superficies cuadráticas

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4. DISCUCIN DE LAS PRINCIPALES SUPERFICIES CUADRTICAS

Una superficie muy comn es la dada por una ecuacin de la forma

0222 =++++++ GzFyExDzCyBxA

que denominamos superficie cudratica o simplemente cudrica. Veremos la

discusin de las cudricas de aquellas cuyo centro est en el origen de

coordenadas y cuyos ejes siguen la direccin de los ejes coordenados. Las

seis cudricas fundamentales son:

i) Elipsoide

ii) Hiperboloide de una hoja

iii) Hiperboloide de dos hojas

iv) Paraboloide Elptico

v) Paraboloide Hiperblico

vi) Cono

La manera ms sencilla de representar el grfico de una cudrica es

hallar sus intersecciones con los ejes y determinar las secciones producidas

por cada uno de los planos coordenados o planos paralelos a los coordenados

1) ELIPSOIDE.- Es el lugar de todos los puntos p(x,y,z) de 3R que

satisfacen a la ecuacin de la forma: 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + = ,

0a , 0b , 0c , a b , a c b c .

Graficando el elipsoide se tiene:

a) Intersecciones con los ejes coordenados - Con el eje X, se hace 0,y z x a= = = , ( ) ( )1 2,0,0 , ,0,0A a A a-

- Con el eje Y, se hace 0,x z y b= = = , ( ) ( )1 20, ,0 , 0, ,0B b B b-

- Con el eje X, se hace 0,x y z c= = = , ( ) ( )1 20,0, , 0,0,C c C c- b) Las Trazas sobre los planos coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0 2 2

2 21

x y

a b+ = , es una elipse en el plano XY

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2 2

2 21

x z

a c+ = , es una elipse en el plano XZ

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2 2

2 21

y z

b c+ = , es una elipse en el plano YZ

c) Simetras con respecto al origen, ejes y planos coordenados.

Sea 2 2 2

2 2 2: 1x y z

Ea b c+ + = , entonces

- Con respecto al origen ;$ s ( ) ( ), , , ,a b c x y zE - - - E

- Con respecto al eje X ;$ s ( ) ( ), , , ,a b c x y zE - - E

- Con respecto al eje Y ;$ s ( ) ( ), , , ,a b c x y zE - - E

- Con respecto al eje Z ;$ s ( ) ( ), , , ,a b c x y zE - - E

- Con respecto al plano XY ;$ s ( ) ( ), , , ,a b c x y zE - E

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- Con respecto al plano XZ ;$ s ( ) ( ), , , ,a b c x y zE - E

- Con respecto al plano YZ ;$ s ( ) ( ), , , ,a b c x y zE - E d) Las secciones paralelas a los planos coordenados.

Los planos z = k, corta la superficie en la curva

2 2 2

2 2 21

x y k

a b c+ = - , que es una familia

de elipses donde c k c- .

e) Extensin de la superficie de 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + = se tiene

2 2

2 2| | 1

x yz c

a b= - -

de donde 2 2

2 21

x y

a b+

2) Esfera.- La superficie es el lugar geomtrico de todos los puntos p(x,y,z) en el espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia

constante se llama radio y el punto fijo centro.

Si la ecuacin del elipsoide 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + = se tiene a = b = c 0, el

elipsoide se transforma en 2 2 2 2x y z R+ + = , que es la ecuacin de la esfera

de radio R y centro en el origen de las coordenadas.

Graficando la esfera se tiene:

a) Intersecciones con los ejes coordenados.

- Con el eje X, se hace, 0y z= = , x R= , ( )1 ,0,0A R , ( )2 ,0,0A R-

- Con el eje Y, se hace, 0x z= = , y R= , ( )1 0, ,0B R , ( )2 0, ,0B R-

- Con el eje Z, se hace, 0x y= = , z R= , ( )1 0,0,C R , ( )2 0,0,C R- b) Las trazas sobre los planos coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0. 2 2 2x y R+ = , es una circunferencia del plano XY

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2 2 2x z R+ = , es una circunferencia en el plano XZ

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2 2 2y z R+ = , es una circunferencia en el plano YZ

c) Simtricas respecto al origen, ejes y planos coordenados.

La ecuacin de la esfera 2 2 2 2x y z R+ + = es simtrica respecto al origen, a los ejes

y planos coordenados.

d) Las secciones paralelas a los planos coordenados.

