1

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. LÍMITE DE SUCESIONES

1. INTRODUCCIÓN.-

•••• Relación - Relación es toda propiedad que comunica los elementos de dos conjuntos o bien comunica entre sí los elementos de un mismo conjunto. En general, una relación se representará por la letra R. Las relaciones que permiten comparar elementos dos a dos reciben el nombre de RELACIONES BINARIAS.

•••• Propiedades de las relaciones binarias.- Consideremos un conjunto A y definimos una relación R entre los elementos de dicho conjunto. Las propiedades más importantes que puede tener R son:

a. Propiedad reflexiva: aRa b. Propiedad simétrica. Si bRa aRb⇒ c. Propiedad antisimétrica: Si aRb y bRa ⇒ a = b d. Propiedad transitiva: Si aRc bRcy aRb ⇒ e. Propiedad conexa: aRb ó bRa

•••• Correspondencia entre dos conjuntos.-

Diremos que se ha establecido una correspondencia entre dos conjuntos A y B, cuando hemos fijado una relación entre los elementos de A y B. El conjunto A se llama conjunto inicial. Si a Є A elemento origen El conjunto B se llama conjunto final. Si b Є B, elemento imagen. El subconjunto de A formado por todos los elementos que tienen imagen en B se llama Conjunto original. El subconjunto de B formado por todas las imágenes se llama Conjunto imagen.

◘ APLICACIÓN.- Se denomina aplicación a toda correspondencia completa y unívoca establecida entre dos conjuntos.

Clases de aplicaciones: � Aplicación inyectiva: Elementos distintos de A tienen imágenes distintas � Aplicación suprayectiva o sobreyectiva: Todo elemento de B es, como mínimo, imagen de un

elemento de A. � Aplicación biyectiva: La que es inyectiva y suprayectiva.

2. DEFINICIONES DE SUCESIÓN INDEFINIDA.-

� Primera definición.- Se llama sucesión indefinida de números reales a una secuencia

ordenada de números, denominados términos de la sucesión, que se designan por: a1, a2, a3, …… an, ….. donde el subíndice indica el lugar ocupado por el término en la sucesión y que cumplen las siguientes condiciones: 1.- Hay un primer elemento. 2.- No hay último elemento. 3.- Se ha dado una regla que permite determinar un elemento cuando se da como dato el lugar que ocupa. Se llama término general de una sucesión a la expresión de su término n-ésimo en función de n

� Segunda definición.- Se llama sucesión de números reales a una aplicación del conjunto N* = N – {0} en el conjunto de los números reales

2

La imagen de un elemento n Є a N* la representaremos por una letra afectada del subíndice n, por ejemplo, an, que se llama término general de la sucesión. La sucesión de término general an se representa por:

a1, a2, a3, …… an, ….. o, más sencillamente, por (an); significa que a1, es la imagen de 1, a2 la imagen de 2, etc…

f: N* → R n → 2n Define la sucesión: { }... ,2n ...., ,23 ,22 ,2 =

na

3. SUCESIONES MONÓTONAS.-

•••• Se dice que la sucesión {an} de números reales es una sucesión creciente cuando para todo n ∈ N * se verifica que: an ≤ an+l

es decir, cada término de la sucesión es menor o igual que el término que le sigue. Por tanto, en una sucesión creciente se tiene:

{an} creciente ⇒ al ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 a6 ≤ ….. ≤ an

•••• La sucesión {an} es estrictamente creciente cuando para todo n ∈ N* se cumple la relación an < an+l, es decir:

{an} estrictamente creciente ⇒ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < … < an Ejemplos: a) La sucesión {an} = {2, 2,2, 2,23, 2,236, 2,2360,...}, que define al número real 5 , es una sucesión creciente, pero no es estrictamente creciente, ya que el término 2,2360 no es mayor que 2,236.

b) La sucesión {bn} = 44 -n = {-3, -1,

62 ,

51 0, ,

31 − , …}es estrictamente creciente, ya que cada

término es menor que el siguiente. c) La sucesión {cn} = {n} = {1, 2, 3, 4,5,..., n} es estrictamente creciente. Cualquier sucesión estrictamente creciente es creciente, pero el recíproco no es cierto.

•••• Se dice que la sucesión {an} es una sucesión decreciente cuando para todo n ∈ N* se verifica que: an ≥an+1

es decir, cada término de la sucesión es mayor o igual que el término que le sigue. Por tanto, en una sucesión decreciente, se tiene:

{an}es decreciente ⇒ a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ .., ≥ an

•••• La sucesión {an}es estrictamente decreciente cuando para todo n ∈ N* se cumple la relación: an > an+1, es decir:

{an} estrictamente decreciente ⇒ a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > ...> an Ejemplo:

La sucesión {an} =

=

n1 ..., ,

51 ,

41 ,

31 ,

21 1,

1n

es estrictamente decreciente.

