s&s_lab8_parte2_2013-1

Ing. Armando Alberto Cajahuaringa Camaco Pgina 1

FIEE UNI ANALISIS DE SEALES Y SISTEMAS

LABORATORIO N

Generacin de seales muestreadas

P1) a) Generar una seal muestrada a partir de una seal rectangular de frecuencia 250 Hz,

amplitud 2 y ciclo de trabajo de 50%; muestreada a la frecuencia de 8000Hz.

b) repita lo anterior para frecuencia de muestreo de 1000 Hz. Comente sus resultados.

P2) a) Generar unes seal escaln unitario discreto desde -2 hasta 10, que empiece en n=1

b) Genere una seal impulso unitario desde -2 hasta 10, que empiece en n=3.

P3) Muestre la grafica de las siguientes seales, todas juntas, para n variando entre -6 a 6.

a) y1[n]= cos((2pi/3)n) b) y2[n]= cos((8pi/3)n) c) y3[n]= cos((4pi/3)n)

Comente sus resultados

Mtodos de anlisis de sistemas discretos

1 METODO RECURSIVO

1.1 Manual o analtico

P1) Para la siguiente ecuacin en diferencias, 0.8[ 1] + [] = [], [] = 0.5[] y

[0] = 1, determinar la solucin en forma recursiva: a) la salida [] b) Salida para entrada

cero, [] c) salidas para estado cero, [].

Solucin

a) Para resolver recursivamente y de forma manual, despejamos y[n] de la ecuacin en

diferencias

[] = [] 0.8[ 1] = 0.5[] 0.8 [ 1]

Empezamos con el valor de la condicin inicial para la salida:

[0] = 1

[1] = 0.5[1] 0.8 [0] = 0.5 0.8 (1)= 1.3

[2] = 0.5[2] 0.8 [1] = 0.25 0.8 (1.3)= 0.7900

[3] = 0.5[3] 0.8 [2] = 0.125 0.8 (0.79)= 0.7570

[4] = 0.5[4] 0.8 [3] = 0.0625 0.8 (0.7570) = 0.5431

Graficamos en Matlab la secuencia

obtenida, para n entre 0 y 4:

n=0:4;

y=[-1 1.3 -0.7900 0.7570 -0.5431];

stem(n,y,'fill')

b) Para la salida de entrada cero,

[] = 0.

[0] = 1

[1] = 0.8 [0] = 0.8 (1)= 0.8

[2] = 0.8 [1] = 0.8 (0.8)= 0.8

7


[3] = 0.8 [2] = 0.8 (0.8) = 0.8

[4] = 0.8 [3] = 0.8 (0.8)= 0.8

c) Para la salida de estado cero, [0] = 0.

[0] = 0

[1] = 0.5[1] 0.8 [0] = 0.5 0.8 (0)= 0.5

[2] = 0.5[2] 0.8 [1] = 0.25 0.8 (0.5)= 0.15

[3] = 0.5[3] 0.8 [2] = 0.125 0.8 (0.15)= 0.245

[4] = 0.5[4] 0.8 [3] = 0.0625 0.8 (0.245)= 0.1335

Ntese como la suma de las secuencias de (b) y (c) da como resultado la secuencia de (a).

1.2 Solucin numrica usando MatLab

Ahora usaremos Matlab para determinar las secuencias de (a), (b) y (c). Antes, debemos de

tomar en cuenta que en Matlab los ndices de los elementos de un vector o matriz, son

mayores o iguales a 1. En la pregunta, el sistema empieza en n=0 (como podra empezar en

un n=-3). Para remontar este inconveniente, trabajemos con los ndices de los elementos de n

y no con los valores de n. Usaremos n de 0 a 10; por lo que los ndices de sus elementos

varan de 1 a 11. Para obtener los ndices de un vector (o matriz) usaremos la funcin find

a) Solucin completa b) Solucin de entrada cero c) Solucin de estado cero

n=0:10; k=find(0


0.8 + 1 = 0 = 0.8, 1[] = 1(0.8)[] = (0.8)[]; . .

2.1.2 Solucin de estado cero, y2[n] (C.I. cero o en reposo)

Debemos de determinar la solucin para [] 0.

0.82[ 1] + 2[] = [], 2[0] = 0

La solucin de entrada cero es la suma de la solucin homognea mas la solucin particular

2[] = 2[] + 2[], 2[0] = 0 2[] = (0.8); 2[] = (0.5)

Remplazando la solucin particular en la ecuacin en diferencias, se obtiene:

0.8 (0.5) + (0.5) = (0.5) =5

13 2[] =

5

13(0.5), 0

Finalmente, aplicaremos la C.I. a la solucin 2[]:

2[0] = 0 = (0.8) +5

13(0.5) =

5

13 2[] =

5

13(0.8) +

5

13(0.5)

Calculando algunos valores:

[0] = 0

2[1] =

[0.5 (0.8)] = 0.5

2[2] =

[0.5 (0.8)] = 0.15

2[3] =

[0.5 (0.8)] = 0.245

Se observa que los valores numricos, concuerdan con los resultados del mtodo recursivo.

