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* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *J. C. Izquierdo

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Figura 146

Superficies regladas desarrollables.

Las superficies regladas desarrollables que vamos a estudiar son:

a).- La pirámide.b).- El prisma.c).- El cono.d).- El cilindro.

a).- Superficie piramidal. La pirámide.

Figura 146. Llamamos superficiepiramidal a la superficieengendrada por todas las rectasque pasando por un punto fijollamado vértice se apoyan en unapoligonal plana que llamaremosdirectriz. Cada una de las rectasque engendran la superficie lasllamaremos generatrices y aquellasque pasan por un vértice de lapoligonal las llamaremos aristaslaterales, cada uno de lossegmentos que forman la directrizles llamaremos aristas básicas. Deesta definición se desprende que lasuperficie piramidal es ilimitada yhueca.

Generalmente para trabajar con ellas se suelen limitar por dos planos, uno que pasapor el vértice y otro que es el plano que contiene a la directriz. Si la limitamos pordos planos, uno el de la directriz y otro que no pase por el vértice entonces tenemosel tronco de pirámide, este plano no tiene por qué ser paralelo con el otro. Figura147.Llamamos altura a la perpendicular trazada por el vértice al plano de la directriz.


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Figura 148

Figura 147

Clasificación de las pirámides.

Las pirámides se clasifican en dos grupos, regulares o rectas e irregulares uoblicuas. Una pirámide es recta cuando la directriz es un polígono regular y la alturade la pirámide pasa por el centro de la directriz y es oblicua cuando la directriz noes regular o la altura no pasa por el centro de la directriz. Figura 148.


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Figura 149

Representación diédrica de la pirámide.

Figura 149. Consideremos una pirámide definida por una poligonal regular de seislados situadas en el PH y vértice V. Vemosque la pirámide representada es recta al serla directriz un exágono regular y la alturapasa por el centro de la directriz.

Los planos P’-P y Q’-Q son los planostangentes a la pirámide a lo largo de lasaristas V5 y V2 respectivamente, a lasaristas v’5' y v’2' se les llaman contornosaparentes verticales. En proyección verticalserán vistas las aristas que se apoyan en lazona de la directriz entre los vértices 5-4-3-2 y serán ocultas las que lo hacen entre losvértices 5-6-1-2. Por tanto las aristas ocultas serán la v’6' y

v’1'. En proyección horizontal por quedar el vértice V dentro de la directriz puedenocurrir dos cosas, si el vértice es mas alto que la directriz, como es el caso que nosocupa, todas las aristas son vistas, mientras que si el vértice es mas bajo que ladirectriz puede ocurrir que la pirámide no tenga base, es decir, no hay tapadera,entonces todas las aristas serán vistas interiormente y si consideramos que haybase entonces todas serán ocultas.

Veamos otro caso con una pirámide oblicua, figura 150.

Las aristas vistas en proyección horizontal (gráfico inferior dcho) son aquellas quese apoyan en los vértices 1-6-5-4-3 de la directriz, es decir, serán vistas las aristasv1, v6, v5, v4 y v3 y oculta la v2, con respecto a la directriz serán vistas las aristas16, 65, 54, 43 y ocultas las 32 y 12. En proyección vertical (gráfico superior dcho)serán vistas las aristas que se apoyan en los vértices 5-4-3-2, es decir, serán vistaslas aristas v’5', v’4', v’3' y v’2' y ocultas las v’6' y v’1'. Las aristas v’5' y v’2' son loscontornos aparentes verticales y las aristas v1 y v3 los contornos aparenteshorizontales. Las aristas que son contornos aparentes verticales no tienen por quéser contornos aparentes horizontales y viceversa.


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Figura 150

Veamos la diferencia con otra pirámide que tiene el vértice mas bajo que ladirectriz. Figura 151.

Hemos considerado que no existe tapadera en la directriz, es decir, que a través deella se ve el interior de la pirámide. En proyección horizontal serán vistas completaslas aristas que se apoyan en los vértices 1-2-3 de la directriz, es decir, v1, v2 y v3,serán vistas, a medias, las aristas que se apoyan en los vértices 6-5-4, es decir, lasaristas v6, v5 y v4 serán vistas hasta sus respectivas intersecciones con las aristasde la directriz 12 y 23, el resto serán ocultas. Si tuviera tapadera entonces seríaníntegramente ocultas. En proyección vertical sería exactamente igual que el caso dela figura 150.


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Figura 151

Figura 152

Situar puntos en la pirámide.

Para situar puntos en la pirámide,distinguiremos tres casos:

1). Punto situado en unaarista lateral. Punto A.2). Punto situado en unaarista básica. Punto B.3). Punto situado en unacara de la pirámide. Punto C.

Figura 152. Punto A situado enarista lateral, nos dan a’ paraencontrar a basta con situar elpunto A sobre la arista V1.Punto B situado en arista básica,basta situar el punto B en la aristabásica 1'4'.Punto C situado en una cara de la


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pirámide, nos dan c’. Trazaremos las generatrices que pasan por c’, unimos v’ con c’y cortarán a LT en los puntos 7' y 8', estos dos puntos son de la directriz y losituaremos en ella obteniéndose los puntos 7 y 8, seguidamente trazamos lasgeneratrices v7 y v8 (proyecciones que se corresponden con v’c’) y trazando laperpendicular a LT por c’ hasta cortar a estas generatrices encontramos los puntosc1 y c2, que son los puntos buscados. Obsérvese que la pareja de puntos c’-c1, c’ esoculto por apoyarse su generatriz en el punto 8 (zona oculta en PV) y la pareja c’-c2,c’ es visto por apoyarse su generatriz en el punto 7 (zona vista en PV), en amboscasos c1 y c2 serán ocultos porque sus generatrices se apoyan en los puntos 7 y 8(zona de puntos ocultos en PH).

Sección plana de una pirámide.

