sucesiones y progresiones

PROGRAMA DE SEMILLEROS Y REFUERZOS ACADÉMICOS

Convenio Municipio de Medellín-Universidad de Antioquia

Contrato Nº 4600048822 de 2013.

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

AREA: MATEMÁTICAS GRADO: 9º y 10º FECHA: 14-09-13 SESIÓN # : 5

NOMBRE DEL(A) DOCENTE:

NOMBRE DEL(A) ESTUDIANTE:

TEMA: Sucesiones y Progresiones

INSTITUCIÓN SEDE: TIPO DE PROGRAMA ACADÉMICO:

SEMILLERO___X___ REFUERZO_____

ELABORADO POR: Tatiana Pérez Arenas, Nancy Henao Loaiza. Docentes de Cátedra Universidad de Antioquia.

PROPÓSITO: Comprender los conceptos de sucesión, progresión aritmética y progresión geométrica. COMPETENCIAS: Razonamiento, Resolución de problemas y Comunicación. COMPONENTES: Numérico-Variacional, Geométrico-Métrico.

SUCESIONES Y PROGRESIONES

RESEÑA HISTÓRICA

Leonardo de Pisa, (c. 1170 - 1250 aprox.), también llamado Fibonacci. Realizó un importante trabajo en la introducción del sistema de numeración posicional que actualmente utilizamos. Es reconocido por la famosa sucesión que lleva su nombre, la cual surgió como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos. Su formación matemática estuvo a cargo de maestros musulmanes y aprendió así el manejo del sistema de numeración indo arábiga. Convencido de la importancia los números árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar

con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo. En 1202, publica el Libro del ábaco. En sus páginas describe el cero, el sistema posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad, y muestra las ventajas del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. Su talento como matemático se extendió por la Corte, siendo invitado por el Emperador Federico II a participar en un torneo organizado por el emperador. Leonardo resolvió con éxito todos los problemas que le fueron propuestos por Juan de Palermo, filósofo de la corte.

CONCEPTUALIZACIÓN. En nuestra cotidianidad nos encontramos con diversas situaciones que están estrechamente relacionadas con la matemática. Nos gusta ordenar las cosas que tenemos amontonadas para manejarlas mejor; por ejemplo, los días de la semana los ordenamos uno a uno y asi mismo semana tras semana hasta ordenar todos los días del año. También nos gusta contar, por ejemplo el dinero, y sin darnos cuenta estamos utilizando un importante concepto de matemáticas, sucesión.

http://es.wikipedia.org/wiki/1170

http://es.wikipedia.org/wiki/1250



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SUCESIÒN.

Una sucesión numérica es un conjunto de números ordenados, cada uno de ellos lo llamamos termino o elemento de la sucesión.

Para nombrar las sucesiones se utiliza la siguiente notación: ,...,...,, 321 naaaa

, en donde los ia se llaman

términos de la sucesión y na término general o n- ésimo de la misma.

Así en la sucesión ,...19,15,11,7,3,1

5415 11 7 3 1 54321 naaaaaa n

Ya que 5455415

54411 5-34 7 5243 5141

5

4321

naa

aaaa

n

Ejemplo:

Hallar los cinco primeros términos de la sucesión infinita evaluando el término general para 1n dado que

42 2nan .

4645045.2 284-321-4.2

144-184-3.2 44-84-2.2 -24-1.2

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

aa

aaa

Entonces la sucesión se denota así ,...46,28,14,4,2

En las sucesiones numéricas es importante comparar sus términos, analizar su crecimiento, encontrar si existen relaciones entre ellos, para intentar hacer predicciones sobre sus nuevos términos y encontrar expresiones que permitan hallar el término según su posición. Al observar secuencias ordenadas de números, figuras u objetos geométricos, es divertido averiguar el criterio por el cual han sido formadas y así poder predecir cuales elementos siguen. Actividad: Para las siguientes secuencias de números:

Escribe los siguientes tres números.’ Como crees que se construye cada uno de los números que conforman la secuencia?

Puedes decir que numero está en la posición cien de estas sucesiones.



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Actividad

Hallar los cinco primeros términos de cada sucesión infinita evaluando el término general para 1n

3

1)3

1

2)2

4

1)1

na

n

na

na

n

nn

Hallar el término n-ésimo de las siguientes sucesiones

,....9,7,5,3)3,...2,2,2,2)2....15,10,5)1

Actividad: Observa las siguientes figuras:

Cuantos puntos tiene cada cuadrado? Puedes dibujar el siguiente cuadrado, y decir cuántos puntos tiene? Puedes decir cuántos puntos tendrá el siguiente del que has hecho, sin hacer la grafica? Podrías darle un nombre a la secuencia de números, formada por la cantidad de puntos de los

cuadrados.? Con las siguientes figuras, contesta las mismas preguntas del ítem anterior.

