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SUCESIONES

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SUCESIONES

Veronica Briceno V.

noviembre 2012

SUCESIONES

SUCESIONES

En esta Presentacion veremos:

Definicion de Sucesicion

Conceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesionesPropiedadesTeoremas Importantes.

SUCESIONES

SUCESIONES


Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,Convergencia

SubsucesionesPropiedadesTeoremas Importantes.

SUCESIONES

SUCESIONES


Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesiones

PropiedadesTeoremas Importantes.

SUCESIONES

SUCESIONES


Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesionesPropiedades

Teoremas Importantes.

SUCESIONES

SUCESIONES


Definicion de SucesicionConceptos de Acotada, Creciente /Decreciente,ConvergenciaSubsucesionesPropiedadesTeoremas Importantes.

SUCESIONES

Sucesion

Definicion

Una sucesion de numeros reales es una funcion:x : N → R

n → x(n) = xnque asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.

Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}

SUCESIONES

Sucesion

DefinicionUna sucesion de numeros reales es una funcion:

x : N → Rn → x(n) = xn

que asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.


SUCESIONES

Sucesion

DefinicionUna sucesion de numeros reales es una funcion:x : N → R

n → x(n) = xn

que asocia a cada numero natural n un numero real x(n) quedenotaremos por xn y que llamamos el n-esimo termino de lasucesion.


SUCESIONES

Sucesion




SUCESIONES

Sucesion



Importante:Cada termino lleva una doble informacion: su valor, xn y ellugar que n ocupa.Notacion:

(xn), (xn)n∈N, {xn}n∈N, {x1, x2, ..., xn, ...}

SUCESIONES

Sucesion




SUCESIONES

Ejemplos

x : N → Rn → x(n) = (−1)n

Distinguir de: {−1,1}

{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2

Se llama sucesion de Fibonacci.

Observacion:En estos ejemplos hemos mostrados las diferentes formas enque se puede definir una sucesion:

ExtensionComprensionInductiva

SUCESIONES

Ejemplos

x : N → Rn → x(n) = (−1)n

Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.

x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2




SUCESIONES

Ejemplos

x : N → Rn → x(n) = (−1)n

Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2




SUCESIONES

Ejemplos

x : N → Rn → x(n) = (−1)n

Distinguir de: {−1,1}{2,4,6,8, ...} y {2n}n∈N definen la misma sucesion.x1 = 1, x2 = 1, xn+1 = xn + xn−1,∀n ≥ 2Se llama sucesion de Fibonacci.


Extension

ComprensionInductiva

SUCESIONES

Ejemplos

x : N → Rn → x(n) = (−1)n



ExtensionComprension

Inductiva

SUCESIONES

Ejemplos

x : N → Rn → x(n) = (−1)n




SUCESIONES

Mas Ejemplos

Las progresiones geometricas corresponden a unasucesion del tipo:x : N → R

n → x(n) = arn−1

y las progresiones aritmeticas corresponden a unasucesion de la forma:x : N → R

n → x(n) = a + (n − 1)d

Escribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1

n}.Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1

n )n.

SUCESIONES

Mas Ejemplos


n → x(n) = arn−1


n → x(n) = a + (n − 1)dEscribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.

Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1n}.

Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1n )

n.

SUCESIONES

Mas Ejemplos


n → x(n) = arn−1


n → x(n) = a + (n − 1)dEscribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1

n}.

Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1n )

n.

SUCESIONES

Mas Ejemplos


n → x(n) = arn−1


n → x(n) = a + (n − 1)dEscribir el termino n-esimo de {1,0,1,0,1,0, ...}.Encontrar el decimo termino de la sucesion: {1

n}.Estudiemos la sucesion: xn = (1 + 1

n )n.

SUCESIONES

Algebra de Sucesion

Sea X = {xn} y Y = {yn} dos sucesiones, α ∈ R. Se define:

αX como la sucesion {αxn}

X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}

Si yn 6= 0, entonces X/Y como la sucesion{

xnyn

}Ejemplos:Si X = {1

n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .

SUCESIONES

Algebra de Sucesion


αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}

X · Y como la sucesion {xn · yn}


xnyn

}Ejemplos:Si X = {1


SUCESIONES

Algebra de Sucesion


αX como la sucesion {αxn}X + Y como la sucesion {xn + yn}X · Y como la sucesion {xn · yn}


xnyn

}Ejemplos:Si X = {1


SUCESIONES

Algebra de Sucesion




xnyn

}

Ejemplos:Si X = {1


SUCESIONES

Algebra de Sucesion




xnyn

}Ejemplos:

Si X = {1n} y Y = {2n} , obtener X · Y y X/Y .

SUCESIONES

Algebra de Sucesion




xnyn

}Ejemplos:Si X = {1


SUCESIONES

Sucesion acotada

Una sucesion X = {xn} se dice:

Acotada superiormente, si existe M ∈ R tal que xn ≤ Mpara todo n.