•••• Se llaman sucesiones monótonas todas las anteriores y a las sucesiones constantes

3

Ejemplos: Estudia la monotonía de las sucesiones:

{ } { } n1

b ; 1 n

2n n

=

+=

na

4. SUCESIONES ACOTADAS.-

•••• Una sucesión {an} está acotada superiormente si existe un número real M, igual o mayor que todos

los elementos de la sucesión: {an} está acotada superiormente *N n ;a M / R M n ∈∀≥∈∃⇔

Análogamente: •••• Una sucesión {bn} está acotada inferiormente si existe un número real m, igual o menor que todos

los elementos de la sucesión: {bn} acotada interiormente *N n ;b m / R m n ∈∀≤∈∃⇔

•••• Una sucesión está acotada cuando lo está superior e interiormente. Ejemplos:

���� La sucesión (an) =

n1

está acotada, ya que todo término es menor que 2, es decir, n

1 < 2 para

todo n ∈ N*.

���� La sucesión (2n -1) de los números impares no está acotada superiormente, puesto que por grande que sea k 2n – 1 < k

���� En un diagrama cartesiano la sucesión está acotada superiormente cuando su gráfica está por debajo de la gráfica de la sucesión constante (k) = (k, k, k, ...).

Así en la figura aparece la gráfica de la sucesión

=+= ... ,55 ,

32 ,

23 0,

n(-1) 1 a

n

n que está acotada

superiormente.

� La sucesión (an) = (2n -1) está acotada inferiormente, ya que cualquier término es mayor que -1.

4

� La sucesión (bn) dada por bn= (-1)n· n no está acotada inferiormente, puesto que existen términos de la sucesión que son menores que cualquier número k dado (-l)".n = (-1, 2, -3, 4, -5,...)

•••• Extremo superior o SUPREMO es la menor de las cotas superiores.

� Si este extremo superior pertenece a la sucesión se llama MÁXIMO. Ejemplos: a. {an} = -1,-1/2, -1/3, -1/4,.......

Cotas superiores: 0 → +∞ Extremo superior: 0 Máximo: No posee

b. {bn} = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Cotas superiores: 1 → +∞ Supremo: 1 → Máximo

c. {cn}= {3n

n+

} = { ¼,2/5.3/6,4/7,...}

Cotas superiores: 1 → +∞ Cotas inferiores: 0 → -∞

d. {dn} = {2n}= {2,4,8,16,...} Cotas superiores: No posee Cotas inferiores: 2 → -∞¸ Ínfimo: 2; Mínimo: 2

•••• Extremo inferior o ÍNFIMO es la mayor de las cotas inferiores.

� Si este extremo pertenece a la sucesión, se denomina MÍNIMO.

Ejemplos: a. {an}= { 1, 1/2, 1/3, 1/4, .....}

Cotas inferiores: 0 → -∞ Ínfimo: 0; Mínimo: No posee.

b. {bn} = { 2n-1} Cotas inferiores: -1 → -∞; Ínfimo: -1; Mínimo: -1

c. {cn} = (-1)n.n Sucesión no acotada inferiormente

5. OPERACIONES CON SUCESIONES.- (Ver libro)

6. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.-

1. Límite finito.- Se dice que una sucesión indefinida de números reales, a1, a2, a3, ...., an, ..., tiene por

límite L o tiende a L, y se expresa así: L a lim n x=

∞+→, si a partir de un término suficientemente

avanzado de la misma, él y todos los que le siguen, se diferencia de l en un una cantidad menor que ε, siendo ε un número real positivo y tan pequeño como queramos.

⇔=

∞+→L a lim n x

│an - L│< ε

La sucesiones de límite finito se denominan Convergentes.

� Ejemplos:

1.- ¿Tiene límite finito la sucesión de término general 4n52n3

a n ++

= ?.

Si n = 1 → 5555'095

a1 == ; 5833'02414

a;5789'01911

a;5714'0148

a 432 ======

.....................................................................................................................................

5

;....;59999'050043002

a....,;59998'025041502

a.....;59992'0504302

a 1000500100 ======

..............................................................................................................................

;...59999'050000043000002

a....,;5999'05000430002

a 100000010000 ====

Esto hace pensar que 6'0lim =∞→ n

n

a

Veamos a partir de qué término: │an – l │ se hace tan pequeña como se quiera. Elijamos ε = 0’0001.

80n90'79n0001'04n5

4'0;....0001'0

4n54'0

;......0001'06'04n52n3

=⇒>⇒<+

<+

−<−

++

2.- 0 1 n

2 lim 2

=+∞→n

elegimos є = 0’001 y sale n> 44’71.

3.- Comprobar que : ;43

14n83n

n lim =

+−

∞→elegimos є =0’01 y sale n >582’6

2. Límites infinitos:

a) Una sucesión indefinida de números reales tiene por límite +∞ y se indica así: +∞=∞→

nalim

n, si

fijado un número real positivo K, tan grande como queramos y elegido un término suficientemente avanzado de la sucesión, se verifica que él y todos los que le siguen son mayores que K

+∞=∞→ nalim

n ↔ an > K

Ejemplo: +∞=∞→n2lim

n¸ 2n > K ; si K=1000 → 2n > 1000 → n > 500

b) Una sucesión indefinida de números reales tiene por límite -∞ y se indica así ∞−=∞→ n

n

alim , si fijado

un número real negativo K’, tan pequeño como queramos y elegido un término suficientemente avanzado de la sucesión, se verifica que él y todos los que le siguen son menores mayores que K’

∞−=∞→ n

n

alim ↔ an < K’

Las sucesiones con límite más o menos infinito, se denominan Divergentes.

c) Una sucesión que no es convergente ni divergente. se denomina oscilante.

d) Unicidad del límite: Si una sucesión tiene límite, éste es único.

