeni ai irului r & raia pr/gresieiTeorema " Suma primilor n termeni ai unei progresii
aritmetice( )
1 naaS nn+
=
a1& primul termen an & ultimul termen al irului n & numrul de termeni ai irului!xerciii" :e d pr/gresia aritmetic +an)nI1. eterminai n fiecare din cauri , elementelecerute"
1) a1 r&. 3alculai a1;i :1;) a1&' a;&. 3alculai r i :1;#) ac a1a&* i a10a#&1 3alculai a1i r
:/luia pentru !x.1) a1;&a1+1;'1)9r :1;&( )
...
1;9#1#=+
PRORE$II EOMETRI3E
ef*" +(n) & progresie geometric ,.. 19 = nqbbiaRq nn Neste raia pr/gresiei ge/metrice.
Teorema 1" :irul +(n) este pr/gresie ge/metric .,11 = + nbbb nnnTeorema 2" Formula termenului general
1
1
= nn qbb .Teorema " Suma primilor n termeni ai unei progresii
aritmetice
=
=1,
1
1
1,
1
1
qdacaq
qb
qdacabn
S nn
!xemple" :e d pr/gresia ge/metric +(n)nI1cu raia Neterminai n fiecare din cauri, elementele cerute1) N&*, n&-, (-&*L1;. 3alculai (1 i :-
) *1
1=b, N&* 3alculai (10
#)
-
#0
1
=b
, N&' 1
, 3alculai (1
*) $L1 #1
,# == bb 3alcula NG0.
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
6/17
Aest de evaluare"1. : se determine numerele reale n pr/gresie ge/metric a, (, c dac suma l/r este %,
iar numerele a1, (%, c# sunt n pr/gresie aritmetic.
. : se gseasc suma primil/r d/ueci de termeni ai unei pr/gresii aritmetice dac01;1L% =+++ aaaa
#. : se gseasc primul termen a1i raia r a unei pr/gresii aritmetice dac "*$-*% $ aaaiaaa ==+
*. : se re/lve ecuaia ;1#1...x&;--;. ac +(n)nI1 este / pr/gresie ge/metric cu *-0 *1; == bbibb 3alculai (1i
N.
,UN3TII
1) 2t. a defini/ funcie este nev/ie de
lege
codomeniu
domeniu
" ...)+," = xf!f
x&a(scisa M& f+x) & /rd/nata!x" #)+," = xxfRRf #*)+,],0[" += xxfRf
2) Inter.e"&ia "u a5ele
a)( ) )0,+...0)+0 x!xxfyox ===
() ),0+...)+0 yxfyxoy ===
#) Inter.e"&ia grafi"elor" f+x)&g+x)*) 3om-unerea fun"&iilor !f " i Cg " este funcia "
( ))+))++)+," xgfxgfxhC!h == %) ,un"&ii -are .au im-are( iner.a unei fun"&ii
,UN3TIA E RAUL I
1) ef" 0,)+," += abaxxfRRf!x" 1)+," += xxfRRf2) Inter.e"&ia "u a5ele
a)
==+== 0,00)+
a
b!
a
bxbaxxfyox
() ),0+)+0 bbxfyxoy ===
) rafi"ul fun"&iei de gradul I
!ste / drea-t* :e c/nstruiete astfel" se afl intersecia cu axele, se repreint n sistem /rt/g/nal de
axe xCM cele d/u puncte < i T, ap/i se unesc aceste puncte /(inndu'se / dreaptce repreint graficul funciei.
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
7/17
!x . : se repreinte grafic funcia "f ( ) % = xxf . O/m gsi punctele unde Ufintersectea axele de c//rd/nate.
