soluciones a los problemas de la fisica de michel valero- cap 8 estatica de la particula

Ejercicios de la Fsica Tomo 1 Michel Valero -Editorial Norma(Volumen 1 Primera Edicin- Mecnica Fluidos y Termodinmica- 1976)

Problemas a la Fsica de Michel Valero Tomo 1

((Primera edicin 1978Primera edicin 1978))

Captulo 8 Captulo 8

ESTTICA DE LA PARTICULAESTTICA DE LA PARTICULA

8.1 Un cubo de caucho de densidad 1,5 g/cm3 se comprime hasta que sus aristas sereducen a la mitad de su longitud original. Cual es su nueva densidad?

Resp: 12 g/cm3

Solucin:

Si la densidad es : d=mv

y el problema nos dice que las dimensiones del cubo se reducen,

sospechamos que la densidad aumenta , si se conserva la misma masa inicial. Los aristas se

reducen la mitad de forma que :

L'= L/2 , entonces el volumen del cubo ahora ser v=( L2)3

= L3

8

de esta forma la nueva densidad es d= mL3

8

es decir 8d= mL3

, ocho veces la densidad

original lo cual es 1,5 g/cm3 x 8 = 12 g/cm 3

8.2 Cual es la masa del aire de un cuarto de dimensin 10 x 5 x 4 metros?

Resp: 260 kilogramos

Solucin:

densidad : d=mv

ahora tomando la densidad del aire como 1,3 kg/m3

despejamos el valor de la masa de la frmula : v.d= m ; (10m x 5m x 4m ) x 1,3 kg/m3

Compilado por Cosmofloyd- Curso Bsico de Fsica Introductoria para Ingenieray Ciencias.


m = 260 kilogramos

8.3 Cual es la densidad de la Tierra si su masa es de 6 x 1024 kg y su radio es de 6,4 x106 metros? Esta densidad es muy superior a la densidad media de la corteza terrestre,por lo tanto, el interior de la Tierra debe tener una densidad mucho mayor.

Resp: 5,5 g/cm3

Solucin:

densidad d=mv

para calcular la densidad de la Tierra, tenemos que hallar su volumen, si modelamos la Tierra

como una esfera perfecta tenemos vTierra=43 r3

de aqu tomamos los valores del radio terrestre y su masa y remplazamos:

d= 6 x 1024 kg

43(6,4 x106m)3

= 5,46 x 10 3 kg /m 3 = 5,5 g /cm 3

8.4 Un cuerpo de peso 20 kg-f flota sobre un lquido. Qu fuerza produce el lquido sobre elcuerpo? Cmo se explica esta fuerza?

Solucin

La fuerza que produce el liquido es una fuerza de empuje producida por las molculasdel fluido sobre las paredes del objeto, aunque esta pregunta esta incluida aqu seprofundizara su respuesta en la tercera parte del Libro, Mecnica de lquidos y gases.

8.5 Mostrar que si un bloque se mueve a velocidad constante sobre un plano inclinado,es que el coeficiente dinmico de rozamiento es igual a tan , siendo el ngulo queforma el plano con la horizontal.

Solucin:

Para resolver el problema usamos undiagrama de cuerpo libre en el cualdescomponemos las fuerzasasociadas al problema.



Como el bloque baja por la pendiente con velocidad constante usamos los postulados de laesttica tomando un eje de coordenadas tal que el eje de las x este horizontal al planoinclinado y el eje y este en direccin perpendicular a este, es decir pase por la normal. Lainterseccin de los dos ejes es el centro del eje cartesiano, (0,0).

se deben cumplir las siguientes condiciones.

Fx=0 mgsen fr = 0 ; fr = mgsen *

F y=0 N mgcos = 0 ; N = mgcos **

pero la fuerza de rozamiento es N as la primera ecuacin * nos queda de la forma

N = mgsen * y reemplazando el valor de la normal que hallamos en laecuacin ** en la ecuacin * nos da

mgcos = mgsen dividiendo la expresin entre mg (como constantespositivas diferentes de cero)

tenemos cos = sen despejamos el valor de

= sencos

= tan

8.6 Dos resortes de constantes k1 y k2 se conectan comose muestra la figura. Mostrar que el conjunto de estos dosresortes puede ser reemplazado por un solo resorte deconstante

K= k1 + k2

Solucin:

se puede reducir este arreglo a un solo resorte equivalente, pero antes hay que ver que ocurrecuando le aplicamos una fuerza al sistema