6

EJERCICIOS

1. Calcula los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

a.- 23n

12nan +

−= b.-

128n

9nb

2

n +−

= c.- 13n

62nc

2

2

n −

+= d.-

107n

52n3nd

2

2

n +

+−=

e.- 23n

32n1)(e n

n −+

−= f.- ( )43n

5n1f

2

21n

n +

−−= +

2. Calcula los términos 12, 15, 18 y 20 de las siguientes sucesiones, expresadas por su término general:

{ } { } ( ) { } ( )

−−

⋅−=

−−

⋅−=

+−−

= −

2

4nn2

nn2n n3n

5n11c

4n

32n1b

65nn

35na ))) cba

3. Averigua la expresión del término general de las siguientes sucesiones:

a.-

...,

65,

54,

43,

32,

21

; b.-

...,

74,

63,

52,

41,0 ; c.- ;...,

1315,

912,

59,

16,

33

−

d.- ;...,2187128

,24332

,278

,32,

23

e.- ;...,

654

,54

3,

432

,32

1

⋅⋅⋅⋅ f.- ;...,

62610

,1267

,264

,61

g.- ;...,2624,

1715,

108

,53,0

h.- ;...,

3034,

2023,

1214,

67,

22

i.- ;...,

2317,

1414,

711,

28,

15

−

j.-

...,

2726,

1817,

1110,

65,

32

4. Deduce, razonadamente, si cada una de las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes:

a.- { }

+

=n

1na

2

n ; b.- { } ;2n

1nan

+−

= c.- { } ;4n1

53nan

−+

= d.- { } ;

+−

=8n

3nan

5. Halla el extremo superior, el extremo inferior, el máximo y el mínimo. Si lo tienen, de las sucesiones siguientes:

a.- ;...,51,

41,

31,

21

b.- ;...,

117

,95,

73,

51

c.- ;...,

8281,

5049,

2625,

109

d,- { };...,5,4,3,2,1

e.- ;...,81,

41,

21,1,2

f.- ;...,

109

,89,

69,

49,

29

h.- ;

+−23n

12n i.- ;

+

−

12n

9n2

2

6. Comprueba que la sucesión de término general 1n

52n2

2

+

+ tiene límite 2. ¿Desde qué término en adelante los

términos de la sucesión difieren de dos en menos de una centésima?.

7. Prueba que el límite de la sucesión de término general 8n

1n

++

es 1. ¿Desde qué término en adelante los

términos de la sucesión difieren de 1 en menos de una milésima?.

7

8. Calcula los siguientes límites:

3 n

n-4n

3n

31 n

4 2

n

5 n 2n

n

n5

3

n

2nn n

6

3 2

n

n

2n

n

4n - n8

2

2

n

2n

n

n n2

n

2n2

n

2

2

n - n

2

2 n 8 n - 1 2n

lim .10

8 n 21 - n

lim .9

3 n 7 n3

lim .8

nn - 3 n

lim .7

8 n

1 n nlim .6

n3 4n

lim .5

3 n2

1 n8 n 3lim .4

1 n2 n

3 n -4n lim .3

2 n 3 n

lim .2

3n8 3n

lim .1

+

∞→

+

∞→

+

∞→

∞→

+

∞→

∞→

∞→

∞→

+

∞→

∞→

+

++−

+−

++

−

+−

+

++−

+−

+

++−

++

+−

++

−

+−

n

4n6

2

2

n

n

24n3

2

n

n

8n3n

2n

n

n24

2

2

n

1n2nn

n

4n

22

n

23

n

n21nn2

lim.20

3nn12n

lim.19

3n215nn

lim.18

5n23n6

lim.17

1nn1

lim.16

n37n

n52nlim.15

4n39n3

lim.14

n21n

5n8lim.13

nn1

1n62n6

lim.12

35n2

:4n

2n3nlim.11

4n62

2

2

+

∞→

∞→

−

∞→

∞→

−

+

∞→

−

∞→

+

−+

∞→

∞→

∞→

∞→

−+−

+

−−+−

+−+

−

+−

−

−

+−

−−

−−−

+−

−

−−

+−

−+

++

−

++

−+−

−

7n

n43n41

1n

1n3n2

3

n

4n31n2

4

n

23nn

n

n

3n1n

4n5lim.25

5n6n1n

lim.24

n7n

·2n31n2

lim.23

n95n8

lim.22

n7n43n1n2

lim.21

−

−

−

∞→

−

+

∞→

+

−

∞→

++

∞→

∞→

+−−

−−

−−+

−

−

−

+−

+−

−−

+++−