En las páginas 103 y siguientes se expusieron la manera de determinar las seccionesque los planos producen a las figuras, para el caso que nos ocupa la solución es lamisma, siempre que nos den un plano que no sea ni horizontal, ni frontal, niproyectantes el proceso es realizar un cambio de plano para poder ver la seccióncomo una línea. También se puede realizar por otro método y es el siguiente,determinar la intersección de una de las aristas de la pirámide con el plano yseguidamente, teniendo en cuenta que, la sección buscada y la base de la pirámideson figuras homológicas de centro el vértice y eje la traza horizontal del plano,podemos calcular la sección aplicando los conocimientos de homología.

En las figuras 153 y 154 se han calculado la sección plana de una pirámide por ambosmétodos.

Figura 153. Sección plana de una pirámide mediante cambio de plano.

Hemos realizado un cambio de plano para poner el plano P de canto, de esta manerala sección la veremos como la recta a’‘-b’‘-c’‘-d’‘, situando estos puntos en susrespectivas aristas, tanto en proyección horizontal como vertical, tenemos lasección determinada.Para el estudio de la visibilidad se ha tenido en cuenta la existencia del plano P,observando el cambio de plano vemos que será visto desde la línea de corte haciaarriba, por tanto las aristas de la pirámide quedan divididas en dos trozos desde elvértice v hasta los puntos a, b, c y d serán vistos y el resto oculto al igual que labase 1-2-3-4. Análogamente ocurre en proyección vertical desde v’ hasta los puntos


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Figura 153

b’, c’ y d’ serán vistos y las partes inferiores ocultas. Obsérvese que el punto a’ nolo tenemos en cuenta por ser la arista v’2' entera oculta.

En alguna ocasión nos pueden pedir calcular la verdadera magnitud de la sección,para ello no tenemos mas que abatir el plano y calcular la sección abatida. El procesopara abatir un plano quedó expuesto en las páginas 41 y siguientes, no obstante enla figura 153 se ha realizado el cálculo de la verdadera magnitud de la misma.Téngase en cuenta que, para realizar el cálculo de la sección, tenemos que hacer uncambio de plano y poner el plano dado en otro de canto y recuérdese que un métodopara abatir era poner el plano de canto entonces, aprovecharemos este cambio deplano para determinar la verdadera magnitud de la sección.


Página nº 119 Figura 154

Figura 154. Sección plana de una pirámide mediante homología.


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Figura 155

Hemos calculado la intersección entre una arista cualquiera, se ha elegido la V6, yel plano P obteniéndose el punto I. A partir de este momento aplicamos la homologíade centro el vértice V y eje la traza horizontal P del plano. Vamos a prolongar loslados, 23, 34, 45 y 61 de la base de la pirámide hasta cortar a P en los puntos a, b,c, d y f. La arista 56 corta a P fuera de los límites del papel y la arista 12 es paralelaa P. Uniendo a con i obtenemos sobre v1 el punto por el que trazaremos paralela aP hasta llegar a v2, este punto lo uniremos con d hasta llegar a v3, a continuaciónuniremos este último punto con c hasta llegar a la arista v4 y este lo unimos con bhasta llegar a v5, por último unimos este punto con i y tenemos la línea del cortecalculada. Seguidamente situaremos estos puntos en sus respectivas aristas enproyección vertical y lo unimos en el mismo orden que están en proyecciónhorizontal. El estudio de la visibilidad es idéntico al explicando en el ejemploanterior, es decir, será visto desde el vértice hasta la línea de corte y oculto laparte inferior.

Otra forma de situar puntos en una pirámide.

Figura 155. Si nos dan la proyecciónvertical c’ de un punto y nos pidenque lo situemos en la pirámidepodemos tomar un plano paralelo alPH y determinar la sección que leproduce a la misma, si la directrizesta en PH, la sección y la directrizserán homotéticas de centro dehomotecia el vértice de la pirámide,en caso contrario seríanhomológicas y situaremos el puntosobre esta sección. Si nos diera laproyección horizontal de un punto,el plano que tomaríamos sería unplano frontal, una vez determinadala sección, situaremos el puntosobre ella.


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Figura 157

Figura 156

Intersección de recta y pirámide.

Una recta puede adoptar varias posiciones con respecto a una pirámide, y son, figura156:

a). Que tenga dos puntos en común conella, punto de entrada y punto de salida.b). Que toque a una arista en un punto.c). Que coincida con una cara de lapirámide.d). Que sea exterior a la pirámide, esdecir, no la toca.

La forma de solucionar este problema essimple. Consideramos un plano de canto overtical que contenga a la recta. Este planoproducirá una sección en la pirámide, lasección y la recta están en un mismo plano portanto, puede ocurrir, figura 157:

a). La recta corta a la sección en dospuntos.b). La recta toca a la sección en unpunto.c). La recta coincide con una linea de lasección.d). La recta es exterior a la sección.


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Figura 158

En la figura 158, se ha resuelto una intersección entre recta y pirámide.

Vamos a tomar un plano de canto P que contenga a la recta R y vamos a calcular lasección que el plano P le produce a la pirámide. El corte es la línea m’-n’-o’-f’ estospuntos los situamos en sus correspondientes aristas en proyección horizontal, esdecir, el punto M sobre la arista V1, el N sobre V4, el O sobre V2 y el F sobre V3,unidos estos puntos ordenadamente nos da, en proyección horizontal, la poligonal m-n-o-f, cuadrilátero que es la sección que el plano P le produce a la pirámide. Estapoligonal y la recta R se cortan en los puntos A y B puntos de entrada y salida en lapirámide. Nos queda determinar las partes vistas y ocultas de la recta. La recta haquedado dividida en las siguientes partes, en proyección vertical, empezando por laizda, antes del punto m’, de m’ a a’, de a’ a b’, de b’ a f’ y de f’ hacia la dcha. y enproyección horizontal desde la izda hasta el corte con la arista básica 14, desdeeste punto hasta a, desde a hasta b, desde b hasta el corte con la arista v2 y desdeeste punto hacia la dcha. Las partes vistas y ocultas quedan así:


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Figura 159

En proyección vertical, hasta m’ visto, desde m’ hasta a’, oculto, ya que el punto a’está situado en una cara oculta, desde a’ hasta b’ siempre será oculto por estar enel interior de la pirámide, (si el vértice está mas bajo que la base y no hay tapaderaen la base, a través de ella se verá el interior de la misma y habrá alguna zona deeste tramo que puede ser visto), desde b’ hasta f’ será visto pues el punto b’ estásituado en una cara vista y el resto hacia la dcha. también es visto; en proyecciónhorizontal tenemos, hasta el punto de corte con la arista básica 14 visto, desde estepunto hasta el a, visto, pues a esta situado en una cara vista, desde a hasta b,oculto, es el interior de la pirámide, desde b hacia la dcha. todo visto, pues el puntob está situado en una cara vista.

Para saber si un punto está situado en una cara vista tenemos que ver en que líneade la poligonal está situado, así el punto b está en la línea mo y esta pertenece a lacara v12, el punto a está en la línea mn que pertenece a la cara v14. La cara v12 y lav14 son vistas en proyección horizontal y en proyección vertical la v14 es ocultamientras que la v12 es vista.

En la figura 159, se ha estudiado la intersección de una pirámide con una recta Restando el vértice de la pirámide mas bajo que la base y no habiendo tapadera en la

misma. Obsérvese que untrozo del segmento ab, enproyección horizontal, esvisto a través de la base 1-2-3-4.

Comparando ambas figuras157 y 158, observamos que laproyección vertical no hacambiado pero la horizontalsi. Ahora, en proyecciónhorizontal, el punto a queestá en la cara V14 y el b queestá en V12 ambos sonocultos. Nótese que el punto aes visto interiormente.


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Figura 160

Otra forma de resolver la intersección de recta y pirámide.

Dada una recta R y una pirámide de vértice V existe otra forma de resolver laintersección de la recta R con la pirámide. La recta R y el vértice V de la pirámidedeterminan un plano P, este plano P corta a la pirámide según dos generatrices V5y V6 (ya que el plano P pasa por el vértice V), donde estas generatrices se cortencon la recta R tendremos los puntos de intersección de la recta R y la pirámide.Figura 160.

Tomamos un punto auxiliar X en la recta R y lo unimos con el vértice V obtenemosuna recta cuya traza horizontal es el punto M. Calculamos la traza horizontal de R,el punto H; la unión de m y h nos dará la traza horizontal del plano P, plano que pasapor el vértice de la pirámide y la cortará según las generatrices V5 y V6, vemos queestas, en proyección horizontal, se cortan, con R, en los puntos a y b que son lospuntos buscados. Si la traza P y la base de la pirámide no se cortan, no hayintersección, si la toca en un vértice es tangente a la pirámide y si coincide con unaarista básica, la recta está contenida en una cara de la pirámide. Figura 156 y 157.


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Se llama línea geodésica, entre dos puntos de una superficie, al camino mascorto entre ambos puntos sobre esa superficie. No siempre la línea geodésicaes una recta, puede ser otro tipo de línea. Si trabajamos sobre una esfera,la distancia mas corta entre dos puntos de ella es el arco de circunferenciaque pasando por ambos puntos tiene su centro en el centro de la esfera.

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Desarrollo de la pirámide.

Desarrollar una pirámide no es mas que abrirla y extenderla sobre una superficieplana para su posterior plegado y obtener la correspondiente figura en tresdimensiones, ademas sirve para poder realizar los cálculos de las líneas geodésicas5.Como tenemos que extender la pirámide sobre un plano y teniendo presente quecada cara de la pirámide es un triángulo, tendremos que calcular las dimensiones delos lados de todos los triángulos que forman la pirámide.

Hay dos maneras de desarrollar la pirámide:

1). Abatiendo cada cara alrededor de su arista básica hasta quedar el vérticequede abatido sobre PH. (Abriéndola como un plátano).2). Colocando cada cara una a continuación de la otra, piénsese que cada caracomparte con la siguiente una arista.

1). Abatiendo cada cara alrededor de su arista básica. Figura 161.

Procedemos a abatir el plano V12 alrededor del eje 12 para ello obtendremos elabatido del punto V. Una vez obtenido (V) los segmentos (V)1 y (V)2 están enverdadera magnitud por estar en PH, esto nos va a servir para abatir el plano V23alrededor de 23, con centro en 2 y radio 2(V) describimos un arco de circunferenciahasta encontrar a la perpendicular trazada por v a 23 punto que será (V)correspondiente a la cara V12. Repetiremos este proceso hasta terminar con todaslas caras.


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Figura 161

Una aplicación de este método es el siguiente problema, se deja a cargo del lectorsu resolución.

Se tiene una cámara topográfica F colocada sobre un trípode cuyas patas A, B y Ctienen las siguientes dimensiones FA=1.04, FB=1.00 y FC=1.02 m., la base del trípodees un triángulo de lados AB=0.50, BC=0.60 y AC=0.70 m. Determinar a que altura delsuelo se encuentra la cámara topográfica. La base está apoyada en PH.

2). Figura 162 y 163. Colocando las cara una a continuación de otra.