Si aplicamos la fuerza F tal como lo vemos en el siguientegrfico , los resortes se deforman una cantidad igual a x ,as la fuerza en el resorte 1 es F1 = k 1 x , yrespectivamente para el resorte 2 , F2 = k2 x ; porlo tanto si reducimos el sistema a un resorte conuna constante equivalente tenemos

F= Keq X . Pero F = F1 + F2

de la siguiente suposicin tenemos

F = F1 + F2 Keq x = k 1 x + k2 x

y como x es igual , podemos simplificar la expresin

Keq = k 1 + k2

8.7 Si ahora los dos resortes de constantes k1 y k2 seconectan como se muestra la figura (conectados enserie). Mostrar que el conjunto de estos dos resortespuede ser reemplazado por un solo resorte deconstante

K eq=k 1k2k2+k1

Solucin:

Para la configuracin de dos resortes en serie tenemos que ver el siguiente diagrama



donde x1 y x2 son los desplazamientos o deformaciones desde su punto de equilibriode cada resorte respectivamente . La fuerza F acta sobre toda la configuracin, por lotanto se cumple que la fuerza F que aplicamos al final de arreglo en serie de resortes ,tambin actu en el resorte 1 y en el resorte 2. Esto se puede escribir como

F = F1 = F2 , donde F1 es la fuerza que siente el resorte 1 y es de la forma F1 = k 1 x1

de la misma forma ocurre con cuya expresin es F2 = k2 x2

Podemos modelar el sistema como si fuese un solo resorte con una constanteequivalente, y un desplazamiento X = x1 + x2 , de esta forma tenemos

F= Keq X .

Colocando todas estas suposiciones en la relacin X = x1 + x2

tenemos X= FK eq

, x1=Fk1

, x2=Fk2

, porque habamos dicho que F = F1 = F2

entonces X = x1 + x2 ; FK eq

= Fk1+ Fk2

, la fuerza se simplifica , lo cual nos queda

1K eq

= 1k1+ 1k2

1K eq

=k2+k1k1k 2

invertimos esta expresin

K eq=k 1k2k2+k1



8.8 Un cuerpo de peso w suspendido de un hilo forma un ngulo con la verticalcuando esta sometido a una fuerza horizontal F. Cul es el valor de F? Mostrar que elequilibro es estable.

Resp: F = w tan

Solucin

hacemos el diagrama del cuerpo libre

Y formulamos las ecuaciones para la situacin esttica , colocamos el centro del sistema de coordenadas en el nudo donde se une la cuerda del peso y la cuerda que tira la fuerza.

De esta forma las condiciones de equilibrio quedan

Fx=0 F - Tsen = 0 ; F = Tsen *

F y=0 Tcos - w = 0 ; w= Tcos **

ahora si dividimos * entre ** tenemos Fw= sencos

Fw=tan

despejamos F obteniendo F = w tan



8.9 Para mover un auto, un conductor at un cable al auto y a un rbol y ejerci una fuerza deF = 100 kg-f en la mitad del cable como muestra la figura.

Cual ser la fuerza de traccin sobre el auto? (Ayuda seno 6o = 0,10)

Resp: 500 kg-f

Solucin:

hacemos un diagrama de cuerpo libre con centro de coordenadas en el nudo de la cuerda quelas une as

De esta forma las tensiones que aparecen en las cuerdas son idnticas, los ngulos son iguales,la tensin tiene componente tanto en eje x como en el eje y , de esta forma solo nos interesa ladireccin en el eje y as:

F y=0 F - 2 Tsen = 0 ; F = 2 Tsen

entonces: T= F2 sen60

; T= 478,34 kg-f si se hace con sen 6=0.10el

resultado es 500 kg-f



8.10 En un canal, dos hombres cada uno con una fuerza de traccin de 100 kg-f arrastran unacanoa a velocidad constante. Como se ve en la figura

Que fuerza opone el agua al movimiento del barco?Si el barco pesa 800 kg-f Cul es elcoeficiente de rozamiento?

Resp: 160 kg-f; 0,2.