2.2 Mtodo numrico usando Matlab

Para este mtodo, se requiere de la expresin de la funcin de transferencia del sistema

discreto. Para esto es necesario, primero, ordenar la ED en orden decreciente de sus

diferencias (a diferencia de las EDO en los que se ordena de mayor a menor orden), tanto para

la variable de salida como para la variable de entrada. As:

[] + 0.8[ 1] = []

3 Mtodo de solucin de ecuacin en diferencias (ED) usando las

funciones filtic y filter

P2) Para la siguiente ecuacin en diferencias, 0.8[ 1] + [] = [], [] = 0.5[] y

[0] = 1, determinar la solucin en forma recursiva: a) la salida [] b) Salida para entrada

cero, [] c) salidas para estado cero, [].

Un sistema se describe por medio de su ecuacin en diferencias

[] 1.143[ 1] + 0.4128[ 2] = 0.0675[] + 0.1349[ 1] + 0.0675[ 2]

Determinamos la salida en respuesta a entra-da cero y condiciones iniciales [1] = 1, [2] = 2

empleando los comandos:

>> a= [1, -1.143, 0.4128];

>> b= [0.0675, 0.1349, 0.0675];

>> x= zeros(1,50)

>> zi = filtic(b,a,[1,2]);

>> y =filter(b,a,x,zi);


>> stem(1:50,y);

El resultado se aprecia en la grfica adjunta:

Ahora haciendo la condiciones iniciales cero y la entrada x[n]=cos(0.1*pi*n), la grfica de

salida es:

>> a=[1,-1.143,0.4128];

>> b=[0.0675,0.1349,0.0675];

>> n=0:100;

>> x=cos(0.1*pi*n);

>> zi=filtic(b,a,[0]);

>> y=filter(b,a,x,zi);

>> stem(1:101,y);

Haciendo las condiciones iniciales cero y la entrada [] = (0.2 ), la grfica de salida

es:

>> a=[1,-1.143,0.4128];

>> b=[0.0675,0.1349,0.0675];

>> n=0:100;

>> x=cos(0.1*pi*n);


>> y=filter(b,a,x,zi);

>> stem(1:101,y);

Ahora se resolver el siguiente ejercicio, analticamente y usando Matlab.

P3) Resolver la ecuacin en diferencias:

[] 0.25[ 2] = 2[] + [ 1], sujeta a condiciones iniciales cero y [] = [] .

SOLUCION:

Primero, la solucin homognea.

Haciendo la entrada cero y suponiendo una solucin


. = , =

Segundo la solucin particular.

= [].

Evaluando la solucin (recuerde [] = [] ).

[] 0.25 [ 2] = 2 [] + [ 1], = 2.

0.25 = 2 + 1, = 4;

La forma de la solucin es:

[] = 1 + 2

+ ;

Evaluando en n=0 y n=1.

[0] = 1 + 2 + 4 = 2,

[1] = 1 1

2 + 2

1

2 + 4 = 3,

Evaluando en la ecuacin original, se llega al sistema:

1 + 2 = 2

1 2 = 2

El cual tiene por solucin: C1=-2 y C2=0.

Por lo tanto la solucin es:

[] = (2(0.5) + 4) []. (la cual se puede comprobar introduciendo varios valores de prueba).

Usando Matlab:

>> a=[1,0,-0.25];

>> b=[2,1];

>> u=[1,ones(1,50)];


>> y=filter(b,a,u,zi);

>> stem(0:50,y);

La cual genera la grfica:

La cual es igual a [] = (2(0.5) + 4) []. Y se puede comprobar graficndola en Matlab.

>> n=0:50;

>> y=(-2*((0.5).^n)+4);

>> stem(0:50,y);

Ejercicios

De acuerdo a lo estudiado resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias usando Matlab,

sino se especifican las condiciones iniciales asmalas cero.

() [] = 3[ 1] + 4 [ 2] + [] + 2 [ 1]

Para la entrada: i) Impulso unitario ii) Escaln Unitario

() [] = 1/2 [ 1] + 2 [], [1] = 3, [] = 2(1/2)[].

() [] = 1/4 [ 1] + 1/8 [ 2] + [] + [ 1], [] = 4[] (0.2 ).


Sugerencia: Para una entrada escaln unitario, puede auxiliarse de

>> delta=[1,zeros(1,50)];

Adicionales

Para complementar los ejercicios

Investigue sobre los comandos filter y filtic.

Muestre todos los programas de la solucin de las ecuaciones con sus respectivas grficas.

Implemente diagrama de bloques para las ecuaciones.

Que pasa si los valores de lambda son complejos?

1 METODO RECURSIVO1.1 Manual o analtico1.2 Solucin numrica usando MatLab

2 Mtodo de solucin de ecuacin en diferencias (ED)2.1 Mtodo manual o analtico 2.1.1 Solucin de entrada cero, y1[n]2.1.2 Solucin de estado cero, y2[n] (C.I. cero o en reposo)

2.2 Mtodo numrico usando Matlab

3 Mtodo de solucin de ecuacin en diferencias (ED) usando las funciones filtic y filter

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