Antes de empezar vamos a determinar las verdaderas magnitudes de todas lasaristas de la pirámide. Para ello vamos a girar las aristas laterales hasta


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Figura 162

Figura 163

convertirlas en rectas frontales.Como todas las aristas tienen unpunto en común, el vértice V, vamosa tomar un eje de giro que pase poreste punto y giraremos los vértices1,2 y 3 hasta llegar a 1g, 2g y 3g,obtenidos estos nos permiteencontrar los 1g’, 2g’ y 3g’ queunidos con v’ nos dan las verdaderasmagnitudes de V1, V2 y V3. Lasaristas básicas por estar situadasen PH están en verdadera magnitud.Vamos a desarrollar la pirámide

empezando por la cara V12. A partir de ahora todas las dimensiones que se citan sonen verdaderas magnitudes. Tomamos una recta donde fijaremos un punto V ymarcaremos la dimensión de la arista V1, con radio V2 describiremos un arco decentro V y con radio 12 describiremos un arco de centro 1 donde ambos arcos secorten tendremos el punto 2. Con radio V3 y centro V describimos un arco decircunferencia y con centro en 2 y radio 23 otro, donde ambos arcos se cortentendremos el punto 3. Por último tomamos un arco de radio V1 y centro V y otro deradio 13 y centro 3 y describimos sendosarcos de circunferencias donde ambos secorten tendremos el punto 1. Piénsese que sihemos empezado por la arista V1 tenemos queterminar con la misma arista en casocontrario no se podría plegar la figura pueslas aristas inicial y final no serían las mismas.

Como punto final al estudio de la pirámidevamos a resolver el siguiente problema:

Figura 164. El triángulo ABV representado,situado en PH, es una cara de una pirámiderecta de base exagonal. Determinar susproyecciones y calcular su desarrollo.


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Figura 164

Para resolver el problema vamos a realizar un cambio de plano de manera que laarista ab se vea como una recta de punta. Al verse AB como una recta de punta, elexágono se verá como una recta. Podemos abatir el exágono sobre PH alrededor dela arista ab. En el cambio de plano veremos el arco que describen los vértices 2'’ y3'’ del exágono, por otro lado, las aristas v’‘2'’ y v’‘3'’ se verán como las aristas v’‘a’‘o v’‘b’‘, describiendo un arco de circunferencia de centro v’‘ y radio v’‘a’‘ donde secorte con la perpendicular trazada por 2 a la LT nueva, tendremos los vértices 2'’y 3'’ en su lugar, uniéndolos con a’‘ y b’‘ tendremos la proyección vertical del exágonoy de la pirámide.Una vez encontrada la proyección de la pirámide basta con determinar la proyecciónhorizontal y a partir de aquí la vertical, los vértices 2', 3', 1' y 4' tienen las mismasalturas que los 2'’, 3'’, 1'’ y 4'’. Para el estudio de la visibilidad se ha tenido encuenta que no hay tapadera en la base de la pirámide por lo cual, las aristas va y vbse verán en parte a igual que las v’3' y v’4'.


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Figura 165

Figura 166

Figura 165. Para determinarel desarrollo, dado que lapirámide es recta, solamentenecesitaremos conocer una delas aristas laterales y una delas aristas básicas. La aristaVA está en verdaderamagnitud y el segmento ABtambién. Colocaremos seis triángulos isósceles de ladosiguales VA y desigual AB unoa continuación del otro ytendremos el desarrolloterminado.

b). Superficie prismática. El prisma.

Un prisma es una pirámide cuyo vértice está en el infinito por tanto, sus aristas sontodas paralelas entre si.

Figura 166. Llamamos superficieprismática a la superficieengendrada por todas las rectasque apoyándose en una poligonalplana que llamaremos directriz semantienen paralelas a una direccióndada. Cada una de las rectas queengendran la superficie lasllamaremos generatrices y aquellasque pasan por un vértice de lapoligonal las llamaremos aristaslaterales, cada uno de lossegmentos que forman la directrizles llamaremos aristas básicas. Deesta definición se desprende que la


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Figura 167

superficie prismática es ilimitada y hueca. Llamamos altura a la perpendicular trazada por el centro de la base superior al planode la base inferior.Generalmente para trabajar con ellas se suelen limitar por dos planos, uno que es elplano que contiene a la directriz y otro plano que puede ser paralelo o no con el quecontiene a esta.

Clasificación de los prismas.

Los prismas se clasifican en dosgrupos, regulares o rectos eirregulares u oblicuos. Un prisma esrecto cuando la directriz es unpolígono regular y la altura delprisma pasa por los centros deambas directrices y es oblicuocuando la directriz no es regular ola altura no pasa por el centro deuna de las directrices. Figura 167.

Representación diédrica del prisma.

Figura 168. Consideremos un prisma definido por una poligonal regular de cuatrolados situadas en el PH y dirección paralelas a la recta E. Vemos que el prismarepresentado es oblicuo al ser la directriz un cuadrado y la altura no pasa por loscentros de ambas directrices.

Los planos P’-P y Q’-Q son los planos tangentes al prisma a lo largo de las aristas 1-5y 3-7 respectivamente, las aristas 1'-5' y 3'-7' se les llaman contornos aparentesverticales. En proyección vertical serán vistas las aristas que se apoyan en la zonade la directriz entre los vértices 1-2-3 y serán ocultas las aristas que lo hacenentre los vértices 1-4-3. Por tanto la arista oculta será la 4'-8'. En proyecciónhorizontal las aristas 2-6 y 4-8 se le llaman contornos aparentes horizontales yserán vistas las generatrices que se apoyen en los puntos de la directrizcomprendidos entre los vértices2-1-4 y ocultos los que lo hacen entre los 4-3-2.Los contornos aparentes verticales no tienen por qué coincidir con los contornosaparentes horizontales y viceversa.


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Figura 168

Obsérvese que la arista 3-7, en proyección horizontal es oculta hasta suintersección con la arista 5-8 de la boca superior, el resto es visto por considerarque no hay tapadera en la boca superior.

Situar puntos en el prisma.

Para situar puntos en el prisma, distinguiremos tres casos:1). Punto situado en una arista lateral. Punto A.2). Punto situado en una arista básica. Punto B.3). Punto situado en una cara del prisma. Punto C.