Acotada inferiormente, si existe m ∈ R tal que xn ≥ m paratodo n.Acotada, si es acotada superior e inferiormente, estoequivale a encontrar K > 0 tal que |xn| < K para todo n.

SUCESIONES

Sucesion acotada


Acotada superiormente, si existe M ∈ R tal que xn ≤ Mpara todo n.Acotada inferiormente, si existe m ∈ R tal que xn ≥ m paratodo n.

Acotada, si es acotada superior e inferiormente, estoequivale a encontrar K > 0 tal que |xn| < K para todo n.

SUCESIONES

Sucesion acotada


Acotada superiormente, si existe M ∈ R tal que xn ≤ Mpara todo n.Acotada inferiormente, si existe m ∈ R tal que xn ≥ m paratodo n.Acotada, si es acotada superior e inferiormente, estoequivale a encontrar K > 0 tal que |xn| < K para todo n.

SUCESIONES

Ejemplos

Estudiar si son acotadas o no, las siguientes sucesiones:

{1n}

{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n2 + 1)xn = an,a ∈ R

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}

xn = (1 + 1n )

n


SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n


SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n2 + 1)

xn = an,a ∈ R

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n


SUCESIONES

Sucesion Creciente o Decreciente


Creciente si para cada n se verifica: xn ≤ xn+1

Estrictamente creciente si para cada n se verifica:xn < xn+1

Decreciente si para cada n se verifica: xn ≥ xn+1

Estrictamente decreciente si para cada n se verifica:xn > xn+1

Monotona si cumple con alguna de las anteriores (enocasiones se habla de monotonıa estricta si esestrictamente creciente o estrictamente. decreciente)

SUCESIONES

Ejemplos

Estudiar si son crecientes o decrecientes las siguientessucesiones:

{1n}

{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}

xn = (1 + 1n )

n

xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n)

{1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n){1,2,3,4,5...}

{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n){1,2,3,4,5...}{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...}

SUCESIONES

Convergencia

Intuitiva

El concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.

FormalSea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε

Notacion:limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L

SUCESIONES

Convergencia

IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.

Se dice que la sucesion converge a este L.



SUCESIONES

Convergencia

IntuitivaEl concepto de convergencia indica que a partir de undeterminado n en adelante (a medida que n crece), los valoresque toma la sucesion estan muy cerca un numero L.Se dice que la sucesion converge a este L.

Formal

Sea L ∈ R.Una sucesion {xn} es CONVERGENTE, si∀ε > 0,∃N ∈ N,n ≥ N ⇒ |xn − L| < ε


SUCESIONES

Convergencia




SUCESIONES

Convergencia



Notacion:

limx→∞xn = L , o bien, {xn} −→ L

SUCESIONES

Convergencia




SUCESIONES

Observaciones

1 |xn − L| < ε ssi xn ∈]L− ε,L + ε[

Luego, la definicion de convergencia nos dice que a partirde N en adelante los valores de xn se encuentran en{xN , xN+1, xN+2, ...}.

2 limx→∞xn = L⇐⇒ imx→∞|xn − L| = 0

SUCESIONES

Observaciones

1 |xn − L| < ε ssi xn ∈]L− ε,L + ε[Luego, la definicion de convergencia nos dice que a partirde N en adelante los valores de xn se encuentran en{xN , xN+1, xN+2, ...}.

2 limx→∞xn = L⇐⇒ imx→∞|xn − L| = 0

SUCESIONES

Convergencia

Definicion

Una sucesion que posee lımite se dira convergente, en casocontrario se dice divergente.

TeoremaTeorema:Si el limite de una sucesion existe, es unico.

SUCESIONES

Convergencia

DefinicionUna sucesion que posee lımite se dira convergente, en casocontrario se dice divergente.


SUCESIONES

Convergencia


Teorema

Teorema:Si el limite de una sucesion existe, es unico.

SUCESIONES

Convergencia



SUCESIONES

Ejemplos

Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:

{1n}

{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n)xn = an,a ∈ Rxn = n

n+1

{22

5 ,32

10 ,42

17 ,52

26 , ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}

xn = (1 + 1n )

n


n+1

{22

5 ,32

10 ,42

17 ,52

26 , ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n


n+1

{22

5 ,32

10 ,42

17 ,52

26 , ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n)

xn = an,a ∈ Rxn = n

n+1

{22

5 ,32

10 ,42

17 ,52

26 , ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n

xn = sen(n)xn = an,a ∈ R

xn = nn+1

{22

5 ,32

10 ,42

17 ,52

26 , ...}

SUCESIONES

Ejemplos


{1n}{(−1)n}xn = (1 + 1

n )n


n+1

{22

5 ,32

10 ,42

17 ,52

26 , ...}

SUCESIONES

Algebra de Lımites:

Si {xn} → A y {yn} → B. Entonces:

{xn + yn} → A + B{xn · yn} → A · B{xn/yn} → A/B, si B 6= 0

SUCESIONES



{xn + yn} → A + B

{xn · yn} → A · B{xn/yn} → A/B, si B 6= 0

SUCESIONES



{xn + yn} → A + B{xn · yn} → A · B

{xn/yn} → A/B, si B 6= 0

SUCESIONES



{xn + yn} → A + B{xn · yn} → A · B{xn/yn} → A/B, si B 6= 0

SUCESIONES

Ejemplo

Calcular el lımite de la sucesion que tiene termino general:

xn = log(1n )

xn = 3n4+2n+12n4+1

SUCESIONES

Lımites Infinitos

Definicion

Sea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:

Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0,∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.

