soluciones enteras para una ecuación crítica con el p

Soluciones enteraspara una ecuacion

crıtica con elp-laplaciano

Luis Lopez RiosIIMAS-UNAM

Un problemacuasilineal crıtico

Resultados preliminares

Soluciones nodalesenteras

Minimizacion consimetrıas

Soluciones enteras para una ecuacion crıticacon el p-laplaciano

Luis Fernando Lopez Rıos

Instituto de Investigaciones en Matematicas Aplicadas y en Sistemas

UNAM

Seminario de Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numerico

noviembre 2018








El p-laplaciano

Para Ω un dominio de RN consideremos

J(u) =

∫Ω

|∇u|p.

I Puntos crıticos de J∫Ω

|∇u|p−2∇u∇ϕ = 0 para toda ϕ ∈ C∞0 (Ω)

I Ecuacion de Euler-Lagrange

∆pu = div(|∇u|p−2∇u) = 0 en Ω.








Propiedades

∆pu = div(|∇u|p−2∇u)

I p = 2: laplaciano

I p > 2: operador degenerado

I 1 < p < 2: operador singular

Inmersion de Sobolev:

D1,p0 (Ω) → Lp

∗(Ω),

I D1,p0 (Ω) es la clausura de C∞c (Ω) en el espacio

D1,p(RN) := u ∈ Lp∗(RN) : ∇u ∈ Lp(RN)

I p∗ := Np/(N − p) es el exponente crıtico de Sobolev.








Un problema cuasilineal crıtico

Consideremos el problema

(℘) −∆pu = |u|p∗−2u en RN ,

para dimensiones N ≥ 4 y p ∈ (1,N).

Objetivo: hallar soluciones de (℘) en D1,p(RN).








Estados fundamentales

ξ

U(x) = cN,p

(1

1+|x|p

p−1

) N−pp

,

Uλ,ξ(x) = λ−N−pp U

(x−ξλ

),

λ > 0, ξ ∈ RN .

I La mejor constante en la desigualdad de Sobolev se alcanzaen la familia Uλ,ξ; Talenti ’76

I Las unicas soluciones positivas de (℘) son las funcionesUλ,ξ

I p = 2: Gidas, Ni, Nirenberg ’79 y Caffarelli, Gidas, Spruck ’89I p 6= 2: Sciunzi ’16, Damiscelli, Merchan, Montoro, Vetois,...








Perfil de concentracion: caso semilineal (p = 2)

Consideremos el problema subcrıtico

(℘q)

−∆u = |u|q−2u en Ω,

u = 0 en ∂Ω,

donde Ω es un dominio acotado y q ∈ (2, 2∗). Sea uq unasolucion positiva de (℘q).

¿Que sucede con la sucesion uq cuando q → 2∗?

I uq converge a una solucion positiva de (℘2∗)

I o la sucesion explota en un numero finito de puntos de Ω.Perfil de explosion: estado fundamental

Bahri-Li-Rey ’95








Soluciones nodales: caso semilineal

Existen infinitas soluciones nodales de (℘), estas son invariantesbajo la accion de G = O(k)×O(m), k + m = N + 1, k,m ≥ 2, enRN vıa la proyeccion estereografica (Ding ’86)

Observaciones

I Si p = 2, (℘) es invariante bajo transformaciones de Mobius

I El p-Laplaciano es invariante bajo rotaciones, traslaciones yescalamientos. Sin embargo, solo existen versiones adecuadasde la transformada de Kelvin para p = 2 y p = N (Lindqvist’16)

v(x) := |x |2−Nu(

x

|x |2

).








Soluciones nodales: caso semilineal

I Metodo de reduccion de Lyapunov-Schmidt: existencia desoluciones nodales de (℘) a traves de “agregacion” de estadosfundamentales (del Pino, Musso, Pacard, Pistoia ’11).

I Este metodo no puede aplicarse si p 6= 2: el operadorlinealizado alrededor de los estados fundamentales no estabien estudiado.

I Nuevo tipo de soluciones nodales para (℘): se obtienen conun argumento variacional que combina simetrıas adecuadascon concentracion de soluciones de un problema subcrıticoasociado (Clapp ’16).