Figura 169. Punto A situado en arista lateral, nos dan a’ para encontrar a basta consituar el punto A sobre la arista 3-7.Punto B situado en arista básica, basta situar el punto B en la arista básica 1'-2'.Punto C situado en una cara del prisma, nos dan c’. Trazaremos las generatrices que


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Figura 169

pasan por c’, trazamos paralelas a e’por c’ y cortarán a LT en los puntosm' y n', estos dos puntos son de ladirectriz y lo situaremos en ellaobteniéndose los puntos m y n,seguidamente trazamos paralelas ala recta e por los puntos m y n ytrazando la perpendicular a LT porc’ hasta cortar a estas generatricesencontramos los puntos c1 y c2, queson los puntos buscados. Obsérveseque la pareja de puntos c’-c1, c’ esoculto por apoyarse su generatrizen el punto m (zona oculta en PV) yla pareja c’-c2, c’ es visto porapoyarse su generatriz en el punton (zona vista en PV), en proyecciónhorizontal el punto c1 será visto porapoyarse su generatriz en el puntom (zona vista en PH) y el c2, (se

apoya en el punto n), será oculto si consideramos que el prisma tiene tapadera yvisto en caso contrario (se vería por estar en el interior de la boca superior).

Sección plana de un prisma.

En las páginas 103 y siguientes se expusieron la manera de determinar las seccionesque los planos producen a las figuras, para el caso que nos ocupa la solución es lamisma, siempre que nos den un plano que no sea ni horizontal, ni frontal, niproyectantes el proceso es realizar un cambio de plano para poder ver la seccióncomo una línea. También se puede realizar por otro método y es el siguiente,determinar la intersección de una de las aristas del prisma con el plano yseguidamente, teniendo en cuenta que, la sección buscada y la base del prisma sonfiguras afines de eje la traza horizontal del plano y dirección de afinidad la de lasaristas del prisma, podemos calcular la sección aplicando los conocimientos dehomología.


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Figura 170

En las figuras 170 y 171 se han calculado la sección plana de un prisma por ambosmétodos.

Figura 170. Sección plana de un prisma mediante cambio de plano.


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Hemos realizado un cambio de plano para poner el plano P de canto, de esta manerala sección la veremos como la recta a’‘-b’‘-c’‘-d’‘, situando estos puntos en susrespectivas aristas, tanto en proyección horizontal como vertical, tenemos lasección determinada.

Para el estudio de la visibilidad se ha tenido en cuenta la existencia del plano P,observando el cambio de plano vemos que será visto desde la línea de corte haciaarriba, por tanto las aristas del prisma quedan divididas en dos trozos desde elplano P hacia arriba (que será visto) y hacia abajo (que será oculto), en proyecciónhorizontal será visto desde los puntos a, b y c hacia arriba (la izda) y ocultos haciaabajo (la dcha). Análogamente ocurre en proyección vertical desde los puntos a’,c’ y d’ hacia arriba serán vistos y las partes inferiores ocultas.

En alguna ocasión nos pueden pedir calcular la verdadera magnitud de la sección,para ello no tenemos mas que abatir el plano y calcular la sección abatida. El procesopara abatir un plano quedó expuesto en las páginas 41 y siguientes, no obstante enla figura 170 se ha realizado el cálculo de la verdadera magnitud de la misma.Téngase en cuenta que, para realizar el cálculo de la sección, tenemos que hacer uncambio de plano y poner el plano dado en otro de canto y recuérdese que un métodopara abatir era poner el plano de canto, entonces, aprovecharemos este cambio deplano para determinar la verdadera magnitud de la sección. Con centro en ogiraremos los puntos a’‘, b’‘, c’‘ y d’‘ hasta colocarlos en PH.

Figura 171. Sección plana de un prisma mediante afinidad.

Hemos calculado la intersección entre una arista cualquiera, se ha elegido la 3-7, yel plano P obteniéndose el punto I. A partir de este momento aplicamos una afinidadde eje la traza horizontal P del plano y dirección de afinidad las aristas horizontalesdel prisma. Vamos a prolongar los lados, 12, 23, 34 y 41 de la base del prisma hastacortar a P en los puntos a, d, b, y c respectivamente. Unimos d con i hasta llegar ala arista 26, este punto lo uniremos con a hasta llegar a 15, a continuación uniremoseste último punto con c hasta llegar a la arista 48 y este lo unimos con b hasta llegara 37 (que coincidirá con i) y así tenemos la sección calculada. Seguidamentesituaremos estos puntos en sus respectivas aristas en proyección vertical y lounimos en el mismo orden en que están en proyección horizontal. El estudio de lavisibilidad es idéntico al explicando en el ejemplo anterior, es decir, será vistodesde el corte hacia arriba y oculta la parte inferior.


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Figura 171

Veamos la intersección entre plano y prisma si este es un prisma recto. Figura 172.

En la figura de la izda se ha resuelto la intersección de un prisma recto con un planoP oblicuo. La intersección es la poligonal 1234, como la intersección pertenece alprisma y al plano al mismo tiempo, basta con situar estos puntos en el plano medianterectas frontales (u horizontales) y tenemos el problema resuelto.En la figura de la dcha se ha resuelto la intersección de un prisma con un plano Pparalelo a LT. Realizamos un cambio de plano para ponerlo de canto para ver laintersección como una recta. Para determinar la intersección en proyección verticalbasta con situar los puntos midiendo sus respectivas alturas en el cambio de plano.


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Figura 172

Otra forma de situar puntos en un prisma.

Figura 173. Si nos dan la proyección vertical c’ de un punto y nos piden que losituemos en el prisma podemos tomar un plano paralelo al PH y determinar la secciónque le produce al mismo, si la directriz esta en PH, la sección y la directriz serániguales, en caso contrario no y situaremos el punto sobre esta sección. Si nos dierala proyección horizontal de un punto, el plano que tomaríamos sería un plano frontal,una vez determinada la sección, situaremos el punto sobre ella.


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Figura 173

Intersección de una recta con un prisma.