SUCESIONES

Lımites Infinitos

DefinicionSea (xn) una sucesion.

Se dice que {xn}:

Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0,∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.

SUCESIONES

Lımites Infinitos

DefinicionSea (xn) una sucesion.Se dice que {xn}:

Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .

En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞

Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0,∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.

SUCESIONES

Lımites Infinitos


Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0, ∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .

En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.

SUCESIONES

Lımites Infinitos


Tiende (o converge) a infinito cuando n tiende a infinito, sipara todo K > 0, ∃N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ xn > K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn =∞Tiende (o converge) a menos infinito, cuando n tiende ainfinito, si para todo K < 0, ∃N ∈ N tal quen ≥ N ⇒ xn < K .En tal caso, escribiremos limn→∞xn = −∞.

SUCESIONES

Ejemplos


{(−1)n2}

xn = n2

5n

Observacion

Si (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞

SUCESIONES

Ejemplos


{(−1)n2}xn = n2

5n

Observacion

Si (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞

SUCESIONES

Ejemplos


{(−1)n2}xn = n2

5n

ObservacionSi (xn) es una sucesion creciente y no es acotadasuperiormente entonces limx→∞xn =∞

SUCESIONES

Teorema:

Si {xn}, {yn} sucesiones. Entonces:

Si limx→∞xn =∞; {yn}, es una sucesion acotadainferiormente entonces

limx→∞(xn + yn) =∞

Si limx→∞xn =∞ ; y existe α > 0 tal que yn > α, ∀n ∈ Nentonces

limx→∞(xn · yn) =∞

Si limx→∞xn = 0; xn > 0∀n ∈ N, y existe α > 0 tal queyn > α, ∀n ∈ N entonces

limx→∞(xn

yn) =∞

SUCESIONES

Subsucesion

Definicion

Sea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.

EjemplosDada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?

SUCESIONES

Subsucesion

DefinicionSea {xn} una sucesion.

Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.


SUCESIONES

Subsucesion

DefinicionSea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....

Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.


SUCESIONES

Subsucesion

DefinicionSea {xn} una sucesion.Entonces una subsucesion {xnk} de {xn} es una nuevasucesion que se forma considerando algunos n digamosn1,n2,n3... que cumplen n1 < n2 < n3 < ....Una subsucesion de una sucesion corresponde a efectuar unacomposicion (por la derecha) de la sucesion original con unafuncion ϕ : N→ N que sea estrictamente creciente.


SUCESIONES

Subsucesion


Ejemplos

Dada a la sucesion {xn}, extraer una subsucesion de la forma{x1, x3, x5, ...}.Que forma tiene ϕ?Que otra subsucesion podrıamos obtener?

SUCESIONES

Subsucesion



SUCESIONES

Teoremas

Si (xn) es una sucesion convergente a L, entonces todasubsucesion (xnk ) converge y tambien a L.

(xn)→ L1; (yn)→ L2; xn < yn,∀n ∈ N Entonces, L1 < L2

Toda sucesion convergente es acotada.(Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee unasubsucesion convergente.

SUCESIONES

Teoremas

Si (xn) es una sucesion convergente a L, entonces todasubsucesion (xnk ) converge y tambien a L.(xn)→ L1; (yn)→ L2; xn < yn, ∀n ∈ N Entonces, L1 < L2


SUCESIONES

Teoremas


Toda sucesion convergente es acotada.

(Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee unasubsucesion convergente.

SUCESIONES

Teoremas



SUCESIONES

Teoremas

Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.

Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).

SUCESIONES

Teoremas

Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.

Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).

SUCESIONES

Teoremas

Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.

Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).

SUCESIONES

Teoremas

Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.

Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).

SUCESIONES

Teoremas

Toda sucesion creciente y acotada superiormenteconverge. De manera similar, toda sucesion decreciente yacotada inferiormente converge.Sandwich: Sean sucesiones (xn), (yn), (zn) . Supongamosque limn→∞xn = L = limn→∞yn y que se cumplexn ≤ zn ≤ yn para n ≥ N. Entonces (zn) converge ylimn→∞zn = L.Si limx→∞f (x) = L, y consideramos la sucesion xn = f (n),entonces limn→∞xn = L.Si (xn) es una sucesion que converge a cero y (yn) es unasucesion acotada entonces (xn · yn) converge a cero.Sea A ⊂ R un conjunto que es union de intervalosabiertos. Sea f : A→ R una funcion y a ∈ A. La funcion fes continua en a si y solo si para toda sucesion (an) conan ∈ A y n ∈ N. y an → a, se cumplef (an)→ f (a).

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