Sucesión de Fibonacci. Tenemos una pareja de conejos, si, en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes, ¿Cuantas parejas tendremos en 12 meses, admitiendo que no se muriera ninguno de los conejos?



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PROGRESIONES Las progresiones son sucesiones que tienen una regla se formación para su n-esimo término. Un tipo de sucesiones muy utilizadas en la vida cotidiana son las llamadas progresiones aritméticas. Por ejemplo, cuando tomamos una carrera de taxi, después del costo fijo inicial (banderazo), la tarifa se incrementa dependiendo de la distancia recorrida.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Se denomina progresión aritmética a una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos

consecutivos es siempre constante. Por lo tanto, cada término se obtiene sumando una misma cantidad (la

diferencia) al término anterior.

La sucesión 2, 6, 10, 14, 18,.... es aritmética porque la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre 4.

A la cantidad fija se la llama diferencia nn aad 1 . Así en la sucesión anterior 4d .

Si en una progresión aritmética se conoce el primer término y la diferencia, es posible encontrar el término

general y la suma de los n primeros términos.

dnaa

dadaa

daaa

daa

aa

n )1(

3

21

1

134

123

12

11



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Ejemplos:

1. Si el primer término de una progresión aritmética es 5 y la diferencia es 3, entonces el término general es

233)1(5)1(1 nandnaa nn .

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es

2

1 nn

aanS

2. Los primeros tres términos de una sucesión aritmética son 4,7 y 10. Encontrar, el término general y la

suma de los 10 primeros términos.

10 7 4 321 aaa Entonces 347d , luego 133)1(4 nnan .

Para hallar la suma de los 10 primeros términos se utiliza 2

10 101

10

aaS

Se debe establecer antes cual es 10a .

313949110 daa luego 1752

350

2

3141010S .

Ejemplo:

¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para llegar a formar la figura 23 en esta sucesión?

Para saber cuántos fósforos necesitamos para formar la figura 23 podríamos recurrir al siguiente cuadro:

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 100 . . . n

Fósforos usados 3 5 7

Y completarlo, sumando 2 fósforos cada vez, hasta llegar al espacio Figura 23.

Pero no es necesario completar el cuadro para saber cuántos fósforos necesitamos para armar la figura 23. Para ello debemos determinar la fórmula general que nos dará la respuesta de inmediato.

Analicemos:

Para armar la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 • 1 + 1



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Como vemos, el término general es 2 n+1 donde el 2 indica el número de fósforos que debe agregarse cada vez que se avanza en la construcción de las figuras y la n indica el número de la figura, todo eso más 1; por lo tanto, la fórmula o patrón está dada por 2n+1

Conocida esta fórmula 2n+1 reemplazamos simplemente la n por el 23 y sabemos de inmediato que

(2 • 23) +1 nos da 46 + 1 = 47

Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 47 fósforos.

Actividad.

Determina la fórmula que genera la serie numérica de la cantidad de fósforos utilizados para construir la figura formada por un número dado de cuadrados, como se muestra en las figuras.

Con palillos, palitos de madera o pitillos de gaseosa o bombones (reciclados en el descanso), formar otras series con figuras geométricas diferentes, por ejemplo triángulos u otros cuadriláteros. ¿qué pasa con los triángulos?. Con 3 palillos tenemos un triángulo de lado 1. Con 9 palillos tenemos __ triángulos de lado 1 y 1 triángulo de lado 2. Con 18 palillos tenemos…

Te puede resultar útil completar la siguiente tabla:

Lado Perímetro Palillos Tri1 Tri2 Tri3 Tri4 Tri5 Tri6 Tri7

1 3 3 1 - - - - - -

2 6 9 4 1 - - - - -

3 9 18 9 3 1 - - - -

4 12 30 16 6 3 1 - - -

5

- -

6

-

7

Tabla tomada de http://i-matematicas.com

¿Observas alguna regularidad?. ¿Qué similitudes y qué diferencias con la anterior?