49

Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es decir,

Z = K se tiene 2 2 2 2x y R k+ = - , R k R- , que es una familia de

circunferencia.

TEOREMA.- La ecuacin de la superficie esfrica con centro en el punto

c(h,k,l) y de radio la constante R > 0 es: ( ) ( ) ( )2 2 2 2x h y k z l R- + - + - =

Demostracin Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera,

luego por definicin de esfera se tiene:

( ){ }3, , / ( , )E P x y z R d p c R= =

( )2 2 2( ) ( )x h y k z l R- + - + - = de donde:

( ) ( ) ( )2 2 2 2x h y k z l R- + - + - =

OBSERVACIN.- La ecuacin ( ) ( ) ( )2 2 2 2x h y k z l R- + - + - = se

conoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuacin

de la esfera, si desarrollamos la ecuacin de la esfera se tiene: 2 2 2 2 2 2 22 2 2 0x y z hx ky lz h k l R+ + - - - + + + - = , de donde se tiene:

3)

PARABOLOIDE ELPTICO.- Es el lugar geomtrico de todos los puntos p(x,y,z) de R

3 que satisfacen la

ecuacin de la forma 2 2

2 2

x yz

a b+ = , de donde 0, 0,a b a b

Graficando el paraboloide elptico tenemos:

a) Intersecciones con los ejes coordenados.

- Con el eje X, se hace, 0y z= = , 0x = , (0,0,0)A

- Con el eje Y, se hace, 0x z= = , 0y = , (0,0,0)B

- Con el eje Z, se hace, 0x y= = , 0z = , (0,0,0)C

b) Las trazas sobre los planos coordenados - La traza sobre el plano XY, se hace z = 0

2 2

2 20

x y

a b+ = que representa un punto

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 2

2

xz

a= que representa a una parbola en el plano XZ

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 2

2

yz

b= que representa a una parbola en el plano YZ

c) Simetras respecto al origen, ejes y planos coordenados.

- Con respecto al origen $ puesto que ( ), ,x y z Pe- - -

2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =

50

- Con respecto al eje X, $ puesto que ( ), ,x y z P- -

- Con respecto al eje Y, $ puesto que ( ), ,x y z Pe- -

- Con respecto al eje Z, $ puesto que ( ), ,x y z Pe- -

- Con respecto al plano XY, $ puesto que ( ), ,x y z P-

- Con respecto al plano XZ, $ puesto que ( ), ,x y z Pe-

- Con respecto al plano YZ, $ puesto que ( ), ,x y z Pe- d) Secciones paralelas a los planos coordenados.

Las secciones paralelas tomaremos con respecto al plano XY para esto se tiene z = k

que corta en la superficie en la curva

2 2

2 2

x yk

a b+ = que es de la familia de elipses

e) Extensiones de la superficie: 2 2

2 2

x yz

a b= + es definido 2( , )x y R"

OTRAS VARIANTES

4) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA.- Es el lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y,z) de R

3 que

satisfacen a la ecuacin 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ - = , donde 0a , 0b , 0c .

Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene.

a) Intersecciones con los ejes coordenados - Con el eje X, se hace 0y z= = , x a= , ( )1 ,0,0A a ( )2 ,0,0A a

- Con el eje Y, se hace 0x z= = , y b= , ( ) ( )1 20, ,0 , 0, ,0B b B b-

- Con el eje Z, se hace 0x y= = , 2 2z c= - , $

51

b) Las trazas sobre los ejes coordenados.

- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; donde

2 2

2 21

x y

a b+ = , es elipse

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; donde

2 2

2 21

x z

a c- = , es hiprbola

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde

2 2

2 21

y z

b c- = , es hiprbola

c) Simetras - Con respecto al origen es simtrica.

- Con respecto a los ejes coordenados es simtrica

- Con respecto a los planos coordenados es simtrica

d) Secciones paralelas a los planos coordenados Los planos z = k corta a la superficie en la curva

2 2 2

2 2 21

x y k

a b c+ = + , que es una familia

de elipses y los planos y = k corta a

la superficie en la curva 2 2 2 2 2

2 2 2 21

x z k b k

a c c b

-- = + = ,

b k b- < < , que es una familia de hiprbola.

OTRAS VARIANTES

5) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS.- Es el lugar geomtrico de todos los puntos P

(x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuacin:

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c- - = , donde a 0, b

0, c 0.

Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene: a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0y z= = , x a= , ( )1 ,0,0A a ( )2 ,0,0A a-

- Con el eje Y, se hace 0x z= = , 2 ,y b= - $

- Con el eje Z, se hace 0x y= = , 2 ,z c= - $

52


- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; donde

2 2

2 21

x y

a b- = , es hiprbola

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; donde

2 2

2 21

x z

a c- = , es hiprbola

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde

2 2

2 21,

y z

b c- - = $

c) Simetras - Con respecto al origen existe simetra.

- Con respecto a los ejes coordenados, existe simetra

- Con respecto a los planos coordenados es simtrica

d) Secciones paralelas a los planos coordenados

Los planos z = k, corta a la superficie, dando la curva

2 2 2

2 2 21

x y k

a b c- = + que es una

familia de hiprbolas.

Los planos y = k, corta a la superficie, dando la curva

2 2 2

2 2 21

x z k

a c c- = + que es una

familia de hiprbolas.

Los planos x = k, corta la superficie dando la curva

2 2 2 2

2 2 2

y z k a

b c a

-+ = donde K > a

k < -a, que es una familia de elipses.

53

OTRAS VARIANTES

6) HIPERBOLOIDE PARABOLICO.- Es el lugar geomtrico de todos los

puntos P (x,y,z) de R3 que satisfacen la ecuacin:

2 2

2 2

y x z

b a c- = , donde a y b

son positivos y c 0.

Graficando el hiperboloide parablico para el caso c > 0. a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0y z= = , ( )0 0,0,0x A=

- Con el eje Y, se hace 0x z= = , 0, B(0,0,0)y =

- Con el eje Z, se hace 0x y= = , 0, C(0,0,0)z =


- La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; , b b

y x y xa a

= = - , rectas.

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0;

22

2

cz x

a= - , parbola.

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0;

22

2

cz y

b= - , parbola.

c) Simetras

- Con respecto al origen $

- Con respecto a los ejes coordenados, con el eje Z $ en los dems eje $

- Con respecto a los planos coordenados $ , ,xy xz yzP P P$ $


- Al plano XY, se hace z = k;

2 2

2 2

y x k

b a c- = , familia de hiprbolas.

- Al plano XZ, se hace y = k;

2 2

2 2

x z k

a c b- = - , familia de parbola.

54

- Al plano YZ, se hace x = k;

2 2

2 2

y z k

b c a= + , familia de parbola.

OTRAS VARIANTES

7) EL CONO ELPTICO O CIRCULAR.- Es el lugar geomtrico de todos los puntos P (x,y,z) de R

3 que satisfacen

la ecuacin: 2 2 2

2 2 2

x y z

a b c+ = , a 0, b 0, c 0.

Graficando el cono elptico. a) Intersecciones con los ejes coordenados

- Con el eje X, se hace 0y z= = , ( )0 0,0,0x A=

- Con el eje Y, se hace 0x z= = , 0, B(0,0,0)y =

- Con el eje Z, se hace 0x y= = , 0, C(0,0,0)z =

b) Las trazas sobre los ejes coordenados. - La traza sobre el plano XY, se hace z = 0; x = y = 0 p(0,0,0).

- La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; a

x zc

= dos rectas.

- La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; b

y zc

= dos rectas.

55

c) Simetras - Con respecto al origen existe.

- Con respecto a los ejes coordenados, existe

- Con respecto a los planos coordenados existe


- Al plano XY, se hace z = k;

2 2 2

2 2 2

x y k

a b c+ = , familia de elipses.

- Al plano XZ, se hace y = k;

2 2 2

2 2 2

z x k

c a b- = , familia de hiprbolas.

Al plano YZ, se hace x = k;

2 2 2

2 2 2

z y k

c b a- = , familia de hiprbolas.

OTRAS VARIANTES

5. SUPERFICIES CILNDRICAS Llamaremos superficies cilndrica a la superficie que es generada por una recta que

se mueve a lo largo de una curva plana dad, de tal manera que siempre se mantenga

paralela a una recta fija dad que no est en el plano de dicha curva.

La recta mvil se llama generatriz y la curva plana se llama directriz de la superficie

cilndrica.

Si la generatriz de una superficie cilndrica es perpendicular al plano de la directriz;

la superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo.

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