Unidad 1 Integral de�nida 1.2 Sumas superiores e inferiores (o sumas de Riemann).

Sumas Superiores e inferiores (Parte 4)

De�nición 1. Sumas de Riemann Sea f : [a, b]→ R, f acotada en [a, b] sean P ∗ = {x0, x1, · · · , xn} yE = {x∗1 | x∗i ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n}. De�nimos las sumas de Riemann de f en [a, b] como:

R(f, P ∗) =

n∑i=1

f(x∗i )(xi − xi−1)

Tenemos que para cada [xi−1, xi] se tiene

mi ≤ m∗i ≤Mi ⇒ mi∆i ≤ m∗i ∆i ≤Mi∆i ⇒n∑

i=1

mi∆i ≤n∑

i=1

m∗i ∆i ≤n∑

i=1

Mi∆i

⇒ S(f, P ∗) ≤ R(f, P ∗) ≤ S(f, P ∗)

Conjetura: Si f es integrable entonces

lımn→∞

S(f, P ∗) ≤ lımn→∞

R(f, P ∗) ≤ lımn→∞

S(f, P ∗) ⇒∫ b

a

f ≤ lımn→∞

R(f, P ∗) ≤∫ b

a

f ⇒ lımn→∞

R(f, P ∗) =

∫ b

a

f

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Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1

Unidad 1 Integral de�nida 1.2 Sumas superiores e inferiores (o sumas de Riemann).

Ejemplo Sea f : [a, b]→ R dada asi: f(x) = ex ∀ x ∈ [a, b]. Usando sumas de Riemann calcular∫ b

a

ex dx

Solución En este caso f es una función acotada y si

P = {x0, x1, · · · , xn} =

{a, a +

b− a

n, a + 2

b− a

n, a + 3

b− a

n, · · · , a + n

b− a

n= b

}

es una partición sobre [a, b] entonces escogemos x∗i = xi = a + ib− a

npor lo tanto

R(f, P ∗) =

n∑i=1

f(x∗i )∆i =

n∑i=1

exi

(b− a

n

)=

n∑i=1

ea+i b−an

(b− a

n

)por lo tanto

R(f, P ∗) =

n∑i=1

ea+(i) b−an

(b− a

n

)= ea

(b− a

n

) n∑i=1

e(i) b−an

= ea(b− a

n

) n∑i=1

(e

b−an

)(i)

=︸︷︷︸1+r+r2+r3+···+rn= 1−rn+1

1−r

ea(b− a

n

) 1−(e

b−an

)n+1

1− eb−an

− 1

= ea(b− a

n

) 1−(e

b−an

)n+1

−(

1−(e

b−an

))1− e

b−an

= ea(b− a

n

) eb−an −

(e

b−an

)n+1

1− eb−an

= ea(b− a

n

)e

b−an

1−(e

b−an

)n1− e

b−an

= ea

(b− a

n

)e

b−an

(1− eb−a

1− eb−an

)Sacamos limite

lımn→∞

ea(b− a

n

)e

b−an

1− eb−a

1− eb−an

= ea(1− eb−a

)lımn→∞

eb−an lım

n→∞

b−an

1− eb−an

=︸︷︷︸Lhopital

ea(1− eb−a

)lımn→∞

− b−an2

−e b−an

(− 1

n2

)= −ea(1− eb−a) = eb − ea

por lo tanto

lımn→∞

R(f, P ∗) = lımn→∞

n∑i=1

ea+(i) b−an

(b− a

n

)= eb − ea

por lo tanto f es integrable sobre [a, b] y

∫ b

a

f = eb − ea

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Ejemplo Calcular usando sumas de Riemann∫ 4

1

(x2 − 4x + 5

)dx

Solución en este caso a = 1, b = 4

P =

{1, 1 +

3

n, 1 + 2

3

n, 1 + 3

3

n, · · · , 1 + i

3

n, ..., 1 + n

3

n= 4

}es una partición y

4xi=

4− 1

n, x∗i = xi = 1 +

3i

n

tenemos entonces que:

R(f, P ) =

n∑i=1

f(xi)∆i =

n∑i=1

[(1 + i

3

n

)2

− 4

(1 + i

3

n

)+ 5

](3

n

)

=

(3

n

) n∑i=1

(1 +

6i

n+

9i2

n2− 4− 12i

n+ 5

)=

(3

n

) n∑i=1

(2− 6i

n+

9i2

n2

)

=

(3

n

)( n∑i=1

2− 6

n

n∑i=1

i +9

n2

n∑i=1

i2

)

=

(3

n

)(2n +

(6

n

)n(n + 1)

2+

(9

n2

)n(n + 1)(2n + 1)

6

)= 6− 9

(1 +

1

n

)+

(9

2

)(1 +

1

n

)(2 +

1

n

)= 6

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