Las posiciones que una recta puede adoptar con respecto a un prisma son las mismasque con respecto a una pirámide, (ver páginas 121 y siguientes, figuras 156, 157 y158), así como los métodos expuestos.

En la figura 174, se ha resuelto una intersección entre recta y pirámide.

Vamos a tomar un plano de canto P que contenga a la recta R y vamos a calcular lasección que el plano P le produce al prisma. El corte es la línea n’-m’-o’-f’ estospuntos los situamos en sus correspondientes aristas en proyección horizontal, esdecir, el punto M sobre la arista 26, el N sobre 15, el O sobre 48 y el F sobre 37,unidos estos puntos ordenadamente nos da, en proyección horizontal, la poligonal n-m-f-o, cuadrilátero que es la sección que el plano P le produce al prisma. Estapoligonal y la recta R se cortan en los puntos A y B puntos de entrada y salida en el


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Figura 174

prisma. Nos queda determinar las partes vistas y ocultas de la recta. La recta haquedado dividida en las siguientes partes, en proyección vertical, empezando por laizda, antes del punto n’, de n’ a a’, de a’ a b’, de b’ a f’ y de f’ hacia la dcha. y enproyección horizontal desde la izda hasta el corte con la arista básica 12, desdeeste punto hasta a, desde a hasta b, desde b hasta el corte con la arista básicasuperior 78 y desde este punto hacia la dcha.


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Las partes vistas y ocultas quedan así:

En proyección vertical, hasta n’ visto, desde n’ hasta a’, visto, ya que el punto a’ estásituado en una cara vista, desde a’ hasta b’ siempre será oculto por estar en elinterior del prisma, desde b’ hasta f’ será visto pues el punto b’ está situado en unacara vista y el resto hacia la dcha. también es visto; en proyección horizontaltenemos, hasta el punto de corte con la arista básica 12 visto, desde este puntohasta el a, visto, pues a esta situado en una cara vista, desde a hasta b, en principiosería oculto pero a través de la base superior se ve el interior del prisma, por tantoquedará de la siguiente manera, desde a hasta el corte con la arista 56 oculto,desde este punto hasta b, visto, desde b hasta el corte con 78 oculto y el restovisto.

Para saber si un punto es visto u oculto, tenemos que ver en que línea de la poligonalestá situado, así el punto b está en la línea mf y esta pertenece a la cara 2367 y elpunto a está en la línea mn que pertenece a la cara 1256, viendo la proyecciónhorizontal. La cara 2367 es oculta exteriormente pero vista en parte interiormente,mientras que en proyección vertical, ambas caras son vistas.

Veamos el otro método, figura 175.

Dada una recta R y un prisma. Si determinamos el plano P que conteniendo a R seaparalelo a las generatrices del prisma, este plano P cortará al prisma según dosgeneratrices, donde estas se corten con la recta R tendremos los puntos A y B deentrada y salida en el mismo. Nos encontramos con el problema de trazar un planoque sea paralelo a una recta y contenga a otra, para ello, tomaremos un punto Xcualquiera de la recta R y por él trazaremos una recta S paralela a las aristas delprisma, calcularemos las trazas horizontales h1 y h2 de ambas rectas R y S (si labase del prisma está en PV calcularíamos las trazas verticales), uniendo los puntosh1 y h2 tendremos la traza horizontal del plano P. Esta traza corta a la base 1234en los puntos c y d, trazando por ellos paralelas a las aristas tendremos lasgeneratrices intersección del plano P y el prisma, estas generatrices se cortan conla recta R en los puntos A y B puntos de entrada y salida buscados. Las partes vistasy ocultas son las mismas que los de la figura 174 ya que es el mismo problema.


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Figura 175

Desarrollo del prisma.

Al desarrollar la pirámide como todas las caras son triángulos y el triángulo es laúnica figura indeformable que hay, calculamos las verdaderas magnitudes de cadauno de los lados de cada triángulo y teníamos el problema resuelto. En un prisma, lascaras son, en general, trapecios, (si las bases son paralelas serían paralelepípedos),entonces no es suficiente con calcular las verdaderas magnitudes de cada lado puesse pueden obtener infinitos cuadriláteros que tengan iguales los lados y el desarrollono sería el correcto. Para solucionar este problema vamos a determinar la secciónrecta de un prisma.

Llamamos sección recta de un prisma a la que le produce un plano P que seaperpendicular a las aristas. De esta manera sabemos que la línea intersección entreeste plano P y las aristas del prisma son perpendiculares, entonces podremos


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Figura 176

calcular exactamente el desarrollo del prisma.

Figura 176 y 177. En primer lugar trazaremos un plano P que sea perpendicular a lasaristas del prisma. Seguidamente calcularemos la intersección de este plano P y elprisma, si el plano P no es de canto tendríamos que hacer un cambio de plano parapoder determinar la intersección. Una vez calculada la intersección, determinaremossu verdadera magnitud y la desarrollaremos en una línea. Por cada vértice de estálínea, trazaremos las aristas que serán perpendiculares con ella, lo que nos queda esdeterminar la distancia que hay, para cada arista, entre la sección y las bocassuperior e inferior.

Veamos el proceso. Trazado el plano P y calculada la intersección ABCED,procedemos a determinar la verdadera magnitud de esta obteniéndose el polígono(A)(B)(C)(E)(D). Seguidamente sobre una línea llevaremos las magnitudes (A)(B),(B)(C), (C)(E), (E)(D) y (D)(A) y por cada uno de los puntos (A), (B), (C), (E) y (D)


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Figura 177

trazaremos perpendiculares a esta línea. El prisma es frontal, lo cual quiere decir que, las aristas en proyección vertical estánen verdaderas magnitudes por tanto iremos tomando las medidas desde 1'a’ y desdea’6' y lo llevaremos sobre la perpendicular que pasa por (A) hacia abajo y arribarespectivamente, seguimos igual con las demás aristas. Desde 2'b’ y b’7', desde 3'c’y c’8', desde 4'e’ y e’9' y por último desde 10'd’ y d’10'. Uniendo los puntosobtenidos 1, 2, 3, 4, 5 y 1 y 6, 7, 8, 9, 10 y 6 respectivamente, obtenemos eldesarrollo del prima. Si el prisma tiene tapaderas construiríamos sendos pentágonosa partir de los segmentos, por ejemplo, 67 y 34.