I Adaptaremos este enfoque al caso cuasilineal.








Caso cuasilineal

I Existencia y multiplicidad de soluciones del problema

−∆pu = |u|p∗−2u en D1,p

0 (Ω).

en algunos dominios con suficientes simetrias y/o “agujerospequenos” (Mercuri, Pacella ’14; Mercuri, Sciunzi, Squassina’15; Clapp, Tiwari ’16)

I Existencia y multiplicidad de soluciones enteras de unproblema cuasilineal crıtico obtenido al agregar un termino deorden p a (℘) (Barletta, Candito, Marano, Perera ’17).








Soluciones nodales enteras

Clapp, Lopez Rıos, JDE ’18Supongamos que N = 4n + m con n ≥ 1 y m ∈ 0, 1, 2, 3.Entonces (℘) tiene al menos n soluciones nodales no radiales.

ObservacionToda solucion de (℘), sin importar el signo, pertenece a C 1,α

loc (RN)para algun α ∈ (0, 1) y

|u(x)| ≤ C0(1 + |x |N−pp−1 )−1, |∇u(x)| ≤ C0(1 + |x |

N−1p−1 )−1

(Vetois ’16).








Minimizacion con simetrıas

I Sea G un subgrupo cerrado de O(N)

I φ : G → Z/2 = −1, 1 un homorfismo continuo de grupos

I Consideramos funciones φ-equivariantes

u(gx) = φ(g)u(x) ∀g ∈ G , x ∈ Ω.

Notacion

I G -orbita: Gx := gx : g ∈ GI G -puntos fijos: XG := x ∈ X : Gx = x









(℘φ) −∆pu = |u|p∗−2u en Ω

I Ω ⊂ RN dominio acotado, suave y G -invariante

I u ∈ D1,p0 (Ω)φ := u ∈ D1,p

0 (Ω) : u es φ− equivariante

Hipotesis sobre las simetrıas

(S1) φ : G → Z2 es sobreyectiva

(S2) Existe ξ ∈ RN tal que g ∈ G : gξ = ξ ⊂ Ker φ

(S3) Para cada x ∈ RN se tiene dim(Gx) > 0 o Gx = x









I Las soluciones no triviales de (℘φ) son los puntos crıticos delfuncional de energıa

J(u) :=1

p‖u‖p − 1

p∗|u|p

∗

p∗

en la variedad de Nehari

N φ(Ω) := u ∈ D1,p0 (Ω)φ : u 6= 0, ‖u‖p = |u|p

∗

p∗

I cφ(Ω) := ınfu∈Nφ(Ω) J(u)

ProposicionExiste una sucesion (uk) ⊂ D1,p

0 (Ω)φ tal que

J(uk)→ cφ(Ω), J ′(uk)→ 0 en (D1,p0 (Ω))′.








Perfil asintotico

Se tiene una de las siguientes posibilidades:

1. uk converge en D1,p0 (Ω) a un mınimo de J en Nφ(Ω),

2. o existe una sucesion de G -puntos fijos (ξk) ⊂ RN , unasucesion (εk) ⊂ (0,∞) y una solucion del problema

−∆pw = |w |p∗−2w en D1,p

0 (H)φ,

con las siguientes propiedades:

(i) ξk → ξ, ξ ∈ (Ω)G y HG 6= ∅;(ii) W ∈ Nφ(H) y J(W ) = cφ∞ := cφ(RN);

(iii) lımk→∞

∥∥∥∥uk − ε− N−pp

k W(

x−ξkεk

)∥∥∥∥ = 0.

I H es un semi-espacio o todo RN .








Observaciones

I Si Ω tiene un G -punto fijo entonces

cφ(Ω) = cφ(RN) =: cφ∞

ProposicionSean G un subgrupo de O(N) y φ : G → Z2 un homomorfismocontinuo con las propiedades ya mencionadas. Entonces J alcanzaun mınimo en N φ(RN).