Solucin

El agua produce una fuerza de rozamiento , de esta forma , descomponemos las fuerzas en eldiagrama

de esta forma hay dos componentes en direccin de x y dos en direcciones opuestas de y.,como las componentes son iguales en direccin x tenemos

Fx=0 2 F cos37 - fr = 0 ;



pero de los anteriores problemas sabemos que fr = N , la normal es igual alpeso de la embarcacin en este caso, de aqu fr = w

2 F cos37 - fr = 0 2 F cos37 - w = 0 de aqu 2 Fcos37w =

2(100 kg . f )cos 37800kg . f

=0,2

ahora la fuerza que se opone al movimiento es la fuerza de rozamiento cuyo valor es

fr = w = (0,2) (800 kg-f) = 160 kg-f

8.11 Calcular el peso del cuerpo A en la figura.

Resp: 64 kg-f

Solucin:

Hay que realizar el diagrama de cuerpo libre para los doscuerpos suspendidos y calcular las respectivas tensionespara cada cuerda, para el cuerpo de 36 kg-fdescomponemos la tensin de acurdo a su ngulo :

Fx=0 T1 - Tcos37 = 0 ; T1 = Tcos37

F y=0 Tsen37 - w = 0 ; w= Tsen37

De la segunda ecuacin hallamos el valor de T y lo

reemplazamos en la primera para encontrar el valor de T1



w= Tsen37 wsen37

=T = 60 kg-f

T1 = Tcos37 (60 kg -f) cos 37= 48 kg-f

Para el segundo objeto, el cual tiene la incgnita del peso, tambin hacemos sudiagrama de cuerpo libre:

Fx=0 T2cos53- T1 = 0 ;T1 = T2cos53

F y=0 T2sen53 - wA = 0 ; wA = T2sen53

Como de las anteriores ecuaciones sabemos el valor de T1 solo lo reemplazamos en laprimera ecuacin para hallar el valor de T2 y as con este valor reemplazamos en lasegunda ecuacin y hallamos el valor del peso que se pide.

T1 = T2cos53 T2=T 1

cos53= T2=

48kgfcos53

= 80 kg -f

wA = T2sen53 = (80 kg-f ) (sen 53 ) = 64 kg- f

8.12 Calcular la tensin de todas las cuerdas de la figura. Si el pesodel cuerpo es de 48 kg-f.

Resp: 48 kg-f, 36 kg-f,60 kg-f,36 kg-f, 48 kg-f.



Solucin

De la grfica inmediatamente sabemos que la cuerda que sostiene al peso tiene una tensinequivalente al mismo, es decir T1= 48 kg-f

mirando la grfica tenemos que calcular ahora el

valor de T2 y T3 en el primer nudo donde se unen estas tres cuerdas sereparten estas tres tensiones, para nuestro diagrama de cuerpo libretenemos las ecuaciones

Fx=0 T2 - T3cos53 = 0 ;T2 = T3cos53

F y=0 T3sen53 - T1 = 0 ; T1 = T3sen53

Pero partimos definiendo que T1 tiene el valor del peso delbloque , T1= 48 kg-f, de esta forma despejamos el valor de T3 de la segunda ecuacin yrencontramos T3

T1 = T3sen53 T3=T 1

sen53=48kgf

sen53= 60 kg-f = T3

Con el valor de la tensin 3 , hallamos la tensin 2 reemplazando en la primeraecuacin

T2 = T3cos53 T2 = (60 kg f) (cos 53) = 36 kg -f

Por ltimo en el nudo de arriba donde se unen las tensiones 3,4 y 5 realizamos otrodiagrama de cuerpo libre y obtenemos la ecuaciones:

Fx=0 T3cos53 - T4= 0 ;T4 = T3cos53

F y=0 T5 -T3sen53 = 0 ; T5 = T3sen53

Y haciendo un procedimiento idntico al anterior obtenemos los valores de lastensiones 4 y 5, con el valor obtenido de la tensin 3:

T4 = T3cos53 = (60 kg f) cos 53 = 36 kg f



T5 = T3sen53 = (60 kg f) sen 53 = 48 kg f

8.13 Si una fuerza de 248 kg-f paralela a un plano inclinado 37 o sobre la horizontal, empuja unbloque de 200 kg-f a velocidad constante hacia arriba, (a) Qu fuerza paralela al plano loempuja hacia abajo a velocidad constante? (b) Cul es el coeficiente de rozamiento?