Como punto final al estudio del prisma vamos a resolver el siguiente ejercicio. Figura 178. El segmento AB pertenece al plano P y es lado de un exágono regularcontenido en P y está en el primer cuadrante. Es sección recta de un prisma.Determinar sus proyecciones y limitarlo por el PH y PV.


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Figura 178


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Figura 179

Como el exágono está situado en el plano P procedamos a abatirlo, lo haremosabatiendo la traza P’. Una vez obtenida (P’), el exágono lo veremos como un exágonoperfecto ab(C)(D)(E)(F) y obtengamos su proyección horizontal abcdef, aplicandouna afinidad, y vertical a’b’c’d’e’f’ mediante rectas horizontales del plano P. Esteexágono es sección recta del prisma que buscamos, por tanto, las aristas del prismaserán perpendiculares al plano del exágono, como la perpendicularidad entre rectasy planos se conserva, trazaremos perpendiculares a P’ por los puntos a’, b’, c’, d’, e’y f’ y a P por a, b, c, d, e, y f y obtendremos las aristas del mismo. Nos piden que lolimitemos por el PV y PH, lo que tenemos que hacer no es mas que calcular las trazasde estas aristas y uniéndolas tenemos las intersecciones del prisma con el PV y PH,que serán las poligonales 6-7'-11'-10'-9'-8' y a-b-2-3-4-5 respectivamente. Para estudiar las partes vistas y ocultas, marcamos contornos, tanto en proyecciónvertical como en horizontal, son vistas todas las generatrices que se apoyan enpuntos vistos de las poligonales que forman las directrices.

c). Superficie cónica. El cono.

Consideremos una curva en elespacio, a la que llamaremosdirectriz, y un punto fijo, V,exterior a la directriz, al quellamaremos vértice, todas lasrectas, a las que llamaremosgeneratrices, que pasando por elvértice V se apoyan en la directrizengendran una superficie a la quellamaremos superficie cónica. De ladefinición se desprende que lasuperficie cónica es ilimitada yhueca. Figura 179.Si la directriz es una cónica, lasuperficie la llamaremos cono.

Generalmente para trabajar con él se suele limitarlo por dos planos, uno el quecontiene a la cónica y otro el que pasa por el vértice, si no pasase por este, entoncestendríamos un tronco de cono.Llamamos eje del cono a la recta que pasa por el vértice y el centro de la directriz


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Figura 180

y llamamos altura a la perpendicular trazada por el vértice al plano de la directriz.

Clasificación de los conos.

Los conos pueden ser conos rectos,es aquel en que la altura pasa por elcentro de la directriz (eje y alturacoinciden) y cono oblicuo cuando eleje y la altura no coinciden (laaltura no pasa por el centro de ladirectriz). Si el cono está limitadopor un plano entonces tenemos eltronco de cono.Un caso particular de los conosrectos son los conos de revolución,estos son aquellos en que ladirectriz es una circunferencia.Figura 180.

Representación diédrica del cono.

Consideremos un cono definido por su directriz, circunferencia, y su vértice V.Figura 181.

Los planos P’-P y Q’-Q son los planos tangentes al cono a lo largo de las aristas V1V2 respectivamente, las aristas v’1 y v’2' se le llaman contornos aparentesverticales. En proyección vertical serán vistas las generatrices que se apoyan en lazona de la directriz entre los vértices 1-2 hacia abajo y serán ocultas las que lohacen entre los vértices 1-2 hacia arriba. En proyección horizontal por quedar el vértice V dentro de la directriz puedenocurrir dos cosas, si el vértice es mas alto que la directriz, como es el caso que nosocupa, todas las generatrices son vistas, mientras que si el vértice es mas bajo quela directriz puede ocurrir que el cono no tenga base, es decir, no hay tapadera,


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Figura 181

Figura 182

entonces todas las generatrices serán vistasy si consideramos que hay base entoncestodas serán ocultas.

Veamos el caso con un cono oblicuo. Figura182.

En proyección vertical serán vistas aquellasgeneratrices que, en proyección horizontal, seapoyen en los puntos comprendidos entre los1-2 (sentido antihorario) y ocultas las que lohacen entre los 1-2 (sentido horario).En proyección horizontal serán vistas lasgeneratrices que se apoyan entre los puntos3-4 (sentido horario) y ocultas las que lohacen entre los puntos 3-4 (sentidoantihorario).

Las aristas v’1' y v’2' se les llaman contornosaparentes verticales y las v3 y v4 contornos

aparentes horizontales. Los contornos aparentes verticales no tienen por quécoincidir con losc o n t o r n o sa p a r e n t e shorizontales.

Figura 183. Si elvértice del conoqueda por encimade la directriz,toda ella será vistay s o l a m e n t ec a m b i a r á l avisibilidad en lap r o y e c c i ó nhorizontal, siendovistas las generatrices, si existe tapadera, las que se apoyan entre los puntos 3-4


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Figura 183

Figura 184

(sentido antihorario) y ocultas las que los hacen entre los puntos 3-4 (sentidohorario). Hay que destacar que si no existe tapadera estas generatrices seránvistas hasta su intersección con el trozo de directriz 3-4.

Situar puntos en el cono.

Para situar puntos en el cono emplearemos lageneratriz que pasa por él. Figura 184.