Ejemplo en R4 ≡ C2

I Sea Γ el grupo generado por eiθ, % : θ ∈ [0, 2π)

eiθ(ζ1, ζ2) := (eiθζ1, eiθζ2), %(ζ1, ζ2) := (−ζ2, ζ1),

para (ζ1, ζ2) ∈ C2. Definamos φ : Γ→ Z2 como φ(eiθ) := 1 yφ(%) := −1

I Grupo: definimos G := Γ2 actua sobre R4 ≡ C2 de lasiguiente manera

(γ1, γ2)(z1, z2) := (γ1z1, γ2z2)

I Homomorfismo: definamos φ : G → Z2 de la siguiente manera

φ(γ1, γ2) := φ(γ1)φ(γ2)

I Orbitas: G (z1, z2) = Γz1 × Γz2








Perfil asintotico

Se tiene una de las siguientes posibilidades:

1. uk converge en D1,p0 (Ω) a un mınimo de J en Nφ(Ω),

2. o existe una sucesion de G -puntos fijos (ξk) ⊂ RN , unasucesion (εk) ⊂ (0,∞) y una solucion del problema

−∆pw = |w |p∗−2w en D1,p

0 (H)φ,

con las siguientes propiedades:

(i) ξk → ξ, ξ ∈ (Ω)G y HG 6= ∅.(ii) W ∈ Nφ(H) y J(W ) = cφ∞ := cφ(RN).

(iii) lımk→∞

∥∥∥∥uk − ε− N−pp

k W(

x−ξkεk

)∥∥∥∥ = 0.

I H es un semi-espacio o todo RN .








I Paso 1: (uk) es acotada en D1,p0 (Ω)φ. Entonces existe una

subsucesion uk u debilmente en D1,p0 (Ω)φ.

I Si u 6= 0 entonces uk converge en D1,p0 (Ω) a un mınimo de J

en Nφ(Ω).

I Paso 2: si u = 0 tenemos∫Ω

|uk |p∗→ Ncφ(Ω)

Funcion de concentracion de Levy: para δ ∈ (0, N2 cφ(Ω)) fijo

existen sucesiones (εk en (0,∞) y (xk) en RN tales que

δ = supx∈RN

∫Bεk (x)

|uk |p∗

=

∫Bεk (xk )

|uk |p∗








ProposicionDadas (εk) en (0,∞) y (xk) en RN , existe una sucesion (ξk) enRN tal que, despues de tomar una subsucesion,

ε−1k dist(Gxk , ξk) ≤ C0 para todo k,

y se tiene una de las siguientes dos posibilidades

(a) ξk ∈ ΩG ,

(b) o para cada m ∈ N, existen g1, ..., gm ∈ G tales que

ε−1k |giξk − gjξk | → +∞ cuando k →∞ si i 6= j .








I Paso 4: tomamos (ξk) como en la proposicion anterior.Entonces |gkxk − ξk | ≤ C0εk para ciertos gk ∈ G y

δ =

∫Bεk (gkxk )

|uk |p∗≤∫BC1εk

(ξk )

|uk |p∗

I ξk ∈ (RN)G : De no ser ası, para cada m ∈ N existirıang1, ..., gm ∈ G con BC1εk (giξk) ∩ BC1εk (gjξk) = ∅ si i 6= j y

mδ ≤m∑i=1

∫BC1εk

(giξk )

|uk |p∗≤∫

Ω

|uk |p∗

= Ncφ(Ω) + o(1)

I Definimos Ωk := y ∈ RN : εky + ξk ∈ Ω y

wk(y) := εN−pp

k uk(εky + ξk) para y ∈ Ωk

I wk es φ-equivariante y acotada en D1,p(RN). wk W 6= 0I Pasando a una subsucesion ξk → ξ ∈ (RN)G y εk → 0.

Ademas ε−1k dist(ξk , ∂Ω)→ d ∈ [0,∞]








(a) d =∞: en este caso ξk ∈ Ω y H = RN

(b) d <∞: en este caso ξ ∈ ∂Ω, H es un semi-espacio y HG 6= ∅I Conclusion: W es una solucion no trivial de

−∆pw = |w |p∗−2w en D1,p

0 (H)φ.

soluciones enteras para una ecuación crítica con el p

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