' 5nt. cu
( )0,##0%1
0
" !xx
y
xx
==
=
5nt. cu ( )%,0%%01
0"
==
= y
xyy
#) Monotonia fun"&iei de gradul I ac a67 atunci f+x)& cresctoare ac a87atunci f+x)& descresctoare ac a97atunci f+x)& constant ( )bxf =)+!x" f+x)&x'# +a& f+x)&cresct/are) f+x)& '*x; +a&'* f+x)&descresct/are) f+x)&L +a&0 f+x)&c/nstant)
;) $emnul fun"&iei de gradul I, 0,)+," += abaxxfRRf , se determin astfel"
:e scrie i se re/lv ecuaia ataat"a
bxbax
==+ 0
:e face ta(elul"
x ab
+f+x) semn c/ntrar lui a 0 semnul lui a
!xemplu" : se afle semnul funciei ( ) ,1-# += xxf atam ecuaia '#x1-&0 i gsim x&%.x ' %
( )xf 0 ' ' '
ac " ( ) ( ) 0"%, > xfx( ) 0"% == xfx
( ) ( ) 0",% e/lvm numrt/rul i numit/rul acestei fracii, ap/i studiem semnul n ta(elul.;x'10&0 x&Sx%&0 x&%
:/luia" ( ) ( ) ,%,xx ' %
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
8/17
;x'10 ' ' ' 0
'x% 0 ' '
%
10;
+
x
x ' ' ' 0 V ' '
!xerciii"
1) : se re/lve inecuaiile" a) 0#
1
+
x
x () 0
#1+ xxx
) : se repreinte grafic funciile" f"Q
a) ( ) [ ),# == "xxf () ( ) ( ]1,# == "xxf c)( ) [ ]#,11 =+= "xxf
>e/lvarea sistemel/r de tipul "
=+
=+bacpnm
pnymx
cbyax,,,,,,
>epetm met/da reducerii i met/da su(stituiei din gimnaiu.
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
9/17
a)
+
01
01#
0#
x
x
x
c) ( )
' ecuaia are rdcini reale diferite
aca
bxx
0 1
=== ' ecuaia are rcini reale egale
ac 0
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
10/17
aca
bxxx
0 ,11
=> , deci avem ta(elul"
x x1 x+
f+x) semnul lui a 0 semn c/ntrar lui a 0 semnul lui a
aca
bxx
0 1
=== , deci avem ta(elul"
x ab
+f+x) semnul lui a 0 semnul lui a
ac0
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
11/17
aca a&1G0, f are un minim Omin
aa
b
*,
Wmin&'
1
=
a
b
Ymin&'*
$min
*
$
*==
f
a
Za fel pentru a) i c).: se trasee graficul urmt/arel/r funcii"
( ) -)1 += xxxf ( ) **) += xxxf ( ) #)# += xxxf ( ) #)* += xxxfe/lvarea sistemel/r f/rmate dintr'/ ecuaie de gradul 5 i / ecuaie de gradul sau
intersecia dintre / dreapt i / para(/l , de f/rma
=++=+ nmcba
ycbxax
ynmx ,,,,
!xemplu"
0**1;#
;#
1
=++=+
+=
+=xxxxx
xxy
xy # 11 ==== yyxx
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
12/17
: se re/lve sistemele" 1)
=
=+
1
01
xxy
xy )
++=
=
#
0
xxy
xy #)
( )
=+
=++
L
yxxy
xyyx
Aest de evaluare"1. : se determine funcia ( ) cbxaxxff ++= ," dac punctele e/lvai sistemul simetric" ( ) ( ),%)%,".
-
11
#
10
R
yx
x
y
y
x
=+
=+
%. >epreentai grafic funcia"( ) ++= ";* fxxxf
EOMETRIE
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
13/17
Teorem:)ectorii u i v sunt coliniari * R a.i. v + u .-unctele %, &, ' sunt coliniare R a.i. ! + !C%& 'D R a.i. ! + !CProdusul scalar a doi vectori .
