Soluciones examen parcial de Clculo I (13 11 14). Ejercicio 1.- Dada la funcin f (x) = 3

321 x , se pide:

a) Obtener el polinomio de Taylor de grado 4 de f (x) en el origen. b) Aplicando el desarrollo anterior calcular 3 2.1 . c) Acotar el error cometido en el clculo anterior.

Solucin. a) Podemos desarrollar (1 + x) 1/3 y luego sustituir x por -2 x/3. o hacerlo directamente. y = (1 +x) 1/3 y (0) = 1 y = (1 2x/3) 1/3 y (0) = 1 y= 3/2)1(

31

+ x y (0) = 1/3 y= -2/9 (1 2x/3) -2/3 y(0) = -2/9.

y = 3/5)1(92

+

x y(0) = -2/9 y = 3/54 )3/21(38

x y(0) = -8/ 3 4.

y= 3/8)1(2710

+ x y(0) =10/27 y= 3/86 )3/21(380

x y(0) = -80/3 6.

y IV = 3/11)1(8180

+

x y IV(0) =-80/81 y IV = 3/118 )3/21(31280

x

y IV (0) = -1280 /3 8. y V = 3/14)1(

243880

+ x y V = 3/1410 )3/21(328160

x

El polinomio nos queda P 4 = 1

!431280

!3380

!238

92 4

8

3

6

2

4xxx

x =

1- 493

72

4 3160

340

34

92

xxxx .

b) Hacemos 1.2 = 1 2 x /3 y despejamos x que nos da x = - 0.3 Sustituimos en el polinomio por 0.3 y nos queda que P

4 (-0.3)=1.0626502. Luego 3 2.1 1.062684362. Para acotar el error cometido utilizamos el resto que en nuestro ejemplo queda:

!5)21(1

32860 5

3/14104x

cR

= , con 0.3 < c < 0.

Si acotamos el valor absoluto de esta expresin tenemos que, 0.6 > - 2c > 0 y de aqu

1.6 > 1 2c > 1 y por lo tanto 1)21(1

6.11

3/143/14 0 la raz esta en [-0.5, -0.25], calculamos f (-0.375) < 0 la raz esta en [-0.375, -0-25] si elegimos el punto medio c = 0.3125 cumple las condiciones. .

c 2.- Definicin de radio de convergencia de una serie de potencias.

Estudiar para que valores de x la serie 1 2n n

n

n

x es convergente.

Calcular el siguiente lmite )log(12

1...........

51

311

limn

nn

++++

.

Solucin.

Calculamos el radio de convergencia, para ello hacemos n

n

n a

a 1lim +

= n

n

n n

n

2/12)1/(1lim

1+

+

=

21

. El radio de convergencia es R = 22/1

1= luego la serie converge en (- 2, 2).

Veam0os que pasa en x = 2 y en x = - 2.

En x = 2 la serie queda 1 2

2n

n

n

n =

1

1n n

que es divergente (es la serie armnica).

En x = - 2 la serie queda

1 22)1(

nn

nn

n =

1

1)1(n

n

n que es convergente (es la serie

armnica alternada) La serie es convergente en el intervalo [-2, 2).

)log(12

1...........

51

311

limn

nn

++++

= (aplicando el criterio de Stolz) )(log)1log(

121

limnn

nn

++

=

)1log(12

1

lim

n

nn

n ++

= (aplicando infinitsimos)

)11(12

1

lim

++

n

nn

n =

21

3.- Definicin de tasa de variacin instantnea. Tenemos un depsito de aceite en forma de pirmide regular invertida. El lado de la base mide 10 m y su altura 18 m. Le estamos llenando con una manguera que arroja en su interior aceite a razn de 5 m 3 / minuto, se pide cual es la variacin de la altura en el instante en el que el nivel del aceite es 6 m. Solucin.

El volumen de la pirmide es: V = 31

x 2 y (siendo x el lado de la base e y la altura). A medida que vamos llenando el depsito la altura va creciendo la relacin entre el lado de la base y la altura en cada instante lo podemos obtener por semejanza de tringulos. Cuando el lado de la base es x y la altura es y hacemos la relacin

yx1810

= despejamos

x y queda x = 10 y /18 = 9

5y, sustituimos en la ecuacin del volumen y tenemos V =

8125

31 3y

y derivando respecto del tiempo dtdyy

dtdV

8125 2

= Como conocemos

mmdtdV /5 3= podemos despejar == 2

*2581*5ydt

dy 16.2 / y 2 m/m y en el instante en que

y = 6 tenemos que dxdy

= 16.2 / 36 = 0.45 metros / minuto.

4.- Enunciar el teorema de Lagrange e interpretarle geomtricamente.

Demostrar que 2434 3 >>

c.

Si vamos a la ecuacin (*) nos queda 1 > 43 - 1 > 31

y sumando 1 tenemos que

2434 3