Si nos dan a, situado en la directriz,encontraremos a’ sobre la LT.Si nos dan b’, situado sobre v’1', b estarásobre la generatriz v1, trazaremos unaperpendicular a LT por b’ hasta encontrar a v1.Si nos dan c’, trazaremos la generatriz v’c’,esta corta a LT en 3' y 4', puntos de ladirectriz, los cuales situaremos sobre lacircunferencia, obteniéndose los puntos 3 y 4,trazando una perpendicular a LT por c’ cortaráa las generatrices v3 y v4 en los puntos c1 yc2, solución del problema.El punto c’-c1, c’ es oculto por apoyarse lageneratriz v-c1 en el punto 3 (zona oculta en


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Figura 185

Figura 186

PV) y la pareja c’-c2, c’ será visto por apoyarse la generatriz vc2 en 4 (zona vista enPV), mientras que ambas proyecciones, c1 y c2, serán vistas en proyecciónhorizontal.

Otra forma de situar puntos en un cono esseccionándolo por un plano paralelo al plano dela directriz, al estar la directriz en PH,trazaremos un plano P horizontal, este planocorta al cono según una curva homotética conla directriz siendo v el centro de homotecia.Figura 185.

Nos dan a’. Trazaremos un plano P’ que pasepor a’. Este plano produce en el cono unacircunferencia de centro C (situado en el eje)y radio C3, describimos la circunferencia ysobre ella situamos el punto, obteniéndose a1y a2, solución del problema. Obsérvese que elpunto 3 se ha situado sobre la generatriz v1ya que está situado en ella.

Planos tangentes a un cono.

Figura 186. El plano tangente a uncono en un punto A del mismo,estará determinado por lastangentes a dos curvas que pasenpor él. Considerando la generatrizque pasa por A, el plano tangente enel punto dado será tangente a estea lo largo de toda la generatriz quepasa por A. Luego todos los puntosde una generatriz tiene el mismoplano tangente. Todos los planos

tangentes a un cono contendrán al vértice de dicho cono, ya que siempre contiene


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Figura 187

a una generatriz y estas pasan todas por el vértice. Si el punto fuese exterior alcono, el plano tangente contendrá a la recta que pasa por el vértice y por el puntoA, recta intersección de los dos posibles planos tangentes al cono.

Figura 187. Para determinar el plano tangente a un cono en un punto A, trazaremosla generatriz que pasa por A, el plano P buscado contendrá a esta generatriz y portanto pasará por su traza horizontal H (si la directriz del cono está en PH, en elcaso de que la directriz esté en PV, pasará por la traza vertical). Conocida la traza

horizontal h, trazaremos latangente a la directriz en ese puntoque será la traza horizontal delplano P buscado. Para determinar latraza vertical del plano, basta consituar el punto A o el V en él odeterminar la traza vertical de larecta AV.

Figura 188. Si nos dieran un punto Aexterior al cono, trazaríamos larecta R definida por el vértice V yel punto A, determinaríamos latraza horizontal H de R y por htrazaríamos las dos tangentes a ladirectriz que serán las dos posiblestrazas de los planos tangentes P1 yP2 a lo largo de las generatrices V2y V1 respectivamente (si la

directriz del cono está en PH, en el caso en que estuviese en PV, determinaríamosla traza vertical). Una vez determinada las dos trazas de los planos situaríamos elpunto A o el V en estos planos y calcularíamos las trazas verticales P1' y P2' de losmismos o bien calculando la traza vertical G de la recta R, por este punto pasaránlas dos trazas de los planos buscados.

Si nos pidiesen trazar los planos tangentes al cono y que sean paralelos a unadirección dada E, trazaríamos una recta R paralela a la dirección E por el vértice Vdel cono y los planos buscados deberán de contener a esta recta R con lo cual hemosreducido el problema al caso que acabamos de exponer.


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Figura 188

Intersección de recta y cono.

Una recta R y un cono pueden adoptar tres posiciones en el espacio que son, figura189:

a). Que tenga dos puntos en común con el cono, punto de entrada y punto desalida.b). Que sea tangente al cono en un punto.c). Que sea exterior al cono, es decir, no lo toca.

Para resolver este problema podemos emplear el primer método empleado en laintersección de recta y pirámide o prisma (ver páginas 121 y siguientes, figura 156,157 y 158). Pero al resolver la intersección entre el plano de canto y el conoobtendremos una cónica, la cual hay que trazarla a mano alzada y esto es bastante


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Figura 189

Figura 190

impreciso, por tanto, vamos aemplear el segundo método (verpágina 124, figura 160), queconsiste en trazar un plano P quecontenga a la recta R y pase por elvértice del cono. Este plano cortaráal cono según dos rectas que pasanpor el vértice del mismo, dondeestas rectas se corten con la dadatendremos los puntos de entrada ysalida en el cono. Veamos laresolución, figura 190.La traza horizontal del plano Pdeterminado por el vértice V delcono y la recta R pasará por latraza horizontal h1 de la recta R.

Elegimos un punto auxiliar X de la recta R y trazamos la recta VX que tambiénpertenecerá al plano P, por tanto, P pasará por su traza horizontal h2. Una vezcalculado h1 y h2 uniéndolos tendremos la traza horizontal del plano P y vemos quecorta a la directriz en los puntos 1y 2, la intersección de la recta r ylas generatrices v1 y v2 nos daránlos puntos de entrada y salida a yb en el cono respectivamente.Conocidos a y b determinamos a’ yb’ y procedemos al estudio de lavisibi l idad. En la figuraobservamos que los puntos A y Bson vistos por apoyarse susgeneratrices sobre los puntos 1 y2 (zona vista en PH y zona vista enPV), por tanto, solo será oculto laszonas a’b’ y ab por estar en elinterior del cono.

Si el cono tuviera el vértice masalto que la directriz y no existe tapadera, el trozo de recta que se ve a través de

superficies regladas desarrollables.jcizquierdo.netai.net/pdf/apuntes/apuntes14.pdf · para el...

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