),c/s+ vuvuvu =
'yixu 11 += , 'yixv += 11 yyxxvu += ,
1
1 yxu +=aca 0, vu ,atunci 0= vuvu
Elemente de geometrie i trigonometrie
Formule trigonometrice.Proprieti.
sin Rxxx =+ ,1c/s
! Rxx ,1sin ! Rxx ,1c/s
sin/x012 xsin)= , Z(Rx , cos/x012= (Rxx ,,c/s) sin/a034+sinacos30sin3cosa cos/a034+cosacos3!sinasin3sin/a!34+sinacos3!sin3cos3 cos/a!34+cosacos30sinasin3sin1x+1sinxcosx, cos1x+cos xx sin
sin xx c/s)+ = cos xx sin)
+ =
t$x+ 0c/s,c/s
sinx
x
x ct$x+ 0sin,
sin
c/sx
x
x
t$/x02 tgx=) ct$/x02 ctgx=)
t$ ctgxx = )+
ct$ tgxx = )+
sina0sin3+1sin
c/s
baba + cosa0cos3+1cos
c/s
baba + sina!sin3+1sin
c/s
baba +
cosa!cos3+ !1sin
sin
baba +
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
14/17
Valori principale ale unciilor trigonometrice
x 5
%
*
#
#
sinx 5
1
# 5 ! 5
cosx
#
1 5 ! 5
t$x 5#
# # ! 5 ! 5
ct$x ! # #
# 5 ! 5 !
Semnele unciilor trig.sin:0,0,!,! t$.,ct$.:0,!0,!cos:0,!,!,0sin/!x4+ !sinx /impar4 cos/!x4+cosx/par4t$/!x4+ !t$x ct$/!x4+ !ct$x
:emnele funciil/r trig/n/metrice n cadraneXuncia @3adranul
5 55 555 5O
sin ' '
c/s ' ' c/s
sin=tg ' '
sin
c/s=ctg ' '
>educerea la primul cadran
ac
+
#,,,
,0
xxatuncix
,
# x avem"
xt = xt += xt = c/s t ' c/s x ' c/s x c/s xsin t sin x ' sin x ' sin x
!xemple" 1)$sin
$sin
$
%sin
$
%-sin
$
%sin
=
==
+=
)11c/s
11c/s
11
110c/s
11
1c/s
=
+=
+=
#)1#sin
%
11c/s
%
11c/s
%
*1c/s
%
*1100c/s
%
%*1c/s
==
==
+=
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
15/17
Teorema sinusurilor!C
c
b
!
a
sinsinsin== "16,unde 6 este raza cercului
circumscris triun$(iului.Teorema cosinusului!a !bccb c/s +=#ria unui triung$i!
#hb = #
),sin+ !C!!C! = # ))+)++ cpbpapp = %p+
cba ++
#
1 cccdreptunghi
= #
*
#llechilatera=
&a'a cercului circumscris unui triung$i!6+S
abc
*,unde 7 este aria
triun$(iului
&a'a cercului nscris ntrun triung$i:6+p
S,unde 7 este aria
triun$(iului iar p+
cba ++
Te.te re"a-itulatieAestul 1
a) :e d pr/gresia aritmetic ( ) 1nna de raie r, n care cun/atem #,#1 == ra 3alculai 1010; Siaa .
() :e d pr/gresia ge/metric ( ) 1nnl de raie N, n care cun/atem*
11=l , N&*.
3alculai 1010 Sil .c) : se determine parametrul real m nct ntre rdcinile ecuaiei 0# =+ mxx sexiste relaia" $
1 =xx
d) : se verifice identitatea"( )
tgbtgaba
ba=
+1
c/sc/s
c/s
e) :e d triung6iul
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
16/17
Aestul #
a) : se re/lve sistemele" a)
++=
=
1
xxy
xy ()
=+
=+
#
11
#
10
yx
x
y
y
x
() >e/lvai inecuaia"1;
1
#
;
#
-
7/25/2019 Suport curs 9fr.doc
17/17