Resp: 8 kg-f; 0,8

Solucin

Hacemos el diagrama de cuerpo libre:

Donde F es la fuerza de 248 kg f que empuja el bloque de 200 kg - f hacia arriba, colocamosel centro del eje de coordenadas el bloque con el eje x paralelo a la superficie del planoinclinado y tenemos las ecuaciones estticas

Fx=0 F - fr w sen37 = 0 ; F w sen37 = fr

F y=0 N - wcos 37 = 0 ; N= wcos37

pero recordando que la fuerza de rozamiento es fr = N , tenemos.

F w sen37 = fr F w sen37 = N ; F w sen37 = wcos37

de esta ltima ecuacin despejamos

Fwsen37wcos37

= ;(248 kgf )(200 kgf )sen37(200 kgf )cos37

= 0,8 =



8.14 Sobre un plano inclinado , un cuerpo esta en equilibrio. Si el valor mximo de la fuerzaparalela al plano, dirigida hacia arriba y que no destruye el equilibrio es el doble de la fuerzamnima paralela al plano, dirigida hacia arriba que lo produce, Cul es el coeficiente derozamiento?

Resp: 1/3 tan

8.15 En la figura de laderecha, los cuerpos A y Bpesan cada uno 50 kg-f y semueven a velocidadconstante. El coeficiente derozamiento entre lassuperficies es 0,2. Cul es elpeso del cuerpo C?

Resp: 48 kg-f.

Solucin

Realizamos los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo,

de aqu tenemos las siguientes ecuaciones estaticas para cada cuerpo

para el cuerpo A

Fx=0 TA fr = 0 ; TA = fr

F y=0 N - wA = 0 ; N= wA



como fr = N , tenemos:

TA = fr TA = N = wA = (0,2) (50 kg- f) = 10 kg f

Para el cuerpo B

Fx=0 TB fr - wB sen37- TA = 0 ; TB = fr + wB sen37 + TA

F y=0 NB - wB cos37 = 0 ; NB = wB cos37

como fr = NB , tenemos para la primera ecuacin

TB = NB + wB sen37 + TA TB = wB cos37 + wB sen37 + TA

TB = (0,2) (50kg - f)( cos37 )+ (50 kg - f)sen37 + 10 kg f

TB = 8kg f + 30 kg f + 10 kg f = 48 kg-f

Para el cuerpo C

solo vemos suspendido el cuerpo y las nicas ecuaciones estn en direccin del eje y

asi

F y=0 TB wc = 0 por lo tanto el peso del cuerpo C es simplementela tensin anteriormente hallada

TB = wc = 48 kg-f

8.16 Un cuerpo de peso w es halado sobre una superficie horizontal de coeficiente derozamiento por una fuerza F que forma con la horizontal un ngulo por arriba de lahorizontal. Cul es el valor de F para que el cuerpo se mueva a velocidad constante?

Resp: F= w

cos

+sen

Solucin

Como siempre , construimos el diagrama de cuerpo libre del objeto en cuestin teniendocuidado de descomponer la fuerza aplicada segn el ngulo.



Del diagramatenemos las siguientes ecuaciones estticas

Fx=0 F cos fr = 0 ; fr = F cos

F y=0 N + Fsen - w= 0 ; N = w - Fsen

como fr = N, tenemos para la primera ecuacin

(w - Fsen) = F cos w - Fsen = F cos

w = F cos + Fsen, aqu factorizamos F

w = F( cos + sen )

F= wcos+sen

si dividimos entre tenemos la expresin que se nos pide

F= wcos +sen



8.17 Es mas fcil halar un aplanador (vea la imagen de esa cosaa su izquierda) para cancha de tenis que empujarlo, pero seaplana mejor si se empuja. Justificar esta proposicin pormedio de diagramas. Solucin: revisar conceptos de rozamientoy fuerza normal que se presentan en el libro.

8.18 Una partcula de peso w es atrada por un punto O que emite una fuerza de atraccin F=kr (k es una constante), siendo r la distancia de la partcula al punto O. Mostrar que existe unaposicin de equilibrio y que este equilibrio es estable.

Solucin:

La posicin de equilibrio esta debajo de O a una distancia r dada por

F w =0 de aqu tenemos que F = w pero el problema nos dice que la fuerza es de la forma

F = kr por lo tanto ;

w =kr y de aqu despejamos r ; r=wk

podemos concluir que para pequeos desplazamientos, r , la partcula regresa a su posicin deequilibrio, por lo tanto el equilibrio es estable.