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Sabemos que un triángulo equilátero tiene 3 lados iguales y que lo podemos formar con 3 palillos de dientes. Para formar dos triángulos equiláteros unidos en una línea ¿cuántos palillos necesitamos?: 5 o 6 palillos, salvo que preguntemos por el menor número posible. ¿Y para formar tres, cuatro, cinco…?

Te puede resultar útil completar la siguiente tabla:

Nº de Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Palillos 3 5 7

para poder responder a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos palillos necesitarías para formar 207 triángulos? 2. Con 2633 palillos, ¿ cuántos triángulos en fila pueden formarse?. 3. ¿Puedes escribir una ecuación que relacione p y T?. Te doy la solución: p = 2T+1

Puedes comprobar que para construir 11 triángulos necesitamos p = 2*11+1 = 23 palillos

Formar la figura con los palillos, luego mover tres palitos de las fronteras y formar tres triángulos.

Actividad: El alquiler de botes en un lago tiene un costo de cinco mil pesos la primera hora y después mil quinientos pesos por cada hora adicional. ¿Cuál es el valor del alquiler por 1, 2 3,…,x horas? Puedes ayudarte de la siguiente tabla.



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Número de horas Valor total

1 5000 5000

2

3

.

.

.

X

Actividad: El niño Gauss

Cierto día un maestro alemán buscaba obtener algo de descanso en su clase, propuso a sus alumnos de nueve años a que calcularan la suma de los números del uno al cien, pasado poco tiempo el niño Gauss dio la respuesta de 5050, la cual es cierta.¿ cómo crees que resolvió Gauss este ejercicio de manera rápida? Actividad Observa las siguientes figuras:

Cuantos cuadrados negros y blancos tiene cada figura? Cuantos cuadrados blancos y negros tendra la figura en la posicion 20? Cuantos cuadrados blancos y negros tendra la figura en la posicion n?

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Se denomina progresión geométrica a una sucesión de números en la que el cociente (o la razón) entre dos

términos consecutivos es siempre constante. Por lo tanto, cada término se obtiene multiplicando por una

misma cantidad (la razón) al término anterior.

Ejemplo:

La sucesión es geométrica porque el cociente entre dos términos consecutivos es siempre

½.

A la cantidad fija se la llama razón nn aar /1 . Así en la sucesión anterior 2r .

Si en una progresión geométrica se conoce el primer término y la razón, es posible encontrar el término

general y la suma de los n primeros términos.



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1

1

3

134

2

123

12

11

n

n raa

raraa

raraa

raa

aa

Ejemplo:

1. Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y la razón es 2, entonces el término general es

123

n

na

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es

1;1

11 rcon

r

raS

n

n

Ejemplo

Los primeros tres términos de una sucesión geométrica son 3,3/5 y 3/25. Encontrar el término general y la

suma de los 10 primeros términos.

25/3 5/3 3 321 aaa Entonces 5

1

3

5

3

r luego 1

1

5

3

5

13

n

n

na .

Para hallar la suma de los 10 primeros términos se utiliza

25.1

5

4

15

1

5

15

1

15

1

310

10

10S .

Actividad: Me guardas el secreto? Cristina le cuenta un secreto muuuy importante a sus dos mejores amigos, Maria y Pedro, a las siete de la mañana antes de iniciar clases en el colegio, con la advertencia de que no se lo cuenten a nadie. Cada uno de ellos, a los veinte minutos se lo han contado solamente a tres amigos; veinte minutos despues, cada uno se lo ha contado a otros tres amigos y asi sucesivamente. Al medio dia terminaron su jornada escolar,



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cuantas personas conocian el secreto a esta hora? Actividad: Un atleta quiere conocer una ciudad que tiene 25 km de largo, el primer dia recorre 2km, y cada dia siguiente recorre 2/3 de lo que recorre el dia anterior, teniendo en cuenta que siempre hace el recorrido en linea recta. ¿Cuántos kilometros recorre el dia 2, 3 y 4? ¿Cuántos dias se demora en conocer la ciudad?

REFERENCIAS: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/fibonacci.htm http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1228838815496_547447458_10643/Sucesiones.pdf http://www.colombiaaprende.edu.co/html/docentes/1596/propertyvalue-31648.html http://sucesionesbachillerato.blogspot.com/p/sucesion.html http://i-matematicas.com

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/fibonacci.htm

http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1228838815496_547447458_10643/Sucesiones.pdf

http://www.colombiaaprende.edu.co/html/docentes/1596/propertyvalue-31648.html

http://sucesionesbachillerato.blogspot.com/p/sucesion.html

http://i-matematicas.com/

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