8.19 Una partcula de peso w es atrada por un punto O que emite una fuerza de atraccin de

la forma F= kr

Donde k es una constante, y r es la distancia de la partcula al punto O. Mostrar que existe unaposicin de equilibrio y que este equilibrio es inestable.

Solucin:

La posicin de equilibrio esta debajo de O a una distancia r dada por F w =0 de aqu

tenemos que F = w pero el problema nos dice que la fuerza es de la forma F= kr por lo

tanto ; w= kr

, vemos que para pequeos desplazamientos la expresin se hace grande, la

partcula se aleja de su posicin de equilibrio, por lo tanto tenemos un equilibrio inestable.



8.20 En la siguiente hoja vemos la configuracin de dos bloques, de tal forma que el bloque Ade peso 10 kg- f se encuentra sobre un bloque B de peso 20 kg-f. El coeficiente de rozamientoentre las superficies es de 0,2. Calcular la fuerza F necesaria parra arrastrar el bloque B avelocidad constante en los tres casos de la figura. Dibujar en cada caso, las fuerzas aplicadas alcuerpo A y al cuerpo B. Resp: 6 kg-f, 8 kg-f, 10 kg-f.

Solucin

Hay tres casos para este mismo problema :

Caso 1

Para este caso se supone que elbloque A se mantiene esttico es



decir el conjunto de los dos bloque se mueve como uno solo. Lo cual nos dice las ecuaciones estticas as

Fx=0 F fr = 0 ; fr = F

F y=0 NA + NB - wA- wB =0 ; N = wA +wB

donde N es la suma de las dos normales.

Como fr = N, donde fr es la fuerza de rozamiento entre el piso y el bloqueB. , es decir frB.

La ecuacin para x queda

fr = F ; N = F F = (wA +wB ) = (0,2) ( 10 kg f + 20 kg -f) = 6 kg-f

Caso 2

Aqu aparece la tensin de una cuerda fija al cuerpo A , esto significa que simovemos el cuerpo B , entonces A se mover en direccin contraria, y elrozamiento entre superficies entra a tomar parte en las ecuaciones.

Para el bloque B

Fx=0 F frBs - T = 0 ; F = frBs + T

F y=0 NA + NB - wA- wB =0 ; N = wA +wB donde N es igual a NA+ NB.



Para el bloque A tenemos:

Fx=0 T frAB = 0 ; frAB = T

F y=0 NA - wA = 0 ; NA = wA

la fuerza de rozamiento frAB es NA , donde NA = wA de aqu

T = frAB , T = wA = (0,2) 10 kg- f = 2 kg f = T

con el valor de T obtenido podemos resolver la ecuacin del bloque B

F = frBs + T ; F = N+ T ; F= (wA +wB ) + T

F= (wA +wB ) + T F= 0,2 (10 kg -f + 20 kg-f ) + 2 kg -f = 8 kg f

Caso 3

aqu tenemos una modificacin de la configuracin del problema, se introduceuna polea, que une los bloque A y B. sin embargo la tensiones son las mismasen la cuerda, es decir TA y TB son idnticas, ahora construimos las ecuacionesestticas para ambos bloques

para el bloque de arriba A

Fx=0 T frAB = 0 ; frAB = T

F y=0 NA - wA = 0 ; NA = wA



el bloque de arriba tambin siente una normal que hace la parte de encima del bloqueB , no esta dibujada, pero por la tercera ley de Newton esta normal es de la mismamagnitud y contraria a la normal que el bloque A le hace a B. Es decir NAB = NBA (poraccin y reaccin).

De esta forma

frAB = T T = wA = (0,2) 10 kg- f = 2 kg f = T

como el anterior problema, la variante se encuentra en las condiciones del bloque deabajo B

Para el bloque B

Fx=0 F frBs - frBA - T = 0 ; F = frBs + T + frBA

El trmino frBA ocurre porque se deslizan las superficies entre A y B, de estaforma, las ecuaciones para y quedan iguales al anterior caso

F y=0 NA + NB - wA- wB =0 ; N = wA +wB donde N es igual a NA +NB.

Por lo tanto

F = frBs + T + frBA F = N+ T + NA ; F= (wA +wB ) + T + (wA )

F= (wA +wB ) + T + (wA ) = (0,2)(10 kg-f + 20 kg-f) + 2kg-f + (0,2)(10kg-f)

F = 6 kg-f + 2 kg-f + 2 kg-f = 10 kg-f


Problemas a la Fsica de Michel Valero Tomo 1

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